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  • matlab解二阶微分方程组
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    2021-04-20 11:59:23

    1.对于二阶全微分方程a,不同的a,b,c取值会求出不同的解析

    解,解析解又是由齐次解和特解组成。其中,齐次解由特征方程决定,而特解的决定因素则比较复杂。

    2.对于二阶全微分方程的分析,我们大致分为三种情况:

    b^2-4ac>0(两个不同的实根)

    b^2-4ac=0(两个相同的重根)

    b^2-4ac<0(两个不同的复数根)

    对三种情况进行MATLAB编程,分析齐次解和特解后,再改变W的值,观察解析解的变化

    3.b^2-4ac>0的情况

    STEP1:求解析解

    s1=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=2,Dy(0)=0','t');

    s2=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t');

    s3=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(2*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t');

    s4=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(5*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t');

    s5=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(13*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t');

    s6=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=sin(25*t)','y(0)=2,Dy(0)=0','t');

    STEP2:绘制图形

    (1)求w=1情况下的通解和齐次解

    t=1:0.1:10;

    s1=4*exp(-t)-2*exp(-2*t) %general solution

    s2=-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)-11/5*exp(-2*t)+9/2*exp(-t) %special solution

    subplot(2,1,1);

    plot(t,s2);

    xlabel('t')

    ylabel('y(t)')

    title('general solution ')

    subplot(2,1,2);

    plot(t,s1);

    xlabel('t')

    ylabel('y(t)')

    title('special solution')

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    1、如下公式: 其中x、y、m、n为参数,a、b为未知数,利用MATLAB求解方程;

    7c636148d5d710d69df62493265e5e39df3.jpg

    syms x y m n a b;

    [a,b]=solve('x=m*cos(a)+n*cos(a+b)','y=m*sin(a)+n*sin(a+b)','a','b');

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    simplify(a(3));

    simplify(b(3));

    simplify(a(4));

    simplify(a(4));

    得到:

    a(3)= 2*atan((2*m*y - (- m^4 + 2*m^2*n^2 + 2*m^2*x^2 + 2*m^2*y^2 - n^4 + 2*n^2*x^2 + 2*n^2*y^2 - x^4 - 2*x^2*y^2 - y^4)^(1/2))/(m^2 + 2*m*x - n^2 + x^2 + y^2));

    b(3)= 2*atan(((- m^2 + 2*m*n - n^2 + x^2 + y^2)*(m^2 + 2*m*n + n^2 - x^2 - y^2))^(1/2)/(- m^2 + 2*m*n - n^2 + x^2 + y^2));

    a(4)= 2*atan((2*m*y + (- m^4 + 2*m^2*n^2 + 2*m^2*x^2 + 2*m^2*y^2 - n^4 + 2*n^2*x^2 + 2*n^2*y^2 - x^4 - 2*x^2*y^2 - y^4)^(1/2))/(m^2 + 2*m*x - n^2 + x^2 + y^2));

    b(4)= -2*atan(((- m^2 + 2*m*n - n^2 + x^2 + y^2)*(m^2 + 2*m*n + n^2 - x^2 - y^2))^(1/2)/(- m^2 + 2*m*n - n^2 + x^2 + y^2));

    以a(3)为例,假设x=20,其它参数未知,则:

    a(3)=subs(a(3),x,20) ; 即可将x取值替换为20;

    假设 x=20 , y=30 ,其它参数未知,则:

    a(3)=subs(a(3),{x,y},{20,30});

    2、求解矩阵方程:

    a=[1 0;0 2];

    b=[1;3];

    syms x1 x2;

    y=a*[x1;x2]+b;

    s=solve(y(1),y(2),'x1','x2');

    s.x1 %w2值

    s.x2 %w2值

    3、

    Matlab求解二阶微分方程组:

    0add0ab3a1e5aa9e3421e0d9c9e17e9a.png

    m=1;

    g=9.8;

    k=100;

    l0=1.1;

    x0=[0.1 0 0 0]; %初始值;

    % 定义 x(1)=l, x(2)=l', x(3)=a, x(4)=a';

    dx=@(t,x)[x(2); (m*x(1)*x(4)^2-m*g*cos(x(3))-k*(x(1)-l0))/m; x(4); (-2*m*x(1)*x(2)*x(4) + m*g*x(1)*sin(x(3)))/(m*x(1)^2)];

    [t,x]=ode15s(dx,[0 10],x0);

    lstr = { '\itl', '{\itl}''', '\alpha', '\alpha''' };

    for i=1:length(lstr)

    subplot(2,2,i)

    plot(t, x(:,i));

    xlabel('Time')

    ylabel( lstr{i} )

    end

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