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  • 平均值法计算定积分
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    2015-12-11 12:56:12
    #include "cstdio"
    #include "time.h"
    
    using namespace std;
    
    const unsigned long maxshort = 65536L;
    const unsigned long multiplier = 1194211693L;
    const unsigned long adder = 12345L;
    
    class RandomNumber
    {
        private:
            unsigned long randSeed;  //当前种子
        public:
            RandomNumber(unsigned long s=0);  //构造函数,默认值0表示由系统自动产生种子
            unsigned short Random(unsigned long n);  //产生0:n-1之间的随机整数
            double fRandom(void);  //产生[0:1)之间的随机实数
    }
    
    RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s)  //产生种子
    {
        if(s==0)
            randSeed = time(0);   //用系统时间产生种子 
        else
            randSeed = s;     //用户提供种子
    }
    
    unsigned short RandomNumber::Random(unsigned long n)  //产生0:n-1之间的随机整数
    {
        randSeed = multiplier * randSeed + adder;
        return (unsigned short) ((randSeed>>16)%n);  //高16位随机性较好,右移16位后,映射到(0~n-1)范围内
    }
    
    double RandomNumber::fRandom(void)  //产生[0,1)之间的随机整数
    {
        return Random(maxshort)/double(maxshort);  //产生0~(maxshort-1)间的随机整数,在除以maxshort
    }
    
    double g(double x)
    {
        return x;
    }
    
    //用平均值计算定积分
    //a区间左端点,b为区间右端点,n为x值取值次数
    double Integration(double a, double b, int n)
    {
        static RandomNumber rnd;
        double y = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            double x = (b-a)*rnd.fRandom() + a;  //x位于[a,b)区间
            y += g(x);
        }
        return (b-a)*y/double(n);
    }
    
    int main() 
    {
        const long num = 50000L;  
        double s = Integration(num);
        printf("面积为%f:\n", s);
        return 0;
    }

    这里写图片描述

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    一、提出问题:

    python中如何利用蒙特卡洛平均值法求定积分?

    二、解决方法

    (1)基本理论与操作说明

    1、蒙特卡洛 (Monte Carlo) 求定积分概述
    蒙特卡洛方法也称统计模拟方法、随机抽样技术,是基于“随机数”、概率统计理论为基础的数值计算方法。蒙特卡洛定积分主要思想就是均匀分布生成的随机数,将积分符号转化为求和,从而实现快速求解目的。主要有三种方法:随机投点法、平均值法、重要抽样法。
    2、平均值法求定积分
    计算过程如图1
    在这里插入图片描述
    其数学公式为:
    在这里插入图片描述
    3、定积分值误差检验
    方根误差(Root Square Error)是观测值与真值(理论值)偏差平方的平方根,是用来衡量观测值同真值之间的偏差。如图2,随采样数量的增加,误差逐渐降低。在达到一定数量(200)次采样之后,误差变化不大。说明采样次数提高到一定值后,对运算精度变化影响较少。进而采取改变抽样法来减小方差,从而提高积分计算的精度。(此不在本次运演范围)
    在这里插入图片描述

    三、举例说明蒙特卡洛算法

    1、要求:根据上述基本原理,用python程序验证蒙特卡洛求定积分计算过程
    2、具体代码

    import numpy as np
    import pylab as pl
    
    def fy(x):
        return x**3 + 4*x*np.cos(x)
    
    
    def dfy(x):
        return 3*x**2+4*np.cos(x)-4*x*np.sin(x)
    
    def monto(x,a,b):
        return (b-a)/len(x)*sum(dfy(x))
    
    def integral(a,b):
        return fy(b) - fy(a)
    
    a,b,n=10,15,1000
    vm=np.ones(n)
    X=np.linspace(a,b,n)
    y=np.ones(n)
    vi=integral(a,b)
    for i in range(n):
        x = np.random.uniform(a,b,i+1)
        vm[i] = monto(x,a,b)
        y[i] = dfy(X[i])
        
    pl.subplot(212)
    pl.title(" RSE ")
    pl.plot(range(n), np.sqrt((vi-vm)**2) )
    pl.xlabel("Monte Carlo sampling point")
    
    pl.subplot(211)
    pl.title("function curve")
    pl.plot(X,y,label='$y=3*x^2+4*cos(x)-4*x*sin(x)$')
    pl.legend(loc='upper left')
    pl.show()
    

    3、运行结果
    在这里插入图片描述

    以上就是本文所有内容,希望能帮到大家!!!

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  • 蒙特卡罗方法这里不再赘述1,例题Matlab代码:%蒙特卡罗法求积分N=1000; %随机选取1000个点x=rand(1,N);y=rand(1,N);S=sum(y<=sin(x)/x)/N %比较每一个元素,y<=sin(x)/x则为1运行结果:S = 0.91502,例题...

    蒙特卡罗方法这里不再赘述

    1,例题

    ae4b3ac4d99bb28028d2781475366a62.png

    Matlab代码:

    %蒙特卡罗法求积分

    N=1000; %随机选取1000个点

    x=rand(1,N);

    y=rand(1,N);

    S=sum(y<=sin(x)/x)/N %比较每一个元素,y<=sin(x)/x则为1

    运行结果:

    S = 0.9150

    2,例题

    171bb41c69eb3779a1d47557c69b654e.png

    Matlab代码:

    N=100000; %随机选取100000个点

    x=rand(1,N);

    y=rand(1,N);

    S=sum(exp((x+y).^2))/length(x) %(1-0)*(1-0)*函数的平均值(也就是长乘宽乘高)

    运行结果:

    S = 4.9167

    3,练习题

    bb2254ba9dbd02315689d1d68a7f3b5b.png

    1,投点法

    N=1000; %随机选取1000个点

    x=rand(1,N);

    y=rand(1,N);

    S=sum(y<=sqrt(1-x.^2))/N

    运行结果

    S = 0.7940 (半径为1 的1/4圆的面积)

    2,平均值法

    N=10000; %随机选取10000个点

    x=rand(1,N);

    y=rand(1,N);

    S=sum(sqrt(1-x.^2))/N

    运行结果

    S = 0.7881 (半径为1 的1/4圆的面积)

    Newton法解二元一次方程

    c7314eab50eec1b77a930b059c44ca25.png

    Matlab代码

    function [ x,k,index ] = Newtons( x , eq,it_max )

    index=0;

    k=-1;

    while(k<=it_max)

    x1=x;

    [J,F]=funs(x);

    x=x-(J\F')';

    norm=sqrt((x-x1).^2);

    if(norm

    index=-1;break

    end

    k=k+1;

    end

    end

    function [ J,F] = funs(x)

    F=[x(1)^2+x(2)^2-5,(x(1)+1)*x(2)-(3*x(1)+1)];

    J=[2*x(1),2*x(2);x(2)-3,x(1)+1];

    end

    [x,k,index]=Newtons([0,1],1e-5,100)

    计算结果

    x =

    1.0000 2.0000

    k =

    4

    index =

    -1

    知识点

    1,函数的建立与嵌套

    函数嵌套时直接使用即可,不需要考虑不同的m文件里,需不需要声明一下。

    遇到问题:输入参数的数目不足。

    就是字面意思,仔细检查一下输入的参数。

    2,二元一次方程的求解,也就是求解雅克比方程时。直接Ax=B,令x=A\B,或者x=B*A^(-1)

    当时傻了,还想着找个函数解方程。

    例题

    01527cd06d10768288ecb784c9c2fb99.png

    function [ x,k,index ] = Newtons( x , eq,it_max )

    index=0;

    k=-1;

    while(k<=it_max)

    x1=x;

    [J,F]=funs(x);

    x=x-J\F';

    norm=sqrt((x-x1).^2);

    if(norm

    index=-1;break

    end

    k=k+1;

    end

    end

    function [J,F] = funs(x)

    F=[x(1)^2+x(2)^2-1,x(1)^3-x(2)];

    J=[2*x(1),2*x(2);3*x(1)^2,1];

    end

    [ x,k,index ] = Newtons( [-0.8;0.6] , 10^(-3),10000000 )

    运行结果

    x =

    0.8257

    0.5642

    k =1563483

    index = -1

    展开全文
  • 蒙特卡洛估算定积分的第二种方法本文首发于个人微信公众号“我将在南极找寻你”平均值法前几天,我们利用蒙特卡洛的随机投点法实现了y=x^2在0到1上的定积分的估算(传送门),今天,我们介绍另一种蒙特卡洛估算定...
    蒙特卡洛估算定积分的第二种方法

    本文首发于个人微信公众号“我将在南极找寻你”

    平均值法
    前几天,我们利用蒙特卡洛的随机投点法实现了 y=x^201上的定积分的估算(传送门),今天,我们介绍另一种蒙特卡洛估算定积分的方法:平均值法

    原理:辛钦大数定律

    这里的大数定律,指的是伯努利大数定律,即35a85edf8db1cb13729d5415da54564e92584b3b.jpg

    绝对值里面的前者为平均观测值,后者为概率(由二点分布的的公式得到),这就是说,当n很大时,后者(概率)可以由前者(平均观测值)近似代替。而后者又可以写成期望的形式,连续型随机变量求期望就是求对应的定积分,我们由此来估算定积分

    具体的推导证明不再叙述(因为我也没看太懂),原理有点复杂,但是我们用代码来实现起来还是挺容易的。


    直接上代码,还是以y=x^2为例

    # -*- coding: cp936 -*-

    import time

    import numpy as np

    def f(x):

             return x**2

    def n(N):

             start_time=time.time()

             a=1/3.0

             x=np.random.uniform(0,1,N)#随机生成N个0-1之间的一维点

             c=f(x)#把x的值代入f(x)计算

             s=0

             for i in c:

                      s=s+i

             j=s*1.00/N

             print "蒙特卡洛估计值为: ",j

             print "与真实值之间的误差为:",abs(a-j)

             end_time=time.time()

             clap=end_time-start_time

             result=round(clap,3)

             print "程序运行耗时: ",result,"秒"


    下面进行效果测试:


    >>> n(1)

    蒙特卡洛估计值为:  0.878686797506

    与真实值之间的误差为: 0.545353464173

    程序运行耗时:  0.079 秒

    >>> n(10)

    蒙特卡洛估计值为:  0.206862514025

    与真实值之间的误差为: 0.126470819309

    程序运行耗时:  0.118 秒

    >>> n(100)

    蒙特卡洛估计值为:  0.344701364962

    与真实值之间的误差为: 0.0113680316288

    程序运行耗时:  0.073 秒

    >>> n(1000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.329302957955

    与真实值之间的误差为: 0.00403037537882

    程序运行耗时:  0.095 秒

    >>> n(10000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.334215109

    与真实值之间的误差为: 0.000881775667086

    程序运行耗时:  0.082 秒

    >>> n(100000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.333468173775

    与真实值之间的误差为: 0.000134840441518

    程序运行耗时:  0.141 秒

    >>> n(1000000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.333231069323

    与真实值之间的误差为: 0.000102264010195

    程序运行耗时:  0.78 秒

    >>> n(10000000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.333309418901

    与真实值之间的误差为: 2.39144322688e-05

    程序运行耗时:  8.005 秒

    >>> n(100000000)

    蒙特卡洛估计值为:  0.333349619401

    与真实值之间的误差为: 1.62860680264e-05

    程序运行耗时:  80.876 秒

    当N取100000000时,误差已经非常小了,只是计算时间变成了80多秒,有点耗时,但,毕竟,欲速则不达,对吧。

    从开学到现在感觉还没有睡醒,头脑昏昏沉沉的,错误难免,还望指出,睡觉,晚安。

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空空如也

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平均值法求积分