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  • λ矩阵的行列式因子与不变因子.mht
  • 矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值λ\lambdaλ构成的矩阵。包含三个运算: ...因为初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子,所以可以通过初等变换来求smith标准型。 由此引出smith标准型的概念: 1、...

    矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值 λ \lambda λ构成的矩阵。包含三个运算:
    1、互换两行(列)
    2、某行(列)乘非零常数
    3、某行(列)乘多项式后加到另一行
    n阶 λ \lambda λ矩阵可逆的充要条件是: A ( λ ) = 非 零 常 数 A(\lambda)=非零常数 A(λ)=
    因为初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子,所以可以通过初等变换来求smith标准型。


    由此引出smith标准型的概念:
    1、最高次幂系数为1
    2、 d ( λ i ) d(\lambda_i) d(λi)能够整除 d ( λ i + 1 ) d(\lambda_{i+1}) d(λi+1)
    3、 λ \lambda λ矩阵的smith标准型是唯一的

    用上面的三个运算可以把一个 λ \lambda λ矩阵化为smith标准型,举例:
    在这里插入图片描述
    技巧:
    在这里插入图片描述


    这样求smith标准型比较麻烦,容易出错。接下来就引出了求smith标准型的第二种方法,为了学会这个方法,先要了解一些概念。

    1. 行列式因子
      k阶行列式因子是 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)中全部非零k阶子式的最高次幂系数为1的最大公因式。
      在这里插入图片描述
      上式中,分别求得了各阶的非0子式,然后在每一阶中找到最大公共子式,这就是行列式因子。
      性质:等价的 λ \lambda λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。
      行列式因子就是smith标准型对角线上的元素。

    2. 不变因子
      不变因子就是smith标准型对角线上的相邻元素之商。
      在这里插入图片描述
      例:
      在这里插入图片描述
      如果一阶子式有一个数字,那么一阶行列式因子就是1。
      性质:两个 λ \lambda λ矩阵等价的充要条件是具有相同的行列式因子,有相同的不变因子。

    3. 初等因子
      对不变因子做因式分解,得到1次因式方幂。
      在这里插入图片描述

    性质:
    一、分块矩阵的初等因子是各个块的初等因子。
    在这里插入图片描述
    二、Jorden矩阵的初等因子为 在这里插入图片描述

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  • 资源中包含了行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的matlab实现。运行环境为matlab R2017 资源中包含了行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式...
  • 关于方阵的行列式因子、不变因子、初等因子,例题,这三个因子很有用。

    方阵的行列式因子、不变因子、初等因子

    行列式因子

    直接的定义

    λ E − A \lambda E - A λEA中所有非零 k k k级子行列式的首项(即最高次项)系数为1的最大公因式称为 λ E − A \lambda E - A λEA的(简称 A A A的) k k k级行列式因子(因式),记为 D k ( λ ) ( k = 1 , . . . , n ) D_k (\lambda)(k=1,...,n) Dk(λ)(k=1,...,n)

    分析:

    • 听上去很费解,需要看例题才行
    • 注意: 只有 λ − 矩 阵 \lambda-矩阵 λ λ E − A \lambda E - A λEA才有行列式因子的概念
    • 注意: A A A的行列式因子,其实并不是直接算 A A A的行列式,而是 λ E − A \lambda E - A λEA

    例题1

    解答1

    分析1

    • 行列式因子从 D n ( λ ) D_n(\lambda) Dn(λ) 向着 D 1 ( λ ) D_1(\lambda) D1(λ)
    • 2级子式为例,应该把所有2级子式列出来(共9个),然后找其中首项系数为1的最大公因式,作为 D 2 ( λ ) D_2(\lambda) D2(λ)
      • 注意是首项系数为1的式子( − λ − 1 -\lambda - 1 λ1 1 1 1算; 2 λ − 1 2\lambda - 1 2λ1不算)中的最大公因式
      • 注意 D 2 ( λ ) D_2(\lambda) D2(λ)是最大公因式

    不变因子


    分析:

    • λ E − A \lambda E - A λEA可以经过初等变换化成对角阵形式(初等变换下的标准型)
    • 对角线上即不变因子
    • 如何求,看例题才清楚
      • 方法一:直接初等变换成对角阵形式,很难
      • 方法二:利用不变因子与行列式因子间的关系

    如对于例题1
    d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) = 1 d_1(\lambda) = D_1(\lambda) = 1 d1(λ)=D1(λ)=1
    d 2 ( λ ) = D 2 ( λ ) D 1 ( λ ) = 1 d_2(\lambda) = \frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)} = 1 d2(λ)=D1(λ)D2(λ)=1
    d 3 ( λ ) = D 3 ( λ ) D 2 ( λ ) = ( λ − 2 ) 3 d_3(\lambda) = \frac{D_3(\lambda)}{D_2(\lambda)} = (\lambda-2)^3 d3(λ)=D2(λ)D3(λ)=(λ2)3

    分析:

    • 不变因子是从 1 到 n 来求
    • 一般利用行列式因子求

    初等因子

    在我理解: s s s是独立的特征值数量?

    初等因子计算方法

    见到例题才清晰。

    例题2

    分析:

    • 值得注意的是,初等因子可以重复
    • 括号内 λ \lambda λ应该为1次, ( λ 2 + 1 ) 2 (\lambda^2 + 1)^2 (λ2+1)2要看作 ( λ − i ) 2 ( λ + i ) 2 (\lambda - i)^2(\lambda + i)^2 (λi)2(λ+i)2

    三种因子小结

    例题3

    例题4

    这道题解将所有二级子式列了出来。

    例题5

    已知 A A A 的初等因子为 λ , λ 2 , λ + 1 \lambda,\lambda^2,\lambda+1 λ,λ2,λ+1,求 A A A的不变因子。

    解: A A A的不变因子为 d 4 ( λ ) = λ 2 ( λ + 1 ) d_4(\lambda)=\lambda^2 (\lambda + 1) d4(λ)=λ2(λ+1) d 3 ( λ ) = λ d_3(\lambda)=\lambda d3(λ)=λ d 2 ( λ ) = d 1 ( λ ) = 1 d_2(\lambda)=d_1(\lambda)=1 d2(λ)=d1(λ)=1

    分析:凑出来的,根据行列式因子的关系;此外,不变因子的最高次数和要等于 n n n

    小结

    A A A n n n阶方阵,则 λ E − A \lambda E - A λEA的:

    • 行列式因子,个数 = n =n =n,次数和 ≥ n \ge n n
    • 不变因子,个数 = n =n =n,次数和 = n = n =n
    • 初等因子,个数 ≤ n \le n n,次数和 = n = n =n

    不但可由行列式因子求出不变因子和初等因子,而且反之亦然。(两个方阵只要有一种因子相同,则另两种也相同)

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  • 二、Jordan标准形、初等因子、不变因子 1. smith标准型 最高次幂系数为1 2.d ( λ i ) 能够整除d ( λ i + 1 ) 3.λ矩阵的smith标准型是唯一的 初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子,所以可以通过初等...

    二、Jordan标准形、初等因子、不变因子

    1. smith标准型

    在这里插入图片描述

    1. 最高次幂系数为1
      2.d ( λ i ) 能够整除d ( λ i + 1 )
      3.λ矩阵的smith标准型是唯一的
    • 初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子,所以可以通过初等变换来求smith标准型在这里插入图片描述

    2. Joradn标准形

    不变因子:smith标准型对角线上元素,即上述1, λ ,λ^2+λ
    k阶行列式因子: A (λ)中的所有非零的k阶子式的首一最大公因式Dk (λ) (首一:最高次数项系数为1) 且d1 (λ) = D1 (λ);dk (λ) = Dk(λ) /Dk-1(λ), k = 2, · · · , r. 即 1, λ , λ^2 + λ^3
    初等因子:矩阵A (λ)的每个次数≥ 1的不变因子dk (λ)在复数域上分解为互不相同的一次因式的方幂,所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)
    **Joradn矩阵:**一复矩阵A均可相似于一特殊的上三角阵J(下三角阵)在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

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  • 探讨了交换环 R上具有不变因子的模 M之判别问题,证明了只要 R的乘法子集 S在 R/Ann R ( M)中可逆,则 M为具有不变因子的 R-模当且仅当分式模 S - 1 M为分式环 S - 1 R上的具有不变因子的模.
  • 文章目录初等因子的概念初等因子与不变因子的求法参考 初等因子的概念 定义7\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义7} }}定义7​ 把矩阵 A(A(A( 或线性变换 A)A)A) 的每个次数大于零的不变因子分解成互不...

    1. 80相似标准形01——lambda矩阵
    2. 81相似标准形02——初等变换、初等矩阵、相抵 (等价)、相抵标准形
    3. 82相似标准形03——不变因子、行列式因子、相抵标准形的唯一性、用求行列式因子法求标准形
    4. 83相似标准形04——相似与λ-矩阵的相抵
    5. 84相似标准形05——有理标准形的不变因子、矩阵的有理标准形
    6. 85相似标准形06——初等因子、初等因子与不变因子的求法
    7. 86相似标准形07——若尔当(Jordan)标准形
    8. 87相似标准形08——Jordan标准形
    9. 88相似标准形09——JJordan-Chevalley分解、幂零矩阵与幂零变换、幂零矩阵的判别、中国剩余定理、可换线性变换的性质
    10. 89相似标准形10——J循环不变子空间

    初等因子的概念

    A ∈ F n × n ⇒ λ I − A ⇒  相抵标准形  ( d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) ⋱ d n ( λ ) ) ⇒  Frobenius有理标准形  F = ( F 1 ⋱ F k ) \begin{aligned} A \in F^{n \times n} \Rightarrow \lambda I-A \Rightarrow & \text { 相抵标准形 }\left(\begin{array}{lll} d_{1}(\lambda) & & & \\ & d_{2}(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_{n}(\lambda) \end{array}\right) \\ & \Rightarrow \text { Frobenius有理标准形 } \boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{F}_{1} & & \\ & & \ddots & \\ & && \boldsymbol{F}_{k} \end{array}\right) \end{aligned} AFn×nλIA 相抵标准形 d1(λ)d2(λ)dn(λ) Frobenius有理标准形 F=F1Fk

    缺点:不够“细致”

    原因: 不变因子 d i ( λ ) \boldsymbol{d}_{i}(\lambda) di(λ) 的次数过高导致 Frobenius块 的阶较大

    新思路:在复数域上对 d i ( λ ) \boldsymbol{d}_{i}(\lambda) di(λ) 分解或可得到更佳结果?

    定 义 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }} 1 把矩阵 A ( A( A( 或线性变换 A ) A) A) 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵 A A A (或线性变换 A ) A) A) 的初等因子.

    A A A 的相抵标准形为 diag ⁡ ( 1 , ⋯ 1 , d 1 ( λ ) , ⋯   , d r ( λ ) ) \operatorname{diag}\left(1, \cdots 1, d_{1}(\lambda), \cdots, d_{r}(\lambda)\right) diag(1,1,d1(λ),,dr(λ)),将 A A A 的不变因子均分解为首 1 不可约多项式之乘积
    d 1 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 11 ( λ − λ 2 ) e 12 ⋯ ( λ − λ t ) e t d 2 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 11 ( λ − λ 2 ) e 22 ⋯ ( λ − λ t ) e 2 t \begin{array}{l} d_{1}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{12}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{t}} \\ d_{2}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{22}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{2 t}} \end{array} d1(λ)=(λλ1)e11(λλ2)e12(λλt)etd2(λ)=(λλ1)e11(λλ2)e22(λλt)e2t

    d r ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e r 1 ( λ − λ 2 ) e r 2 ⋯ ( λ − λ t ) e n \boldsymbol{d}_{r}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{r 1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{r 2}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{n}} dr(λ)=(λλ1)er1(λλ2)er2(λλt)en
    其中 e i j ∈ Z ≥ 0 , 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ t e_{i j} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}, 1 \leq i \leq r, 1 \leq j \leq t eijZ0,1ir,1jt , ( λ − λ j ) e i j ( e i j > 0 ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{e_{i j}}\left(e_{i j}>0\right) (λλj)eij(eij>0) 称为 A A A 的初等因子

    A A A 的初等因子组 A \quad A A 的全体初等因子所成集

    注记: ( 1 ) A (1) A (1)A 的初等因子组由其不变因子组惟一确定;

    (2) A A A 的不变因子组由其初等因子组 惟一确定:

    A A A 的初等因子组中适当地添加一些 1 = ( λ − λ i ) 0 1=\left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{0} 1=(λλi)0, 按降幂排列:
    ( λ − λ 1 ) e r , 1 , ( λ − λ 1 ) e r − 1 , 1 , ⋯   , ( λ − λ 1 ) e 1 , 1 ( λ − λ 2 ) e r , 2 , ( λ − λ 2 ) e r − 1 , 2 , , ⋯   , ( λ − λ 2 ) e 1 , 2 … … … … … … … … … ( λ − λ t ) e r , t , ( λ − λ t ) e r − 1 , t , ⋯   , ( λ − λ t ) e 1 , t \begin{array}{l} \left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_r, 1},\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{r-1,1}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{1,1}} \\ \left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_r, 2},\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{r-1,2},}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{1,2}} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ \left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_r, t},\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{r-1, t}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{1, t}} \end{array} (λλ1)er,1,(λλ1)er1,1,,(λλ1)e1,1(λλ2)er,2,(λλ2)er1,2,,,(λλ2)e1,2(λλt)er,t,(λλt)er1,t,,(λλt)e1,t
    不变因子具有性质 d i ( λ ) ∣ d i + 1 ( λ ) ( 1 ≤ i ≤ r − 1 ) d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)(1 \leq i \leq r-1) di(λ)di+1(λ)(1ir1)

    d i ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e i 1 ( λ − λ 2 ) e i , 2 ⋯ ( λ − λ t ) e i , t ⇒ d 1 ( λ ) , ⋯   , d r ( λ ) d_{i}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{i 1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{i, 2}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{i, t}} \Rightarrow d_{1}(\lambda), \cdots, d_{r}(\lambda) di(λ)=(λλ1)ei1(λλ2)ei,2(λλt)ei,td1(λ),,dr(λ) A A A 的不变因子组

    例 1 \Large{\color{violet}{例1}} 1 设 12 级矩阵的不变因子是
    1 , 1 , ⋯   , 1 ⏟ 9 个 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) ( λ 2 + 1 ) 2 \underbrace{1,1, \cdots, 1}_{9 个},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2}(\lambda+1),(\lambda-1)^{2}(\lambda+1)\left(\lambda^{2}+1\right)^{2} 9 1,1,,1,(λ1)2,(λ1)2(λ+1),(λ1)2(λ+1)(λ2+1)2
    按定义,它的初等因子有 7 个,即
    ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ + 1 ) , ( λ + 1 ) , ( λ − i ) 2 , ( λ + i ) 2 (\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2},(\lambda+1),(\lambda+1),(\lambda-i)^{2},(\lambda+i)^{2} (λ1)2,(λ1)2,(λ1)2,(λ+1),(λ+1),(λi)2,(λ+i)2
    其中 ( λ − 1 ) 2 (\lambda-1)^{2} (λ1)2 出现三次, λ + 1 \lambda+1 λ+1 出现二次.

    现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先,假设 n n n 级矩阵 A A A 的不变因子 d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯   , d n ( λ ) d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda) d1(λ),d2(λ),,dn(λ) 为已知.将 d i ( λ ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) d_{i}(\lambda)(i=1,2, \cdots, n) di(λ)(i=1,2,,n) 分解成互不相同的一次因式方幕的乘积:
    d 1 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) k 11 ( λ − λ 2 ) k 12 ⋯ ( λ − λ r ) k 1 r , d 2 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) k 21 ( λ − λ 2 ) k 22 ⋯ ( λ − λ r ) k 2 r , … … … … … . . . d n ( λ ) = ( λ − λ 1 ) k n 1 ( λ − λ 2 ) k n 2 … ( λ − λ r ) k m , \begin{array}{l} d_{1}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{12}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{r}\right)^{k_{1 r}}, \\ d_{2}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{21}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{22}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{r}\right)^{k_{2 r}}, \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . \\ d_{n}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{n 1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{n 2}} \ldots\left(\lambda-\lambda_{r}\right)^{k_{m}}, \end{array} d1(λ)=(λλ1)k11(λλ2)k12(λλr)k1r,d2(λ)=(λλ1)k21(λλ2)k22(λλr)k2r,...dn(λ)=(λλ1)kn1(λλ2)kn2(λλr)km,
    则其中对应于 k i j ≥ 1 k_{i j} \geq 1 kij1 的那些方幕
    ( λ − λ j ) k j ( k i j ≥ 1 ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{j}} \quad\left(k_{i j} \geq 1\right) (λλj)kj(kij1)
    就是 A A A 的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质,即
    d i ( λ ) ∣ d i + 1 ( λ ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 ) , d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)(i=1,2, \cdots, n-1), di(λ)di+1(λ)(i=1,2,,n1),
    从而
    ( λ − λ j ) k y ∣ ( λ − λ j ) k t + 1 , j ( i = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 ; j = 1 , 2 , ⋯   , r ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{y}} \mid\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{t+1, j}} \quad(i=1,2, \cdots, n-1 ; j=1,2, \cdots, r) (λλj)ky(λλj)kt+1,j(i=1,2,,n1;j=1,2,,r)
    因此在 d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯   , d n ( λ ) d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda) d1(λ),d2(λ),,dn(λ) 的分解式中,属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质,即
    k 1 j ≤ k 2 j ≤ ⋯ ≤ k n j ( j = 1 , 2 , ⋯   , r ) . k_{1 j} \leq k_{2 j} \leq \cdots \leq k_{n j} \quad(j=1,2, \cdots, r) . k1jk2jknj(j=1,2,,r).
    这说明,同一个一次因式的方幂作成的初等因子中,方次最高的必定出现在 d n ( λ ) d_{n}(\lambda) dn(λ) 的分解中,方次次高的必定出现在 d n − 1 ( λ ) d_{n-1}(\lambda) dn1(λ) 的分解中.如此顺推下去,可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.

    例 2 \Large{\color{violet}{例2}} 2

    ( 1 ) (1) (1) A 9 × 9 A_{9 \times 9} A9×9 的不变因子为
    1 , 1 , ⋯   , 1 ⏟ 6个  , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) , ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) ( λ − 3 ) \underbrace{1,1, \cdots, 1}_{\text {6个 }},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2}(\lambda-2),(\lambda-1)^{2}(\lambda-2)(\lambda-3) 6  1,1,,1,(λ1)2,(λ1)2(λ2),(λ1)2(λ2)(λ3)
    ⇒ A \Rightarrow A A 的初等因子组为: λ − 2 , λ − 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , λ − 3 \quad \lambda-2, \lambda-2,(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2}, \lambda-3 λ2,λ2,(λ1)2,(λ1)2,(λ1)2,λ3

    (2) 设 A 9 × 9 A_{9 \times 9} A9×9 的初等因子组如上,添加一些 1 之后按降幕排 列:
    λ − 2 , λ − 2 , 1 , 1 , ⋯   , 1 ⏟ 6 个 ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , 1 , ⋯   , 1 λ − 3 , 1 , 1 , 1 , ⋯   , 1 \begin{array}{llll} \lambda-2, \quad \lambda-2, \quad 1, \quad \underbrace{1, \cdots, 1}_{6 个} \\ (\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2}, \quad 1, \cdots, 1 \\ \lambda-3, \quad 1, \quad 1, \quad 1, \cdots, 1 \end{array} λ2,λ2,1,6 1,,1(λ1)2,(λ1)2,(λ1)2,1,,1λ3,1,1,1,,1
    ⇒ A \Rightarrow A A 的不变因子为: ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) ( λ − 3 ) , ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) , ( λ − 1 ) 2 , 1 , 1 , ⋯   , 1 ⏟ 6个  (\lambda-1)^{2}(\lambda-2)(\lambda-3),(\lambda-1)^{2}(\lambda-2),(\lambda-1)^{2}, \underbrace{1,1, \cdots, 1}_{\text {6个 }} (λ1)2(λ2)(λ3),(λ1)2(λ2),(λ1)2,6  1,1,,1,

    初等因子与不变因子的求法

    上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法。

    设一个 n n n 级矩阵的全部初等因子为已知,在全部初等因子中将同一个二次因式 ( λ − λ j ) ( j = 1 , 2 , ⋯   , r ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)(j=1,2, \cdots, r) (λλj)(j=1,2,,r) 的方幂的那些初等因子按降幂排列,而且当这些初等因子的个数不足 n n n 时,就在后面补上适当个数的 1 ,使得凑成 n n n 个.设所得排列为
    ( λ − λ j ) k n j , ( λ − λ j ) k n − 1 , j , ⋯   , ( λ − λ j ) k 1 j , ( j = 1 , 2 , ⋯   , r ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{n j}},\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{n-1, j}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{1 j}},(j=1,2, \cdots, r) (λλj)knj,(λλj)kn1,j,,(λλj)k1j,(j=1,2,,r)
    于是令
    d i ( λ ) = ( λ − λ 1 ) k 11 ( λ − λ 2 ) k 12 ⋯ ( λ − λ r ) k r r ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) , d_{i}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{12}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{r}\right)^{k_{r_{r}}}(i=1,2, \cdots, n), di(λ)=(λλ1)k11(λλ2)k12(λλr)krr(i=1,2,,n),
    d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯   , d n ( λ ) d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda) d1(λ),d2(λ),,dn(λ) 就是 A A A 的不变因子。

    这也说明了这样一个事实:如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子,则它们就有相同的不变因子,因而它们相似.反之,如果两个矩阵相似,则它们有相同的不变因子,因而它们有相同的初等因子.

    综上所述,即得

    定 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 1} }} 1 A , B ∈ F n × n A, B \in F^{n \times n} A,BFn×n, 则 : A : A :A B B B F F F 上相似 ⇔ A \Leftrightarrow A A B B B 有相同的初等因子组.

    证明: A A A B B B F F F 上相似 ⇔ A \Leftrightarrow A A B B B C \mathbb{C} C 上相似

    ⇔ A \Leftrightarrow A A B B B 有相同的不变因子

    ⇔ A \Leftrightarrow A A B B B 有相同的初等因子组

    初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较,反而方便一些.

    引 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{引理1 } }} 1 如果多项式 f 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda) f1(λ),f2(λ) 都与 g 1 ( λ ) , g 2 ( λ ) g_{1}(\lambda), g_{2}(\lambda) g1(λ),g2(λ) 互素,则.
    ( f 1 ( λ ) g 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) g 2 ( λ ) ) = ( f 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) ) ⋅ ( g 1 ( λ ) , g 2 ( λ ) ) \left(f_{1}(\lambda) g_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda) g_{2}(\lambda)\right)=\left(f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda)\right) \cdot\left(g_{1}(\lambda), g_{2}(\lambda)\right) (f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=(f1(λ),f2(λ))(g1(λ),g2(λ))
    证明: d = ( f 1 g 1 , f 2 g 2 ) , d 1 = ( f 1 , f 2 ) , d 2 = ( g 1 , g 2 ) d=\left(f_{1} g_{1}, f_{2} g_{2}\right), d_{1}=\left(f_{1}, f_{2}\right), d_{2}=\left(g_{1}, g_{2}\right) d=(f1g1,f2g2),d1=(f1,f2),d2=(g1,g2)
    ⇒ d 1 ∣ d , d 2 ∣ d ( f 1 , g 1 ) = 1 ⇒ ( d 1 , d 2 ) = 1 } ⇒ d 1 d 2 ∣ d \left.\begin{array}{rl} & \Rightarrow d_{1}\left|d, d_{2}\right| d \\ \left(f_{1}, g_{1}\right)=1 & \Rightarrow\left(d_{1}, d_{2}\right)=1 \end{array}\right\} \Rightarrow d_{1} d_{2} \mid d (f1,g1)=1d1d,d2d(d1,d2)=1}d1d2d
    d = ( f 1 g 1 , f 2 g 2 ) ⇒ d ∣ f 1 g 1 \boldsymbol{d}=\left(\boldsymbol{f}_{1} \boldsymbol{g}_{1}, \boldsymbol{f}_{2} \boldsymbol{g}_{2}\right) \Rightarrow \boldsymbol{d} \mid \boldsymbol{f}_{1} \boldsymbol{g}_{1} d=(f1g1,f2g2)df1g1, 又 ( f 1 , g 1 ) = 1 \left(f_{1}, \boldsymbol{g}_{1}\right)=\mathbf{1} (f1,g1)=1, 可设 d = f g d=f g d=fg, 其中 f ∣ f 1 , g ∣ g 1 f\left|f_{1}, \boldsymbol{g}\right| \boldsymbol{g}_{1} ff1,gg1
    f ∣ f 1 , ( f 1 , g 2 ) = 1 ⇒ ( f , g 2 ) = 1 d = f g ∣ f 2 g 2 ⇒ f ∣ f 2 g 2 } ⇒ f ∣ f 2 ⇒ f ∣ ( f 1 , f 2 ) = d 1  同理  g ∣ d 2 } ⇒ d = f g ∣ d 1 d 2 ⇒ d = d 1 d 2 ( ​ 首 1 ) ​ \begin{array}{rl} \left.\begin{array}{rl}\left.\begin{array}{rl} f \mid f_{1},\left(f_{1}, g_{2}\right)=1 \Rightarrow\left(f, g_{2}\right)=1 \\ \qquad d=f g\left|f_{2} g_{2} \Rightarrow f\right| f_{2} g_{2}\end{array}\right\} \Rightarrow f\left|f_{2} \Rightarrow f\right|\left(f_{1}, f_{2}\right)=d_{1} \\ \text { 同理 } g \mid d_{2} \end{array}\right\} \Rightarrow d=f g \mid d_{1} d_{2}\\ \Rightarrow d=d_{1} d_{2}(​ 首1 )​ \end{array} ff1,(f1,g2)=1(f,g2)=1d=fgf2g2ff2g2}ff2f(f1,f2)=d1 同理 gd2d=fgd1d2d=d1d2(1)

    引 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{引理2 } }} 2
    A ( λ ) = ∣ f 1 ( λ ) g 1 ( λ ) 0 0 f 2 ( λ ) g 2 ( λ ) ∣ B ( λ ) = ∣ f 2 ( λ ) g 1 ( λ ) 0 0 f 1 ( λ ) g 2 ( λ ) ∣ \begin{array}{l} A(\lambda)=\left|\begin{array}{cc} f_{1}(\lambda) g_{1}(\lambda) & 0 \\ 0 & f_{2}(\lambda) g_{2}(\lambda) \end{array}\right| \\ B(\lambda)=\left|\begin{array}{cc} f_{2}(\lambda) g_{1}(\lambda) & 0 \\ 0 & f_{1}(\lambda) g_{2}(\lambda) \end{array}\right| \end{array} A(λ)=f1(λ)g1(λ)00f2(λ)g2(λ)B(λ)=f2(λ)g1(λ)00f1(λ)g2(λ)
    如果多项式 f 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda) f1(λ),f2(λ) 都与 g 1 ( λ ) , g 2 ( λ ) g_{1}(\lambda), g_{2}(\lambda) g1(λ),g2(λ) 互素,则 A ( λ ) A(\lambda) A(λ) B ( λ ) B(\lambda) B(λ) 相抵.

    证明: 只需证明两个 λ \lambda λ -矩阵具有相同的 1,2 阶行列式因子:

    2 阶行列式因子均为: f 1 f 2 g 1 g 2 f_{1} f_{2} g_{1} g_{2} f1f2g1g2

    1阶行列式因子分别为 ( f 1 g 1 , f 2 g 2 ) \left(f_{1} g_{1}, f_{2} g_{2}\right) (f1g1,f2g2) ( f 2 g 1 , f 1 g 2 ) \left(f_{2} g_{1}, f_{1} g_{2}\right) (f2g1,f1g2)

    引理1 ⇒ ( f 1 g 1 , f 2 g 2 ) = ( f 2 g 1 , f 1 g 2 ) \Rightarrow\left(f_{1} g_{1}, f_{2} g_{2}\right)=\left(f_{2} g_{1}, f_{1} g_{2}\right) (f1g1,f2g2)=(f2g1,f1g2)

    抵标准形的唯一性定理4 ⇒ ( f 1 g 1 0 0 f 2 g 2 ) \Rightarrow\left(\begin{array}{cc}f_{1} g_{1} & 0 \\ 0 & f_{2} g_{2}\end{array}\right) (f1g100f2g2) ( f 2 g 1 0 0 f 1 g 2 ) \left(\begin{array}{cc}f_{2} g_{1} & 0 \\ 0 & f_{1} g_{2}\end{array}\right) (f2g100f1g2) 相抵.

    定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 2 } }} 2 首先用初等变换化特征矩阵 λ E − A \lambda E-A λEA 为对角形式,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 A A A 的全部初等因子.

    A ( λ ) = diag ⁡ ( d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯   , d n ( λ ) ) A(\lambda)=\operatorname{diag}\left(d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda)\right) A(λ)=diag(d1(λ),d2(λ),,dn(λ)),首 1 多项式 d i ( λ ) d_{i}(\lambda) di(λ) 的标准分解式依次为:
    d 1 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 11 ( λ − λ 2 ) e 12 ⋯ ( λ − λ s ) e 1 s d 2 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 21 ( λ − λ 2 ) e 22 ⋯ ( λ − λ s ) e 2 s  其中  e i j ∈ Z ≥ 0 … … … … … … … … . . d n ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e n 1 ( λ − λ 2 ) e n 2 ⋯ ( λ − λ s ) e n s \begin{array}{l} d_{1}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{12}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{e_{1 s}} \\ d_{2}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{21}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{22}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{e_{2 s}} \quad \text { 其中 } e_{i j} \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \\ d_{n}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{n 1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{n 2}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{e_{n s}} \end{array} d1(λ)=(λλ1)e11(λλ2)e12(λλs)e1sd2(λ)=(λλ1)e21(λλ2)e22(λλs)e2s 其中 eijZ0..dn(λ)=(λλ1)en1(λλ2)en2(λλs)ens
    ⇒ { ( λ − λ j ) e i j ∣ e i j > 0 , 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ s } \Rightarrow\left\{\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{e_{i j}} \mid e_{i j}>0,1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq s\right\} {(λλj)eijeij>0,1in,1js} A ( λ ) A(\lambda) A(λ) 的初等因子组

    推 论 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{ 推论1 } }} 1 A ( λ ) = ( A 1 ( λ ) ⋱ A k ( λ ) ) A(\lambda)=\left(\begin{array}{ccc}A_{1}(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & A_{k}(\lambda)\end{array}\right) A(λ)=A1(λ)Ak(λ), 那么将 A i ( λ ) ( 1 ≤ i ≤ s ) A_{i}(\lambda)(1 \leq i \leq s) Ai(λ)(1is) 的初等因子组并在一起 ( ( ( 重复的计算其次数 )恰 得到 A ( λ ) A(\lambda) A(λ) 的初等因子组.

    【证明】: 设 A i ( λ ) A_{i}(\lambda) Ai(λ) 相抵于标准形 B i ( λ ) ⇒ A ( λ ) B_{i}(\lambda) \Rightarrow A(\lambda) Bi(λ)A(λ) 相抵于 B ( λ ) = ( B 1 ( λ ) ⋱ B k ( λ ) ) B(\lambda)=\left(\begin{array}{lll}B_{1}(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & B_{k}(\lambda)\end{array}\right) B(λ)=B1(λ)Bk(λ)
    ⇒ A i ( λ ) \Rightarrow A_{i}(\lambda) Ai(λ) 的初等因子组即 B i ( λ ) B_{i}(\lambda) Bi(λ) 的初等因子组

    定理2 ⇒ A ( λ ) \Rightarrow A(\lambda) A(λ) 的初等因子组 即 B ( λ ) B(\lambda) B(λ) 的初等因子 组

    恰为 A i ( λ ) A_{i}(\lambda) Ai(λ) 的初等因子组并在一起所得.

    参考

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

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