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  • 酉空间

    2018-01-31 17:11:05
    酉空间 。 定义 ∥ α ∥ = ⟨ α , α ⟩ − − − − − √ ‖ α ‖ = ⟨ α , α ⟩ \left \Vert \alpha \right \Vert = \sqrt {\langle \alpha, \alpha\rangle} 。 性质 ⟨ α , k β ⟩ = k ¯ ¯...

    定义

    对于任意一个复数域 C C 上的线性空间 V, V , V V 上定义了一个二元复函数,称为内积,记作 α,β, 它具有如下性质:
    α,βV,kC, ∀ α , β ∈ V , ∀ k ∈ C ,
    1. α,β=β,α¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ⟨ α , β ⟩ = ⟨ β , α ⟩ ¯
    2. kα,β=kα,β ⟨ k α , β ⟩ = k ⟨ α , β ⟩
    3. α+β,γ=α,γ+β,γ ⟨ α + β , γ ⟩ = ⟨ α , γ ⟩ + ⟨ β , γ ⟩
    4. α,α0, ⟨ α , α ⟩ ≥ 0 , α,α=0α=0⃗  ⟨ α , α ⟩ = 0 ⇔ α = 0 →
    这样的线性空间 V V 称为酉空间
    定义 α=α,α

    性质

    1. α,kβ=k¯¯¯α,β ⟨ α , k β ⟩ = k ¯ ⟨ α , β ⟩
      证明
      α,kβ=kβ,α¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=kβ,α¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=k¯¯¯β,α¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=k¯¯¯α,β ⟨ α , k β ⟩ = ⟨ k β , α ⟩ ¯ = k ⟨ β , α ⟩ ¯ = k ¯ ⋅ ⟨ β , α ⟩ ¯ = k ¯ ⟨ α , β ⟩
    2. α,β+γ=α,β+α,γ ⟨ α , β + γ ⟩ = ⟨ α , β ⟩ + ⟨ α , γ ⟩
      证明
      α,β+γ=β+γ,α¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=β,α+γ,α¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=β,α¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯+γ,α¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=α,β+α,γ ⟨ α , β + γ ⟩ = ⟨ β + γ , α ⟩ ¯ = ⟨ β , α ⟩ + ⟨ γ , α ⟩ ¯ = ⟨ β , α ⟩ ¯ + ⟨ γ , α ⟩ ¯ = ⟨ α , β ⟩ + ⟨ α , γ ⟩
    3. 0⃗ ,α=α,0⃗ =0 ⟨ 0 → , α ⟩ = ⟨ α , 0 → ⟩ = 0
      证明
      0⃗ ,α=00⃗ ,α=00⃗ ,α=0 ⟨ 0 → , α ⟩ = ⟨ 0 ⋅ 0 → , α ⟩ = 0 ⟨ 0 → , α ⟩ = 0
      α,0⃗ =0⃗ ,α¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=0 ⟨ α , 0 → ⟩ = ⟨ 0 → , α ⟩ ¯ = 0
    4. kα=|k|α ‖ k α ‖ = | k | ‖ α ‖
      证明
      kα=kα,kα=kk¯¯¯α,α=|k|α,α=|k|α ‖ k α ‖ = ⟨ k α , k α ⟩ = k k ¯ ⟨ α , α ⟩ = | k | ⟨ α , α ⟩ = | k | ‖ α ‖
    5. α0⃗ , α ≠ 0 → , 1αα=1 ‖ 1 ‖ α ‖ α ‖ = 1
    6. |α,β|αβ, | ⟨ α , β ⟩ | ≤ ‖ α ‖ ‖ β ‖ , 当且仅当 α α β β 线性相关时等号成立。
      证明
      α=0⃗  α = 0 → 时, |α,β|=0, | ⟨ α , β ⟩ | = 0 , 不等式显然成立。
      否则,
      f(x)=xα+β,xα+β,xF, f ( x ) = ⟨ x α + β , x α + β ⟩ , x ∈ F , f(x)0, f ( x ) ≥ 0 ,
      f(x)=xα,xα+xα,β+β,xα+β,β f ( x ) = ⟨ x α , x α ⟩ + ⟨ x α , β ⟩ + ⟨ β , x α ⟩ + ⟨ β , β ⟩
      =xx¯¯¯α,α+xα,β+xα,β¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯+β,β = x x ¯ ⟨ α , α ⟩ + ⟨ x α , β ⟩ + ⟨ x α , β ⟩ ¯ + ⟨ β , β ⟩
      =|x|2α2+xα,β+xα,β¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯+β2, = | x | 2 ‖ α ‖ 2 + x ⟨ α , β ⟩ + x ⟨ α , β ⟩ ¯ + ‖ β ‖ 2 ,
      x0=1α2α,β¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯, x 0 = − 1 ‖ α ‖ 2 ⟨ α , β ⟩ ¯ ,
      |x0|2=(1α2|α,β|)2=1α4|α,β|2, | x 0 | 2 = ( 1 ‖ α ‖ 2 | ⟨ α , β ⟩ | ) 2 = 1 ‖ α ‖ 4 | ⟨ α , β ⟩ | 2 ,
      x0α,β=1α2α,β¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯α,β=1α2|α,β|2, x 0 ⟨ α , β ⟩ = − 1 ‖ α ‖ 2 ⟨ α , β ⟩ ¯ ⟨ α , β ⟩ = − 1 ‖ α ‖ 2 | ⟨ α , β ⟩ | 2 ,
      因此 f(x0)=1α2|α,β|221α2|α,β|2+β2 f ( x 0 ) = 1 ‖ α ‖ 2 | ⟨ α , β ⟩ | 2 − 2 1 ‖ α ‖ 2 | ⟨ α , β ⟩ | 2 + ‖ β ‖ 2
      =1α2|α,β|2+β20, = − 1 ‖ α ‖ 2 | ⟨ α , β ⟩ | 2 + ‖ β ‖ 2 ≥ 0 ,
      因此 |α,β|αβ, | ⟨ α , β ⟩ | ≤ ‖ α ‖ ‖ β ‖ ,
      由此可知当 |α,β|=αβ | ⟨ α , β ⟩ | = ‖ α ‖ ‖ β ‖ 时, f(x0)=x0α+β,x0α+β=0, f ( x 0 ) = ⟨ x 0 α + β , x 0 α + β ⟩ = 0 ,
      于是 x0α+β=0⃗ , x 0 α + β = 0 → , α α β β 与线性相关。
      综上,不等式的等号成立时, α α β β 与线性相关。
      反之,若 α α β β 与线性相关,则易得不等式的等号成立。
      因此,当且仅当 α α β β 线性相关时等号成立。
    7. |αβ|α±βα+β | ‖ α ‖ − ‖ β ‖ | ≤ ‖ α ± β ‖ ≤ ‖ α ‖ + ‖ β ‖
      证明
      (1) α+β2=α+β,α+β ‖ α + β ‖ 2 = ⟨ α + β , α + β ⟩
      =α,α+α,β+β,α+β,β = ⟨ α , α ⟩ + ⟨ α , β ⟩ + ⟨ β , α ⟩ + ⟨ β , β ⟩
      =α+β+(α,β+β,α) = ‖ α ‖ + ‖ β ‖ + ( ⟨ α , β ⟩ + ⟨ β , α ⟩ )
      =α+β+(α,β+α,β¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯) = ‖ α ‖ + ‖ β ‖ + ( ⟨ α , β ⟩ + ⟨ α , β ⟩ ¯ )
      α+β+2|α,β| ≤ ‖ α ‖ + ‖ β ‖ + 2 | ⟨ α , β ⟩ |
      α+β+2αβ ≤ ‖ α ‖ + ‖ β ‖ + 2 ‖ α ‖ ‖ β ‖
      =(α+β)2 = ( ‖ α ‖ + ‖ β ‖ ) 2
      因此 α+βα+β ‖ α + β ‖ ≤ ‖ α ‖ + ‖ β ‖
      (2) 由(1)得, αβ=α+(β)α+β, ‖ α − β ‖ = ‖ α + ( − β ) ‖ ≤ ‖ α ‖ + ‖ − β ‖ ,
      αβα+β ‖ α − β ‖ ≤ ‖ α ‖ + ‖ β ‖
      (3) 由(1)得, α=(αβ)+β ‖ α ‖ = ‖ ( α − β ) + β ‖
      αβ+β ≤ ‖ α − β ‖ + ‖ β ‖
      αβαβ, ‖ α ‖ − ‖ β ‖ ≤ ‖ α − β ‖ ,
      同理可得 βαβα=αβ, ‖ β ‖ − ‖ α ‖ ≤ ‖ β − α ‖ = ‖ α − β ‖ ,
      因此 |αβ|αβ, | ‖ α ‖ − ‖ β ‖ | ≤ ‖ α − β ‖ ,
      于是 |αβ|=|αβ|α(β)=α+β, | ‖ α ‖ − ‖ β ‖ | = | ‖ α ‖ − ‖ − β ‖ | ≤ ‖ α − ( − β ) ‖ = ‖ α + β ‖ ,
      同理可得 βαβ+α=α+β, ‖ β ‖ − ‖ α ‖ ≤ ‖ β + α ‖ = ‖ α + β ‖ ,
      因此 |αβ|α+β, | ‖ α ‖ − ‖ β ‖ | ≤ ‖ α + β ‖ ,
      综上,得 |αβ|α±β | ‖ α ‖ − ‖ β ‖ | ≤ ‖ α ± β ‖
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  • 一.酉空间 二.正交补与正交投影 三.酉变换 四.Hermite变换 五.线性变换的伴随变换 六.正规变换 七.Hermite型

    一.酉空间(10.5)
    1.复线性空间上的内积
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    (1)概念:
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    (2)共轭线性:
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    2.酉空间(复内积空间)的概念:
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    3.酉空间的度量
    (1)长度:
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    (2)夹角:
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    定理1(柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式,Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Inequality):在酉空间 V V V中,对于任意向量 α , β α,β α,β,有 ∣ ( α , β ) ∣ ≤ ∣ α ∣ ∣ β ∣ ( 7 ) |(α,β)|≤|α||β|\qquad(7) (α,β)αβ(7)等号成立当且仅当 α , β α,β α,β线性相关
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    (3)正交:
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    (4)其他相关结论:

    把复数 z z z的实部记为 R e   z Re\,z Rez,虚部记为 I m   z Im\,z Imz

    推论1(三角形不等式):在酉空间 V V V中,有 ∣ α + β ∣ ≤ ∣ α ∣ + ∣ β ∣   ( ∀ α , β ∈ V ) ( 11 ) |α+β|≤|α|+|β|\,(∀α,β∈V)\qquad(11) α+βα+β(α,βV)(11)
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    推论2(勾股定理):在酉空间 V V V中,若 α ⊥ β α⊥β αβ,则 ∣ α + β ∣ 2 = ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 ( 12 ) |α+β|^2=|α|^2+|β|^2\qquad(12) α+β2=α2+β2(12)
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    用数学归纳法可以把勾股定理推广为:如果 α 1 , α 2 . . . α s α_1,α_2...α_s α1,α2...αs两两正交,那么 ∣ α 1 + α 2 + . . . + α s ∣ 2 = ∣ α 1 ∣ 2 + ∣ α 2 ∣ 2 + . . . + ∣ α s ∣ 2 ( 13 ) |α_1+α_2+...+α_s|^2=|α_1|^2+|α_2|^2+...+|α_s|^2\qquad(13) α1+α2+...+αs2=α12+α22+...+αs2(13)

    推论3:在酉空间 V V V中,对 α , β ∈ V α,β∈V α,βV,规定 d ( α , β ) : = ∣ α − β ∣ d(α,β):=|α-β| d(α,β):=αβ d d d是1个距离,从而酉空间 V V V对该距离成为1个度量空间
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    4.有限维酉空间中的标准正交基

    命题1:在酉空间 V V V中,由两两相加的非零向量组成的集合是线性无关的
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    推论1:在 n n n维酉空间 V V V中,两两相加的非零向量的个数不超过 n n n
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    (1)正交规范集:
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    (2)正交基:
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    定理2: n n n维酉空间 V V V一定有标准正交基
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    (3)Gram矩阵:
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    (4)标准正交基的应用:

    计算内积:
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    计算向量的坐标:
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    (5)酉矩阵:
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    定理3:设 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1,η2...ηn n n n维酉空间 V V V上的1个标准正交基,向量组 β 1 , β 2 . . . β n β_1,β_2...β_n β1,β2...βn满足 ( β 1 , β 2 . . . β n ) = ( η 1 , η 2 . . . η n ) P ( 21 ) (β_1,β_2...β_n)=(η_1,η_2...η_n)P\qquad(21) (β1,β2...βn)=(η1,η2...ηn)P(21) β 1 , β 2 . . . β n β_1,β_2...β_n β1,β2...βn V V V的1个标准正交基当且仅当 P P P是酉矩阵
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    5.酉空间的同构
    (1)概念:
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    (2)判定:

    定理4:2个有限维酉空间同构的充要条件是它们的维数相同
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    推论1:设 V V V n n n维酉空间,则 V V V上的线性变换 σ σ σ是保距同构当且仅当 σ σ σ V V V的标准正交基映成标准正交基
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    定理6:设 V , V ′ V,V' V,V都是酉空间,如果存在 V V V V ′ V' V的1个那么满射 σ σ σ保持向量的内积不变,那么 σ σ σ V V V V ′ V' V的1个保距同构,从而 V V V V ′ V' V同构
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    推论1:设 V , V ′ V,V' V,V都是 n n n维酉空间,如果存在 V V V V ′ V' V的1个映射 σ σ σ保持向量的内积不变,那么 σ σ σ V V V V ′ V' V的1个保距同构,从而 V V V V ′ V' V同构
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    (3)性质:

    定理5:设 V , V ′ V,V' V,V都是酉空间,如果存在 V V V V ′ V' V的1个映射 σ σ σ保持向量的内积不变,那么
    ( 1 ) σ (1)σ (1)σ保持向量的长度不变
    ( 2 ) σ (2)σ (2)σ V V V V ′ V' V的1个线性映射
    ( 3 ) σ (3)σ (3)σ是单射
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    6.酉空间中的正交补与正交投影(10.5)
    (1)正交补:
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    定理7:设 U U U是酉空间 V V V的1个有限维非零子空间,则 V = U ⊕ U ⊥ ( 22 ) V=U\oplus U^⊥\qquad(22) V=UU(22)
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    (2)正交投影:
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    定理8:设 U U U是酉空间 V V V的1个子空间,且 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=UU,则对 α ∈ V , α 1 ∈ U α∈V,α_1∈U αV,α1U α α α U U U上的正交投影当且仅当 d ( α , α 1 ) ≤ d ( α , γ )   ( ∀ γ ∈ U ) d(α,α_1)≤d(α,γ)\,(∀γ∈U) d(α,α1)d(α,γ)(γU)
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    (3)最佳逼近元:
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    U U U为有限维子空间,则由定理7得 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=UU,于是 V V V中任一向量 α α α U U U上有正交投影 α 1 = ∑ i = 1 m ( α , η i ) η i α_1=\displaystyle\sum_{i=1}^m(α,η_i)η_i α1=i=1m(α,ηi)ηi,其中 η 1 . . . η m η_1...η_m η1...ηm U U U的1个标准正交基,从而根据定理8得, V V V中任一向量 α α α U U U上的最佳逼近元存在且唯一,它就是 α α α U U U上的正交投影 α 1 α_1 α1

    二.酉变换与埃尔米特变换(10.5)
    1.酉变换
    (1)概念:
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    (2)性质:
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    命题2:酉空间 V V V上的酉变换一定是线性变换,并且是单射,从而是可逆的
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    命题4:酉空间 V V V上2个酉变换的乘积还是酉变换,酉变换的逆变换仍是酉变换
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    定理9:设 Ꭿ Ꭿ n n n维酉空间 V V V上的1个酉变换,则 V V V中存在1个标准正交基,使得 Ꭿ Ꭿ 在此基下的矩阵是对角矩阵
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    推论1: n n n级酉矩阵一定酉相似于1个对角矩阵
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    (3)判定:

    命题3:酉空间 V V V上的1个变换 Ꭿ Ꭿ 是酉变换当且仅当 Ꭿ Ꭿ V V V到自身的1个保距同构
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    命题5: n n n维酉空间 V V V到自身的1个映射 Ꭿ Ꭿ 如果保持向量的内积不变,那么 Ꭿ Ꭿ 是酉变换
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    命题6: n n n维酉空间 V V V上的线性变换 Ꭿ Ꭿ 是酉变换
           ⇔ Ꭿ \,\,\,\,\:\,⇔Ꭿ V V V的标准正交基映成标准正交基
           ⇔ Ꭿ \,\,\,\,\:\,⇔Ꭿ V V V的标准正交基下的矩阵是酉矩阵
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    (4)特征值:

    命题7: n n n维酉空间 V V V上的酉变换 Ꭿ Ꭿ 的特征值的模等于1
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    即酉变换的特征值均在单位圆上

    (5)不变子空间:

    命题8:设 Ꭿ Ꭿ 是酉空间 V V V上的1个酉变换,若 W W W V V V的1个有限维子空间.且 W W W Ꭿ Ꭿ 的1个不变子空间,则 W ⊥ W^⊥ W也是 Ꭿ Ꭿ 的不变子空间
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    2.埃尔米特变换(Hermite Transformation)
    (1)概念:
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    (2)性质:

    命题9:酉空间 V V V上的埃尔米特变换 Ꭿ Ꭿ 一定是线性变换
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    定理10:设 Ꭿ Ꭿ n n n维酉空间 V V V上的1个埃尔米特变换,则 V V V中存在1个标准正交基,使得 Ꭿ Ꭿ 在此基下的矩阵是实对角矩阵
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    推论1: n n n级埃尔米特矩阵一定酉相似于1个实对角矩阵

    (3)判定:

    命题10: n n n维酉空间 V V V上的线性变换 Ꭿ Ꭿ 是埃尔米特变换当且仅当 Ꭿ Ꭿ V V V的任意1个标准正交基下的矩阵 A A A满足 A ∗ = A ( 27 ) A^*=A\qquad(27) A=A(27)满足(27)式的 n n n级复矩阵 A A A称为埃尔米特矩阵(Hermite Matrix)或自伴矩阵
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    (4)特征值:

    命题11:酉空间 V V V上的埃尔米特变换 Ꭿ Ꭿ 如果有特征值,那么其特征值是实数
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    (5)不变子空间:

    命题12:设 Ꭿ Ꭿ 是酉空间 V V V上的1个埃尔米特变换,若 W W W V V V的1个有限维子空间.且 W W W Ꭿ Ꭿ 的1个不变子空间,则 W ⊥ W^⊥ W也是 Ꭿ Ꭿ 的不变子空间
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    三.线性变换的伴随变换
    1.概念:
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    2.唯一性:

    定理11:对于 n n n维复(实)内积空间 V V V上的任一线性变换 Ꭿ Ꭿ ,都存在唯一的1个伴随变换 Ꭿ ∗ Ꭿ^*
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    3.矩阵表示:

    定理12:设 Ꭿ Ꭿ n n n维复(实)内积空间 V V V上的1个线性变换,如果 Ꭿ Ꭿ V V V的1个标准正交基 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1,η2...ηn下的矩阵为 A A A,那么 Ꭿ ∗ Ꭿ^* 在该标准正交基下的矩阵为 A ∗ A^* A
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    4.性质:

    定理13:设 V V V是复(实)内积空间, Ꭿ , B Ꭿ,ℬ ,B V V V上的线性变换, k ∈ C ( k∈C( kC( R ) R) R).如果 Ꭿ , B Ꭿ,ℬ ,B都有伴随变换,那么 Ꭿ + B , k Ꭿ , Ꭿ B , Ꭿ ∗ Ꭿ+ℬ,kᎯ,Ꭿℬ,Ꭿ^* +B,k,B,都有伴随变换,且 ( Ꭿ + B ) ∗ = Ꭿ ∗ + B ∗ ( k Ꭿ ) ∗ = k ˉ Ꭿ ∗ ( Ꭿ B ) ∗ = B ∗ Ꭿ ∗ ( Ꭿ ∗ ) ∗ = Ꭿ (Ꭿ+ℬ)^*=Ꭿ^*+ℬ^*\\(kᎯ)^*=\bar{k}Ꭿ^*\\(Ꭿℬ)^*=ℬ^*Ꭿ^*\\(Ꭿ^*)^*=Ꭿ (+B)=+B(k)=kˉ(B)=B()=进一步,如果 Ꭿ Ꭿ 可逆且 Ꭿ − 1 Ꭿ^{-1} 1也有伴随变换,那么 Ꭿ ∗ Ꭿ^* 也可逆,且 ( Ꭿ ∗ ) − 1 = ( Ꭿ − 1 ) ∗ (Ꭿ^*)^{-1}=(Ꭿ^{-1})^* ()1=(1)
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    四.正规变换
    1.概念:
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    2.正规变换与对角矩阵的关系
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    (1)准备工作:

    引理1:设 Ꭿ Ꭿ 是复(实)内积空间 V V V上的正规变换,则对 ∀ α ∈ V \forallα∈V αV,有 ∣ Ꭿ α ∣ = ∣ Ꭿ ∗ α ∣ ( 45 ) |Ꭿα|=|Ꭿ^*α|\qquad(45) α=α(45)
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    引理2:设 Ꭿ Ꭿ 是复(实)内积空间 V V V上的正规变换, c ∈ C ( c∈C( cC( R ) R) R),则 c I − Ꭿ cℐ-Ꭿ cI也是 V V V上的正规变换
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    定理14:设 Ꭿ Ꭿ 是复(实)内积空间 V V V上的正规变换,则 λ 1 λ_1 λ1 Ꭿ Ꭿ 的1个特征值当且仅当 λ 1 ˉ \bar{λ_1} λ1ˉ Ꭿ ∗ Ꭿ^* 的1个特征值; ξ ξ ξ Ꭿ Ꭿ 的属于特征值 λ 1 λ_1 λ1的1个特征向量当且仅当是 ξ ξ ξ Ꭿ ∗ Ꭿ^* 的属于特征值 λ 1 ˉ \bar{λ_1} λ1ˉ的1个特征向量
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    定理15:设 Ꭿ Ꭿ 是复(实)内积空间 V V V上的任一线性变换,且 Ꭿ Ꭿ 有伴随变换 Ꭿ ∗ Ꭿ^* .如果 W W W Ꭿ Ꭿ 的不变子空间,那么 W ⊥ W^⊥ W Ꭿ ∗ Ꭿ^* 的不变子空间
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    (2)充分性:

    定理16:设 Ꭿ Ꭿ 是有限维酉空间 V V V上的正规变换,则 V V V中存在1个标准正交基,使得 Ꭿ Ꭿ 在此基下的矩阵是对角矩阵
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    (3)正规矩阵与对角矩阵的关系:

    定理17:对于复数域上的任一 n n n级正规矩阵 A A A,存在1个酉矩阵 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P1AP为对角矩阵
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    3.酉矩阵,埃尔米特矩阵与对角矩阵的关系
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    (2)酉矩阵与对角矩阵的关系:

    定理18:任一 n n n级酉矩阵 A A A一定酉相似于1个对角矩阵 d i a g   { e i θ 1 , e i θ 2 . . . e i θ n } ( 47 ) diag\,\{e^{iθ_1},e^{iθ_2}...e^{iθ_n}\}\qquad(47) diag{eiθ1,eiθ2...eiθn}(47)其中 0 ≤ θ j ≤ 2 π   ( j = 1 , 2... n ) 0≤θ_j≤2\pi\,(j=1,2...n) 0θj2π(j=1,2...n)
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    (2)埃尔米特矩阵与对角矩阵的关系:

    定理19:任一 n n n级埃尔米特矩阵都酉相似于1个实对角矩阵
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    五.埃尔米特型
    1.埃尔米特型
    (1)概念:
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    (2)性质:

    定理20:对于 n n n元埃尔米特型 x ∗ A x x^*Ax xAx,存在酉替换 x = P y ( x=Py( x=Py( P P P是酉矩阵 ) ) ),使得 x ∗ A x = λ 1 y 1 y 1 ˉ + λ 2 y 2 y 2 ˉ + . . . + λ n y n y n ˉ ( 55 ) x^*Ax=λ_1y_1\bar{y_1}+λ_2y_2\bar{y_2}+...+λ_ny_n\bar{y_n}\qquad(55) xAx=λ1y1y1ˉ+λ2y2y2ˉ+...+λnynynˉ(55)其中 λ 1 , λ 2 . . . λ n ∈ R λ_1,λ_2...λ_n∈R λ1,λ2...λnR A A A的全部特征值
    在这里插入图片描述

    2.正定埃尔米特型
    (1)概念:
    在这里插入图片描述
    (2)判定:

    定理21:设 A A A n n n级埃尔米特矩阵,则下列命题等价:
    ① A ①A A是正定埃尔米特矩阵
    ② ② 对任意 n n n级可逆复矩阵 B B B,有 B ∗ A B B^*AB BAB是正定埃尔米特矩阵
    ③ A ③A A的特征值全部大于0
    ④ ④ 存在 n n n级可逆复矩阵 C C C,使得 C ∗ A C = I C^*AC=I CAC=I
    ⑤ A = Q ∗ Q ⑤A=Q^*Q A=QQ,其中 Q Q Q n n n级可逆复矩阵
    ⑥ A ⑥A A的所有顺序主子式全部大于0
    A A A的所有主子式全部大于0
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  • 1.内积的定义: ①:正定性:(a,a)≥0,等于0当时且仅当a=0; ②:齐次性:(ka,b)=k的共轭(a,b); ③:交换律:(a,b)=(b,a)取共轭; ④:分配律双线性: (a,k1b1+k2b2)=k1(a,b1)+k2(a,b2) ...

    一、内积

    1.内积的定义:
    ①正定性:(a,a)≥0,等于0当时且仅当a=0;
    ②齐次性:(ka,b)=k的共轭(a,b);
    ③交换律:(a,b)=(b,a)取共轭;
    ④分配律双线性:
    (a,k1b1+k2b2)=k1(a,b1)+k2(a,b2)
    (k1a1+k2a2,b)=k1共轭(a1,b)+k2共轭(a2,b)

    2.判断是不是内积:查看是否满足正定,齐次,交换。
    例题:判断(a,b)=aTAb是不是内积。
    如果不是,需要满足什么条件才可以变成内积。
    ①正定性:(a,a)≥0,那么A就必须正定。
    ②齐次性:满足,因为内积所得到的结果是一个数。
    ③交换:AT=A时,才满足交换律
    综上:当且仅当A正定且对称时,(a,b)是内积。

    二、向量

    1.向量长度的性质:
    ①||a||≥0;
    ②||ka||=|k|||a||;
    **③||a+b||≤||a||+||b||;(证明)
    ④||(a,b)||≤||a||
    ||b||;(证明)**

    2.向量之间的夹角:<a,b>=arccos(a,b)/||a||*||b|。

    三、格拉姆矩阵

    1.格拉姆矩阵(Gram):利用a1,a2……,an N个向量构成一个N阶方阵。(aij=(ai,aj))
    利用格拉姆矩阵的行列式可以判断a1,a2……,an线性是否线性相关。

    2.格拉姆矩阵的行列式等于0,a1,a2……,an线性相关。(充要条件)(证明)

    3.基的格拉姆矩阵(度量矩阵)
    不同基下的度量矩阵的转换。

    4.特性:
    ①度量矩阵A是Hermite矩阵;
    ②(a,b)=xHAy;
    ③度量矩阵A是正定矩阵。

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  • 内积空间+欧氏空间+酉空间 线性空间中仅定义了线性运算(加法和数乘),之后,我们可以引入“距离”的概念,使得向量具有了“模(长度)”的特征。如果我们进一步定义了 内积 (也称为点积或标量基),将一对矢量...

    哇,开始重新补数学知识了以后,才发现有好多“XX空间”这样的概念啊,这本书说这个,那篇文章又用那个,搞得人云里雾里,所以在这里把基础知识整理一下,主要关注“空间”概念本身和概念之间的区别。


    线性空间/向量空间

    线性空间=向量空间!!这两个概念是等价的。线性空间的概念如下:

    简单来说,线性空间就是定义了加法和数乘运算、且满足上述八条运算规律的非空集合。

    常见的线性空间有:实数域R;全体n维向量(x_1,x_2,...,x_n)^T构成的n维空间R^n(实线性空间)或C^n(复线性空间);实数域上所有m\times n矩阵按照矩阵加法和数与矩阵的乘法构成的线性空间R^{m\times n}等。

    线性空间的性质有:

    线性空间中零元素是唯一的。

    线性空间中任一元素的负元素是唯一的。

    对于线性空间中的任意元素\alpha有 0\alpha =0,(-1)\alpha =-\alpha ,k0=0

    如果 k\alpha =0,则 k=0 或 \alpha =0

    还有非常重要的“线性相关”、“”、“维数”、“线性子空间”的概念,想必大家都很熟悉了,在这里就不多说了,有疑问的可以点这里


    范数+线性赋范空间

    线性赋范空间就是定义了范数的线性空间,范数和线性赋范空间的定义如下:

    在这里需要说明一下,一个线性空间可以引入多个范数。常用的范数有:

    • L1范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值之和,
    • L2范数:  ||x|| 为x向量各个元素平方和的1/2次方,L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数,
    • Lp范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方,
    • L∞范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值最大的那个元素的绝对值,
    • L-∞范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值最小的那个元素的绝对值,

    度量空间/距离空间+线性度量空间

    度量空间亦称距离空间,在数学中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

    在一维、二维、三维线性空间中,“距离”的概念都是很直观的,但是再往更高维度线性空间或者非线性空间扩展,物理意义上“距离”的定义显然不适用了,因此我们可以采用更抽象的方式定义“距离”和“距离空间(度量空间)”:

    X是非空集合,对于X中任意的两个元素x与y,若按某一法则都对应唯一的实数d(x,y),而且满足下述三个性质:

    (1) 【非负性】d(x,y)≥0,[d(x,y)=0,当且仅当x=y];

    (2) 【对称性】d(x,y)=d(y,x);

    (3) 【三角不等性】对于任意的x,y,z∈X,恒有 d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。

    则称d(x, y)为x与y的距离,并称X是以d为距离的距离空间

    线性度量空间,很显然,就是在线性空间的基础上在定义距离的空间。

    在这里,我们还可以把距离和范数联系起来:

    • 曼哈顿距离(对应L1范数)
    • 欧式距离(对应L2范数)
    • 切比雪夫距离(对应L∞范数)

    同一个空间可以由多个范数,但是只能定义一个距离,所以,我们可以通过范数来定义距离,但是不能通过距离来定义范数。


    内积空间+欧氏空间+酉空间

    线性空间中仅定义了线性运算(加法和数乘),之后,我们可以引入“距离”的概念,使得向量具有了“模(长度)”的特征。如果我们进一步定义了内积(也称为点积或标量基),将一对矢量与一个纯量连接起来,那就相当于我们在这个空间中引入了“夹角”的概念,并可以进一步谈论矢量的正交、投影等。

    定义了内积的线性空间被称为内积空间,具体定义如下:

    K是实数域时,我们将U称为实内积空间,也称为欧几里得(Euclid)空间欧氏空间;K是复数域时,我们将U称为复内积空间,也称为酉空间U空间

    内积空间满足以下性质:

     


    希尔伯特空间+巴拿赫空间

    完备的内积空间称为希尔伯特(Hilbert)空间,而完备的赋范空间称为巴拿赫(Banach)空间。在这里,完备性的意思就是柯西序列在内部收敛。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例,是用内积定义的范数。这个按我目前学到的用的不多,我也太了解,就不详细展开了,以后用到了再补充吧,Bye~


    参考

    http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6sgceP9H45f.html

    https://wenku.baidu.com/view/084bd34124c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec0e.html

    https://blog.csdn.net/lulu950817/article/details/80424288

    https://max.book118.com/html/2017/1008/136508481.shtm

     

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空空如也

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