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  • matlab开发-偏最小二乘法和判别分析法。使用PLS进行判别分析的教程和工具。
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  • Matlab偏最小二乘法用于判,,,别分析
  • 该包提供了使用非线性迭代偏最小二乘 (NIPALS) 算法执行 PLS 回归的函数。 它包含一个教程函数,用于解释 NIPALS 算法和使用 PLS 函数执行判别分析的方法。 全最小二乘回归和偏最小二乘回归的区别可以解释如下: ...
  • 偏最小二乘判别式的类分离评估使用 Hotelling 的 T2 进行分析或主成分分析。 输入数据:具有 N 个样本和 M 个变量的 N x M 矩阵classVec:带有数字类标签的 N x 1 向量 参考AM Goodpaster,马肯尼迪,Chemom。 ...
  • libPLS 是一个用于 PLS 和 PLS-DA 建模的集成库,包含数据预处理、线性建模、交叉验证、异常值检测、一系列变量选择方法等功能。采样(CARS)、子窗口置换分析(SPA)、随机青蛙(RF)、边缘影响分析(MIA)等。...
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    回归预测 | MATLAB实现LSSVM(最小二乘支持向量机)多输入单输出

    最小二乘支持向量机

    同样是对原始对偶问题进行求解,但是通过求解一个线性方程组(优化目标中的线性约束导致的)来代替SVM中的QP问题(简化求解过程),对于高维输入空间中的分类以及回归任务同样适用;
    实质上是求解线性矩阵方程的过程,与高斯过程(Gaussian processes),正则化网络(regularization networks)和费雪判别分析(Fisher discriminant analysis)的核版本相结合;
    使用了稀疏近似(用来克服使用该算法时的弊端)与稳健回归(稳健统计);
    使用了贝叶斯推断(Baye

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  • 最小二乘支持向量机分类器1.支持向量机分类2.最小二乘支持向量机3.LSSVM的Python实现 在这篇文章中,我们讨论支持向量机(SVM)分类器的最小二乘版本。由于公式中的相等类型约束。解是由解一组线性方程得出的。而不是...

    在这篇文章中,我们讨论支持向量机(SVM)分类器的最小二乘版本。由于公式中的相等类型约束。解是由解一组线性方程得出的。而不是经典的支持向量机的二次规划。
    本文针对两类分类问题,提出了支持向量机的最小二乘模型。对于函数估计问题,支持向量解释边缘回归。在(Saunders et al., 1998)中,它考虑了等式类型的约束,而不是经典的支持向量机方法中的不等式。在这里,我们也考虑了在最小二乘意义下的公式分类问题的等式约束。因此,求解直接遵循求解一组线性方程,而不是二次规划。在经典的支持向量机中,许多支持值为零(非零值对应于支持向量),而在最小二乘支持向量机中,支持值与误差成正比。

    1.支持向量机分类

    给定N个点的训练集
    在这里插入图片描述,Xk是第K个输入模式,Yk是第K个输出模式,支持向量机方法旨在构建一种分类器:
    在这里插入图片描述
    αk 是正常量,b是实常量,对于
    在这里插入图片描述
    有下列选择:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    构建如下分类器:
    假定
    在这里插入图片描述
    这个式子等同于
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    是非线性函数,它映射输入空间到更高维空间。
    然而,这个函数不是显式构造的。为了有违反(3)的可能性,在这个高维空间中不存在一个分离的超平面时,引入了这样的变量
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    根据结构风险最小化原则,将优化问题公式化,使风险界最小化:
    在这里插入图片描述
    它满足(4)。同时通过引入拉格朗日乘数
    在这里插入图片描述
    ,我们构建了拉格朗日方程
    在这里插入图片描述
    通过计算
    在这里插入图片描述
    获得拉格朗日点的解。
    一个解是:
    在这里插入图片描述
    它会影响下面这个二次规划问题的答案:
    在这里插入图片描述
    比如:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这是由默瑟定理提出的。需要注意的是,对于两层神经支持向量机,Mercer‘s ’条件仅支持K和theta 的特定参数值。
    通过解决
    在这里插入图片描述
    设计分类器(1),它满足(9)中的条件。为了确定决定决策面,没有计算w和ф(x)。
    因为矩阵与这个二次规划问题不是无限期的,(11)的解决方案将是全局的。
    并且,超平面(3)满足
    在这里插入图片描述,VC-维度h满足:
    在这里插入图片描述
    [ . ]表示整数部分和r是包含点的半径最小的球中φ(x1)、…φ(xN)。通过定义拉格朗日函数就可以找到这个球

    在这里插入图片描述
    q表示球心,
    在这里插入图片描述 是正拉格朗日变量。
    与(5)中发现与
    在这里插入图片描述
    等同的球心相似的方式,从
    在这里插入图片描述
    找到拉格朗日变量,其中
    在这里插入图片描述
    根据(10),Q2也可以表示为
    (x,x7)
    最后,通过求解(11)并从(14)中计算(12)来选择一个VC维最小的支持向量机。

    2.最小二乘支持向量机用于分类任务

    (1)优化目标
    这里我们将最小二乘版本引入SVM分类器,将分类问题表述为:
    在这里插入图片描述
    它满足平等的限制:
    在这里插入图片描述
    (2)拉格朗日乘子法

    定义拉格朗日函数:
    在这里插入图片描述
    其中 aK 是拉格朗日乘数的等式约束,现在可以是正的或负的)。
    (3)求解最优化条件
    约束优化:
    在这里插入图片描述
    (4)求解对偶问题
    上式可以直接写成以下一组线性方程的解(Fletcher, 1987):
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    Mercer’s 的条件可以再次应用到矩阵
    Q = ZZ中
    其中,
    在这里插入图片描述
    因此,分类器(1)是通过求解线性方程组(20)(21)而不是二次规划得到的。如RBF核的σ等核的参数可根据(12)进行优化选择。支持值 αk 与数据点(18)的误差成比例,而在(14)的情况下,大多数值等于零。因此,在最小二乘情况下,人们更愿意说一个支持值谱。
    LLSVM通过求解上述线性方程组,得到优化变量a aa和b bb的值,这种求解方式比求解QP问题更加简便。
    最小二乘支持向量机求解时,计算成本低,并且没有许多局部最小值,是一个凸优化问题的解决方案。
    并且泛化性能较好。
    (5)与标准SVM的区别

    a. 使用等式约束,而不是不等式约束;
    b. 由于对每个样本点采用了等式约束,因此对松弛向量不施加任何约束,这也是LSSVM丢失稀疏性的重要原因;
    c. 通过解决等式约束以及最小二乘问题,使得问题得到进一步简化。

    3.最小二乘支持向量机用于回归

    在这里插入图片描述

    4.LSSVM分析

    特性:
    1) 同样是对原始对偶问题进行求解,但是通过求解一个线性方程组(优化目标中的线性约束导致的)来代替SVM中的QP问题(简化求解过程),对于高维输入空间中的分类以及回归任务同样适用;
    2) 实质上是求解线性矩阵方程的过程,与高斯过程(Gaussian processes),正则化网络(regularization networks)和费雪判别分析(Fisher discriminant analysis)的核版本相结合;
    3) 使用了稀疏近似(用来克服使用该算法时的弊端)与稳健回归(稳健统计);
    4) 使用了贝叶斯推断(Bayesian inference);
    5) 可以拓展到非监督学习中:核主成分分析(kernel PCA)或密度聚类;
    6) 可以拓展到递归神经网络中。
    缺点:
    (1)解决分类任务时,全部训练样本都会被作为支持向量来看待,这就会导致其丧失SVM原有的稀疏性质,但是还可以通过对训练集进行基于支持度的“减枝”(pruning)处理来达到稀疏化的目的,这一步也可以看做是一种稀疏近似(sparse approximate)操作。
    (2)

    5.LSSVM的Python实现

    // 
    from numpy import *
    
    def loadDataSet(filename):
        '''导入数据
        input: filename:文件名
    	output:dataMat(list)样本特征
    	       labelMat(list)样本标签
        '''
        dataMat = []
        labelMat = []
        fr = open(filename)
        for line in fr.readlines():
            lineArr = line.strip().split('\t')
            dataMat.append([float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
            labelMat.append(float(lineArr[2]))
        return dataMat,labelMat
               
    
    def kernelTrans(X,A,kTup):
        '''数据集中每一个数据向量与数据A的核函数值
        input: X--特征数据集
               A--输入向量
               kTup--核函数参量定义
        output: K--数据集中每一个数据向量与A的核函数值组成的矩阵
        '''
        X = mat(X)
        m,n = shape(X)
        K = mat(zeros((m,1)))
        if kTup[0] == 'lin':
            K = X * A.T
        elif kTup[0] == 'rbf':
            for j in range(m):
                deltaRow = X[j,:] - A
                K[j] = deltaRow * deltaRow.T
            K = exp(K/(-1 * kTup[1] ** 2))
        else: raise NameError('Houston We Have a Problem -- That Kernel is not recognized')
        return K
        
    class optStruct:
        def __init__(self,dataMatIn,classLabels,C,kTup):
            self.X = dataMatIn
            self.labelMat = classLabels
            self.C = C
            self.m = shape(dataMatIn)[0]
            self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
            self.b = 0
            self.K = mat(zeros((self.m,self.m)))  #特征数据集合中向量两两核函数值组成的矩阵,[i,j]表示第i个向量与第j个向量的核函数值
            for i in range(self.m):
                self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)
                
    
    def leastSquares(dataMatIn,classLabels,C,kTup):
        '''最小二乘法求解alpha序列
        input:dataMatIn(list):特征数据集
              classLabels(list):分类标签集
              C(float):参数,(松弛变量,允许有些数据点可以处于分隔面的错误一侧)
              kTup(string): 核函数类型和参数选择 
        output:b(float):w.T*x+b=y中的b
               alphas(mat):alphas序列      
        '''
        oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,kTup)
    	##1.参数设置
        unit = mat(ones((oS.m,1)))  #[1,1,...,1].T
        I = eye(oS.m)
        zero = mat(zeros((1,1)))
        upmat = hstack((zero,unit.T))
        downmat = hstack((unit,oS.K + I/float(C)))
    	##2.方程求解
        completemat = vstack((upmat,downmat))  #lssvm中求解方程的左边矩阵
        rightmat = vstack((zero,oS.labelMat))    # lssvm中求解方程的右边矩阵
        b_alpha = completemat.I * rightmat
        oS.b = b_alpha[0,0]
        for i in range(oS.m):
            oS.alphas[i,0] = b_alpha[i+1,0]
        return oS.alphas,oS.b,oS.K
    
    def predict(alphas,b,dataMat,testVec):
        '''预测结果
        input:alphas(mat):Lagrange乘子序列
              b(float):分隔超平面的偏置
              dataMat()
              
        output:sign(float(predict_value))(int):预测样本的类别
        '''
        Kx = kernelTrans(dataMat,testVec,kTup)   #可以对alphas进行稀疏处理找到更准确的值
        predict_value =  Kx.T * alphas + b
    #    print('预测值为:%f'%predict_value)
    #    print('分类结果为:%f'%sign(float(predict_value)))
        return sign(float(predict_value))
    
     
    
    
    if __name__ == '__main__':
        ##1.导入数据
        print('-----------------------------1.Load Data-------------------------------')
        dataMat,labelMat = loadDataSet('testSetRBF.txt')
        C = 0.6
        k1 = 0.3
        kernel = 'rbf'
        kTup = (kernel,k1)
        ##2.训练模型
        print('----------------------------2.Train Model------------------------------')
        alphas,b,K = leastSquares(dataMat,labelMat,C,kTup)
        ##3.计算训练误差
        print('----------------------------3.Calculate Train Error--------------------')
        error = 0.0
        for i in range(len(dataMat)):
            test = predict(alphas,b,dataMat,dataMat[i])
            if test != float(labelMat[i]):
                error +=1.0
        errorRate = error/len(dataMat)
        print('---------------训练误差为:%f-------------------'%errorRate)
    
    

    参考:
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  • 最小二乘支持向量机(LSSVM)详解

    万次阅读 2019-02-14 20:51:57
    最小二乘支持向量机(LSSVM)详解 第四十六次写博客,本人数学基础不是太好,如果有幸能得到读者指正,感激不尽,希望能借此机会向大家学习。在《》一文中曾对支持向量机(SVM)以及支持向量回归(SVR)进行了...

    最小二乘支持向量机(LSSVM)详解

    第四十六次写博客,本人数学基础不是太好,如果有幸能得到读者指正,感激不尽,希望能借此机会向大家学习。在《Feature Selection详解(附带Relief、Relief-F、LVM详解)(一)》一文中曾对支持向量机(SVM)以及支持向量回归(SVR)进行了详细的介绍,在给出二次规划问题后,需要使用SMO算法对目标进行优化,由于SMO算法运行过程中需要对原数据进行循环扫描,来查找满足条件的样本点,因此该算法的时间复杂度是非常高的,本文介绍一种解决该问题的SVM算法变体——最小二乘支持向量机(LSSVM)。

    LSSVM的特性

      1) 同样是对原始对偶问题进行求解,但是通过求解一个线性方程组(优化目标中的线性约束导致的)来代替SVM中的QP问题(简化求解过程),对于高维输入空间中的分类以及回归任务同样适用;
      2) 实质上是求解线性矩阵方程的过程,与高斯过程(Gaussian processes),正则化网络(regularization networks)和费雪判别分析(Fisher discriminant analysis)的核版本相结合;
      3) 使用了稀疏近似(用来克服使用该算法时的弊端)与稳健回归(稳健统计);
      4) 使用了贝叶斯推断(Bayesian inference);
      5) 可以拓展到非监督学习中:核主成分分析(kernel PCA)或密度聚类;
      6) 可以拓展到递归神经网络中。

    LSSVM用于分类任务

      1) 优化目标

      2) 拉格朗日乘子法

      其中 α i \alpha_i αi是拉格朗日乘子,也是支持值(support values)
      3) 求解最优化条件

      4) 求解对偶问题(与SVM同样不对 w w w e e e做任何计算)

      LLSVM通过求解上述线性方程组,得到优化变量 a a a b b b的值,这种求解方式比求解QP问题更加简便

      5) 与标准SVM的区别

        a. 使用等式约束,而不是不等式约束;
        b. 由于对每个样本点采用了等式约束,因此对松弛向量不施加任何约束,这也是LSSVM丢失稀疏性的重要原因;
        c. 通过解决等式约束以及最小二乘问题,使得问题得到进一步简化。

    LSSVM用于回归任务

      1) 问题描述

      2) 优化目标

      3) 求解对偶问题(与SVM同样不对 w w w e e e做任何计算)

      LLSVM通过求解上述线性方程组,得到优化变量 a a a b b b的值,这种求解方式比求解QP问题更加简便

    LSSVM的弊端

      注意到解决分类任务时,在求解最优化过程中得到 α i = γ e i \alpha_{i}=\gamma{e_{i}} αi=γei,由于拉格朗日乘子法中对应于等式约束的拉格朗日乘子 α i ≠ 0 \alpha_{i}\neq{0} αi̸=0,因此全部训练样本都会被作为支持向量来看待,这就会导致其丧失SVM原有的稀疏性质,但是还可以通过对训练集进行基于支持度的“减枝”(pruning)处理来达到稀疏化的目的,这一步也可以看做是一种稀疏近似(sparse approximate)操作。


    参考资料

    【1】 Suykens, Johan A. K. , and J. Vandewalle . “Least Squares Support Vector Machine Classifiers.” Neural Processing Letters 9.3(1999):293-300.

    展开全文
  • 模式识别的一个重要算法:SIMCA(软独立建模聚类分析)你值得拥有
  • 偏最小二乘法 Partial Least square

    万次阅读 2014-07-21 15:37:29
    最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法,它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。近几十年来,它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展...而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了
     
    

    偏最小二乘法(Partial Least square)

    偏最小二乘法是一种新型的多元 统计数据 分析方法,它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。近几十年来,它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。

      长期以来,模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了,在一个算法下,可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。这是多元统计数据分析中的一个飞跃。

      偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面:

      偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。

      偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法,还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。

      主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息,然后用于预测变量Y的值。这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量,噪音将被消除,从而达到改善预测模型质量的目的。但是,主成分回归仍然有一定的缺陷,当一些有用变量的相关性很小时,我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉,使得最终的预测模型可靠性下降,如果我们对每一个成分进行挑选,那样又太困难了。

      偏最小二乘回归可以解决这个问题。它采用对变量X和Y都进行分解的方法,从变量X和Y中同时提取成分(通常称为因子),再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。现在,我们要建立一个模型,我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了

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    偏最小二乘法的起源与发展

      H Wold作为PLS的创始人,在70年代的经济学研究中引入了偏最小二乘法进行路径分析,创建了非线性迭代偏最小二乘算法(Nonlinear Iterative Partial Least Squares algorithm,NIPALS),至今仍然是PLS中最常用和核心的算法。HW.old的儿子S Wold和C Albano等人在1983年提出了偏最小二乘回归的概念,用来解决计量化学中变量存在多重共线性,解释变量个数大于样本量的问题,如在光谱数据分析中。上世纪90年代,出现了多种NIPALS算法的扩展,如迭代法、特征根法、奇异值分解法等。1993年,de Jong提出了一种与NIPALS不同的算法,称为简单偏最小二乘(Simple Partial Least Squares,SIMPLS)。1996年,在法国召开了偏最小二乘回归方法的理论和应用国际学术专题研讨会,就PLS的最新进展,以及PLS在计量化学、工业设计市场分析等领域的应用进行了交流,极大的促进了PLS的算法研究和应用研究。目前,PLS在化学、经济学、生物医学、社会学等领域都有很好的应用。

      PLS在上世纪90年代引入中国,在经济学、机械控制技术、药物设计及计量化学等方面有所应用,但是在生物医学上偏最小二乘法涉及相对较少。对该方法的各种算法和在实际应用中的介绍也不系统,国内已有学者在这方面做了一些努力,但作为一种新兴的多元统计方法,还不为人所熟知。

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    偏最小二乘法基本概念

      偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展,在其最简单的形式中,只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:

      Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp

      在方程中,b0是截距,bi的值是数据点1到p的回归系数。

      例如,我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数,并且从各自的样本点中估计出回归系数,之后,我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。对许多的数据分析方法来说,最大的问题莫过于准确的描述观测数据并且对新的观测数据作出合理的预测。

      多元线性回归模型为了处理更复杂的数据分析问题,扩展了一些其他算法,象判别式分析,主成分回归,相关性分析等等,都是以多元线性回归模型为基础的多元统计方法。这些多元统计方法有两点重要特点,即对数据的约束性:

      变量X和变量Y的因子都必须分别从X'X和Y'Y矩阵中提取,这些因子就无法同时表示变量X和Y的相关性。

      预测方程的数量永远不能多于变量Y跟变量X的数量。

      偏最小二乘回归从多元线性回归扩展而来时却不需要这些对数据的约束。在偏最小二乘回归中,预测方程将由从矩阵Y'XX'Y中提取出来的因子来描述;为了更具有代表性,提取出来的预测方程的数量可能大于变量X与Y的最大数。

      简而言之,偏最小二乘回归可能是所有多元校正方法里对变量约束最少的方法,这种灵活性让它适用于传统的多元校正方法所不适用的许多场合,例如一些观测数据少于预测变量数时。并且,偏最小二乘回归可以作为一种探索性的分析工具,在使用传统的线性回归模型之前,先对所需的合适的变量数进行预测并去除噪音干扰。

      因此,偏最小二乘回归被广泛用于许多领域来进行建模,象化学,经济学,医药,心理学和制药科学等等,尤其是它可以根据需要而任意设置变量这个优点更加突出。在化学计量学上,偏最小二乘回归已作为一种标准的多元建模工具。

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    偏最小二乘法的基本模型

      作为一个多元线性回归方法,偏最小二乘回归的主要目的是要建立一个线性模型:Y=XB+E,其中Y是具有m个变量、n个样本点的响应矩阵,X是具有p个变量、n个样本点的预测矩阵,B是回归系数矩阵,E为噪音校正模型,与Y具有相同的维数。在通常情况下,变量X和Y被标准化后再用于计算,即减去它们的平均值并除以标准偏差

      偏最小二乘回归和主成分回归一样,都采用得分因子作为原始预测变量线性组合的依据,所以用于建立预测模型的得分因子之间必须线性无关。例如:假如我们现在有一组响应变量Y(矩阵形式)和大量的预测变量X(矩阵形式),其中有些变量严重线性相关,我们使用提取因子的方法从这组数据中提取因子,用于计算得分因子矩阵:T=XW,最后再求出合适的权重矩阵W,并建立线性回归模型:Y=TQ+E,其中Q是矩阵T的回归系数矩阵,E为误差矩阵。一旦Q计算出来后,前面的方程就等价于Y=XB+E,其中B=WQ,它可直接作为预测回归模型。

      偏最小二乘回归与主成分回归的不同之处在于得分因子的提取方法不同,简而言之,主成分回归产生的权重矩阵W反映的是预测变量X之间的协方差,偏最小二乘回归产生的权重矩阵W反映的是预测变量X与响应变量Y之间的协方差

      在建模当中,偏最小二乘回归产生了pxc的权重矩阵W,矩阵W的列向量用于计算变量X的列向量的nxc的得分矩阵T。不断的计算这些权重使得响应与其相应的得分因子之间的协方差达到最大。普通最小二乘回归在计算Y在T上的回归时产生矩阵Q,即矩阵Y的载荷因子(或称权重),用于建立回归方程:Y=TQ+E。一旦计算出Q,我们就可以得出方程:Y=XB+E,其中B=WQ,最终的预测模型也就建立起来了。

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    偏最小二乘法案例分析 
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    案例一:偏最小二乘法在顾客满意度评价中的运用 [1]

      一、顾客满意度指数含义及研究意义

      所谓顾客满意度,是指顾客通过对一个产品服务的感知效果/结果与其期望值相比较后所形成的愉悦或失望的感觉状态,即是消费者商品品牌企业的满意程度。顾客满意度理论是2O世纪九十年代管理科学的最新发展之一,它抓住了管理科学“以人为本”的本质。在市场经济高度发达的今天。任何一个企业能否以市场为中心,以顾客为中心,让顾客满意,决定着该企业能否在市场上立足,决定着企业所占市场份额的大小。因而,对顾客满意度的研究对企业来说十分重要,有着现实的指导意义。

      二、顾客满意度指数模型及偏最小二乘法操作原理

      对顾客满意度指数模型的研究最早起于瑞典,发展于美国。瑞典率先于1989年建立了全国性的顾客满意度指数,美国和欧盟相继建立了各自的顾客满意度指数——美国顾满意度指数(ACSI)和欧洲顾客满意度指数(ECSI)。另外。新西兰、加拿大和台湾等国家和地区也在几个重要的行业建立了顾客满意度指数。在这些模型中几乎都涉及顾客期望感知质量、顾客满意度、顾客抱怨顾客忠诚度这些指标(图)。

    顾客满意度指数模型

      然而,在现实的操作中,这些都是定性指标,很难进行衡量,而且还有一些隐变量也不易观测,这些问题为建立顾客满意度模型带来了困难。但是。偏最小二乘法(PLS)能克服这些问题,得到比较好的估计效果。偏最小二乘法类似于主成分回归的方式克服多重共线性的问题。它是将主成分分析与多元回归结合起来的叠代估计。是一种因果建模的方法。瑞典、美国和欧盟模型都使用这种方法进行估计。在ACSI模型估计中,该方法对不同隐变量的测量变量子集抽取主成分,放在回归模型系统中使用,然后调整主成分权数,以最大化模型的预测能力。

      三、偏最小二乘法在顾客满意度指数中的运用

      对于包含隐变量的结构方程模型,目前最经常使用的估计方法是PLS方法和LISP,EL方法。

      设在顾客满意度测评中有q个因变量{y_1,y_2.cdots,y_q}和P个自变量{x_1,x_2.cdots,x_p}。为了研究因变量和自变量之间的统计关系,我们观察了n个样本点,由此构造了自变量和因变量的数据表:

      X=[x_1,x_2L,x_p]_{nxp}=.begin{cases}X_{11} X_{12} L X_{1p}..X_{21} X_{22} L X_{2p}..L L L L..X_{n1} X_{n2} L X_{np}.end{cases}

      Y=[y_1,y_2L,y_p]_{nxp}=.begin{cases}y_{11} y_{12} L y_{1p}..y_{21} y_{22} L y_{2p}..L L L L..y_{n1} y_{n2} L y_{np}.end{cases}

      偏最小二乘法回归的做法是首先在自变量集中提取第一潜因子t1(t1是 x_2,x_2,.cdots,x_p的线性组合,且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息,比如第一主分量);同时,在因变量集中也提取第一潜因u1(u1Y_1,Y_2,.cdots,Y_q的线性组合),并要求t1u1相关程度达到最大。然后建立因变量Y与t1的回归,如果回归方程已达到满意的精度,则算法终止。否则继续进行第二轮潜在因子的提取,直到能达到满意的精度为止。若最终对自变量集提取1个潜因子t_1,t_2,.cdots,t_I的回归式,然后再表示为Y与原自变量的回归方程式。

      PLS的算法步骤如下:

      1、把自变量和因变量都进行标准化处理,以消除测量时由于采用不同的量纲和数量级所引起的差异。标准化处理的公式是:

      x_{ij}=.frac{X_{ij}-.overline{X_j}}{.sqrt{vary_j}}i=1,2,.cdots,nj=1,2,.cdots,p

      y_{ij}=.frac{y_{ij}-.overline{y_j}}{.sqrt{vary_j}}i=1,2,.cdots,nj=1,2,.cdots,q

      X经标准化处理后的数据矩阵记为E_o=(E_{01},E_{02},.cdots,E_{op})_{nxp},Y经标准化处理后数据矩阵为F_0=(F_{01},F_{02},.cdots,F_{op})_{nxp}

      2、提取主成分,逐步回归法。记t1Eo的第一个成分。t1 = E0w1,w1E0的第一个轴。它是一个单位向量,即.|w_1.|u1F0的第一个成分,u1 = Foc1,c1F0的第一个轴,它是一个单位向量,即.|c_1.|

      在建立顾客满意度指数建模时,要求t1u1能很好地分别代表自变量x和因变量Y中的数据变异信息,根据主成分分析原理应该有:var(t_1).rightarrow max

      var(u_1).rightarrow max

      而另一方面,在顾客满意度指数建模时,又要求t1u1具有最大的解释能力,由典型相关分析思路,t1u1的相关程度应达到最大值,即r(t_1,U_1).rightarrow max。实质上是要求t1,u1的协方差达到最大。

      因此,顾客满意度指数测评模型的偏最小二乘回归的正规数学表达式为求下列优化问题.即 max(E_ow_1,,F_oc_1)s.t.begin{cases}.dot{w_1}.dot{w_1}...dot{c_1}.dot{c_1}.end{cases}第一步,从X中提取第一主成分t_1(t_1为向量),提取的原则是t_1与Y之间的协方差达到最大,即求矩阵.dot{E_1}.dot{F_0}.dot{F_0}.dot{E_0}的最大特征值所对应的特征向量w1,然后求成分t1和残差矩阵E1,其计算公式如下:t_1=E_0w_1 E_1=E_o-t_1.dot{p_1}式中P_1=(E'_0t_1)/(.|t_1.|^2);第二步,求矩阵.dot{E_1}F_0.dot{F_0}E_t的最大特征值所对应的特征向量w2,然后求成分t2和残差矩阵E2,其计算公式:

      t2 = E1w2

      E_2=E_1-t_2.dot{p_2}式中p_2=(.dot{E_1}t_2)/(.|t_2.|^2)

      ……

      第m步,重复以上步骤,求成分tm = Em − 1wm,这里wm是矩阵.dot{E_{m-1}}F_0.dot{F_0}E_{m-1}的最大特征值所对应的特征向量,直到提取的主成分t_m对模型预测效果的边际贡献不显著为止。

      如果根据交叉有效性,确定共抽取m个成分t1,t2,L,tm可以得到一个满意的预测模型,则求F0t1,t2,L,tm上的普通最小二乘回归方程为。

      F_0=t_i.dot{r_1}+t_2.dot{r_2}+L+t_m.dot{r_m}+F_m

      最后,将F_0=t_i.dot{r_1}+t_2.dot{r_2}+L+t_m.dot{r_m}+F_m还原成为Y * 关于x * Eoj的回归方程形式,即,Y^*_k=a_{k1}X^*_1+a_{k2}X^*_2+L+a_{kp}X^*_p+F_{AK}k=l,2,.cdots,q

      就得到了顾客满意度指数测评模型。

      运用偏最小二乘法对顾客满意度指数进行估计和评析,能较好地估计出顾客满意度测评模型,从而帮助企业发现企业运行中的薄弱环节,对复杂多变的市场了如指掌,推动企业经营体制和机制的改革,帮助企业制定正确的发展战略市场政策

    参考文献
    1. 薛艳.偏最小二乘法在顾客满意度评价中的运用[J].合作经济与科技,2006,(7)
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