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  • 模糊数学——模糊集合
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    2021-04-03 18:46:35
    秃头悖论:对于一个满头黑发的人来说,掉一根头发,不是秃头,再掉一根头发,还不是秃头,再掉一根头发,还不是
    		秃头,于是乎---再掉一根头发,还不是秃头,可是这已经是最后一根头发了,那他到底是不是秃头?
    	可以看到,用确定性数学和随机性数学已经解决不了这个问题了,所以查德(Zadeh)在1965年提出了关于模糊集合
    的概念,来描述这一模模糊糊的现象,相对于传统的 {0, 1} 这样的集合而言,模糊数学将集合的取值范围规定到了
    [0, 1] 中,于是对于一个模糊集合而言,什么时候表示 “0”,什么时候表示 “1” 就在很大程度上取决于人脑的主观印
    象了。
    

    模糊集合

    	定义:对于一个给定的论域 U,存在一个映射A(u),使得对于任意的 u ∈ U,都有 A(u) 属于 [0, 1],对于这样
    的映射构成的集合,我们便称之为模糊集合。
    
    	模糊集合的表示:
    		1、和式表示法(查德记法):A = {A(u1) / u1 + A(u2) / u2 + --- + A(un) / un}
    		2、序对表示法:A = {(u1, A(u1)), (u2, A(u2)), --- ,(un, A(un))}
    		3、向量表示法:A = {A(u1), A(u2), ---, A(un)}
    		4、隶属函数表示法
    
    	模糊集合之间的运算:
    		1、∩ :每个模糊集合对应元素取交运算(最小值)
    		2、∪:每个模糊集合对应元素取与运算(最大值)
    	
    	模糊集合满足的运算:
    		1、幂等律:A ∪ A = A, A ∩ A = A
    		2、交换律:A ∪ B = B ∪ A,A ∩ B = B ∩ A
    		3、结合律:
    				(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
    				(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
    		4、吸收律:
    				(A ∪ B) ∩ A = A
    				(A ∩ B) ∪ A = A
    		5、分配律:
    				(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C)(B ∩ C)
    				(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C)(B ∪ C)
    		6、U 和 ∅ 的关系
    			A ∪ U = U
    			A ∩ U = A
    			A ∪ ∅ = A
    			A ∩ ∅ =7、复原律:(A的补)的补 = A
    		8、对偶律(德摩根律):
    				(A ∪ B)的补 = A的补 ∩ B的补
    				(A ∩ B)的补 = A的补 ∪ B的补
    
    1、注意:模糊集合下方应该加一个~,只是这里打不上去,所以将 A 当做了模糊集合的记号
    2、模糊集合的交并 = 对应元素的 与或
    3、相对普通集合而言,模糊集合唯一不满足的就是补余律
    4、和式表示法和序对表示法可以省略 A(u) 为 0 的情况,但是向量表示法不可以省略
    5、支集(supp):所有 A(u) > 0 的元素的模糊集合
    	  核(ker):所有 A(u) = 1 的元素的模糊集合
    	  边界:支集与核的差集
    
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    介绍

    模糊逻辑是一种基于“真实度”而不是现代计算机所基于的“对或错”(1或0)布尔逻辑的计算方法。

    模糊逻辑思想最早由加州大学伯克利分校的Lotfi Zadeh博士首先提出。Zadeh博士在研究计算机对自然语言的理解问题时,理解自然语言(正如生活中大多数其他活动,甚至是宇宙中的大多数其他活动一样)不容易转换为0和1的绝对项。(是否最终可以用二进制形式描述一切都是值得追求的哲学问题,但实际上,我们可能会使用许多数据想要让计算机处于介于两者之间的某种状态,那么通常就是计算的结果。)

    模糊逻辑包括0和1作为极端的真实情况(或“事物的状态”或“事实”),但也包括介于两者之间的各种真实状态。

    模糊逻辑相对来说更接近我们大脑的工作方式。我们汇总数据并形成许多局部事实,然后进一步汇总为更高的事实,这些事实又在超过某些阈值时引起某些进一步的结果,例如运动反应。在人工神经网络和专家系统中使用了类似的过程。

    将模糊逻辑视为推理的真正工作方式可能会有所帮助,而二进制或布尔逻辑只是其一种特殊情况。

    模糊集

    古典集合(也称为普通集、正集等)是具有清晰明确边界的集合。通常情况下我们使用的集合都是古典集合,例如{x | x> 0}表示大于0的实数集。尽管经典集合适合于各种应用,并且已被证明是数学和计算机科学的重要工具,但是它们并不能反映人类概念和思想的本质,而人类概念和思想往往是抽象的和不精确的。作为说明,从数学上讲,我们可以将高个子集表示为一个身高超过180cm的人的集合。如果我们让“高个子” ={身高|身高>180cm},这就上述所示的集合。但这是代表我们通常的“高个子”概念的一种不自然且不充分的方式。一方面,经典集的二分性质将人分类在直觉上是不合理的。这种不合理来自于集合中包含和排除之间的急剧过渡。

    与经典集相反,模糊集顾名思义,它是一个没有清晰边界的集合。也就是说,从“属于一个集合”到“不属于一个集合”的过渡是渐进的,这种平滑的过渡的特征在于隶属函数,该函数在建模常用语言表达时为模糊集提供了灵活性,例如“水是热”或“温度高”。正如扎德(Zadeh)在1965年发表的开创性论文“模糊集”中指出的那样,这种定义不正确的集合或类“在人类思维中,特别是在模式识别,信息交流和抽象领域中起着重要作用”。

    基本定义和术语

    模糊集合定义

    在这里插入图片描述

    模糊集合与普通集合定义对应如图。

    模糊集:给定一个论域U,那么从U到单位区间 [0,1] 的一个映射

    μ A : U → [ 0 , 1 ] \mu_A:U→[0,1] μA:U[0,1]

    称为U上的一个模糊集,或U的一个模糊子集

    隶属度和模糊化

    在这里插入图片描述

    在这个图象中,冷、暖和热是映射温度范围的函数。在这个刻度上的一个点有三个"真值"—分别对应着三个真值函数。对于展示的特定的温度,这三个真值可以被解释为把温度描述为,“相当冷”, “有些暖"和"不太热”。

    通常情况会采用梯形,但在作模糊回归分析时则会选用三角形的归属函数。

    在模糊逻辑的眼中,冷、暖和热之间是没有严格的界限的,也就是说某一种温度的大小并不完全归属于某一个类,而是以隶属度(Degree of Membership)来衡量的。比如对于5摄氏度的气温,隶属于冷的隶属度为0.7, 暖的隶属度为0.3,大雨的隶属度为0.

    将逻辑的输入数值(温度)转化成各个集合(冷、暖和热)的隶属度的过程就叫做模糊化(Fuzzification)。 也是模糊逻辑的第一步。

    模糊集合的表示

    模糊集可以记为A。 映射(函数)μA(·) 或简记为A(·) 叫做模糊集A隶属函数。 对于每个xUμA(x) 叫做元素x对模糊集A隶属度

    模糊集的常用表示法有下述几种:

    (1)函数描述法,也即给出隶属函数的具体表达式。

    (2)Zadeh 记法,例如

    A = 1 x 1 + 0.5 x 2 + 0.6 x 3 + 0 x 4 A=\frac{1}{x_1}+\frac{0.5}{x_2}+\frac{0.6}{x_3}+\frac{0}{x_4} A=x11+x20.5+x30.6+x40

    。分母是论域中的元素,分子是该元素对应的隶属度。有时候,若隶属度为0,该项可以忽略不写。

    (3)序偶法,例如

    A = { ( x 1 , 1 ) , ( x 2 , 0.5 ) , ( x 3 . 0.6 ) , ( x 4 , 0 ) } A=\{ {(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3.0.6),(x_4,0) }\} A={(x1,1),(x2,0.5),(x3.0.6),(x4,0)}

    ,序偶对的前者是论域中的元素,后者是该元素对应的隶属度。

    (4)向量法,在有限论域的场合,给论域中元素规定一个表达的顺序,那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式,如A= (1,0.5,0.72,0) 。

    模糊集合基本运算

    模糊集合的交并补运算

    模糊集合的交并补运算如下所示:
    在这里插入图片描述
    举例如下:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    模糊关系

    模糊关系矩阵

    模糊关系矩阵如下:

    在这里插入图片描述

    模糊关系合成

    模糊关系合成指的是由第一个集合和第二个集合之间的模糊关系以及第二个和三个集合之间的模糊关系得到第一个和第三个模糊关系的运算。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    模糊关系扩展原理

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 模糊集合及运算1.4

    2020-12-21 12:29:58
    模糊集AAA中的任意一个元素u∈Uu\in Uu∈U,都有唯一对应的实数μA(u)∈[0,1]\mu_A(u) \in [0,1]μA​(u)∈[0,1],表示元素uuu隶属于集合AAA的程度。即我们可以定义如下的映射 μA:U→[0,1], u→

    引言

    在康托尔集合中,元素属于集合和不属于集合是确定的。但在有些情况下,集合的定义不能一刀切。例如,年轻人和老年人,每个人对年轻年老的定义不同,有的人认为30岁以内算年轻,有的人认为18岁才是花样少年。因此,扎德先生于1965年提出模糊集理论。

    模糊集

    模糊集 A A A中的任意一个元素 u ∈ U u\in U uU,都有唯一对应的实数 μ A ( u ) ∈ [ 0 , 1 ] \mu_A(u) \in [0,1] μA(u)[0,1],表示元素 u u u隶属于集合 A A A的程度。即我们可以定义如下的映射
    μ A : U → [ 0 , 1 ] ,   u → μ A ( u ) \mu_A: U \to [0,1], \ u \to \mu_A(u) μA:U[0,1], uμA(u) μ A \mu_A μA称为模糊集合 A A A的隶属函数。
    一个问题中隶属函数的定义是模糊集的根本。
    全集 U U U的模糊密集记为 F ( U ) \mathcal F(U) F(U)

    对应于康托尔集合,若元素 u ∈ A u \in A uA,则 μ A ( u ) = 1 \mu_A(u)=1 μA(u)=1,反之 μ A ( u ) = 0 \mu_A(u)=0 μA(u)=0,因此康托尔集是模糊集的特殊形式。

    举例

    扎德先生根据人的年龄,定义了年轻( Y Y Y)和年老( O O O)两个模糊集,全集 U = [ 0 , 100 ] U=[0,100] U=[0,100]

    年轻集的隶属函数 μ Y ( u ) \mu_Y(u) μY(u)定义如下
    μ Y ( u ) = { 1 , u ∈ [ 0 , 25 ] , 1 1 + ( u − 25 5 ) 2 , u ∈ ( 25 , 100 ] \mu_Y(u)=\left\{\begin{aligned} &1 , && u\in [0,25], \\ &\frac{1}{1+\left(\frac{u-25}{5}\right)^2} , && u \in (25,100] \end{aligned} \right. μY(u)=1,1+(5u25)21,u[0,25],u(25,100]

    年老集的隶属度函数 μ O ( u ) \mu_O(u) μO(u)定义如下
    μ O ( u ) = { 0 , u ∈ [ 0 , 50 ] , 1 1 + ( u − 50 5 ) − 2 , u ∈ ( 50 , 100 ] \mu_O(u)=\left\{\begin{aligned} &0 , && u\in [0,50], \\ &\frac{1}{1+\left(\frac{u-50}{5}\right)^{-2}} , && u \in (50,100] \end{aligned} \right. μO(u)=0,1+(5u50)21,u[0,50],u(50,100]

    模糊集运算法则

    1. 幂等律
      A ∪ A = A ; A ∩ A = A A \cup A =A; A \cap A =A AA=A;AA=A
    2. 交换律
      A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A A \cup B = B \cup A; A \cap B = B \cap A AB=BA;AB=BA
    3. 结合律
      ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (A \cup B) \cup C = A \cup ( B \cup C) (AB)C=A(BC); ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) (AB)C=A(BC)
    4. 吸收律
      ( A ∩ B ) ∪ A = A (A \cap B) \cup A = A (AB)A=A; ( A ∪ B ) ∩ A = A (A \cup B) \cap A = A (AB)A=A
    5. 分配律
      A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) A(BC)=(AB)(AC);
      A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A(BC)=(AB)(AC);
    6. 两极律
      A ∪ U = U A \cup U = U AU=U; A ∩ U = A A \cap U = A AU=A;
      A ∪ ∅ = A A \cup \emptyset =A A=A; A ∩ ∅ = ∅ A \cap \emptyset = \emptyset A=
    7. 自反律
      ( A c ) c = A (A^c)^c =A (Ac)c=A
    8. 摩根定律
      ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c (A\cup B)^c = A^c \cap B^c (AB)c=AcBc; ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c (A \cap B)^c=A^c \cup B^c (AB)c=AcBc

    参考文献

    Li, Hong-xing. Fuzzy Systems To Quantum Mechanics. Vol. 87. World Scientific, 2020.

    展开全文
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  • 模糊集合的概念

    千次阅读 2020-07-20 10:04:28
    模糊集合论是由L.A.Zadeh在40年前提出的。 定义: 另Z为元素或对象的集合,z表示Z的元素;即Z={z}。通常将Z集合论为‘论域’。Z中的模糊集合A由隶属度函数pa(z)老描述,它是与Z中每个元素相关联的位于区间【0,1】...

    模糊集合论是由L.A.Zadeh在40年前提出的。

    定义:
    另Z为元素或对象的集合,z表示Z的元素;即Z={z}。通常将Z集合论为‘论域’。Z中的模糊集合A由隶属度函数pa(z)老描述,它是与Z中每个元素相关联的位于区间【0,1】内的实数。对于来自Z的某个具体元素Z0,pa(z0)的值表示A中z0的隶属度等级。

    对于普通集合,我们说某个元素属于或者不属于集合;
    对于模糊集合,我们说所有pa(z)=1的z都是集合的完全元素,所有介于0到1之间的z都是集合的部分成员,所有pa(z)=0的z在集合中都具有0隶属度(实际的意思是它们都不是集合的元素)。

    例如年龄分布:
    A={(1,1),(2,1),…,(20,1),(21,0.9),(30,0),(31,0),…}

    交集:模糊集合A和B的交集(AND)是,对于所有的z属于Z,具有隶属度函数
    在这里插入图片描述
    的模糊集合,表示为A∩B或A AND B。

    NOT、OR和AND与符号补(-)、并(∪)和交(∩)交替使用来分别表示补集、并集合和交集。

    展开全文
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