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  • 辗转相除法最大公约数的问题C语言版求解,供大家学习
  • 辗转相除法  「辗转相除法」又叫做「欧几里得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用这个方法,可以较快地求出两个自然数的最大公因数,即 HCF 或叫做 gcd....

    辗转相除法 
    「辗转相除法」又叫做「欧几里得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用这个方法,可以较快地求出两个自然数的最大公因数,即 HCF 或叫做 gcd.
    最大公约数(greatest common divisor,简写为gcd;或highest common factor,简写为hcf)
    所谓最大公因数,是指几个数的共有的因数之中最大的一个,例如 8 和 12 的最大公因数是 4,记作 gcd(8,12)=4. 
    在介绍这个方法之前,先说明整除性的一些特点,注以下文的所有数都是正整数,以后不再重覆. 
    我们可以这样给出整除以的定义: 
    对於两个自然数 a 和 b,若存在正整数 q,使得 a=bq,则 b 能整除 a,记作 b | a,我们叫 b 是 a 的因数,而 a 是 b 的倍数. 
    那麼如果 c | a,而且 c | b,则 c 是 a 和 b 的公因数. 
    由此,我们可以得出以下一些推论: 
    推论一:如果 a | b,若 k 是整数,则 a | kb.因为由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb. 
    推论二:如果 a | b 以及 a | c,则 a | (b±c).因为由 a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,二式相加,得 (h+k)a=b+c,即 a | (b+c).同样把二式相减可得 a | (b-c). 
    推论三:如果 a | b 以及 b | a,则 a=b.因为由 a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由於 h 和 k 都是正整数,故 h=k=1,因此 a=b. 
    辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数,在数值很大时尤其有用而且应用在电脑程式上也十分简单.其理论如下: 
    如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数,即 m=nq+r,则 gcd(m,n)=gcd(n,r). 
    证明是这样的: 
    设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r) 
    则有 a | m 及 a | n,因此 a | (m-nq)(这是由推论一及推论二得出的),即 a | r 及 a | n,所以 a | b 
    又 b | r 及 b | n,所以 b | (nq+r),即 b | m 及 b | n,所以b | a.因为 a | b 并且 b | a,所以 a=b,即 gcd(m,n)=gcd(n,r). 
    例如计算 gcd(546, 429),由於 546=1(429)+117,429=3(117)+78,117=1(78)+39,78=2(39),因此 
    gcd(546, 429) 
    =gcd(429, 117) 
    =gcd(117, 78) 
    =gcd(78, 39) 
    =39 

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  • 对于辗转相除法的证明:https://blog.csdn.net/er111er/article/details/79251895 原作者写得很棒。 def gcd(a,b): return a if b==0 else gcd(b,a%b) 首先核心在于:a和b的最大公约数等价于b和a对b求余的最大公...

    对于辗转相除法的证明:https://blog.csdn.net/er111er/article/details/79251895
    原作者写得很棒。

    	def gcd(a,b):
    		return a if b==0 else gcd(b,a%b)
    

    首先核心在于:a和b的最大公约数等价于b和a对b求余的最大公约数。
    感性理解,假设存在最大公约数M,那么a是M的倍数,b是M的倍数,那么a和b的线性组合也是M的倍数。
    所以a对b的余数是线性组合的一种,那么也是M的倍数,更重要的是a对b的余数小于a和b(a>b的时候),这样就使得问题可以递归求解。

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  • 辗转相除法,一种求最大公约数的算法已知:A / B = C ······ R (A、B、C、R皆是整数)假设:D是A的余数,D也是B的余数,那么D就是A和B的公约数D是A和B的约数,则A和B是D的倍数,B * C也是D的倍数既然A与B*C都是...

    辗转相除法,一种求最大公约数的算法

    已知:A / B = C ······ R  (A、B、C、R皆是整数)

    假设:D是A的余数,D也是B的余数,那么D就是A和B的公约数

    D是A和B的约数,则A和B是D的倍数,B * C也是D的倍数

    既然A与B*C都是D的倍数,那么A与B*C的差也是D的倍数

    A - B*C = R

    所以R也是D的倍数

    如果D是A或B的公约数,那么D也是B和R的公约数

    故:(A,B)= (B,R)

    由以上证明则可以求出最大的公约数

    例如:求72和28的最大公约数

    72 / 28 = 2 ······ 16

    ↓      ↓      ↓          ↓

    28 / 16 = 1 ······ 12

    ↓      ↓      ↓          ↓

    16 / 12 = 1 ······ 4

    ↓      ↓      ↓         ↓

    12 / 4  =  3  ······ 0

    现在可以知道 72与28的最大公约数是4

    1 #include

    2 int main(){

    3 int a; // 除数

    4 int b; // 被除数

    5 int r=1;  // 余数,赋初值为1

    6 printf("输入除数与被除数(空格分开):");

    7 scanf("%d %d",&a,&b);

    8 while(r!=0){ // 如果a

    9 r = a % b;

    10 a = b;

    11 b = r;

    12 }

    13 printf("最大公约数为:%d\n",a); // 此时b的值已经在a中了,所以输出的a就是最大公约数

    14 return 0;

    15 }

    ef2ca8015ae67f078ed69b2f07b7703c.png

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  • 最大公约数辗转相除法

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 16:20:50
    最大公约数(Greatest Common Divisor)指两个或多个整数共有约数中最大的...求最大公约数有多种 方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的 最小...

    最大公约数(Greatest Common Divisor)指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

    也称最大公因数、最大公因子,a, b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大 公约数记为(a,b,c),多个 整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种 方法,常见的有 质因数分解法、 短除法、 辗转相除法、 更相减损法。与最大公约数相对应的概念是 最小公倍数,a,b的 最小公倍数记为[a,b]。

    再来介绍一下辗转相除法:

    辗转相除法又叫欧几里得算法,是欧几里得最先提出来的.辗转相除法的实现,是基于下面的原理(在这里用(a,b)表示a和b的最大公因数):
      (a,b)=(a,ka+b),其中a、b、k都为自然数.………………①
      也就是说,两个数的最大公约数,将其中一个数加到另一个数上,得到的新数,其公约数不变,比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2.要证明这个原理很容易:如果p是a和ka+b的公约数,p整除a,也能整除ka+b.那么就必定要整除b,所以p又是a和b的公约数,从而证明他们的最大公约数也是相等的.
      基于上面的原理,就能实现我们的迭代相减法:
      (78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2
      基本上思路就是大数减去小数,一直减到能算出来为止,在作为练习的时候,往往进行到某一步就已经可以看出得值.迭代相减法简单,不过步数比较多,实际上我们可以看到,在上面的过程中,由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位,因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14),由此就诞生出我们的辗转相除法.
      用辗转相除法求(a,b).设r0=b,r1=a,反复运用除法算式,得到一系列整数qi,ri和下面的方程:
      相当于每一步都运用原理①把数字进行缩小,上面右边就是每一步对应的缩小结果,可以看出,最后的余数rn就是a和b的公约数.迭代相减法和辗转相除法在本质上是一样的,相对来说,减法比较简单(需要10步),但是除法步数少(仅需4步).

    因此可以通过这个原理来求出最大公约数: 

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    
    int fun(int m,int n){
    	int rem;			//余数,当余数为0的时候,最后的m即为最大公约数
    	//先用较小的数对较大的数取余,再用余数对较小的数求余,直到余数为零 
    	while(n > 0){
    		rem = m % n;
    		m = n;
    		n = rem;
    	}
    	return m;			//将结果返回			
    }
    int main(){
    	int n,m;
    	cin>>m>>n;
    	cout<<"m和n的最大公约数为:"<<fun(m,n)<<endl;
    	return 0; 
    } 

    因为到余数为零结束,所以还可以将程序简化一下用递归来求:

    int fun(int m,int n){
    	if(n==0) return m;
    	return fun(n,m%n);
    }

    再简化一下,用一行代码来求:

    int gcd(int m, int n) {
        return n ? gcd(n, m % n) : m;
    }

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  • 主要介绍了Python基于辗转相除法求解最大公约数的方法,结合实例形式分析了Python使用辗转相除法求解最大公约数的实现方法与优化操作技巧,需要的朋友可以参考下
  • 主要介绍了Java中使用辗转相除法最大公约数,本文直接给出代码实例,需要的朋友可以参考下
  • m = 9147485 n = 5147480 辗转相除法最大公约数 最大公约数=?
  • 辗转相除法求两个数的最大公约数(Greatest common divisor,GCD),在公元前300年前由欧几里得发现,被称为世界上最古老的算法。
  • 辗转相除法辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法,也叫欧几里德算法。 例如,求(319,377): ∵ 319÷377=0(余319) ∴(319,377)=(377,319); ∵ 377÷319=1(余58) ∴(377,319)=...
  • 辗转相除法
  • 辗转相除法最大公约数(Python)

    千次阅读 2019-05-15 17:32:34
    辗转相除法最大公约数(Python) #辗转相除法 #1大数除以小数得到余数 #2用余数除以1中的除数得到余数 #3重复2直到余数等于0返回除数即为两数的最大公约数 def eucAlg(a,b): if a<b: c=a a=b b=c while 1:...
  • c语言 辗转相除法最大公约数

    万次阅读 多人点赞 2016-09-22 21:34:22
    用C语言编写辗转相除法最大公约数
  • 辗转相除法最大公约数Java实现

    千次阅读 2014-10-08 13:35:44
    辗转相除法最大公约数Java实现
  • Python辗转相除求最大公约数 ...输入2个数,用辗转相除法最大公约数 def gcd(x,y): if x < y: x,y = y,x while (x % y) != 0: r = x % y x = y y = r return y while True: try: a,b...
  • C语言的辗转相除法最大公约数

    万次阅读 多人点赞 2019-04-04 07:45:54
    在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》(第VII卷,命题i和ii)中,而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术...
  • 辗转相除法最大公因数

    千次阅读 2020-12-20 18:59:12
    辗转相除法最大公因数 辗转相除法是求最大公因数的一种方法,其原理和更相减损术有异曲同工之处,所以可以由更相减损术的原理引入辗转相除法的原理。 更相减损术的原理 假设现有两个数161和63,要求这两个数的最大...
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空空如也

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辗转相除法最大公约数