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  • λ矩阵的行列式因子与不变因子.mht
  • 关于方阵的行列式因子、不变因子、初等因子,例题,这三个因子很有用。

    方阵的行列式因子、不变因子、初等因子

    行列式因子

    直接的定义

    λ E − A \lambda E - A λEA中所有非零 k k k级子行列式的首项(即最高次项)系数为1的最大公因式称为 λ E − A \lambda E - A λEA的(简称 A A A的) k k k级行列式因子(因式),记为 D k ( λ ) ( k = 1 , . . . , n ) D_k (\lambda)(k=1,...,n) Dk(λ)(k=1,...,n)

    分析:

    • 听上去很费解,需要看例题才行
    • 注意: 只有 λ − 矩 阵 \lambda-矩阵 λ λ E − A \lambda E - A λEA才有行列式因子的概念
    • 注意: A A A的行列式因子,其实并不是直接算 A A A的行列式,而是 λ E − A \lambda E - A λEA

    例题1

    解答1

    分析1

    • 行列式因子从 D n ( λ ) D_n(\lambda) Dn(λ) 向着 D 1 ( λ ) D_1(\lambda) D1(λ)
    • 2级子式为例,应该把所有2级子式列出来(共9个),然后找其中首项系数为1的最大公因式,作为 D 2 ( λ ) D_2(\lambda) D2(λ)
      • 注意是首项系数为1的式子( − λ − 1 -\lambda - 1 λ1 1 1 1算; 2 λ − 1 2\lambda - 1 2λ1不算)中的最大公因式
      • 注意 D 2 ( λ ) D_2(\lambda) D2(λ)是最大公因式

    不变因子


    分析:

    • λ E − A \lambda E - A λEA可以经过初等变换化成对角阵形式(初等变换下的标准型)
    • 对角线上即不变因子
    • 如何求,看例题才清楚
      • 方法一:直接初等变换成对角阵形式,很难
      • 方法二:利用不变因子与行列式因子间的关系

    如对于例题1
    d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) = 1 d_1(\lambda) = D_1(\lambda) = 1 d1(λ)=D1(λ)=1
    d 2 ( λ ) = D 2 ( λ ) D 1 ( λ ) = 1 d_2(\lambda) = \frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)} = 1 d2(λ)=D1(λ)D2(λ)=1
    d 3 ( λ ) = D 3 ( λ ) D 2 ( λ ) = ( λ − 2 ) 3 d_3(\lambda) = \frac{D_3(\lambda)}{D_2(\lambda)} = (\lambda-2)^3 d3(λ)=D2(λ)D3(λ)=(λ2)3

    分析:

    • 不变因子是从 1 到 n 来求
    • 一般利用行列式因子求

    初等因子

    在我理解: s s s是独立的特征值数量?

    初等因子计算方法

    见到例题才清晰。

    例题2

    分析:

    • 值得注意的是,初等因子可以重复
    • 括号内 λ \lambda λ应该为1次, ( λ 2 + 1 ) 2 (\lambda^2 + 1)^2 (λ2+1)2要看作 ( λ − i ) 2 ( λ + i ) 2 (\lambda - i)^2(\lambda + i)^2 (λi)2(λ+i)2

    三种因子小结

    例题3

    例题4

    这道题解将所有二级子式列了出来。

    例题5

    已知 A A A 的初等因子为 λ , λ 2 , λ + 1 \lambda,\lambda^2,\lambda+1 λ,λ2,λ+1,求 A A A的不变因子。

    解: A A A的不变因子为 d 4 ( λ ) = λ 2 ( λ + 1 ) d_4(\lambda)=\lambda^2 (\lambda + 1) d4(λ)=λ2(λ+1) d 3 ( λ ) = λ d_3(\lambda)=\lambda d3(λ)=λ d 2 ( λ ) = d 1 ( λ ) = 1 d_2(\lambda)=d_1(\lambda)=1 d2(λ)=d1(λ)=1

    分析:凑出来的,根据行列式因子的关系;此外,不变因子的最高次数和要等于 n n n

    小结

    A A A n n n阶方阵,则 λ E − A \lambda E - A λEA的:

    • 行列式因子,个数 = n =n =n,次数和 ≥ n \ge n n
    • 不变因子,个数 = n =n =n,次数和 = n = n =n
    • 初等因子,个数 ≤ n \le n n,次数和 = n = n =n

    不但可由行列式因子求出不变因子和初等因子,而且反之亦然。(两个方阵只要有一种因子相同,则另两种也相同)

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  • 矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值λ\lambdaλ构成的矩阵。包含三个运算: ...因为初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子,所以可以通过初等变换来求smith标准型。 由此引出smith标准型的概念: 1、...

    矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值 λ \lambda λ构成的矩阵。包含三个运算:
    1、互换两行(列)
    2、某行(列)乘非零常数
    3、某行(列)乘多项式后加到另一行
    n阶 λ \lambda λ矩阵可逆的充要条件是: A ( λ ) = 非 零 常 数 A(\lambda)=非零常数 A(λ)=
    因为初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子,所以可以通过初等变换来求smith标准型。


    由此引出smith标准型的概念:
    1、最高次幂系数为1
    2、 d ( λ i ) d(\lambda_i) d(λi)能够整除 d ( λ i + 1 ) d(\lambda_{i+1}) d(λi+1)
    3、 λ \lambda λ矩阵的smith标准型是唯一的

    用上面的三个运算可以把一个 λ \lambda λ矩阵化为smith标准型,举例:
    在这里插入图片描述
    技巧:
    在这里插入图片描述


    这样求smith标准型比较麻烦,容易出错。接下来就引出了求smith标准型的第二种方法,为了学会这个方法,先要了解一些概念。

    1. 行列式因子
      k阶行列式因子是 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)中全部非零k阶子式的最高次幂系数为1的最大公因式。
      在这里插入图片描述
      上式中,分别求得了各阶的非0子式,然后在每一阶中找到最大公共子式,这就是行列式因子。
      性质:等价的 λ \lambda λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。
      行列式因子就是smith标准型对角线上的元素。

    2. 不变因子
      不变因子就是smith标准型对角线上的相邻元素之商。
      在这里插入图片描述
      例:
      在这里插入图片描述
      如果一阶子式有一个数字,那么一阶行列式因子就是1。
      性质:两个 λ \lambda λ矩阵等价的充要条件是具有相同的行列式因子,有相同的不变因子。

    3. 初等因子
      对不变因子做因式分解,得到1次因式方幂。
      在这里插入图片描述

    性质:
    一、分块矩阵的初等因子是各个块的初等因子。
    在这里插入图片描述
    二、Jorden矩阵的初等因子为 在这里插入图片描述

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  • 一个求矩阵的行列式的函数,很实用的,大家可以参考下····
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  • 行列式的计算方法(含四种,看完就会!)

    万次阅读 多人点赞 2021-02-03 23:19:35
    行列式的计算 前言 一、对角线法 二、代数余子式法 三、等价转化法 四、逆序数法 总结 本文主要讲述行列式的求解方法,所以本文侧重于方法的讲解,而并非推导。主要思路为从三阶行列式举例,再过渡到高阶行列式的...


    前言

    提示:本文主要讲述行列式的求解方法,所以本文侧重于方法的讲解,而并非推导。主要思路为从三阶行列式举例,再过渡到高阶行列式的通用方法 。


    以下是本篇文章正文内容:

    一、对角线法

    ▍以三阶行列式为例:

    D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| D3=a11a21a31a12a22a32a13a23a33

    ①将第一、二列平移到行列式右侧
    ②如图做出六条斜对角线
    ③对角线上的元素相乘红色相加的和 减去 蓝色相加的和
    在这里插入图片描述
    D 3 = D_3= D3=

    a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

    − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} a13a22a31a11a23a32a12a21a33

    对角线法也是三阶行列式计算使用最广泛的方法

    对角线法适用于二、三阶行列式,对于更高阶的行列式暂时未找到规律

    二、代数余子式法

    ▍以三阶行列式为例:

    例 : D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ 例:D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| D3=a11a21a31a12a22a32a13a23a33

    以 第 一 行 展 开 , 得 D 3 = 以第一行展开,得D_3= D3=

    = ( − 1 ) 1 + 1 a 11 M 11 + ( − 1 ) 1 + 2 a 12 M 12 + ( − 1 ) 1 + 3 a 13 M 13 =\left( -1 \right) ^{1+1}a_{11}M_{11}+\left( -1 \right) ^{1+2}a_{12}M_{12}+\left( -1 \right) ^{1+3}a_{13}M_{13} =(1)1+1a11M11+(1)1+2a12M12+(1)1+3a13M13

    = a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ =a_{11}\left| \begin{matrix} a_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|-a_{12}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|+a_{13}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\\ \end{matrix} \right| =a11a22a32a23a33a12a21a31a23a33+a13a21a31a22a32

    对于任一行(列)都可进行展开

    ▍例n阶行列式:

    D n = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right| Dn=a11a21an1a12a22an2a1na2nann

    以第 i 行展开:

    = ( − 1 ) i + 1 a i 1 M i 1 + ( − 1 ) i + 2 a i 2 M i 2 + ⋯ + ( − 1 ) i + n a i n M i n =\left( -1 \right) ^{i+1}a_{i1}M_{i1}+\left( -1 \right) ^{i+2}a_{i2}M_{i2}+\cdots +\left( -1 \right) ^{i+n}a_{in}M_{in} =(1)i+1ai1Mi1+(1)i+2ai2Mi2++(1)i+nainMin

    以第 j 列展开:

    = ( − 1 ) 1 + j a 1 j M 1 j + ( − 1 ) 2 + j a 2 j M 2 j + ⋯ + ( − 1 ) n + j a n j M n j =\left( -1 \right) ^{1+j}a_{1j}M_{1j}+\left( -1 \right) ^{2+j}a_{2j}M_{2j}+\cdots +\left( -1 \right) ^{n+j}a_{nj}M_{nj} =(1)1+ja1jM1j+(1)2+ja2jM2j++(1)n+janjMnj

    例 : ∣ 0 1 0 2 15 3 1 41 2 ∣ = ( − 1 ) 1 + 2 ∣ 3 2 2 1 ∣ = 1 例: \left| \begin{matrix} 0& 1& 0\\ 2& 15& 3\\ 1& 41& 2\\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right) ^{1+2}\left| \begin{matrix} 3& 2\\ 2& 1\\ \end{matrix} \right|=1 02111541032=(1)1+23221=1

    本例中,利用代数余子式法能够简便运算

    三、等价转化法

    ①行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变 ②行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

    转化法的核心思想是将行列式转化成上三角行列式

    直接举例:

    D 4 = ∣ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ D_4=\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right| D4=3111131111311113

    ∣ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 ∣ 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ = r 1 ÷ 6 6 ∣ 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ \left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1+r_2+r_3+r_4}\left| \begin{matrix} 6& 6& 6& 6\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1\div 6}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right| 3111131111311113r1+r2+r3+r4 6111631161316113r1÷6 61111131111311113

    = r 2 − r 1 , r 3 − r 1 , r 4 − r 1 6 ∣ 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∣ = 6 × 1 × 2 × 2 × 2 = 48 \xlongequal{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ \end{matrix} \right|=6\times1\times 2\times 2\times 2=48 r2r1,r3r1,r4r1 61000120010201002=6×1×2×2×2=48

    四、逆序数法

    ▍以三阶行列式为例
    D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 D_3=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}} D3=a11a21a31a12a22a32a13a23a33=(1)ta1p1a2p2a3p3

    t 为排列  p 1 p 2 p 3  的逆序数 t\text{为排列 }p_1p_2p_3\ \text{的逆序数} t为排列 p1p2p3 的逆序数

    其 中 p 1 、 p 2 、 p 3 ≤3,且各不相同 其中p_1\text{、}p_2\text{、}p_3\text{≤3,且各不相同} p1p2p3≤3,且各不相同

    ▍对于n阶行列式:

    D n = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right| Dn=a11a21an1a12a22an2a1na2nann

    = ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a n p n =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}} =(1)ta1p1a2p2anpn

    t 为排列  p 1 p 2 ⋯ p n  的逆序数 t\text{为排列 }p_1p_2\cdots p_n\ \text{的逆序数} t为排列 p1p2pn 的逆序数

    其 中 p 1 、 p 2 ⋯ p n ≤n,且各不相同 其中p_1\text{、}p_2\cdots p_n\text{≤n,且各不相同} p1p2pn≤n,且各不相同

    前三种方法的本质其实都是逆序数法,逆序数法也是行列式求解最基础的方法,但使用起来更加复杂

    总结

    本文讲述了四种行列式的计算方法:

    ▍其中对角线法,是使用最简单、最广泛的方法

    ▍代数余子式法和等价转化法,在特定情况下能极大程度上简便运算,但需要读者对行列式进行灵活地观察

    ▍逆序数法,是一种更加基础的方法,使用起来比较复杂


    提示:以上是本人关于行列式学习的体会,若有错误,欢迎大家批评和交流(*^▽ ^*)/
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