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  • 改进后的最小包围球随机增量算法比原先的随机增量算法的程序运行效率提高了百分之70
  • 一、前言 1、空间点集的最小包围球 【例题1】三维空间中N(N <= 1000000)个点的集合,需要求一个球体包围所有的点,并且半径最小。算法要求给出这个球体的球心和半径大小。图一-1-1 最小包围球在计算几何...
    
    
    一、前言
            1、空间点集的最小包围球
           【例题1】三维空间中N(N <= 1000000)个点的集合,需要求一个球体包围所有的点,并且半径最小。算法要求给出这个球体的球心和半径大小。

    图一-1-1
           最小包围球在计算几何、碰撞检测、人工智能以及模式识别等领域都有着广泛应用。计算机图形学中,三维空间点集的最小包围球相比三维凸包而言,可以更加快速且精确的进行碰撞检测。而这些领域中点集的数据量往往是巨大的,所以快速有效的求解最小包围球的算法就显得尤为重要。
           我们知道一个三维空间中离散点集的最小包围球一定是唯一的,只要求出这个球心,半径就是球心到所有点的距离的最大值,那么如何求出这个球心成了问题的关键。本文将利用随机增量算法从二维的情况(最小覆盖圆)对问题进行深入剖析,从而扩展到三维的情况。首先 来看下二维的情况:
            2、平面点集的最小覆盖圆
           【例题2】平面上N(N <= 1000000)个点的集合,需要求一个圆,使得它能包含(覆盖)所有的点,并且半径最小。要求输出这个圆的坐标和半径大小。

    图一-2-1
           两者看起来是类似的问题,然而当我们思考空间问题没有头绪的时候,往往可以采用降维的思想,将空间问题转化成平面问题,然后再回到空间问题。那么,接下来本文将循序渐进,将求解最小覆盖圆的算法从O(n^4)优化到O(n^3)、再优化到O(n^2)。最后推翻之前的一切引入一个O(n)的算法。
           介绍算法之前,首先来看一个概念,也是本文的核心算法,即随机增量算法。
    二、随机增量算法
            1、增量算法
           增量算法(Incremental Algorithm)可以参考初中学的数学归纳法去理解。如果你已经熟悉动态规划,那么增量法就是动态规划的简化版。本质就是将问题划分为规模小一层的子问题,然后求解子问题后再计算原问题的解。
            2、随机增量算法
           随机增量算法的核心是一个洗牌算法,即随机打乱原本序列的顺序,如下:
         void randomSuffle() {
             for(i = 1 to n)
                 swap(p[i], p[random(1,n)]);
         }
           然后,按照洗牌后的顺序执行固定算法。由于洗牌是纯随机的,所以对于依赖于原序列顺序的算法来说,可以很好的规避掉"worst case"。并且可以通过随机性来计算概率和算法的期望复杂度。接下来就以最小覆盖圆来介绍随机增量算法的执行原理。
    三、最小覆盖圆
            1、O(n^4)算法
           由于三个不共线的点确定一个圆,所以很容易想到一个O(n^4)的算法。
           枚举任意三个不公线点算出对应三角形外接圆的圆心和半径,然后判断其它点是否在这个圆内。取所有满足条件的圆中半径最小的那个就是所求的最小包围圆。枚举三点复杂度O(n^3),加上一步判断轮询O(n),总的时间复杂度O(n^4)。
           当然,这里漏掉了一种情况,就是有可能这个最小覆盖圆只经过两个点。所以还需要枚举任意两点为直径的圆,判断其它点是否在其内,这一步是O(n^3)的。所以总的算法复杂度还是O(n^4)。
    图三-1-1
            2、O(n^3)算法
           对以上思路进行一个优化,我们知道最小覆盖圆必然至少经过两个点(除非原点集一共只有一个点)。枚举任意两个点作为最小覆盖圆的一条弦,那么圆心必然在两点的中垂线上,如图三-2-1。这个覆盖圆有三种情况:
    图三-2-1
           a、圆心为这两点的中点(蓝色圆); b、圆心落在弦的左边(绿色圆); c、圆心落在弦的右边(红色圆);
    图三-2-2
           如图三-2-2所示,蓝色线段XY代表圆上的弦,其余的点和弦上两点XY构成夹角(如图中的∠XAY、∠XBY、∠XCY、∠XDY),夹角的关系为:圆外角<圆周角<圆内角,所以要覆盖所有的点,必然要让这个夹角最小。那么只要遍历所有的点,找出夹角最小的这个点,三点确定一个圆。然后再判断其余的点是否在这个找到的圆内,枚举任意一条弦的复杂度O(n^2),寻找夹角最小的点和判定是否在圆内是分开的操作,复杂度分别为O(n),所以总时间复杂度O(n^3)。
            3、O(n)算法
           最后介绍一个平均期望O(n)的算法。
           1)随机增量法,打乱所有点的顺序。
    图三-3-1
           2)以第①个点和第②个点为直径建立初始圆C,如图三-3-2所示。然后依次判断剩下n-2个点是否在这个圆内。
    图三-3-2
           如果点p[i]在圆C内(3<=i<=n),则不做任何处理;否则p[i]必定在前i个点所在最小覆盖圆的边界上,求出这个圆后更新C。于是问题转化成:求前i个点的最小覆盖圆,并且点p[i]在圆上。
           3)以第①个点和第i个点p[i]为直径建立初始圆C'。然后依次判断前i个点是否在这个圆内。
    图三-3-3
           如果点p[j]在圆C'内(j < i),则不做任何处理;否则p[j]必定在前j个点所在最小覆盖圆的边界上,求出这个圆后更新C'。于是问题转化成:求前j个点的最小覆盖圆,并且点p[i]和点p[j]都在圆上。
           4)以第i个点和第j个点为直径建立初始圆C''。然后依次判断前j个点是否在这个圆内。
    图三-3-4
           如果点p[k]在圆C''内(k < j),则不做任何处理;否则用点p[i]、p[j]、p[k]三点确定一个圆更新C'',继续判断剩下的点l (k < l < j)。
    图三-3-5
           5)然后用C''更新C',再用C'更新C。就这样迭代求出包含前i个点的最小包围圆C。最后来看一下前5个点的最小覆盖圆。
    图三-3-6
           可能这样讲下来有点迷,那么我们仔细分析一下上述算法。首先该问题有几个子问题,如图三-3-7所示,分别为:
           【1】前i个点的最小覆盖圆;
           【2】前i个点的最小覆盖圆,且点p[i]在该圆边界上;
           【3】前j个点的最小覆盖圆,且点p[i]和点p[j]在该圆边界上;
    图三-3-7
           这样把状态一划分,问题就变得简单许多了。自底向上的分析,【3】的情况我们已知圆上两点,那么只要再知道一个点就可以直接采用圆心(未知量)到圆边界点(已知量)距离相等列方程求解二元一次方程组计算得到(即三点确定一个圆),所以枚举所有前j个点计算半径最大的那个圆就是【3】问题的解。而【2】的情况是我们已知圆上一点,那么再枚举一点就可以转变成【3】的情况。同样,【1】的情况是只要枚举一点就可以转变成【2】的情况,自底向上的递归求解即可。
            最小覆盖圆参考代码如下: 最小覆盖圆
            4、O(n)算法时间复杂度分析
           如果没有一开始的洗牌算法,考察该算法将会有三个for循环,那么最坏情况就是每次加入的点都在前i个点组成覆盖圆的外面,所以算法的最坏时间复杂度还是O(n^3)的。但是一旦顺序打乱以后,情况就不同了。
           有一条很重要的性质就是:第i个点在前i-1个点所组成的最小覆盖圆外的概率为3/i。
           证明如下:随机生成i个点,求出它们的最小覆盖圆,这个最小覆盖圆必然是圆上的某3个点确定的(2个点的情况计算得到的概率更小所以不考虑)。那么最后生成的那个点(第i个点)只要不是那3个点中其中一个,则必然落在圆内;反之在圆外。所以第i个点在前i-1个点组成的最小覆盖圆外侧的概率仅为3/i。
           对于第i个点,只有3/i的概率是需要重新计算前i个点的最小覆盖圆,其它情况都是pass,所以总的均摊复杂度是O(n)的。
    四、最小包围球
            1、O(n)算法
           最后我们将上述问题扩展为三维(如果对最小覆盖圆算法还没有完全理解请止步于此)。
           算法思路完全参照二维求最小覆盖圆的情况:
           1)随机增量法,打乱所有点的顺序。
           2)【前i个点的最小包围球】以第①个点和第②个点为直径,两点中点为球心,建立初始球C。然后依次判断其它点是否在这个球体内,如果点p[i]在球C内(3<=i<=n),则不做任何处理;否则p[i]必定在前i个点所在最小包围球的边界上,求出这个球后更新C。于是问题转化成:求前i个点的最小包围球,并且点p[i]在球上。
           3)【前i个点的最小包围球,且经过点 p[i]】以第①个点和第i个点p[i]为直径建立初始球C'。然后依次判断前i个点是否在这个球内。如果点p[j]在球C'内(j < i),则不做任何处理;否则p[j]必定在前j个点所在最小包围球的边界上,求出这个球后更新C'。于是问题转化成:求前j个点的最小包围球,并且点p[i]和点p[j]都在球上。
           4)【前j个点的最小包围球,且经过点 p[i]和p[j]】以第①个点、第i个点p[i]、第j个点p[j]三点确定一个空间圆,以这个空间圆的圆心建立初始球C''。然后依次判断前j个点是否在这个球内。如果点p[k]在球C''内(k < j),则不做任何处理;否则p[k]必定在前k个点所在最小包围球的边界上,求出这个球后更新C''。于是问题转化成:求前k个点的最小包围球,并且点p[i]、点p[j]、点p[k]都在球上。
           5)【前k个点的最小包围球,且经过点 p[i]、p[j]、p[k]】以点p[i]、点p[j]、点p[k]三点确定一个空间圆,以这个圆的圆心建立初始球C'''。然后依次判断前k个点是否在这个球内。如果点p[l]在球C'''内(l < k),则不做任何处理;否则p[i]、p[j]、p[k]、p[l]四点确定一个球,求出所有这些球中半径最大的更新C'''。最后用C'''更新C'',用C''更新C',再用C'更新C。得到前i个点的最小包围球。
           虽然算法描述异常枯燥,但是2、3、4、5其实是类似的步骤,实际实现的时候还是很简单的。
           最小包围圆参考代码如下: 最小包围球
            最后讲一下第5步中三点确定球和四点确定球的计算方式。
            2、空间三点外心
           空间三点确定的最小包围球的球心一定是三点外接圆圆心(如图三-2-1中的O点,三角形ABC在球O的一个径面上),首先O在平面ABC上,所以我们先要求出平面ABC的表达式。
    如图三-2-1

            a) 点法式计算平面
            平面方程用点法式表示为:
    其中(nx,ny,nz)代表平面法向量,(x0,y0,z0)为平面上一点,那么现在就是要求平面法向量n,我们利用三维向量的叉乘来实现。
    如图三-2-2
            如图三-2-2,右手法则,四个手指按逆时针方向握紧(从a握到b),大拇指指向方向表示向量a和向量b所在的平面的法向量方向,即a×b。则有:
    如图三-2-3
    利用对角线法则,可得:

    如图三-2-4
    最后用A点(或B、C点皆可)替代(x0, y0, z0),代入点法式方程,就计算得出了平面ABC的一般式(A、B、C、D为常数):

            b) 距离法计算外心
            令O为空间三角形ABC的外心,|OA|=|OB|=|OC|,拿|OA|=|OB|举例,有:

    如图三-2-5
    然后联合|OB|=|OC|以及点O在平面ABC上得到三个方程三个未知数,利用高斯消元求解(Ox,Oy,Oz)(以前写的一个高斯消元的算法简介: 高斯消元 )。
    如图三-2-6
            3、空间四点球心
           首先,我们要排除任意三点共线和四点共面的情况,对于最小包围球求解过程中不会出现这样的情况(请读者自行思考)。所以我们只需要考虑四点不共面的情况。不共面的四点必然能够确定一个球,假设球心为O,则必然满足O到球面上的四点A、B、C、D距离相等。
    如图三-3-1
    还是利用距离的两两相等,得到三个三元一次的方程,同样利用高斯消元求解(Ox,Oy,Oz)即可:
    如图三-3-2
    五、最小包围球相关题集整理

    最小覆盖圆

    最小包围球
         HDU 2226 Stars
    展开全文
  • A C ++和Java库来计算 (又名分钟圈,最小球体,最小包围球体等)上的点的集合。 该代码适用于任意维度的点。 它在低维度上运行速度非常快,在 10,000 维度下实际上是有效的。 实现是基于纸张的算法由卡斯帕·...
  • 文章目录 一、问题描述 二、算法步骤 三、MATLAB代码 一、问题描述   给定空间 nnn个点,计算最小包围球,使得所有给定点均在球面以内(包括在球面上)。 二、算法步骤   最小包围球算法可以在最小覆盖圆算法的...

    一、问题描述

      给定空间 n n n个点,计算最小包围球,使得所有给定点均在球面以内(包括在球面上)。

    二、算法步骤

      最小包围球算法可以在最小覆盖圆算法的基础上修改得到:(1)将平面不共线三点确定一个圆的算法改成空间不共线三点确定一个圆的算法(详见博文:空间圆弧路径参数化);(2)增加一个内循环,计算空间不共面四点确定一个球面的算法(详见博文:任意四面体的外接球/三维空间不共面四点确定唯一球面)。

    三、MATLAB代码

    %{
    Function: draw_sphere
    Description: 画球面
    Input: 球心sphereCenter,球半径radius
    Output: 无
    Author: Marc Pony(marc_pony@163.com)
    %}
    function draw_sphere(sphereCenter, radius)
    [x,y,z] = sphere(200);
    x = x * radius + sphereCenter(1);
    y = y * radius + sphereCenter(2);
    z = z * radius + sphereCenter(3);
    h = surf(x, y, z);
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    zlabel('z')
    set(h, 'FaceAlpha', 0.3, 'MarkerEdgeColor', 'none')
    shading interp
    end
    
    %{
    Function: get_circle_center_3D
    Description: 求空间三点确定的圆周的圆心
    Input: 空间三个点a,b,c
    Output: 空间圆周圆心center
    Author: Marc Pony(marc_pony@163.com)
    %}
    function center = get_circle_center_3D(a, b, c)
    x1 = a(1);
    y1 = a(2);
    z1 = a(3);
    x2 = b(1);
    y2 = b(2);
    z2 = b(3);
    x3 = c(1);
    y3 = c(2);
    z3 = c(3);
    x4 = 0.5 * (x1 + x2);
    y4 = 0.5 * (y1 + y2);
    z4 = 0.5 * (z1 + z2);
    
    x5 = 0.5 * (x2 + x3);
    y5 = 0.5 * (y2 + y3);
    z5 = 0.5 * (z2 + z3);
    
    a11 = x2 - x1;
    a12 = y2 - y1;
    a13 = z2 - z1;
    b1 = x4 * a11 + y4 * a12 + z4 * a13;
    
    a21 = x3 - x2;
    a22 = y3 - y2;
    a23 = z3 - z2;
    b2 = x5 * a21 + y5 * a22 + z5 * a23;
    
    a31 = (y1 - y2) * (z2 - z3) - (y2 - y3) * (z1 - z2);
    a32 = (x2 - x3) * (z1 - z2) - (x1 - x2) * (z2 - z3);
    a33 = (x1 - x2) * (y2 - y3) - (x2 - x3) * (y1 - y2);
    b3 = x3 * a31 + y3 * a32 + z3 * a33;
    
    center = zeros(3, 1);
    temp = a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) + a12 * (a23 * a31 - a21 * a33) + a13 * (a21 * a32 - a22 * a31);
    center(1) = ((a12 * a23 - a13 * a22) * b3 + (a13 * a32 - a12 * a33) * b2 + (a22 * a33 - a23 * a32) * b1) / temp;
    center(2) = -((a11 * a23 - a13 * a21) * b3 + (a13 * a31 - a11 * a33) * b2 + (a21 * a33 - a23 * a31) * b1) / temp;
    center(3) = ((a11 * a22 - a12 * a21) * b3 + (a12 * a31 - a11 * a32) * b2 + (a21 * a32 - a22 * a31) * b1) / temp;
    end
    
    %{
    Function: get_distance_square_3D
    Description: 求空间两点之间距离的平方
    Input: 空间两点a,b
    Output: 空间两点之间距离的平方
    Author: Marc Pony(marc_pony@163.com)
    %}
    function distanceSquare = get_distance_square_3D(a, b)
    distanceSquare = (a(1) - b(1))^2 + (a(2) - b(2))^2 + (a(3) - b(3))^2;
    end
    
    %{
    Function: get_sign
    Description: 求实数x的符号
    Input: 实数x
    Output: 实数x的符号y
    Author: Marc Pony(marc_pony@163.com)
    %}
    function y = get_sign(x)
    if abs(x) < 1.0e-8
        y = 0;
    else
        if x < 0.0
            y = -1;
        else
            y = 1;
        end
    end
    end
    
    %{
    Function: get_sphere_center
    Description: 求四面体外接球的球心
    Input: 空间不共面四个点A,B,C,D
    Output: 球面球心sphereCenter
    Author: Marc Pony(marc_pony@163.com)
    %}
    function sphereCenter = get_sphere_center(A, B, C, D)
    x1 = A(1);
    y1 = A(2);
    z1 = A(3);
    x2 = B(1);
    y2 = B(2);
    z2 = B(3);
    x3 = C(1);
    y3 = C(2);
    z3 = C(3);
    x4 = D(1);
    y4 = D(2);
    z4 = D(3);
    
    a11 = x2 - x1;
    a12 = y2 - y1;
    a13 = z2 - z1;
    b1 = 0.5 * ((x2 - x1) * (x2 + x1) + (y2 - y1) * (y2 + y1) + (z2 - z1) * (z2 + z1));
    
    a21 = x3 - x1;
    a22 = y3 - y1;
    a23 = z3 - z1;
    b2 = 0.5 * ((x3 - x1) * (x3 + x1) + (y3 - y1) * (y3 + y1) + (z3 - z1) * (z3 + z1));
    
    a31 = x4 - x1;
    a32 = y4 - y1;
    a33 = z4 - z1;
    b3 = 0.5 * ((x4 - x1) * (x4 + x1) + (y4 - y1) * (y4 + y1) + (z4 - z1) * (z4 + z1));
    
    temp = a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) + a12 * (a23 * a31 - a21 * a33) + a13 * (a21 * a32 - a22 * a31);
    x0 = ((a12 * a23 - a13 * a22) * b3 + (a13 * a32 - a12 * a33) * b2 + (a22 * a33 - a23 * a32) * b1) / temp;
    y0 = -((a11 * a23 - a13 * a21) * b3 + (a13 * a31 - a11 * a33) * b2 + (a21 * a33 - a23 * a31) * b1) / temp;
    z0 = ((a11 * a22 - a12 * a21) * b3 + (a12 * a31 - a11 * a32) * b2 + (a21 * a32 - a22 * a31) * b1) / temp;
    sphereCenter = [x0; y0; z0];
    end
    
    %{
    Function: min_enclosing_sphere
    Description: 求三维空间pointCount个点的最小包围球
    Input: 空间pointCount个点的坐标(x,y,z),点个数pointCount
    Output: 空间pointCount个点的最小包围球球心sphereCenter,半径radius
    Author: Marc Pony(marc_pony@163.com)
    %}
    function [sphereCenter, radius] = min_enclosing_sphere(x, y, z, pointCount)
    p = [x(:)'; y(:)'; z(:)'];
    p = p(:, randperm(pointCount)); %随机打乱数据
    sphereCenter = p(:, 1);
    radiusSquare = 0.0;
    for i = 2 : pointCount
        if get_sign(get_distance_square_3D(p(:, i), sphereCenter) - radiusSquare) > 0
            sphereCenter = p(:, i);
            radiusSquare = 0.0;
            for j = 1 : i
                if get_sign(get_distance_square_3D(p(:, j), sphereCenter) - radiusSquare) > 0
                    sphereCenter = 0.5 * (p(:, i) + p(:, j));
                    radiusSquare = get_distance_square_3D(p(:, j), sphereCenter);
                    for k = 1 : j
                        if get_sign(get_distance_square_3D(p(:, k), sphereCenter) - radiusSquare) > 0
                            sphereCenter = get_circle_center_3D(p(:, i), p(:, j), p(:, k));
                            radiusSquare = get_distance_square_3D(p(:, i), sphereCenter);
                            for m = 1 : k
                                if get_sign(get_distance_square_3D(p(:, m), sphereCenter) - radiusSquare) > 0
                                    sphereCenter = get_sphere_center(p(:, i), p(:, j), p(:, k), p(:, m));
                                    radiusSquare = get_distance_square_3D(p(:, i), sphereCenter);
                                end
                            end
                        end
                    end
                end
            end
        end
    end
    radius = sqrt(radiusSquare);
    end
    
    clc
    clear
    close all
    
    for pointCount = [2, 3, 100, 1000]
        phi = pi * rand(pointCount, 1);
        theta = 2 * pi * rand(pointCount, 1);
        R = 100 * rand(pointCount, 1);
        
        x = R .* sin(phi) .* cos(theta);
        y = R .* sin(phi) .* sin(theta);
        z = R .* cos(phi);
        [sphereCenter, radius] = min_enclosing_sphere(x, y, z, pointCount);
        
        figure('color', 'w')
        draw_sphere(sphereCenter, radius)
        hold on
        plot3(x, y, z, 'r+')
        axis equal tight
        
        if sum(sqrt((x - sphereCenter(1)).^2 + (y - sphereCenter(2)).^2 + (z - sphereCenter(3)).^2) > radius + 0.0001) > 0
           disp('至少有一个点在球面以外')
        end
    end
    
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  • 求解集合点的最小包围球

    千次阅读 2010-12-13 00:34:00
    // Copyright 2001, softSurfer (www.softsurfer.com) // This code may be freely used and modified for any purpose ... // SoftSurfer makes no warranty for this code, and cannot be held // liab

     

     

     

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  • PCL ——最小包围盒 2018年09月21日 15:31:01 不懂音乐的欣赏者 阅读数:35 标签: PCL包围盒外接矩形最小矩形收起 个人分类: PCL 1.包围盒简介   包围盒也叫外接最小矩形,是一种求解离散点集最优包围...

    PCL ——最小包围盒

    2018年09月21日 15:31:01 不懂音乐的欣赏者 阅读数:35 标签: PCL包围盒外接矩形最小矩形收起

    个人分类: PCL

    1.包围盒简介

      包围盒也叫外接最小矩形,是一种求解离散点集最优包围空间的算法,基本思想是用体积稍大且特性简单的几何体(称为包围盒)来近似地代替复杂的几何对象。
      常见的包围盒算法有AABB包围盒、包围球、方向包围盒OBB以及固定方向凸包FDH。碰撞检测问题在虚拟现实、计算机辅助设计与制造、游戏及机器人等领域有着广泛的应用,甚至成为关键技术。而包围盒算法是进行碰撞干涉初步检测的重要方法之一。

      在此借助于PCL点云库寻找点云的最小包围盒,代码参考网上代码,因为工程需要包围盒的顶点坐标或偏转角度,网上代码都只画出了最小包围盒没有求出顶点坐标,所以自己折腾了很久终于把顶点坐标求出,下面将代码放出来供大家参考.


    2.原理简述

    最小包围盒的计算过程大致如下:
    1.利用PCA主元分析法获得点云的三个主方向,获取质心,计算协方差,获得协方差矩阵,求取协方差矩阵的特征值和特长向量,特征向量即为主方向。
    2.利用1中获得的主方向和质心,将输入点云转换至原点,且主方向与坐标系方向重回,建立变换到原点的点云的包围盒。
    3.给输入点云设置主方向和包围盒,通过输入点云到原点点云变换的逆变换实现。


    最小包围盒顶点计算的过程大致如下:
    1.输入点云转换至远点后,求得变换后点云的最大最小x,y,z轴的坐标,此时(max.x,max.y,max.z),(max.x,min.y,max.z),(max.x,max.y,min.z),(min.x,max.y,max.z),(min.x,max.y,min.z),(min.x,min.y,max.z),(min.x,min.y,max.z),(min.x,min.y,min.z)
    即为变换后点云的包围盒,也是原始输入点云包围盒顶点坐标经过变化后的坐标.
    2.将上述求得的6个包围盒坐标逆变换回输入点云的坐标系,即得到原始输入点云的包围盒顶点坐标.


    3.详细代码

    #include <iostream>
    #include <pcl/ModelCoefficients.h>
    #include <pcl/io/pcd_io.h>
    #include <pcl/filters/project_inliers.h>
    #include <pcl/filters/extract_indices.h>
    #include <pcl/sample_consensus/method_types.h>
    #include <pcl/sample_consensus/model_types.h>
    #include <pcl/segmentation/sac_segmentation.h>
    #include <pcl/visualization/cloud_viewer.h>
    #include <pcl/point_types.h>
    #include <pcl/filters/voxel_grid.h>
    #include <pcl/filters/passthrough.h>
    #include <pcl/features/normal_3d.h>
    #include <pcl/filters/radius_outlier_removal.h>
    #include <pcl/kdtree/kdtree_flann.h>
    #include <pcl/segmentation/extract_clusters.h>
    #include <Eigen/Core>
    #include <pcl/common/transforms.h>
    #include <pcl/common/common.h>
    #include <pcl/common/time.h>
    #include <pcl/common/angles.h>
    #include <pcl/registration/transformation_estimation_svd.h>
    
    
    using namespace std;
    typedef pcl::PointXYZ PointType;
    typedef struct myPointType  
    {  
        double x;  //mm world coordinate x  
        double y;  //mm world coordinate y  
        double z;  //mm world coordinate z  
    	int num;   //point num
    }; 
    
    // Get N bits of the string from back to front.
    char* Substrend(char*str,int n)
    {
    	char *substr=(char*)malloc(n+1);
    	int length=strlen(str);
    	if (n>=length)
    	{
    		strcpy(substr,str);
    		return substr;
    	}
    	int k=0;
    	for (int i=length-n;i<length;i++)
    	{
    		substr[k]=str[i];
    		k++;
    	}
    	substr[k]='\0';
    	return substr;
    }
    
    int main(int argc, char **argv)
    {
    	// create point cloud  
    	pcl::PointCloud<PointType>::Ptr cloud(new pcl::PointCloud<PointType>());
    
    	// load data
    	char* fileType;
    	if (argc>1)
    	{
    		fileType = Substrend(argv[1],3);
    	}
    	if (!strcmp(fileType,"pcd"))
    	{
        	// load pcd file
    		pcl::io::loadPCDFile(argv[1], *cloud);
    	}
    	else if(!strcmp(fileType,"txt"))
    	{
    		// load txt data file	
    		int number_Txt;
    		myPointType txtPoint; 
    		vector<myPointType> points; 
    		FILE *fp_txt; 
    		fp_txt = fopen(argv[1], "r");  
    		if (fp_txt)  
    		{  
    		    while (fscanf(fp_txt, "%lf %lf %lf", &txtPoint.x, &txtPoint.y, &txtPoint.z) != EOF)  
    		    {  
    		        points.push_back(txtPoint);  
    		    }  
    		}  
    		else  
    		    std::cout << "txt数据加载失败!" << endl;  
    		number_Txt = points.size();  
    
    		cloud->width = number_Txt;  
    		cloud->height = 1;     
    		cloud->is_dense = false;  
    		cloud->points.resize(cloud->width * cloud->height);  
    	  
    		for (size_t i = 0; i < cloud->points.size(); ++i)  
    		{  
    		    cloud->points[i].x = points[i].x;  
    		    cloud->points[i].y = points[i].y;  
    		    cloud->points[i].z = 0;  
    		}  
    	}
    	else 
    	{
    		std::cout << "please input data file name"<<endl;
    		return 0;
    	}
    
    	// start calculating time
        pcl::StopWatch time;
    
    	
        Eigen::Vector4f pcaCentroid;
        pcl::compute3DCentroid(*cloud, pcaCentroid);
        Eigen::Matrix3f covariance;
        pcl::computeCovarianceMatrixNormalized(*cloud, pcaCentroid, covariance);
        Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3f> eigen_solver(covariance, Eigen::ComputeEigenvectors);
        Eigen::Matrix3f eigenVectorsPCA = eigen_solver.eigenvectors();
        Eigen::Vector3f eigenValuesPCA = eigen_solver.eigenvalues();
        eigenVectorsPCA.col(2) = eigenVectorsPCA.col(0).cross(eigenVectorsPCA.col(1)); //校正主方向间垂直
        eigenVectorsPCA.col(0) = eigenVectorsPCA.col(1).cross(eigenVectorsPCA.col(2));
        eigenVectorsPCA.col(1) = eigenVectorsPCA.col(2).cross(eigenVectorsPCA.col(0));
    
        std::cout << "特征值va(3x1):\n" << eigenValuesPCA << std::endl;
        std::cout << "特征向量ve(3x3):\n" << eigenVectorsPCA << std::endl;
        std::cout << "质心点(4x1):\n" << pcaCentroid << std::endl;
        /*
        // 另一种计算点云协方差矩阵特征值和特征向量的方式:通过pcl中的pca接口,如下,这种情况得到的特征向量相似特征向量
        pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloudPCAprojection (new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);
        pcl::PCA<pcl::PointXYZ> pca;
        pca.setInputCloud(cloudSegmented);
        pca.project(*cloudSegmented, *cloudPCAprojection);
        std::cerr << std::endl << "EigenVectors: " << pca.getEigenVectors() << std::endl;//计算特征向量
        std::cerr << std::endl << "EigenValues: " << pca.getEigenValues() << std::endl;//计算特征值
        */
        Eigen::Matrix4f tm = Eigen::Matrix4f::Identity();
        Eigen::Matrix4f tm_inv = Eigen::Matrix4f::Identity();
        tm.block<3, 3>(0, 0) = eigenVectorsPCA.transpose();   //R.
        tm.block<3, 1>(0, 3) = -1.0f * (eigenVectorsPCA.transpose()) *(pcaCentroid.head<3>());//  -R*t
        tm_inv = tm.inverse();
    
        std::cout << "变换矩阵tm(4x4):\n" << tm << std::endl;
        std::cout << "逆变矩阵tm'(4x4):\n" << tm_inv << std::endl;
    
        pcl::PointCloud<PointType>::Ptr transformedCloud(new pcl::PointCloud<PointType>);
        pcl::transformPointCloud(*cloud, *transformedCloud, tm);
    
        PointType min_p1, max_p1;
        Eigen::Vector3f c1, c;
        pcl::getMinMax3D(*transformedCloud, min_p1, max_p1);
        c1 = 0.5f*(min_p1.getVector3fMap() + max_p1.getVector3fMap());
    
        std::cout << "型心c1(3x1):\n" << c1 << std::endl;
    
        Eigen::Affine3f tm_inv_aff(tm_inv);
        pcl::transformPoint(c1, c, tm_inv_aff);
    
        Eigen::Vector3f whd, whd1;
        whd1 = max_p1.getVector3fMap() - min_p1.getVector3fMap();
        whd = whd1;
        float sc1 = (whd1(0) + whd1(1) + whd1(2)) / 3;  //点云平均尺度,用于设置主方向箭头大小
    
        std::cout << "width1=" << whd1(0) << endl;
        std::cout << "heght1=" << whd1(1) << endl;
        std::cout << "depth1=" << whd1(2) << endl;
        std::cout << "scale1=" << sc1 << endl;
    
        const Eigen::Quaternionf bboxQ1(Eigen::Quaternionf::Identity());
        const Eigen::Vector3f    bboxT1(c1);
        const Eigen::Quaternionf bboxQ(tm_inv.block<3, 3>(0, 0));
        const Eigen::Vector3f    bboxT(c);
    
        //变换到原点的点云主方向
        PointType op;
        op.x = 0.0;
        op.y = 0.0;
        op.z = 0.0;
        Eigen::Vector3f px, py, pz;
        Eigen::Affine3f tm_aff(tm);
        pcl::transformVector(eigenVectorsPCA.col(0), px, tm_aff);
        pcl::transformVector(eigenVectorsPCA.col(1), py, tm_aff);
        pcl::transformVector(eigenVectorsPCA.col(2), pz, tm_aff);
        PointType pcaX;
        pcaX.x = sc1 * px(0);
        pcaX.y = sc1 * px(1);
        pcaX.z = sc1 * px(2);
        PointType pcaY;
        pcaY.x = sc1 * py(0);
        pcaY.y = sc1 * py(1);
        pcaY.z = sc1 * py(2);
        PointType pcaZ;
        pcaZ.x = sc1 * pz(0);
        pcaZ.y = sc1 * pz(1);
        pcaZ.z = sc1 * pz(2);
    
        //初始点云的主方向
        PointType cp;
        cp.x = pcaCentroid(0);
        cp.y = pcaCentroid(1);
        cp.z = pcaCentroid(2);
        PointType pcX;
        pcX.x = sc1 * eigenVectorsPCA(0, 0) + cp.x;
        pcX.y = sc1 * eigenVectorsPCA(1, 0) + cp.y;
        pcX.z = sc1 * eigenVectorsPCA(2, 0) + cp.z;
        PointType pcY;
        pcY.x = sc1 * eigenVectorsPCA(0, 1) + cp.x;
        pcY.y = sc1 * eigenVectorsPCA(1, 1) + cp.y;
        pcY.z = sc1 * eigenVectorsPCA(2, 1) + cp.z;
        PointType pcZ;
        pcZ.x = sc1 * eigenVectorsPCA(0, 2) + cp.x;
        pcZ.y = sc1 * eigenVectorsPCA(1, 2) + cp.y;
        pcZ.z = sc1 * eigenVectorsPCA(2, 2) + cp.z;
    
    	//Rectangular vertex 
    	pcl::PointCloud<PointType>::Ptr transVertexCloud(new pcl::PointCloud<PointType>);//存放变换后点云包围盒的6个顶点
    	pcl::PointCloud<PointType>::Ptr VertexCloud(new pcl::PointCloud<PointType>);//存放原来点云中包围盒的6个顶点
    	transVertexCloud->width = 6;  
    	transVertexCloud->height = 1;     
    	transVertexCloud->is_dense = false;  
    	transVertexCloud->points.resize(transVertexCloud->width * transVertexCloud->height);  
    	transVertexCloud->points[0].x = max_p1.x;
    	transVertexCloud->points[0].y = max_p1.y;
    	transVertexCloud->points[0].z = max_p1.z;
    	transVertexCloud->points[1].x = max_p1.x;
    	transVertexCloud->points[1].y = max_p1.y;
    	transVertexCloud->points[1].z = min_p1.z;
    	transVertexCloud->points[2].x = max_p1.x;
    	transVertexCloud->points[2].y = min_p1.y;
    	transVertexCloud->points[2].z = min_p1.z;
    	transVertexCloud->points[3].x = min_p1.x;
    	transVertexCloud->points[3].y = max_p1.y;
    	transVertexCloud->points[3].z = max_p1.z;
    	transVertexCloud->points[4].x = min_p1.x;
    	transVertexCloud->points[4].y = min_p1.y;
    	transVertexCloud->points[4].z = max_p1.z;
    	transVertexCloud->points[5].x = min_p1.x;
    	transVertexCloud->points[5].y = min_p1.y;
    	transVertexCloud->points[5].z = min_p1.z;
    	pcl::transformPointCloud(*transVertexCloud, *VertexCloud, tm_inv);
    	
    	// 逆变换回来的角度
    	cout << whd1(0) << " "<< whd1(1) << " " << whd1(2) << endl;
    	auto euler = bboxQ1.toRotationMatrix().eulerAngles(0, 1, 2); 
    	std::cout << "Euler from quaternion in roll, pitch, yaw"<< std::endl << euler/3.14*180 << std::endl<<std::endl;
    	
    	//Output time consumption 
    	std::cout << "运行时间" << time.getTime() << "ms" << std::endl;
    
        //visualization
        pcl::visualization::PCLVisualizer viewer;
        pcl::visualization::PointCloudColorHandlerCustom<PointType> tc_handler(transformedCloud, 0, 255, 0); //设置点云颜色
    	//Visual transformed point cloud
        viewer.addPointCloud(transformedCloud, tc_handler, "transformCloud");
        viewer.addCube(bboxT1, bboxQ1, whd1(0), whd1(1), whd1(2), "bbox1");
        viewer.setShapeRenderingProperties(pcl::visualization::PCL_VISUALIZER_REPRESENTATION, pcl::visualization::PCL_VISUALIZER_REPRESENTATION_WIREFRAME, "bbox1");
        viewer.setShapeRenderingProperties(pcl::visualization::PCL_VISUALIZER_COLOR, 0.0, 1.0, 0.0, "bbox1");
    
        viewer.addArrow(pcaX, op, 1.0, 0.0, 0.0, false, "arrow_X");
        viewer.addArrow(pcaY, op, 0.0, 1.0, 0.0, false, "arrow_Y");
        viewer.addArrow(pcaZ, op, 0.0, 0.0, 1.0, false, "arrow_Z");
    
        pcl::visualization::PointCloudColorHandlerCustom<PointType> color_handler(cloud, 255, 0, 0);  
        viewer.addPointCloud(cloud, color_handler, "cloud");
        viewer.addCube(bboxT, bboxQ, whd(0), whd(1), whd(2), "bbox");
        viewer.setShapeRenderingProperties(pcl::visualization::PCL_VISUALIZER_REPRESENTATION, pcl::visualization::PCL_VISUALIZER_REPRESENTATION_WIREFRAME, "bbox");
        viewer.setShapeRenderingProperties(pcl::visualization::PCL_VISUALIZER_COLOR, 1.0, 0.0, 0.0, "bbox");
    
        viewer.addArrow(pcX, cp, 1.0, 0.0, 0.0, false, "arrow_x");
        viewer.addArrow(pcY, cp, 0.0, 1.0, 0.0, false, "arrow_y");
        viewer.addArrow(pcZ, cp, 0.0, 0.0, 1.0, false, "arrow_z");
    
        viewer.addCoordinateSystem(0.5f*sc1);
        viewer.setBackgroundColor(0.0, 0.0, 0.0);
    
    	viewer.addPointCloud(VertexCloud, "temp_cloud");
    	viewer.setPointCloudRenderingProperties (pcl::visualization::PCL_VISUALIZER_POINT_SIZE, 10, "temp_cloud");
        while (!viewer.wasStopped())
        {
              viewer.spinOnce();
        }
    
        return 0;
    }
    
    

    4.代码编译

      在次使用的是CMake编译,因此需要添加CMakeLists.txt文件后才可以进行编译

    mkdir build
    cd build
    cmake ..
    make
    

    5.运行

    运行时记得在后面加上点云文件的名字,代码里面支持’.pcd’格式和’.txt’格式,其它格式需要自己编写读取代码.’.txt’格式的文件中点云格式如下,一行代表一个点的坐标,横轴、纵轴、竖轴坐标之间加空格隔开:

    point1.x point1.y point1.z
    point2.x point2.y point2.z
    ...
    pointN.x pointN.y pointN.z
    

    运行命令如下

    ./rectangular_bounding_box ../milk.pcd 
    

    6.效果图

    2维点云包围盒效果图


    3维点云包围盒效果图

    3维点云包围盒运行时间图

    7.完整代码下载

      如果不想自己写“CMakeLists.txt”的朋友可以下完整的代码,点击这里下载,包括“.cpp”文件,“CMakeLists.txt”文件。

    参考:https://blog.csdn.net/qq_16775293/article/details/82801240 

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    点击上方“3D视觉工坊”,选择“星标”干货第一时间送达文章导读 本文介绍点云聚类后的点集包围框拟合方法,分别对不同形式的包围框分析其构建方法、拟合特性,通过实际测试中遇到的问题,对比优缺点...
  • 确定包围球,首先需分别计算组成对象的  基本几何元素集合中所有元素的顶点的x,y,z坐标的均值以确定 包围球的球心 ,再由球心  与三个 最大值坐标 所确定的点间的距离 确定半径r 。包围球的碰撞检测主要是比较...
  • 在地球的开发中经常使用LOD技术,将地球按照经纬度分成若干块,然后根据摄像机的位置来细化地形。当地形块距离摄像机较近时细化...地形块是一个球面扇形或者叫球心扇形,我们需要检测球面扇形是否和摄像机的包围球...

空空如也

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最小包围球