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  • 2022-04-02 03:04:48

    常见的全概率公式:
    P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P\left(B\right)= \sum^{n}_{i=1} P(A_{i})P(B|A_{i}) P(B)=i=1nP(Ai)P(BAi)
    当公式左端为条件概率时会有相类似的全概率公式:
    P ( C ∣ A ) = ∑ B ∈ I P ( B ∣ A ) P ( C ∣ B , A ) = ∑ B ∈ I P ( B , A ) P ( A ) P ( C , B , A ) P ( A , B ) = ∑ B ∈ I P ( C , B , A ) P ( A ) = ∑ B ∈ I P ( C , B ∣ A ) = P ( C ∣ A ) \begin{aligned} P(C|A) & =\sum_{B\in I}P(B|A)P(C|B,A)\\ &=\sum_{B\in I}\frac{P(B,A)}{P(A)}\frac{P(C,B,A)}{P(A,B)}\\ &=\sum_{B\in I}\frac{P(C,B,A)}{P(A)}\\ &=\sum_{B\in I}P(C,B|A)\\ &=P(C|A) \end{aligned} P(CA)=BIP(BA)P(CB,A)=BIP(A)P(B,A)P(A,B)P(C,B,A)=BIP(A)P(C,B,A)=BIP(C,BA)=P(CA)

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    若事件A1,A2,…构成一个完备事件组且都有正概率,则对任意一个事件B,有如下公式成立: ...此公式即为全概率公式。 特别地,对于任意两随机事件A和B,有如下成立: 其中A和 Aˉ\bar{A}Aˉ 为对立事件。 ...

    若事件A1,A2,…构成一个完备事件组且都有正概率,则对任意一个事件B,有如下公式成立:
    P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + … + P(B|An)P(An).
    在这里插入图片描述

    此公式即为全概率公式。
    特别地,对于任意两随机事件A和B,有如下成立:
    在这里插入图片描述
    其中A和 A ˉ \bar{A} Aˉ 为对立事件。

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    1 条件概率公式
    A A A B B B是两个事件,且 P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0,则在事件 B B B发生的条件下,事件 A A A发生的条件概率(conditional probability)为:
      P ( A ∣ B ) = P ( A B ) / P ( B ) ( 1 ) \ P(A|B)=P(AB)/P(B)\qquad (1)  P(AB)=P(AB)/P(B)(1)
    2 乘法公式
    2.1.由条件概率公式得:
      P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) ( 2 ) \ P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\qquad (2)  P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P(A)(2)
    2.2.乘法公式的推广:对于任何正整数 n ≥ 2 n≥2 n2,当 P ( A 1 A 2 . . . A n − 1 ) > 0 P(A_1A_2...A_{n-1}) > 0 P(A1A2...An1)>0时,有:
      P ( A 1 A 2 . . . A n − 1 A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) . . . P ( A n ∣ A 1 A 2 . . . A n − 1 ) ( 3 ) \ P(A_1A_2...A_{n-1}A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})\qquad (3)  P(A1A2...An1An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)...P(AnA1A2...An1)(3)
    3 全概率公式
    3.1. 如果事件组 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2,… 满足
    3.1.1. B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2…两两互斥,即 B i ∩ B j = ϕ B_i \cap B_j = \phi BiBj=ϕ i ≠ j i \neq j i=j i , j = 1 , 2 , . . . . , i,j=1,2,...., i,j=12.... P ( B i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . . ; P(B_i)>0,i=1,2,....; P(Bi)>0,i=1,2,....;
    3.1.2. B 1 ∪ B 2 ∪ . . . . = Ω B_1 \cup B_2\cup....=\Omega B1B2....=Ω,则称事件组 B 1 , B 2 , . . . B_1,B_2,... B1,B2,...是样本空间 Ω \Omega Ω的一个划分
    B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2…是样本空间 Ω \Omega Ω的一个划分, A A A为任一事件,则:
      P ( A ) = ∑ i = 0 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ( 4 ) \ P(A)=\sum_{i=0}^n P(A|B_i)P(B_i)\qquad (4)  P(A)=i=0nP(ABi)P(Bi)(4)
    3.2. 全概率公式的意义在于,当直接计算 P ( A ) P(A) P(A)较为困难,而 P ( B i ) , P ( A ∣ B i ) ( i = 1 , 2 , . . . ) P(B_i),P(A|B_i) (i=1,2,...) P(Bi),P(ABi)(i=1,2,...)的计算较为简单时,可以利用全概率公式计算 P ( A ) P(A) P(A)。思想就是,将事件 A A A分解成几个小事件,通过求小事件的概率,然后相加从而求得事件 A A A的概率,而将事件 A A A进行分割的时候,不是直接对 A A A进行分割,而是先找到样本空间 Ω \Omega Ω的一个个划分 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2,…, B n B_n Bn这样事件 A A A就被事件 A B 1 , A B 2 , . . . A B n AB_1,AB_2,...AB_n AB1,AB2,...ABn分解成了 n n n部分,即 A = A B 1 + A B 2 + . . . + A B n A=AB_1+AB_2+...+AB_n A=AB1+AB2+...+ABn, 每一 B i B_i Bi发生都可能导致 A A A发生相应的概率是 P ( A ∣ B i ) P(A|B_i) P(ABi)
    4 贝叶斯公式
    与全概率公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件 A A A已经发生的条件下,分割中的小事件 B i B_i Bi的概率),设 B 1 , B 2 , . . . B_1,B_2,... B1,B2,...是样本空间 Ω \Omega Ω的一个划分,则对任一事件 A ( P ( A ) > 0 ) A(P(A)>0) AP(A)>0),有
      P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) / P ( A ) ( 4 ) \ P(B_i|A)=P(A|B_i)P(B_i)/P(A)\qquad (4)  P(BiA)=P(ABi)P(Bi)/P(A)(4)
    上式即为贝叶斯公式(Bayes formula), B i B_i Bi常被视为导致试验结果 A A A发生的”原因“, P ( B i ) ( i = 1 , 2 , . . . ) P(B_i)(i=1,2,...) P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小,故称先验概率; P ( B i ∣ A ) ( i = 1 , 2... ) P(B_i|A)(i=1,2...) P(BiA)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果 A A A之后,再对各种原因概率的新认识,故称后验概率。
    参考文献
    https://www.cnblogs.com/ohshit/p/5629581.html

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    条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

    一、背景

    一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的.

    [例1]设有一群共人,其中个女性,

    个是色盲患者.

    个色盲患者中女性占个.如果={从中任选一个是色盲},

    ={从中任选一个是女性},此时,

    .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,

    发生之后,

    发生的概率(暂且记为)自然是.

    [例2]将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率.

    这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.

    中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,

    发生的概率为

    对于例1,已知

    容易验证在发生的条件下,

    发生的概率

    对于例2,已知

    容易验证发生的条件下,

    发生的概率

    对一般古典概型,容易验证:只要,则在发生的条件下,

    发生的概率,

    总是成立的.

    在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下,这时发生的概率为

    由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立.

    其实,还可以验证,这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.

    二、条件概率

    是一个概率空间,

    ,若,则对于任意的,称

    为已知事件发生的条件下,事件发生的条件概率.

    [例3]一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率

    解:易知此属古典概型问题.将产品编号:1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为

    ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)}

    ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)}

    ={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)}

    由条件概率公式得,

    [例4]一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率?(假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的)

    解:据题意样本空间为

    ={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}

    ={已知有一个是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}

    ={另一个小孩也是女孩}={(女,女)}

    于是,所求概率为

    三、条件概率的性质

    (1)非负性:对任意的

    (2)规范性:

    (3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有

    证明:(1)因为所以

    (2)由于,所以

    (3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以

    四、乘法公式

    由条件概率的定义知:设,则.于是,

    这就是概率的乘法公式.

    如果,同样有

    证明因为,依条件概率的定义,上式的右边

    五、乘法公式的应用例子

    [例5] 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破,第二次落下时打破的概率为7/10,若前两次时未打破,第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.

    解:以表示事件“透镜第次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打破”.因为,故有

    [例6] 设袋中装有

    只红球,

    只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入

    只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.

    解:以表示事件“第次取到红球”,

    分别表示事件第三、四次取到白球.所求概率为

    [例7] (卜里耶模型)罐中有只黑球,

    只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,后面次出现红球概率是多少?

    解:以表示事件“第k次取到黑球”,

    表示事件“第次取到红球”,则

    由一般乘法公式,

    1.在例7中,最后答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关.

    2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型.

    时,它是有放回的摸球模型.

    时,它是不放回的摸球模型.

    思考题:在卜里耶模型中,取次,问正好出现次红球概率是多少?

    [例8]一批产品共100件,对其进行抽样调查,整批产品看作不合格的规定是:在被检查的5件产品中至少有一件是废品.如果在该批产品中有5%是废品,试问该批产品被拒绝接收的概率是多少?

    解:设表示被检查的第件产品是正品.

    表示该批产品被接收.则

    因此,该批产品被拒绝接收的概率是0.23。

    作业:

    P55 EX 29,30,31

    六、全概率公式

    是两个事件,那么可以表示为

    显然,

    ,如果

    [例1] 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出的红球的概率是多少?

    解:令:最后从2号箱中取出的是红球;

    :从1号箱中取出的是红球.

    由上面的公式,

    上例采用的方法是概率论中颇为常用的方法,为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率可加性,得到最终结果,这一方法的一般化就是所谓的全概率公式.

    为试验的样本空间,

    的事件,

    的一组事件.若

    (1)

    (2)

    则称为样本空间的一个分割.

    为样本空间的一个分割,那么,对每一次试验,事件必有一个且仅有一个发生.

    [例2]设试验为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间.的一组事件是样本空间的一个分割.而事件组不是样本空间的一个分割,因为

    [例3]甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设样本空间={无人命中飞机,一人命中飞机,二人命中飞机,全命中}.

    的一组事件={三人以下命中飞机},

    ={全命中飞机}是样本空间的一个分割.

    设试验E的样本空间,

    的事件,

    的一个分割,且 ,则

    上式被称为全概率公式.

    证明:,所以

    由假设,且所以

    由条件概率公式,得

    代入上式,即得

    [例4]甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4,0.5,0.7.又设若只有一人射中,飞机坠落的概率为0.2,若有二人射中,飞机坠落的概率为0.6,若有三人射中,飞机必坠落.求飞机坠落的概率.

    解:记={飞机坠落},

    ={

    个人射中飞机},

    =(甲射中,乙丙未射中)+(乙射中,甲丙未射中)+(丙射中,甲乙未射中)

    再由题设,

    利用全概率公式,

    [例5]播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子,用一等、二等、三等、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.

    解:设={从这批种子任选一颗种子是等种子},

    .

    ={从这批种子任选一颗,所结出的麦穗含有50颗麦粒以上}

    由全概率公式

    在例题5中,

    ,这对于农业技术人员来说,这个数据是重要的,但对育种专家来说,仅有这个数据是不够的.因为他们更感兴趣的是下面的问题.

    [例6]在例题5中,问由这批所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等、二等种子长出的概率.

    解:

    在上面的计算中,事实上建立了一个著名的公式——Bayes公式.

    七、贝叶斯公式

    设试验的样本空间,

    的事件,

    的一个分割,且 ,则

    上式称为贝叶斯公式.

    证明:由条件概率,知

    和全概率公式

    [例7]某电子设备厂所用的元件是由三家元件厂提供的,根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.

    (1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率.

    (2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此品由三个厂家生产的概率是多少?

    解:设取到的元件是次品,

    表示取到的元件是由第个厂家生产的.

    (1)由全概率公式,

    (2)由贝叶斯公式,

    以上结果表明,这只产品来自第2家工厂的可能性最大.

    八、贝叶斯方法

    从这道题中我们看出,“取一个元件”是进行一个试验,那么是在试验以前就已经知道的,所以习惯地称它们为先验概率.实际上它是过去已经掌握的生产情况的反映,对试验要出现的结果提供了一定的信息.

    在这个例子中,试验结果出现次品,这时条件概率反映了在试验以后,对A发生的来源的各种可能性的大小,通常称为后验概率.

    如果是病人可能患的n种疾病,在诊断以前先检验与这些疾病有关的某些指标(如体温,血压,白血球等),若病人的某些指标偏离正常值,要问病人患的是哪一种疾病,从概率论的角度考虑,若较大,而为了计算 ,就可以利用上述的贝叶斯公式,并把由过去的病例中得到的先验概率值代入,也就是医学上所说的发病率,人们常常喜欢找有经验的医生给自己治病,因为过去的经验能帮助医生作出比较准确的诊断,能够更好地做到对症下药,而贝叶斯公式正是利用了经验的知识,由此,读者可以直觉地认识到这个公式的意义.也正因如此,这类方法在过去和现在,都受到人们的普遍重视,并称为贝叶斯方法.

    [例8]用甲胎蛋白法普查肝癌,令

    ={被检验者患肝癌}

    ={甲胎蛋白检验呈阳性}

    {被检验者未患肝癌}

    {甲胎蛋白检验呈阴性}

    由资料已知,

    ,又已知某地居民的肝癌发病率,在普查中查出一批甲胎蛋白检验呈阳性的人,求这批人中真的患肝癌的概率.

    解:由贝叶斯公式可得,

    由此可见,经甲胎蛋白检验呈阳性的人群中,其中真正患肝癌的人还是很少的,只占0.0038,把对比一下是很有意思的.当已知病人患肝癌或未患肝癌时,甲胎蛋白检验的准确性应该说是比较高的,这从可以肯定这一点.但如果病人患肝癌或未患肝癌时,而要从甲胎蛋白检验结果是否为阳性这一事件出发,来判断病人是否患肝癌,那么它的准确性还是很低的,因为 .这个问题看来似乎有点矛盾.一种检验方法准确性很高,但实际使用时准确性很低,到底是怎么一回事?

    从上述计算中用到的贝叶斯公式,可以得到解释.已知是不大的,但是患肝癌的人数毕竟很少,

    ,这就使得相对很大,从而很小.那么,上述结果是不是说明甲胎蛋白检验法不能用了呢?完全不是!通常医生总是先采取一些其它简单易行的辅助方法进行检查,当他怀疑某个对象有可能患肝癌时,才建议用甲胎蛋白检验法.这时,肝癌的发病率已经显著地增加了.比方说,在被怀疑的对象中,这时,这就有相当的准确性了.

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