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  • 最速下降法、DFP法

    2013-01-02 18:23:01
    最速下降法、DFP法,matlab,解决函数最小化问题,工程优化
  • matlab DFP法源文件

    2014-06-04 18:30:23
    运用matlab编写的最优化理论基础课程中DFP法
  • BFGS和DFP法的最优化问题求解及在MATLAB中的实现.pdf
  • 第 26 卷 第 5 期 2 0 1 2 年 9 月... 2 0 1 2 BFGS 和 DFP 的最优化问题求解及在 MATLAB 中的实现* 吴顺秋 ( 湖南城市学院数学与计算科学学院,湖南 益阳 413000) 摘 要:对拟 Newton 方法中的 DFP 算法和 BFGS 算...

    第 26 卷 第 5 期 2 0 1 2 年 9 月 长 沙 大 学 学 报 JOURNAL OF CHANGSHA UNIVERSITY Vol.26 No.5 Sep. 2 0 1 2 BFGS 和 DFP 法的最优化问题求解及在 MATLAB 中的实现* 吴顺秋 ( 湖南城市学院数学与计算科学学院,湖南 益阳 413000) 摘 要:对拟 Newton 方法中的 DFP 算法和 BFGS 算法进行了探讨,借助 matlab 软件中 fminsearch 和 fminunc 函数,利用BFGS 方法和 DFP 方法对非线性无约束优化问题进行了仿真研究,结果表明利用 matlab 软件解答非线性无约束优化问题获得了好的效果,为数学工作者求解非线性无约束优化问题提供了一种新的方法.关键词:matlab 软件; 数学建模; BFGS 算法; DFP 算法; 最优解 中图分类号:TB112 文献标识码:A 文章编号:1008 -4681(2012)05 -0001 -03 在当今科学研究、工程设计和经济管理等许多领域中,常常会遇到如何在一切可能的方案中选择最优、最好方案的这类问题,数学上把它称之为最优化问题. 如何得到最优方案,自然也就成了科技人员在解决实际问题中特别关心的问题. 而在大多数人的头脑中,特别是现在的高科技人才中,很多人只注意新方法新问题的发明、发现,其实如何对已有的方法的优化同样是一个很重要、很艰巨的问题[1,2].在数学上,优化问题就是求解如下形式的最优解: Minimize f( x) Subject to[C. E.] [B. C.] 其中 f( x) 称为目标函数,Subject to 引导的部分称为约束条件,[C. E.]即条件方程,[B. C.]即边界条件,用来约束自变量的求解域,以 vlb≤x≤vub 的形式给出. 在优化问题中,根据目标函数、约束函数和变量的不同,可以将其大致分为线性优化、非线性优化、二次优化、多任务目标优化等,本文主要讨论非线性优化问题,这里仅就 DFP 算法和 BFGS 算法进行一些探讨. 1 DFP 算法和 BFGS 算法 1. 1 DFP 算法 无约束优化问题的基本形式为[3]; Minimize f( x) x ∈ Rn ( 1) 其中 f( x) : Rn → R 称为目标函数. 理论分析和大量数值试验表明,在求解( 1) 的各种算法中,拟 Newton 算法是效果最好的一类方法. DFP( Davidon -Fletcher - Powell) 算法是最早提出的拟 Newton 算法,它首先由 Davidon 给出,并由 Fletcher 和 Powell 修改而成[4]. DFP 算法的一般计算步骤如下: dk = - ( Bk) -1gk xk+1 = xk + akdk Bk+1 = Bk - BkskyT k + yksT k Bk sT k yk + 1 + sT k Bksk sT k y( ) k · yk 2 2 sT k yk 其中 sk = akdk; yk = gk+1 - gk,ak 为步长因子,它由具体的线 搜索准则确定. Goldstein - Armijor 线搜索下的 DFP 算法步骤 1: 取 x1 ∈ Rn,B1 ∈ Rn* n 且对称正定,k = 1; 步骤 2: 计算 gk = f( xk) ,如果 gk = 0,则终止,最优解为 xk; 如果 gk ≠ 0,令 dk = - ( Bk) -1gk,继续下一步; 步骤 3: 选取 ak 满足以下两式

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  • 介绍了这三种优化方法的基础知识 dfp bfgs
  • 22、DFP法

    2019-03-22 18:27:15
    # -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Fri Mar 22 17:07:02 2019 @author: zhangchaoyu """ import math import copy """人为修改函数,梯度函数、步长迭代函数""" ...1、f(x,y) = 1.5x*x + 0.5y*y - xy - 2x ...
    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Fri Mar 22 17:07:02 2019
    
    @author: zhangchaoyu
    """
    import math
    import copy
    
    """人为修改函数,梯度函数、步长迭代函数"""
    """
    1、f(x,y) = 1.5x*x + 0.5y*y - xy - 2x
    2、f(x,y) = 4(x-5)(x-5) + (y-6)(y-6)
    """
    def gradient(X):
        x = X[0]
        y = X[1]
        #return [3*x-y-2, y-x]
        return [8*x-40, 2*y-12]
    
    def step_best(X, P):
        px = P[0]
        py = P[1]
        x = X[0]
        y = X[1]
        #return -(px*(3*x-y-2)+py*(y-x))/(3*px*px-2*px*py+py*py)
        return -(px*(4*x-20)+py*(y-6))/(4*px*px+py*py)
    def multiplication_M_and_V(H, G): 
        P = []
        for i in range(len(H)):
            P.append(-sum([H[i][j]*G[j] for j in range(len(H[i]))]))
        return P
    
    def multiplication_M_and_M(A, B): 
        C = []
        for i in range(len(A)):
            temp = []
            for j in range(len(B[0])):
                temp.append(sum([A[i][k]*B[k][j] for k in range(len(A[i]))]))
            C.append(copy.deepcopy(temp))
        return C
    
    def trans(A):
        return [[A[j][i] for j in range(len(A))] for i in range(len(A[0]))]
    
    def H_iteration(H, dX, dG):
        H1 = copy.deepcopy(H)
        
        H2 = multiplication_M_and_M(trans([dX]), [dX])
        c2 = sum([dX[i]*dG[i] for i in range(len(dX))])
        H2 = [[H2[i][j]/c2 for j in range(len(H2[i]))] for i in range(len(H2))]
        
        c3 = multiplication_M_and_M(multiplication_M_and_M([dG], H), trans([dG]))[0][0]
        H3 = multiplication_M_and_M(multiplication_M_and_M(H, trans([dG])), trans(multiplication_M_and_M(H, trans([dG]))))
        H3 = [[H3[i][j]/c3 for j in range(len(H3[i]))] for i in range(len(H3))]
        
        H4 = [[H1[i][j]+H2[i][j]-H3[i][j] for j in range(len(H1[i]))] for i in range(len(H1))]
        
        return H4
    
    def Newton(X0):    
        
        X = X0
        G = gradient(X)
        H = [[0 for j in range(len(X))] for i in range(len(X))]
        for i in range(len(H)):
            H[i][i] = 1
        P = multiplication_M_and_V(H, G)
        
        while math.sqrt(G[0]*G[0]+G[1]*G[1]) > 1e-5:
            
            step = step_best(X, P)
            dX = [step*P[i] for i in range(len(X))]
            
            X = [X[i]+dX[i] for i in range(len(X))]
            G1 = gradient(X)
            dG = [G1[i]-G[i] for i in range(len(G))]
            H = H_iteration(H, dX, dG)
            G = copy.deepcopy(G1)
            P = multiplication_M_and_V(H, G)
            print(X)
        
        return X    

     

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  • 牛顿 考虑如下无约束极小化问题: minxf(x) 其中x∈RN,并且假设f(x)为凸函数,二阶可微。...梯度下降用的是一阶偏导,牛顿用二阶偏导。以标量为例,在当前点进行泰勒二阶展开: 函数f(x)在xk的二...

    转载来自无色光的博客园:http://www.cnblogs.com/wuseguang/p/4088817.html

    牛顿法

    考虑如下无约束极小化问题:

    minxf(x)

    其中xRN,并且假设f(x)为凸函数,二阶可微。当前点记为xk,最优点记为x
    梯度下降法用的是一阶偏导,牛顿法用二阶偏导。以标量为例,在当前点进行泰勒二阶展开:
    函数f(x)xk的二阶近似:
    f(x)f(xk)+f(xk)(xxk)+12f′′(xk)(xxk)2

    φ(x)等于函数f(x)的二阶近似,即:
    φ(x)=f(xk)+f(xk)(xxk)+12f′′(xk)(xxk)2

    极小值点满足φ(x)=0,求得:
    xk+1=xkf(xk)f′′(xk)

    右半部第二部分的分式指明下一步的迭代方向。
    若扩展到多维,上式变为
    xk+1=xkH1gk

    其中gk=f(xk)为梯度向量,也可以用雅克比矩阵的形式表示Hk=2f(xk)为海森矩阵。

    牛顿法是具有二次收敛性的算法,收敛速度比较快。但是其步长固定,因此不能保证稳定的下降。

    阻尼牛顿法在牛顿方向上附加了步长因子,每次调整时会在搜索空间,在该方向找到最优步长,然后调整。

    拟牛顿法

    由于牛顿法的要求比较严格,计算比较复杂,衍生出拟牛顿法。

    拟牛顿法对HkH1k取近似值,可减少计算量。记BH,DH1,yk=gk+1gk,sk=xk+1xk
    根据拟牛顿条件,可得近似公式:

    Bk+1=yksk


    Dk+1=skyk

    是不是跟二阶导数的定义很相似?k阶导数定义为自变量增加1之后,k1阶导数增加的值,然后求极限而已。

    下面是几个拟牛顿法。

    DFP算法

    DFP算法采用的是D,但并不直接计算D,而是计算每一步D的增量D来间接的求出D。这也是很多优化算法的做法,因为一般上一步的中间结果对下一步的计算仍有价值,若直接抛弃重新计算耗时耗力耗内存,重新发明了轮子。

    Dk+1=Dk+ΔDk

    D0通常取单位矩阵I,关键导出每一步的Dk.

    通过一系列艰苦而又卓绝的推导计算假设取便,最终的导出结果为:

    ΔDk=sksTksTkykDkykyTkDkyTkDkyk

    一般来说,在进行中间增量计算时,都要经过这一步艰苦而又卓绝的推导计算。

    BFGS算法

    BFGS算法与DFP算法类似,只是采用的B来近似H。最终的公式为:

    ΔBk=ykyTkyTkxkBksksTkBksTkBksk

    跟DFP相比,只是DBsy互调。

    L-BFGS算法

    L-BFGS算法对BFGS算法进行改进,不再存储矩阵Dk,因为Dk有时候比较大,计算机的肚子盛不下。但是我们用到Dk的时候怎么办呢?答案是根据公式求出来。

    从上面的算法推导可知,Dk只跟D0和序列{sk}{yk}有关。即我们知道了后者,即可以求得前者。进一步近似,我们只需要序列{sk}{yk}的最近m个值即可。这样说来,我们的计算机内存中只需要存储这两个序列即可,瞬间卸掉了很多东西,正是春风得意马蹄轻。当然,这样cpu的计算量也会相应的增加,这是可以接受的,马,也是可以接受的。

    最终的递推关系为

    Dk+1=VTkDkVk+ρksksTk

    其中

    ρk=1yTksk,Vk=IρkyksTk

    参考文献:http://blog.csdn.net/itplus/article/details/21897715

    转载于:https://www.cnblogs.com/raby/p/5939860.html

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  • DFP算法及Matlab程序Word版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《DFP算法及Matlab程序Word版(6页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!作业二 用DFP算法求解,取...

    《DFP算法及Matlab程序Word版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《DFP算法及Matlab程序Word版(6页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!作业二 用DFP算法求解,取,。一、求解:(1) 求迭代点x1令,得的极小值点,所以得:于是,由DFP修正公式有下一个搜索方向为(2) 求迭代点x2令,得的极小值点于是得:,所以:,因Hesse阵为正定阵,为严格凸函数,所以为整体 极小点。二、DFP算法迭代步骤如下:(1)给定初始点,初始矩阵(通常取单位阵),计算,令k=0,给定控制误差。传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!(2)令。(3)由精确一维搜索确定步长,(4)令。(5)若,则停;否则令 , 。(6)由DFP修正公式得。令k=k+1,转步骤(2)3、 DFP算法m。

    2、atlab程序实现function best_x,best_fx,count=DFP(x0,ess)syms x1 x2 t;f=x1*x1+2*x2*x2-2*x1*x2-4*x1;fx=diff(f,x1);%求表达式f对x1的一阶求导 fy=diff(f,x2);%求表达式f对x2的一阶求导fi=fx fy;%构造函数f的梯度函数%初始点的梯度和函数值g0=subs(fi,x1 x2,x0);f0=subs(f,x1 x2,x0);H0=eye(2);%输出x0,f0,g0x0f0g0xk=x0;传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!fk=f0;gk=g0;Hk=H0;k。

    3、=1;while(norm(gk)ess)%迭代终止条件|gk| x0=1 1;ess=1e-6;best_x,best_fx,count=DFP(x0,ess)程序运行结果:x0 =1 1f0 =-3g0 =-4 2*第1次寻优传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!xk =2.0000 0.5000fk =-5.5000gk =-1 -2Hk =0.8400 0.38000.3800 0.4100*第2次寻优xk =4 2fk =-8gk =0 0Hk =1.0000 0.50000.5000 0.5000结果如下:best_x =4 2best_fx =-8传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!count =2可以看到,最优点,迭代次数2次,与前面结果一致。

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  • DFP算法及Matlab程序作业二 用DFP算法求解,取,。一、求解:求迭代点x1令,得的极小值点,所以得:于是,由DFP修正公式有下一个搜索方向为求迭代点x2令,得的极小值点于是得:,所以:,因Hesse阵为正定阵,为严格...
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  • 参考资料 https://blog.csdn.net/batuwuhanpei/article/details/51979831 ...无约束优化方法(梯度-牛顿-BFGS- L-BFGS) 优化算法——拟牛顿DFP算法 牛顿与拟牛顿 牛顿,拟牛顿, 共轭梯度...
  • DFP matlab实现

    2016-09-26 11:22:27
    DFP 二元搜索

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