微积分 订阅
微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法 [1]  。 展开全文
微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法 [1]  。
信息
外文名
Calculus
学科特点
理论严密、应用广泛
积分发明
艾萨克·牛顿、莱布尼茨
微分发明
艾萨克·牛顿、莱布尼茨
研究内容
切线、函数、极限、积分、微分
中心思想
切线、函数
中文名
微积分
微、积分关系
互为逆运算
所属学科
数学,物理
微积分内容简介
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括:极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括:定积分、不定积分等。从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分 [2]  。
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  • 微积分

    千次阅读 2019-03-03 20:01:13
    微积分

    1.微分方程
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    2.积分方程
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  • 微积分-微积分的本质

    2021-05-14 10:34:32
    从计算圆的面积来探索微积分 将圆分割成相等的圆环,排列在一起组成近似三角形,三角形的面积即近似原的面积,分割的越小,越接近 所以,微积分的本质就是: 将困难问题化为无限小量之和 无限逼近真实值 ...

    从计算圆的面积来探索微积分

    将圆分割成相等的圆环,排列在一起组成近似三角形,三角形的面积即近似原的面积,分割的越小,越接近
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    所以,微积分的本质就是:

    将困难问题化为无限小量之和
    无限逼近真实值
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  • ​ ​当前,全国正在向世界科技强国迅速迈进,高校微积分教育亟待改革,不拖后退。  ​ ​菲氏微积分与Keisler微积分教材不仅是两个不同时代的微积分教材,而且两者的版权形式也不相同:一个是版权所有(纸质版...

        ​    ​当前,全国正在向世界科技强国迅速迈进,高校微积分教育亟待改革,不拖后退。

        ​    ​菲氏微积分与Keisler微积分教材不仅是两个不同时代的微积分教材,而且两者的版权形式也不相同:一个是版权所有(纸质版),一个是版权共享(电子版)。

        ​    ​毋庸置疑,当前国内高校微积分教育(师资队伍与教学大纲)基本上属于传统菲氏微积分的范畴(总根子),而KLeisler撰写的无穷小微积分(基于模型论)几乎没有对我国高校微积分教育产生实质性的影响。

    ​    ​    ​菲氏诞生于十九世纪末期,经历了十月革命、卫国战争动乱年代。这一时期,苏联国内学术界强烈反对“数学形式主义”,拒绝公理化集合论,这些倾向在菲氏著作中都有所反映。

        ​    ​实际上,由于苏联学术界偏离当时国际发展主流,导致二十几下半叶,俄罗斯在数学方面的落伍,缺乏新人与创新。

        ​    ​反观国际数学界,十九世纪80年代,德国康托尔创立集合论、2001年,英国罗素发现康托尔朴素集合论存在悖论,为解决数学基础存在悖论问题,导致国际数学系统公理化运动的兴起。另外,2000年,德国数学家希尔伯特提出著名的23个数学问题,要求世界数学家解决,其中摆在第一位置的问题就是“康托尔连续统假设”(即自然数与实数是不是一样多?康托尔猜然数集合少于实数集合,而且中间没有其他的数集)。

        ​    ​事实证明,康托尔假设不是传统数学所能解决的问题,非常深奥。上世纪50年代,美国数学家塔尔斯基主持世界知名的数学讨论班,创立了名声远扬的数理逻辑模型论,其博士·1生Keisler在模型论基础上于1967年创立判定数学理论复杂性的概念,据此概念,40年之后,在本世纪二十年代(2017年),两位美国数学家给出长篇证明(600页),彻底推翻了康托尔的猜想(CH),荣获豪斯多夫大奖。

        ​    ​1960年,美国数学家鲁宾逊,根据,绪论模型论紧致性定理,创建现代无穷小分析。这是现代数学的一大进展。

        ​    ​197/6年,J.Keisler精心撰写“ElementaryCalculus”(基础微积分)教材,完全根据鲁宾逊关于现代无穷小的理论,构建了全新的微积分教育新途径,并于2001年,按照“知识共享”协议将其放开该书版权,上传互联网,任由读者下载学习使用。

        ​    ​对待数学公理化,菲氏与Keisler的态度截然相反,一个唯恐避之不及,另一个欣然拥抱。

    我们怎么样?

        ​    ​如果按照菲氏传统路线走下去,在二十年之后,我们的数学家何在?赶超世界变成一句空话。

    袁萌   7月2日

    附:

    菲氏简介及其代表作:

    菲赫金哥尔茨(1888 – 1959)毕生致力于数学教学,热爱教学、重视教学。他在列宁格勒大学(现圣彼得堡大学)工作40多年,直至1953年退休,一直是数学分析教研室负责人。他在大学讲了30多年的数学分析课,培养了许多世界著名的苏联数学家。他还热心于苏联的中学数学教学,给中学生和中学教师讲课,他是20世纪30年代苏联中学教学大纲的制订者,苏联第一届数学奥林匹克的发起人(1934年),也是苏联师范学院的组织者之一。三卷本《微积分学教程》是他的教学经验和教学艺术的结晶。人们赞扬‘他的每一堂课都是一篇教学杰作,甚至他的板书也像是一幅艺术作品”,对他的评价是“天才加诚挚、善良,具有非凡的工作能力和高度的责任感”。 

    菲氏微积分内容简介

    《微积分学教程》是2006年1月高等教育出版社出版的图书,作者是(俄罗斯)菲赫金哥尔茨。

    书    名  微积分学教程

    作    者 俄罗斯  菲赫金哥尔茨

    译    者 杨弢亮、叶彦谦

    出版社 高等教育出版社

    出版时间 2006-01-01

    目  录

    绪论 实数

      1.有理数域

      2.无理数的导入·实数域的序

      3.实数的算术运算

      4.实数的其他性质及应用

      第一章 极限论

      1.整序变量及其极限

      2.极限的定理·若干容易求得的极限

      3.单调整序变量

      4.收敛原理·部分极限

      第二章 一元函数

      1.函数概念

      2.函数的极限

      3.无穷小及无穷大的分阶

      4.函数的连续性及间断

      5.连续函数的性质

      第三章 导数及微分

      1.导数及其求法

      2.微分

      3.微分学的基本定理

      4.高阶导数及高阶微分

      5.泰勒公式

      6.插值法

      第四章 利用导数研究函数

      1.函数的动态的研究

      2.凸与(凹)函数

      3.函数的作图

      4.不定式的定值法

      5.方程的近似解

      第五章 多元函数

      1.基本概念

      2.连续函数

      3.多元函数的导数及微分

      4.高阶导数及高阶微分

      5.极值·最大值及最小值

      第六章 函数行列式及其应用

      1.函数行列的性质

      2.隐函数

      3.隐函数理论的一些应用

      4.换元法

      第七章 微分学在几何上的应用

      1.曲线及曲面的解析表示法

      2.切线及切面

      3.曲线的相切

      4.平面曲线的长

      5.平面曲线的曲率

      附录 函数扩充的问题

    第八章 原函数(不定积分)

    1.不定积分与它的计算的最简单方法

    2.有理式的积分

    3.某些含有根式的积分

    4.含有三角函数与指数函数的表达式的积分

    5.椭圆积分

    第九章 定积分

    1.定积分的定义与存在条件

    2.定积分的一些性质

    3.定积分的计算与变换

    4.定积分的一些应用

    5.积分的近似计算

    第十章 积分学在几何学、力学与物理学中的应用

    1.弧长

    2.面积与体积

    3.力学与物理学的数量的计算

    4.最简单的微分方程

    第十一章 常数项无穷级数

    1.引言

    2.正项级数的收敛性

    3.任意项级数的收敛性

    4.收敛级数的性质

    5.累级数与二重级数

    6.无穷乘积

    7.初等函数的展开

    8.借助于级数作近似计算

    9.发散级数的求和法

    第十二章 函数序列与函数级数

    1.一致收敛性

    2.级数和的函数性质

    3.应用

    4.关于幂级数的补充知识

    5.复变量的初等函数

    6.包络级数与渐近级数  欧拉-麦克劳林公式

    第十三章 反常积分

    第十四章 依赖于参数的积分

    第十五章 曲线积分,斯蒂尔切斯积分

    第十六章 二重积分

    第十七章 曲面面积,曲面积分

    第十八章 三重积分及多重积分

    第十九章 傅里叶级数

    第二十章 傅里叶级数(续)

    附录 极限的一般观点

    (全文完)

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  • 漫步微积分二——微积分是什么

    千次阅读 2016-07-14 19:42:39
    微积分是什么?切线问题乍一看这些问题看起来局限在斜率中。我们期望他们可以弄清楚几何上的显著特性,他们也做到了。令我们吃惊的是,他们也被用于许多重大而深远的各种科学中。微积分通过科学上的应用已经走出了...

    微积分是什么?切线问题

    大家都知道,我们生活的世界是以运动和变化为主导的。地球绕着太阳转动;向上扔一块石头,它的速度会慢慢变小停下,然后返回地面,并且速度一直增加;印度的人口每年增加,并且增长的速度也在增加;放射性元素的衰变。这些都是无数现象中的沧海一粟,而数学是沟通和理解他们最自然的媒介。伽利略在三百多年前就说过,“大自然最伟大的书籍都被写进了数学符号里”

    我们以微积分是什么以及它为什么的重要来这两个主题开始我们微积分之旅。鸟瞰前方的道路可以让我们清晰的看到目的和把握方向,还将让我们更好的理解许多技术细节,而这些技术细节做成了我们微积分课程的大体内容。

    微积分通常分为两个部分,微分学和积分学。每部分都有各自的术语,繁多的符号和特定的计算方法。习惯这些需要大量的时间和练习,就像学习一门新语言一样。然而,这个事实不应把我们欺骗了,这门课核心问题真的很简单、很 清晰,它们并不奇怪和神秘。

    乍一看这些问题看起来局限在斜率中。我们期望他们可以弄清楚几何上的显著特性,他们也做到了。令我们吃惊的是,他们也被用于许多重大而深远的各种科学中。微积分通过科学上的应用已经走出了数学的范围,我们主要目的之一是尽可能多的介绍他的广泛性。同时我们将不停强调几何和几何应用,基于这种方式可以让我们更容易理解微积分的思想。

    人们有时候说微积分由十七世纪后期牛顿和莱布尼兹两个人发明的。实际上,微积分的产生经历了一个漫长的进化,它始于古希腊一直到十九世纪。牛顿和莱布尼兹确实很了不起,他们的贡献起着决定性的意义,但微积分并没有开始也没有结束。上文所述的问题深受十七世纪欧洲科学家的关注(尤其是费马),这两个天才用特殊的方法取得了突破性的进展。牛顿和莱布尼兹的成就就是认识到并探索了这些问题之间的联系,而其他任何人都不完全明白。具体来说,他们是最早掌握微积分基本定理的精髓,即是说,切线问题的解可用于解决面积问题。这个定理在整个数学来说非常重要,并且是由他俩独立发明的。他们和他们的继任者用它来衔接微分和积分,产生许多非凡的方法。

    基于这些事实,我们从研究切线问题入手。然后,再转向面积问题。然后我们扩展我们的基本概念和工具到更广泛函数,这些函数被用于许多重要的应用中。

    在尝试计算切线的斜率之前,我们首先得定义切线是什么,这看起来并不容易。

    对圆来说这并不困难,圆的切线就是与圆只有一个交点的直线,这个点叫做切点;而其余的直线要么有两个交点,要么没有交点。这种情况给我们提供了非常直观的想法,我们可以在曲线上给定一个点,在那个点处与曲线相交得到的线就是切线。还有种定义是与曲线只相交于一点的线。这一定义被希腊人用于处理圆和一些特殊的曲线,但一般情况下,这个定义并非对所有曲线成立。考虑图1的曲线:下面那条线是切线,但是不满足定义。上面那条线满足定义,但明显不适切线。


    切线问题
    图1

    切线的现代概念由费马提出。之后我们会看到,这个概念不仅是对切线几何性质和油的说明,也是构造切线的关键。

    简单地说,想法是这样的:考虑曲线y:f(x)P是给定的点 (图2 )。Q是曲线上临近的点,绘制割线PQ。点P的切线可以看作随着Q沿曲线移向P时割线的极限位置。之后我们会看到这个定性的想法是如何产生计算函数f(x)切线斜率的定量方法。


    费马的想法
    图2

    对此不要有任何误解。不要小觑这种切线的思维方式。相反地,它是数学中几个最富有成效想法中的一个,没有它,就没有物理学中的速度或加速度,没有牛顿动力学或天文学,没有任何形式的物理学,只有现象的口头描述而已,当然也不会有现在的工业时代。

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