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  • 2020-04-19 22:01:37

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    本文是科学计算与MATLAB语言课程的第5章第2小结的学习笔记,通过查阅本文,可以轻松掌握利用MATLAB进行多项式的四则运算(加减乘除)、求导、求值、求根等, E n j o y   y o u r   r e a d i n g ! Enjoy\ your\ reading! Enjoy your reading!

    1 多项式的表示

    在MATLAB中,n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示。如有n次多项式:
    p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + … + a 1 x + a 0 p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+…+a_1x+a_0 px=anxn+an1xn1+an2xn2++a1x+a0
    则在MATLAB中, p ( x ) p(x) px表示为向量形式:
    [ a , a n − 1 , a n − 2 , a 1 , a n ] [a,a_{n-1},a_{n-2},a_1,a_n] [aan1an2a1an]
    在MATLAB中创建多项式向量时,要注意三点:
    (1)多项式系数向量的顺序是从高到低。
    (2)多项式系数向量包含0次项系数,所以其长度为多项式最高次数加1。
    (3)如果有的项没有,系数向量相应位置应用0补足。

    2 多项式的四则运算

    (1)多项式的加减运算
    多项式的加减运算非常简单,即相应向量相加减。
    (2)多项式乘法
    conv(P1,P2):多项式相乘,其中,P1、P2是两个多项式系数向量。
    (3)多项式除法
    [Q,r]=deconv(P1,P2):多项式相除,其中Q返回多项式P1除以P2的商式,r返回P1除以P2的余式。这里,Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数,因此有下式成立。
    P1=conv(Q,P2)+r
    例1 设f和g为两个多项式 { f x = 3 x 4 − 5 x 3 − 7 x 2 + 5 x + 6 g x = 3 x 2 + 5 x − 3 \left\{ \begin{aligned} f_x&=3x^4-5x^3-7x^2+5x+6\\ g_x&=3x^2+5x-3 \end{aligned} \right. {fxgx=3x45x37x2+5x+6=3x2+5x3
    求f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)/g(x)。

    f=[3,-5,0,-7,5,6]; g=[3,5,-3];  g1=[0,0,0,g];
    f+g1
    f-g1
    conv(f,g)
    [Q,r]=deconv(f,g)
    conv(g,Q)+r
    

    3 多项式的求导

    在MATLAB中,多项式求导函数为polyder(),其调用格式为:
    (1)p=polyder(P):求多项式P的导函数。
    (2)p=polyder(P,Q):求P×Q的导函数。
    (3)[p,q]=polyder(P,Q):求P/Q的导函数,导函数的分子存入p,分母存入q。
    例2 已知两个多项式 a ( x ) = 3 x 3 + x 2 − 6 , b ( x ) = x + 2 a(x)=3x^3+x^2-6,b(x)=x+2 a(x)=3x3+x26,b(x)=x+2,计算两个多项式的乘积的导函数、商的导函数。

     a=[3 1 0 -6];
     b=[1 2];
     c=polyder(a,b)
     [p,q]=polyder(a,b)
    

    4 多项式的求值

    polyval(p,x):
    代数多项式求值,其中,p为多项式系数向量,x可以是标量、向量或矩阵。若x为标量,则求多项式在该点的值;若x为向量或矩阵,则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。
    这个很容易理解,对吧。注意,如果你的智商比我高,下面的也能理解。我是想了很长时间的。
    polyvalm(p,x):
    矩阵多项式求值,其调用格式与polyval相同,但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵,以方阵为自变量求多项式的值。
    设A为方阵,P代表多项式x3-5x2+8,那么polyvalm(P,A)的含义是:
    A ∗ A ∗ A − 5 ∗ A ∗ A + 8 ∗ e y e ( s i z e ( A ) ) A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)) AAA5AA+8eyesizeA
    由于我只学了一点线性代数,暂时还不明白为何加一个单位矩阵,容我再想一会儿。
    而polyval(P,A)的含义是:
    A . ∗ A . ∗ A − 5 ∗ A . ∗ A + 8 ∗ o n e s ( s i z e ( A ) ) A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)) A.A.A5A.A+8onessizeA
    思考:polyval(p,x)与polyvalm(p,x)有没有可能相等?如果有可能,在什么情况下相等?
    例3 以一个多项式 x 4 + 8 x 3 − 10 x^4+8x^3-10 x4+8x310为例,取一个2×2矩阵为自变量,分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。

    a=[1,8,0,0,-10];
    x=[-1,1.2;2,-1.8];
    y1=polyval(a,x) 
    y2=polyvalm(a,x)
    

    5 多项式的求根

    在MATLAB中,多项式求根函数为roots(p),其中p为多项式的系数向量。
    例如,求多项式x4+8x3-10的根。

    a=[1,8,0,0,-10]; 
    x=roots(a)
    

    若已知多项式的全部根,则可以用poly函数建立起该多项式,其调用格式为:
    p=poly(x)
    例如,在以上语句之后,继续输入命令:

    p=poly(x)
    p=
    1.00008.00000.00000.0000-10.0000
    

    例4某工业过程需要对工件进行高温加热,热量由一个燃烧装置产生。该装置中共有两条输送管道,一条管道按固定量提供燃料,一条管道注入空气。空气能够帮助燃烧,但是过高的空气流量又会带走热量,降低加热效率。经过数十次空气流量实验,技术部门取得了相应的结果数据,并通过曲线拟合得知空气流量与加热效率在[0,2]范围内基本满足多项式 p ( x ) = − 38.89 × 2 + 126.11 x − 3.42 p(x)=-38.89×2+126.11x-3.42 px)=38.89×2+126.11x3.42(x表示空气流量),请推算空气流量在[0,2]范围内什么水平时,加热效率为最高。

    p=[-38.89,126.11,-3.42];
    q=polyder(p)
    roots(q)
    polyval(p,1.6214)
    x=0:0.1:2;
    plot(x,polyval(p,x),1.6214,98.8154,'rp');
    

    结语

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     MATLAB 中,多项式用一个行向量表示,行向量的元素值为多项式系数按幂次的降序排列;

    例如多项式,

    P(x) = 2*x^4 + 3*x^3 - 2*x^2 + 7*x + 11

    可表示为,
    p = [2 3 -2 7 11]

     

    MATLAB中 polyval 函数用于将指定的值 - 计算多项式;
    例如计算前面多项式 p, x = 5;

    输入和运行结果如下;


     

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    本篇文章中,将会介绍Matlab计算一元多项式的基本原理和仿真过程。我们假设多项式P(x)有如下的形式:
                    P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
    我们计算这个多项式的方法是synthetic division,综合除法,只通过乘、加两种运算便可计算得到一元多项式P(x)对应不同变量取值时所对应的值     
    

    在这里插入图片描述
    根据这个原理,我们在Matlab中写入程序进行验证,下面展示两个程序,第一个程序如下
    在这里插入图片描述
    这个程序的优点是比较直观,在多项式的次数较少时比较好用,但当多项式的次数较多时一个一个输入比较麻烦,下面介绍第二个方法
    在这里插入图片描述
    第二种方法是用了Matlab的矩阵运算功能,我们可以通过for语句来计算每一个系数对应的值。这个方法更简单。
    如果上述文章有任何问题,欢迎大家批评指正。

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    1、MATLAB里多项式的表示:

    一个p阶的多项式可以用一个含有p+1个元素的向量表示,例如:2*x^2+1可以表示为[2 0 1]。这里的第一个元素为最高阶元素;

    2、多项式的乘法:

    乘法用conv函数,例如:conv(p1,p2), p1、p2为两个多项式的系数向量,计算结果为p1*p2的新的向量的值。


    3、多项式除法:

       [Q,r]=deconv(p1,p2),多项式除法,Q返回p1/p2的商式,r返回p1/p2的余式。


    注:p1与p2分别为x+1,x。

    4、多项式求导函数

    polyder(p);对多项式p求导;

    polyder(p,q);对多项式p*q求导数;

    [P,Q]=polyder(p,q);对多项式p/q求导数,求得导数的分子放入P中,分母放到Q中;

    5、多项式的求值

    polyval(p,x):代数多项式求值。

     (1)如果x为一个标量,代表求p多项式在x点的值。

      (2)如果x为一个向量或者矩阵,则对矩阵或者向量里面的每一个值求多项式的值。

    polyvalm(p,x):矩阵多项式求值。

    polyvalm与polyval的用法相同,但是要求x为方阵,求得结果是矩阵乘法。

    6、多项式的求根:

    x=roots(p),求多项式p的根。

    如果已知根想重建多项式,可以用函数poly,利用方法

    p=poly(x)。



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