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  • Eigen中的三角分解简介安装命令三角分解函数使用范例 矩阵的三角分解是求解线性方程组常用的方法,包括LU分解,LDU分解,杜利特(Doolittle)分解,克劳特(Crout)分解,LLT(乔累斯基Cholesky)分解,LDLT(不带平方根乔...

    矩阵的三角分解是求解线性方程组常用的方法,包括LU分解,LDU分解,杜利特(Doolittle)分解,克劳特(Crout)分解,LLT(乔累斯基Cholesky)分解,LDLT(不带平方根乔累斯基)分解等,以及为了满足分解条件又加入行列变换的LPU分解,PLU分解,LUP分解,LDPU分解等。这里矩阵的三角分解系列教程主要是针对在学习三角分解时候的涉及到的一些细节,包括很多方法的来源和证明等,以及其中用到的一些矩阵操作的基础知识,主要包括:

    这个系列后面文章会用到前面文章的理论和技术,所以建议按照顺序查看。

    简介

    上面介绍的都是三角分解的基础知识,可以了解每种三角分解具体含义,推导的过程以及适用的范围,有了前面的介绍其实自己去实现相应的三角分解方法也变得非常的简单。但在实际使用过程中,很少自己去实现这种复杂的矩阵三角分解,大部分情况下都是调用现成的矩阵运算的算法库。这里介绍比较常用的矩阵运算库Eigen的三角分解的一些使用方法。

    安装命令

    Eigen库的安装很简单,只有头文件,不包含lib文件。以ubuntu系统apt-get方式安装为例

    sudo apt-get install libeigen3-dev
    

    这里安装后会安装在/usr/include/eigen3/目录下,但是在写程序的时候进行#include时候一般都不会加eigen3这个子目录路径,导致经常会找不到头头文件,所以通常安装完还需要执行

    sudo ln -s /usr/include/eigen3/Eigen /usr/include/Eigen
    

    这样就可以按照习惯正常使用啦。
    如果想使用最新版本一些新功能的话可以采用源码安装,请自行百度安装方式,这里就不做介绍了。

    三角分解函数

    Eigen库中主要包含下面这些三角分解函数

    分解方法Eigen函数适用矩阵分解公式
    PartialPivLUEigen::PartialPivLU可逆方阵 A = P L U A=PLU A=PLU
    FullPivLUEigen::FullPivLU任意矩阵 A = P − 1 L U Q − 1 A=P^{-1}LUQ^{-1} A=P1LUQ1
    LLTEigen::LLT对称正定方阵 A = L L T A=LL^T A=LLT
    LDLTEigen::LDLT半正定或者半负定矩阵 A = P T L D L T P A=P^TLDL^TP A=PTLDLTP

    使用范例

    待续~~~

    展开全文
  • 三角分解中的行列变换简介 矩阵的三角分解是求解线性方程组常用的方法,包括LU分解,LDU分解,杜利特(Doolittle)分解,克劳特(Crout)分解,LLT(乔累斯基Cholesky)分解,LDLT(不带平方根乔累斯基)分解等,以及为了...

    矩阵的三角分解是求解线性方程组常用的方法,包括LU分解,LDU分解,杜利特(Doolittle)分解,克劳特(Crout)分解,LLT(乔累斯基Cholesky)分解,LDLT(不带平方根乔累斯基)分解等,以及为了满足分解条件又加入行列变换的LPU分解,PLU分解,LUP分解,LDPU分解等。这里矩阵的三角分解系列教程主要是针对在学习三角分解时候的涉及到的一些细节,包括很多方法的来源和证明等,以及其中用到的一些矩阵操作的基础知识,主要包括:

    这个系列后面文章会用到前面文章的理论和技术,所以建议按照顺序查看。

    简介

    在之前文章的讲解中,主要介绍 n n n阶方阵 A \boldsymbol{A} A可以进行三角分解的充要条件为 A \boldsymbol{A} A的前 n − 1 n-1 n1个顺序主子式 Δ k ≠ 0 ( k = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 ) \Delta_{k} \not = 0(k=1,2,\cdots,n-1) Δk=0(k=1,2,,n1)。但不是所有的 n n n阶方阵 A \boldsymbol{A} A都满足这个条件,但对于某些矩阵来说通过行变换可以满足矩阵三角分解的条件。同时在[矩阵的三角分解系列二] LDU基本定理-稳定性中也介绍对于矩阵 L U \boldsymbol{LU} LU分解是不稳定的,会出现大数的问题。这里主要介绍利用矩阵的行变换解决三角分解的这些问题。

    行变换分解

    置换矩阵

    行变换矩阵是置换(permutation)矩阵的一种,所以一般叫做 P \boldsymbol{P} P矩阵。而且一个 n n n阶方阵 P \boldsymbol{P} P为置换矩阵的充要条件是矩阵的每一行恰有一个1,每一列恰有一个1。具体定义为
    e i e_i ei n n n阶单位矩阵的第 i ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) i(i=1,2,\cdots,n) i(i=1,2,,n),以 e 1 , e 2 , ⋯   , e n e_1,e_2,\cdots,e_n e1,e2,,en为列组成的矩阵 [ e k 1 , e k 2 , ⋯   , e k n ] [e_{k1},e_{k2},\cdots,e_{kn}] [ek1,ek2,,ekn]称为 n n n阶置换矩阵,其中 k 1 , k 2 , ⋯   , k n k1,k2,\cdots,kn k1,k2,,kn变量是 1 , 2 , ⋯   , n 1,2,\cdots,n 1,2,,n的一个排列。

    P = [ e k 1 , e k 2 , ⋯   , e k n ] \boldsymbol{P}=[e_{k1},e_{k2},\cdots,e_{kn}] P=[ek1,ek2,,ekn]
    那么 P T A \boldsymbol{P^\mathrm{T}A} PTA就是将 A \boldsymbol{A} A的所有行按照 k 1 , k 2 , ⋯   , k n k1,k2,\cdots,kn k1,k2,,kn的顺序重新排列。左乘 P \boldsymbol{P} P就是行变换操作。
    同理,那么 A P \boldsymbol{AP} AP就是将 A \boldsymbol{A} A的所有列按照 k 1 , k 2 , ⋯   , k n k1,k2,\cdots,kn k1,k2,,kn的顺序重新排列。右乘 P \boldsymbol{P} P就是列变换操作。
    同时需要注意置换矩阵还是正交矩阵,满足 P P T = I \boldsymbol{PP^\mathrm{T}=I} PPT=I
    为了解决简介中提到的利用行变换对矩阵 A \boldsymbol{A} A进行变换,以使得变换后的矩阵 A ′ \boldsymbol{A}^\prime A满足三角分解的条件。在三角分解中进行行变换的方式比较多,这里仅仅介绍常用的几个。

    PLU分解

    A \boldsymbol{A} A n n n阶方阵,则存在分解
    A = P L U \boldsymbol{A = P L U} A=PLU
    其中 L \boldsymbol{L} L是单位下三角矩阵, U \boldsymbol{U} U是上三角矩阵, P \boldsymbol{P} P是置换矩阵。

    证明

    待续

    例子

    引用

    【1】 矩阵论(第二版)

    展开全文
  • 矩阵三角分解

    2014-12-03 22:59:01
    基于高斯消去的非奇异矩阵三角分解,将矩阵分解成上三角矩阵U和下三角矩阵L
  • 矩阵分解 三角分解(LU分解)

    万次阅读 多人点赞 2017-11-17 11:32:17
    三角分解(LU分解) 在线性代数中, LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种,可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积(有时是它们和一个置换矩阵的乘积)。LU分解主要应用在数值分析中,...

    三角分解(LU分解)

    在线性代数中, LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种,可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积(有时是它们和一个置换矩阵的乘积)。LU分解主要应用在数值分析中,用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。

    本质上,LU分解是高斯消元的一种表达方式。首先,对矩阵A通过初等行变换将其变为一个上三角矩阵。对于学习过线性代数的同学来说,这个过程应该很熟悉,线性代数考试中求行列式求逆一般都是通过这种方式来求解。然后,将原始矩阵A变为上三角矩阵的过程,对应的变换矩阵为一个下三角矩阵。这中间的过程,就是Doolittle algorithm(杜尔里特算法)。

    例子1:

    A = LU,这里将A的对应元素求出。可以直接顺序计算LU值



    例子2: 
    若AX=b是一个非奇异系统,那么高斯消元法将A化简为一个上三角矩阵。若主轴上没有0值,则无需交互行,因此只需进行第3类初等行变换(把第 i 行加上第 j 的 k 倍)即可完成此变换。例如 
    这里写图片描述 
    第3类行变换可以通过左乘相应的初等矩阵image实现,对上例来说进行的3个变换就是相应初等矩阵的乘积。注意最右边是一个下三角矩阵L 
    这里写图片描述 
    从而有 G3G2G1A=U ,即 A=G11G12G13U 。因此 A=LU ,为一个下三角与一个上三角矩阵的乘积,因此称为LU分解。 
    注意: 
    1)U是高斯消元的结果,且对角线上是主元 
    2)L对角线上是1,对角线下面的元素image恰恰是在式1中用于消去(i,j)位置上元素的乘子。

    LU分解常用来求解线性方程组,求逆矩阵或者计算行列式。例如在计算行列式的时候, A=LU det(A)=det(L)det(U) 。而对于三角矩阵来说,行列式的值即为对角线上元素的乘积。所以如果对矩阵进行三角分解以后再求行列式,就会变得非常容易。

    在线性代数中已经证明,如果方阵 A 是非奇异的,即 A 的行列式不为0,LU分解总是存在的。


    在计算机程序中常常用到这种方法解线性代数方程组。它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不必存储,这样只用一个n阶仿真就可以把L和U存储起来。

    即:下三角存储L各元素而上三角存储U的元素。

    再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij(j<=i)和uij(u>=j)中用到一次,以后就不再出现了,因为完全可以利用原始数据A的单元,一个个逐次存储L或U中

    的相应元素,即:




    下面是关于使用LU分解求解方程组Ax = b:

    当系数矩阵A完成了LU分解后,方程组Ax = b就可以化为L(Ux) = b,等价于求解两个方程组Ly = b和Ux = y;

    具体计算公式为


    采用LU分解有如下特点:

    (1)LU分解与右端向量无关。先分解,后回代,分解的运算次数正比于n^3,回代求解正比于n^2。遇到多次回代时,分解的工作不必重新做,这样节省计算时间。

    (2)分解按步进行,前边分解得到的信息为后边所用。

    (3)【A】矩阵的存储空间可利用,节省存储。


    展开全文
  • 矩阵的三角分解

    2013-04-30 11:06:16
    矩阵的三角分解的定义,与三角分解在解题中的应用
  • 实现了矩阵的LU分解,也称三角分解,输入为n阶方阵A,输出为L和U,同时会自动进行矩阵是否可以进行LU分解的判断,注释翔实,有一定基础的一定可以轻松看懂。
  • 矩阵的因子分解矩阵的因子分解满秩分解分解方法满秩分解例题三角分解(LU分解)分解方法三角分解例题LDU分解分解方法LDU分解例题正交三角分解(QR分解)分解方法QR分解例题奇异值分解分解方法奇异值分解例题 ...

    满秩分解

    设m * n矩阵A的秩 r>0 ,存在m * r矩阵B和r * n矩阵C使
    A= B*C
    其中rank(B) = rank© = r,B是列满秩矩阵,C是行满秩分解

    分解方法

    分解方法:设A=[α1,α2,…αn] , B=[β1,β2,…βn] , βi线性无关
    A=BC
    取βi为α1,α2,…αn的一个极大线性无关组,B是A的列向量组的一个极大线性无关组,C是用该线性无关组去表示A时的系数(简单解释,C是A进行初等行变换后的不全为0的前r行)

    满秩分解例题

    在这里插入图片描述

    三角分解(LU分解)

    设A是n阶非奇异矩阵,则存在唯一的单位下三角L和上三角矩阵U,使A = L*U

    分解的前提(1)矩阵是方阵
    (2)矩阵可逆,即该矩阵是满秩矩阵,每一行都是独立向量(3)消元过程中没有0主元出现,即消元过程中不能出现行交换的初等交换

    分解方法

    将待分解的A与单位矩阵I同时进行行变换,只加减不交换,直到A被化简为下三角矩阵,此时该矩阵为U,化简后的I为上三角矩阵,该矩阵的逆矩阵为L

    三角分解例题

    在这里插入图片描述

    LDU分解

    A是n阶非奇异矩阵,则存在唯一的单位下三角矩阵L,对角矩阵D=diag(d1,d2…dn)和单位上三角矩阵U,使A=LDU

    分解方法

    LU分解完,把U矩阵分解为对角阵和单位上三角矩阵的乘积,把U矩阵的对角线元素拿出来就是对角阵。单位上三角矩阵是将U对角线写成1,同时每行除以该行对应的对角线元素(被拿出去的数)

    LDU分解例题

    在这里插入图片描述

    正交三角分解(QR分解)

    A是n阶非奇异实(复)矩阵,存在正交(酉)矩阵Q和非奇异实(复)上三角矩阵R,使A = Q*R
    A进行QR分解的条件是:A的各个列向量是线性无关的

    分解方法

    A是满秩矩阵,将A按列分块为A=[α1,α2,…αn],则α1,α2,…αn线性无关
    (1)将α1,α2,…αn施密特正交化
    β1 = α1
    β2 = α2 - [(β1,α2)/(β1,β1)]*β1
    β3 = α3 - [(β1,α3)/(β1,β1)]*β1 - [(β2,α3)/(β2,β2)]*β2

    (2)将β1、β2、β3…βn单位化
    q1 = β1 / ||β1||
    q2 = β2 / ||β2||
    q3 = β3 / ||β3||

    (3)
    Q = [q1,q2,q3…qn]
    R=( ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ [ ( β 1 , α 2 ) / ( β 1 , β 1 ) ] ∗ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ [ ( β 1 , α 3 ) / ( β 1 , β 1 ) ] ∗ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ . . . [ ( β 1 , α n ) / ( β 1 , β 1 ) ] ∗ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ 0 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ [ ( β 2 , α 2 ) / ( β 2 , β 2 ) ] ∗ ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ . . . [ ( β 2 , α n ) / ( β 2 , β 2 ) ] ∗ ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ 0 0 ∣ ∣ β 3 ∣ ∣ . . . [ ( β 3 , α 2 ) / ( β 3 , β 3 ) ] ∗ ∣ ∣ β 3 ∣ ∣ 0 0 0... ∣ ∣ β n ∣ ∣ \begin{matrix} ||β1||& [(β1,α2)/(β1,β1)]*||β1||& [(β1,α3)/(β1,β1)]*||β1||...& [(β1,αn)/(β1,β1)]*||β1||\\ 0&||β2||& [(β2,α2)/(β2,β2)]*||β2||...&[(β2,αn)/(β2,β2)]*||β2||\\ 0&0&||β3||...&[(β3,α2)/(β3,β3)]*||β3||\\ 0&0&0...&||βn||\\\end{matrix} β1000[(β1,α2)/(β1,β1)]β1β200[(β1,α3)/(β1,β1)]β1...[(β2,α2)/(β2,β2)]β2...β3...0...[(β1,αn)/(β1,β1)]β1[(β2,αn)/(β2,β2)]β2[(β3,α2)/(β3,β3)]β3βn)

    QR分解例题

    在这里插入图片描述

    奇异值分解(SVD分解)

    A是m*n矩阵,且rank(A) = r,则存在m阶酉矩阵V和n阶酉矩阵U,使
    VHAU = ( Σ 0 0 0 \begin{matrix} \Sigma&0\\ 0&0\\\end{matrix} Σ000)
    其中Σ = diag(σ1,σ2,σ3…σr) , σi为A的正奇异值,且σ1>=σ2>=σ3>=…σr>0

    分解方法

    (1)由特征多项式|λE - AHA|求得特征值λ1>=λ2>=…λn(务必从大到小排列)及每个特征值对应的特征向量(α1,α2,…αn)
    (2)对特征向量进行施密特正交化和单位化,得正交向量组
    V=(V1,V2,V3…Vn)
    (3)对非零特征值λ1,λ2,…λn对应的奇异值σ1,σ2,σ3…σr有
    Ui=1/σi * A * Vi,得到r个列向量,剩余的Ur+1…Un通过UiTx=0求得(Ui必须是标准正交的)
    得 A = U * Σ * VH

    奇异值分解例题

    在这里插入图片描述

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  • 基于三角分解的单纯形算法用于高光谱分解
  • 全主元三角分解

    千次阅读 2017-11-26 22:32:01
    对于一个非奇异的矩阵而言(非奇异!... 全主元三角分解是一般的高斯LU的一种改进,它在选取消去过程中的主元的时候,选取子式中元素的绝对值中的最大元(具体哪个子式...enn...看教材去^_^),也就是说,...
  • 三角分解和行变换

    2016-09-08 23:49:38
    本文档介绍了线性代数中的三角分解,A=LU以及行变换得到的置换矩阵。
  • 矩阵三角分解-LDR分解

    2012-09-25 16:01:49
    线性代数课本中给出了矩阵的LDR三角分解的定义形式以及相应的定理,但一般要求所给矩阵是奇异的方阵。该文档适当放宽条件,给予了证明。
  • 矩阵分解——三角分解(Cholesky 分解)
  • 三角分解(LU分解)

    2021-01-12 23:03:42
    三角分解(LU分解) 作者:HDU-STEA_banjiu 时间:2021/1/11 1.LU分解的意义 在线性代数中, LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种,可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积(有时是...
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  • 矩阵的三角分解(LU 分解)是矩阵分解中最简单、最基础的一种。本文主要对矩阵的三角分解理论分析 作了比较全面的统述,它包括矩阵三角分解存在唯一性的充要条件、存在性的充要条件等.并介绍了三类特殊矩阵的 三角...
  • 直接三角分解

    2012-03-11 08:54:25
    数值分析 直接三角分解法,大学数值分析课程里的重要算法
  • C语言数据分析直接三角分解法.cpp
  • 矩阵列主元三角分解

    2020-12-18 21:57:38
    一,列主元三角分解定理 如果A为非奇异矩阵,则存在排列矩阵P使 PA=LU,其中L为下三角矩阵,U为上三角矩阵,即A=P-1LU 二,列主元三角分解Python代码 # 自己原创 def pivot_lu_decomposition(coefficient_matrix: np....
  • 前言 本博客主要介绍在SLAM问题中常常出现的一些线性代数相关的知识,重点是如何采用矩阵分解的方法,求解线性方程组AX=B...1、三角分解(LU分解) 2、LDLT分解与LLT分解(Cholesky分解) 3、QR分解 4、奇异值分...
  • 四、矩阵分解—三角分解、满秩分解 1. 三角分解–Doolittle分解 设 A ∈ Cn×n,如果存在下三角矩阵 L ∈ Cn×n 和上三角矩阵 U ∈ Cn×n 使 得 A = LU,则称 A 可以做三角分解; 其中若L 是对角元素为1的下三角矩阵...
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  • 给出正定Hemiite矩阵的三角形分解。并利用它证明复可逆矩阵的UT分解
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  • 8.1 正交三角分解8.1.1 Givens 方法 8.1.1 Givens 方法
  • LU下三角分解

    2013-05-11 15:34:07
    gauss分解法的下三角分解求矩阵的解,经典的doolittle算法
  • C#三角分解矩阵类

    2011-09-09 11:20:17
    此代码是在Visual Studio2008平台上编写的,低于此版本的Visual Studio不兼容;此类是对矩阵进行LDU三角分解,并形成因子表;

空空如也

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