精华内容
下载资源
问答
  • 2021-04-18 15:54:46

    概述:本道作业题是应镜拇同学的课后练习,分享的知识点是谱半径,指导老师为鲁老师,涉及到的知识点涵盖:【什么是矩阵的谱半径?怎么求?】百度-谱半径,下面是应镜拇作业题的详细。

    题目:【什么是矩阵的谱半径?怎么求?】百度-谱半径

    矩阵的谱半径就是指矩阵的特征值中绝对值最大的那个.

    矩阵A的特征值为λ1,λ2,……,λn,谱半径ρ(A)=max〔λi〕(i=1,2,……,n)

    相关例题

    题1:

    【如何证明矩阵谱半径不是矩阵范数】

    证明:

    记λ为矩阵A的模最大特征值(谱半径),x为其对应的右特征向量,那么:

    x\'A\' × Ax = |λ|#178; × x\'x => |λ| = ||Ax||#8322;/ ||x||#8322;

    题2:

    【请问如何证明,矩阵的任何范数都不小于它的谱半径?】[数学]

    必须是相容范数

    证明很容易,取一个模最大的特征值及相应的特征向量:Ax=λx

    然后 ρ(A)||x|| = ||λx|| = ||Ax||

    题3:

    一个矩阵,每一行元素的和都是定值(设为a),请问谱半径是定值吗?为什么?RT,具体解释下,[数学]

    很显然行和为常数的条件远不足以确定谱半径.

    比如说,A=[1,-1; -1,1], B=[0,0; 0,0],都满足行和为0,但谱半径不同.

    当然,只要再加一个条件就行了,对于非负矩阵而言行和为a一定能推出谱半径为a,因为a是特征值,而圆盘定理表明谱半径不超过a.

    题4:

    在做Jacobi迭代式得到的迭代矩阵谱半径为1,问,该迭代式能否收敛?[数学]

    不管谱半径多大, 总是有可能收敛的.

    只不过谱半径不小于1的时候一般不能保证对所有的初始向量都收敛而已.

    谱半径等于1的情况下有可能出现对所有初始向量都收敛的情况, 但也可能出现不能保证收敛的情况, 取决于单位圆周上谱的分布.

    题5:

    一个矩阵谱半径详细过程11-51[数学]

    所谓“谱半径”,就是最大特征值(对于实数而言).如果是特征值是复数的话,谱半径就是特征值的最大模.

    所以求谱半径一般需要求出所有特征值才行.

    本题:

    求特征值,也就是求|A-xI|=0的根,解出来为:x1=1+(根号5)i,x2=1-(根号5)i

    特征值是复数,那么求他们的模:求出|x1|=|x2|=根号6

    所以本题谱半径就是(根号6)

    思考:

    思考1:matlab 中用那个函数计算矩阵的谱半径

    提示:A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10]; b=[14 -5 14]\'; D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); B=D\(L+U);f=D\b; x=[0;0;0]; for k=1:9 x=B*x+f; x\' end 其中B矩阵的矩阵半径:R=max(abs(eig(B)))=0.3873

    思考2:谱半径不大于任何一种矩阵范数,这句话对么

    提示:是对的! 谱半径不大于矩阵范数,即ρ(A)≤║A║。 因为对任一特征值λ,x,Ax=λx,可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性(乘法三角不等式)即得结果。

    思考3:矩阵谱半径的MATLAB中实例

    提示:雅克比迭代求A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];b=[14 -5 14]\';D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);f=D\b;x=[0;0;0];for k=1:9x=B*x+f;x\'end 其中B矩阵的矩阵半径:R=max(abs(eig(B)))=0.3873

    思考4:求谱半径的时候,矩阵的特征值出现复数,要怎样求...

    提示:取模

    思考5:matlab求矩阵谱半径 矩阵的谱半径怎么求

    提示:雅克比迭代求A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];b=[14 -5 14]\';D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);f=D\b;x=[0;0;0];for k=1:9x=B*x+f;x\'end 其中B矩阵的矩阵半径:R=max(abs(eig(B)))=0.3873

    更多相关内容
  • 本文研究了边连通度为r的n阶连通图中距离谱半径最小的极图问题.利用组合的方法,确定了K(n-1,r)为唯一的极图,其中K(n-1,r)是由完全图Kn-1添加一个顶点v以及连接v与Kn-1中r个顶点的边所构成.上述结论推广了极图...
  • 一类图的谱半径

    2020-06-20 07:01:54
    研究了一类图——风筝图的谱半径。在给定图的最大团数的条件下,通过变量引入,利用Maple数学软件进行数值比较,得出了风筝图邻接谱半径下界的估计;同时,利用变量引入法,通过求解线性递推关系,给出了风筝图邻接谱半径...
  • 一组矩阵的联合谱半径表征了该组矩阵乘积的最大渐近增长率,当产品长度增加。 众所周知,计算起来非常困难。 近年来,已经提出了许多不同的方法来近似它。 这些方法具有不同的优势,具体取决于所考虑的应用、所考虑...
  • 目的 研究Corach-Porta-Recht不等式的推广以及有界线性算子乘积与和的谱半径与范数之间的不等式关系,并且讨论初等算子的范数不等式及酉算子常数倍的一个充要条件。方法 利用算子谱半径的基本性质和算子矩阵理论,给...
  • 谱半径

    千次阅读 2020-10-03 18:39:19
    矩阵的谱或叫矩阵的谱半径,在特征值估计、广义逆矩阵、数值分析以及数值代数等理论的建树中,都占有极其重要的地位; 矩阵的谱半径为矩阵的特征值的模的最大值。 关于矩阵的谱(半径)的一个重要性质即是:任意复数...

    矩阵的谱或叫矩阵的谱半径,在特征值估计、广义逆矩阵、数值分析以及数值代数等理论的建树中,都占有极其重要的地位;
    矩阵的谱半径为矩阵的特征值的模的最大值。
    关于矩阵的谱(半径)的一个重要性质即是:任意复数域上的矩阵的谱半径不大于其任意一种诱导范数。
    问,该性质可以用来干嘛?
    答:用来对谱半径进行近似估计。

    1. 谱半径与范数的关系定义

    在这里插入图片描述

    2. 常用的推论:

    在这里插入图片描述

    作者:Jack Bauer
    链接:https://www.zhihu.com/question/22263789/answer/130323362
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

    展开全文
  • 对于非负矩阵,它的谱半径一定是它的一个特征值.而求矩阵的特征值有时会非常困难,因此对非负矩阵的谱半径即最大特征值进行估计,是矩阵理论的核心问题之一.利用著名的Gerschgorin圆盘定理和Brauer卵形定理,证明了两个...
  • 设 G为 n阶简单连通图 。若 Q( G)为图 G的对角矩阵与邻接矩阵的和,称 Q( G)为 G 的拟-Laplacian矩阵 。讨论了 Q( G)的性质并利用 G的顶点数、边数、最大度和最小度给出了图G的Laplacian矩阵谱半径的一个新上界 。
  • 矩阵谱半径

    2021-05-21 09:57:15
    矩阵谱半径指的是矩阵的最大特征值(含绝对值)。它可以判断收敛性,也可以判断方程解的稳定性。一般情况下,当存在一个单位矩阵减去另外一个矩阵的形式时, 谱半径小于一就是为了确保它们之间的差值为正这样逆矩阵才...

    矩阵谱半径指的是矩阵的最大特征值(含绝对值)。

    它可以判断收敛性,也可以判断方程解的稳定性。

    一般情况下,当存在一个单位矩阵减去另外一个矩阵的形式时, 谱半径小于一就是为了确保它们之间的差值为正这样逆矩阵才会存在,可以用来验证一个方案是否可行。

    The radius  of the smallest closed disc in the plane that contains the spectrum of this element (cf. Spectrum of an element). The spectral radius of an element  is connected with the norms of its powers by the formula

    which, in particular, implies that  . The spectral radius of a bounded linear operator on a Banach space is the spectral radius of it regarded as an element of the Banach algebra of all operators. In a Hilbert space, the spectral radius of an operator is equal to the greatest lower bound of the norms of the operators similar to it (see [2]):

    If the operator is normal, then  (cf. Normal operator).

    定义:

    Let λ1, ..., λn be the (real or complex) eigenvalues of a matrix A ∈ Cn × n. Then its spectral radius ρ(A) is defined as:

    The following lemma shows a simple yet useful upper bound for the spectral radius of a matrix:

    性质1.

    Lemma: Let A ∈ Cn × n be a complex-valued matrix, ρ(A) its spectral radius and ||·|| aconsistent matrix norm; then, for each k ∈ N:

    Proof: Let (v, λ) be an eigenvector-eigenvalue pair for a matrix A. By the sub-multiplicative property of the matrix norm, we get:

    and since v ≠ 0 for each λ we have

    and therefore

    The spectral radius is closely related to the behaviour of the convergence of the power sequence of a matrix; namely, the following theorem holds:

    2.

    Theorem: Let A ∈ Cn × n be a complex-valued matrix and ρ(A) its spectral radius; then

    if and only if

    Moreover, if ρ(A)>1,  is not bounded for increasing k values.

    From the Jordan normal form theorem, we know that for any complex valued matrix  , a non-singular matrix  and a block-diagonal matrix  exist such that:

    with

    where

    It is easy to see that

    and, since  is block-diagonal,

    Now, a standard result on the  -power of an  Jordan block states that, for  :

    Thus, if  then  , so that

    which implies

    Therefore,

    On the other side, if  , there is at least one element in  which doesn't remain bounded as k increases, so proving the second part of the statement

    3

    For any matrix norm ||·||, we have

    In other words, Gelfand's formula shows how the spectral radius of A gives the asymptotic growth rate of the norm of Ak:

    for

    谱半径与范数的关系:

    1.定义:A是n阶方阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径,记为ρ(A)。 注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来,谱范数是指A的最大奇异值,即A^H*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数,但不是矩阵范数。

    2、谱半径和范数的关系是以下几个结论:

    定理1:谱半径不大于矩阵范数,即ρ(A)≤║A║。

    因为任一特征对λ,x,Ax=λx,可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。

    定理2:对于任何方阵A以及任意正数e,存在一种矩阵范数使得║A║

    定理3(Gelfand定理):ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。

    利用上述性质可以推出以下两个常用的推论:

    推论1:矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。

    推论2:级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。

    展开全文
  • 设计一种计算正矩阵谱半径及其特征向量的新算法,并证明算法的收敛性。结果表明,算法具有计算量小,便于实现,且能较快达到所需精度的特点。数值试验进一步验证了其可行性。
  • 基于改进平均谱半径的电力系统扰动定位分析,侯晓豪,李志民,电力系统安全稳定运行中,快速准确定位电力系统扰动发生的位置,对电力系统安全稳定运行和检修维护具有重要意义。为此基于电力大
  • 利用矩阵的有向图及有向图的1-path覆盖,给出非负矩阵的谱半径与M矩阵最小特征值上下界的若干新估计,改进了已有的相应结果。
  • 本文将改进的Gauss-Seidel迭代法应用于一类有很强应用背景的矩阵―H-矩阵及其比较矩阵,在较目前参考文献更一般的分裂条件下,得到相应的收敛结果及谱半径的比较结果,进而比较了其收敛速度的大小。所用方法不同于...
  • 图的谱半径(即其对应邻接矩阵的最大特征值)在网络病毒传播建模中起着重要作用。 事实上,谱半径越小,网络对抗病毒传播的鲁棒性就越大.在n个节点上的所有连通图中,路径Pn具有最小的谱半径。然而,其直径D,即图中...
  • [转载]关于谱半径(spectrum radius)

    千次阅读 2020-12-30 14:06:28
    矩阵谱半径指的是矩阵的最大特征值(含绝对值)。它可以判断收敛性,也可以判断方程解的稳定性。一般情况下,当存在一个单位矩阵减去另外一个矩阵的形式时,谱半径小于一就是为了确保它们之间的差值为正这样逆矩阵才会...

    矩阵谱半径指的是矩阵的最大特征值(含绝对值)。

    它可以判断收敛性,也可以判断方程解的稳定性。

    一般情况下,当存在一个单位矩阵减去另外一个矩阵的形式时,

    谱半径小于一就是为了确保它们之间的差值为正这样逆矩阵才会存在,可以用来验证一个方案是否可行。

    The radius

    of the smallest closed disc in the plane that contains the

    spectrum of this element (cf. Spectrum of an element). The spectral radius of an element

    is connected with the norms of its powers by the formula

    which, in particular, implies that

    . The spectral radius of a bounded linear operator on a Banach

    space is the spectral radius of it regarded as an element of the

    Banach algebra of all operators. In a Hilbert space, the spectral

    radius of an operator is equal to the greatest lower bound of the

    norms of the operators similar to it (see [2]):

    If the operator is normal, then

    (cf. Normal

    operator).

    定义:

    Let λ1, ..., λn be the (real or complex)

    eigenvalues of a matrix A ∈ Cn ×

    n. Then its spectral radius ρ(A) is defined

    as:

    The following lemma shows a simple yet useful upper bound for

    the spectral radius of a matrix:

    性质1.

    Lemma: Let A ∈ Cn ×

    n be a complex-valued matrix, ρ(A) its spectral

    radius and ||·|| a consistent

    matrix norm; then, for each k ∈ N:

    Proof: Let (v, λ) be an eigenvector-eigenvalue pair

    for a matrix A. By the sub-multiplicative property of the

    matrix norm, we get:

    and since v ≠ 0 for each λ we have

    and therefore

    The spectral radius is closely related to the behaviour of the

    convergence of the power sequence of a matrix; namely, the

    following theorem holds:

    2.

    Theorem: Let A ∈ Cn ×

    n be a complex-valued matrix and ρ(A) its

    spectral radius; then

    if and only if

    Moreover, if ρ(A)>1,

    is not bounded for increasing k values.

    From the Jordan normal

    form theorem, we know that for any complex valued matrix

    , a non-singular matrix

    and a block-diagonal matrix

    exist such that:

    with

    where

    It is easy to see that

    and, since

    is block-diagonal,

    Now, a standard result on the

    -power of an

    Jordan block states that, for

    :

    Thus, if

    then

    , so that

    which implies

    Therefore,

    On the other side, if

    , there is at least one element in

    which doesn't remain bounded as k increases, so proving the second

    part of the statement

    3

    For any matrix norm ||·||, we have

    In other words, Gelfand's formula shows how the spectral radius

    of A gives the asymptotic growth rate of the norm of

    Ak:

    for

    谱半径与范数的关系:

    1.定义:A是n阶方阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径,记为ρ(A)。 注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来,谱范数是指A的最大奇异值,即A^H*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数,但不是矩阵范数。

    2、谱半径和范数的关系是以下几个结论:

    定理1:谱半径不大于矩阵范数,即ρ(A)≤║A║。

    因为任一特征对λ,x,Ax=λx,可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。

    定理2:对于任何方阵A以及任意正数e,存在一种矩阵范数使得║A║

    定理3(Gelfand定理):ρ(A)=lim_{k->∞}

    ║A^k║^{1/k}。

    利用上述性质可以推出以下两个常用的推论:

    推论1:矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,…

    收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。

    推论2:级数 I+A+A^2+...

    收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。

    展开全文
  • 1063 计算谱半径

    2021-02-03 11:12:46
    1063 计算谱半径 在数学中,矩阵的“谱半径”是指其特征值的模集合的上确界。换言之,对于给定的 n 个复数空间的特征值 { a ​1 ​​ +b ​1 ​​ i,⋯,a ​n ​​ +b ​n ​​ i },它们的模为实部与虚部的平方和的...
  • 正规矩阵的谱半径等于谱范数

    千次阅读 2020-08-09 22:57:18
    文章目录正规矩阵谱半径谱范数证明参考资料 这里有三个定义:正规矩阵、谱半径、谱范数 正规矩阵 有一类矩阵 AAA,如:对角矩阵、实对称矩阵(A⊤=AA^\top = AA⊤=A)、实反对称矩阵(A⊤=−AA^\top = -AA⊤=−A)、...
  • 2020-12-08 谱半径 ≤ 任何矩阵范数

    千次阅读 2020-12-08 11:28:20
    谱半径:矩阵最大绝对特征值 定理 2.92.9 \quad2.9 设 A∈Cn×n,A \in \mathbf{C}^{n \times n},A∈Cn×n, 则对 Cn×n\mathbf{C}^{n \times n}Cn×n 上任何一种矩阵范数 ||・||,都有 ρ(A)⩽∥A∥ \rho(\boldsymbol...
  • python求矩阵的谱半径

    千次阅读 2020-11-09 19:08:21
    在学习计算方法的时候,线性方程组的迭代法中的雅可比(Jacobi)迭代法和高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法的收敛条件中需要求矩阵的谱半径,而经过查阅资料,python numpy库中没有直接求谱半径的函数。 谱半径的定义为...
  • 【矩阵论笔记】谱半径

    千次阅读 2020-05-09 12:53:58
    定义 例子 谱半径比他的诱导范数都小。 证明 例子 hemite对称矩阵 谱半径什么时候跟诱导范数相等?答曰:Hermite矩阵。
  • 谱半径小于1,则单位阵减去该矩阵可逆
  • 图的无符号拉普拉斯谱半径与最大度邢润丹【摘要】摘要:图的无符号拉普拉斯矩阵定义为其度矩阵与邻接矩阵之和,其最大特征值称为图的无符号拉普拉斯谱半径.本文证明了若连通图G的无符号拉普拉斯谱半径大于那么G中...
  • 1063 计算谱半径 (20 分) Python, PAT (Basic Level) Practice.
  • 事实上,到目前为止,具有前七大谱半径的完美匹配树已经排出,且具有第八大至第二十大谱半径的完美匹配树的范围也已经确定,但它们之间的大小顺序还没有具体给出.借助图的移接变形和图的特征多项式等工具,完整地...
  • 矩阵谱半径与矩阵范数的关系

    万次阅读 2020-12-22 15:44:41
    矩阵谱半径与范数的关系
  • 选择了一个合适的矩阵范数,将矩阵的谱半径表示成矩阵范数的极限形式。在此基础上,利用数学期望的性质和Kronecker积的性质证明了非负随机矩阵的Kronecker积的谱半径的几个不等式,其中包括矩阵函数不等式、分块矩阵...
  • #1063 计算谱半径 (20 分) 代码展示: N = eval(input()) maxMagnitude = -1 for i in range(N): a, b = list(map(eval,input().split())) maxMagnitude = a*a + b*b if a*a + b*b >= maxMagnitude else ...
  • 通过对双正交小波变换的误差分析,为双正交小波定义了谱半径这一新概念,并用它来衡量双正交小波的正交程度,提出了一个基于最小化谱半径的双正交小波类,并设计出了满足谱半径要求的具有偶数长滤波器的优秀双正交小...
  • 引用双严格对角占优的概念,针对线性方程组Ax=b在求数值解时常用的迭代方法,给出了 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法迭代阵谱半径的新上界,该新上界优于严格对角占优矩阵条件下得到的已有的结果,是已有结果在更广泛...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 4,245
精华内容 1,698
关键字:

谱半径

友情链接: 3576.zip