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  • 全导数、偏导数、方向导数

    万次阅读 多人点赞 2018-03-23 00:45:20
    全导数、偏导数、方向导数1、全导数全导数本质上就是一元函数的导数。他是针对复合函数而言的定义。 一元函数的情况下,导数就是函数的变化率,从几何意义上看就是:但是在多元的情况下比一元的复杂,下面用二元...

    全导数、偏导数、方向导数

    1、全导数

    全导数本质上就是一元函数的导数。他是针对复合函数而言的定义。
    一元函数的情况下,导数就是函数的变化率,从几何意义上看就是:

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    但是在多元的情况下比一元的复杂,下面用二元函数来举例,比如这样一个曲面上的一点A :

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    在曲面上可以做无数条过A 点的曲线

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    每根曲线都可能可以作一根切线,比如:

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    全导数的意义:每一根切线都和一个全导数“相关”,A点有无数个全导数。

    2、参数方程

    2.1、通过参数方程来描述所有的曲线

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    这条曲线也是一个关于x,y的函数f(x,y),因此它与xy平面上的曲线具有一一对应关系:

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    因此我们只需要描述xy 上的曲线就可以达到描述曲面的曲线的目的,这时候就很自然的可以使用参数方程了。
    举个具体的例子,对于f(x,y)=x^2+y^2 这个二元函数,函数图像是这样的:

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    2.2、参数方程可以拍扁三维图像

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    这就好比把xyz 空间的立体图形拍扁到了zt 平面。

    3、偏导数

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    4、方向导数

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  • 1.偏导数 导数、偏导数、方向导数 就是对某一变量求导,把其他...全导数本质上就是一元函数的导数。他是针对复合函数而言的定义。所以我们一般不说多元函数的全导数。对于多元函数而言,它所确定的曲面上的一点A,...

     

    1.偏导数

    参考 :导数、偏导数、方向导数

    就是对某一变量求导,把其他变量作为常数

    2.方向导数

    可以认为偏导数是特殊的方向导数,是在自变量方向上的方向导数。

    任意方向导数为:

    3.梯度

    参考: 导数、偏导数、方向导数、梯度、梯度下降

    方向导数是为了求函数值在某个点沿某个方向的变化率
    梯度则是为了求函数值在某个点处变化率最大的方向,梯度由各个轴的偏导函数组成

    4.全微分

    5.全导数

    全导数本质上就是一元函数的导数。他是针对复合函数而言的定义。所以我们一般不说多元函数的全导数。对于多元函数而言,它所确定的曲面上的一点A,过A点有无数条曲线,每条曲线在改点都有一个切线,该切线斜率为对应该曲线的A点的导数。所以有无数个导数。

    参考:什么是全导数?

     

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  • 偏导数与全导数的关系 以及 偏微分与全微分的关系.pdf
  • 多元函数中的偏导数全导数以及隐函数

    万次阅读 多人点赞 2019-03-31 22:48:01
    偏导数全导数 偏导数 由于是二元函数,有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导,如偏x导数、偏y导数。 高阶偏导数 对偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例,偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数...

    偏导数全导数

    偏导数

    由于是二元函数,有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导,如偏x导数、偏y导数。

    高阶偏导数

    对偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例,偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。
    在这里插入图片描述
    定理:如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续,那么他们两个相等。

    全微分

    与一元函数类似,由于有两个变量,x或y的增量称为偏增量,单单对x或y的微分称为偏微分
    若x,y同时增加,称为全增量
    全微分定义见下图
    在这里插入图片描述

    定理
    1. 如果函数在该点可微分,那么其在该点的偏导数一定存在,且全微分中A、B分别等于偏x导数、偏y导数(叠加定理)
      (全微分存在,函数可微分,偏导数一定存在;偏导数存在,全微分不一定存在)
      在这里插入图片描述
    2. 如果函数在该点偏导数连续,那么函数在该点可微分

    多元复合函数求导

    一元函数与多元函数复合

    先对多元函数微分,再把每个函数看成一元函数进行求导
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    多元函数与多元函数复合

    如果对x求导,就先对所有函数微分,再把每个函数对x微分,最后相加。对y同理。
    在这里插入图片描述

    其他情形

    当多元函数与一元或者多元函数复合时,可能所导变量在某个函数中不存在
    在这里插入图片描述
    不管那种情况,都有一下规律:
    把最外层函数里的一个一个函数看过来,如果这个函数不存在所导变量,就不理他看下一个(微分后为0)。如果有,就先把最外层函数对其微分,如果里面这个函数是一元函数,就对变量求导;如果是多元,就对变量微分。

    多元函数二阶求导

    为方便起见,做出如下定义:有z=f(u,v)。f1’(u,v)=fu(u,v)——f对u求偏导;f2’=fv(u,v)——f对v求偏导;f12’’(u,v)=fuv(u,v)等等…
    先求一阶偏导,再根据公式求二阶偏导数。需要注意的是此处求出来的是一阶偏导对变量的微分。由于一阶偏导内涵中间变量u、v,因此要再进行微分将一阶偏导对变量的微分变成二阶偏导。

    隐函数求导

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    方程组

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    在求解的时候可以把行列式右边的常数和所求的变量前的系数代换,利用行列式法则求解。
    以下给出例题
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  • 全导数是多元函数中的一个概念。 我们知道一元函数的情况下,导数就是函数的变化率,从几何意义上看就是: 但是在多元的情况下比一元的复杂,下面我用二元函数来举例子(三元我也画不出来),比如这样一个曲面上的...

    全导数是多元函数中的一个概念。

    我们知道一元函数的情况下,导数就是函数的变化率,从几何意义上看就是:
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    但是在多元的情况下比一元的复杂,下面我用二元函数来举例子(三元我也画不出来),比如这样一个曲面上的一点 A:
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    在曲面上可以做无数条过 点的曲线(图上随便画了三根):
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    每根曲线都可能可以(也有作不出来的情况,你想想一元的时候也有作不出切线的情况)作一根切线,比如(随便挑了一根切线来画,都画出来太乱了):
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    最精简的回答已经完了,后面我就要讲一些细节了,主要阐述下面两个细节:

    方向导数、偏导数是特殊的全导数

    每一根切线都和一个全导数“相关”,这个“相关”是什么意思?难道不就是切线的斜率就是全导数吗?

    顺便说一下,如果所有这些切线共面的话,那么这个平面就是切平面(全微分),可以参考我之前的回答如何直观理解全微分?。

    1 参数方程

    为了继续讲下去,我们需要了解下所需要的技术手段:参数方程。

    参数方程的用处很多,下面讲解下我们需要了解的部分。

    1.1 通过参数方程来描述所有的曲线

    要描述所有这些曲线,我们就需要一些数学手段,这就是参数方程。
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    这根曲面上的曲线就是刚才说过的:

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    1.2 参数方程可以拍扁三维图像

    从另外一个角度看,参数方程可以把三维的图像一巴掌拍扁:

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    2 全导数、偏导数、方向导数

    讲完“所有曲线”之后,我们要来讲这些曲线的切线了,不同的曲线有不同的切线,也就有不同类型的导数。

    2.1 全导数

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  • 什么是全导数

    2021-01-27 21:41:32
    https://www.zhihu.com/question/26966355/answer/154857139
  • 是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数,因此二元函数就有两个偏导数。 偏导函数:是一个函数;是一个关于点的偏导数的函数。 方向导数:是一个数;反映的是f(x,y)在点沿方向v的变化率。 梯度:是一个向量;每个...
  • 偏导数与全导数

    千次阅读 2019-08-28 15:03:00
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空空如也

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