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  • 一元函数可导的定义
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    2019-08-12 12:22:32

    在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是可导和可微,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么可导一定可微,可导一定连续之类的。
    这里把这几个概念就自己的理解做一下解释。
    1.极限。
    求某一数列趋近于无穷的情况,某一函数趋近于无穷的情况,某一函数趋近于某一点的情况。只与自变量(数列为项数)和表达式有关。
    2.连续,可导,可微。
    连续,可导,可微三个均涉及到自变量因变量表达式,定义上又略有不同。

    (这里个很重要的概念:增量。即Δx,Δy。很多人不知道增量的意思和dx,dy代表什么意思,其实读书的时候仔细一点,这些概念都有提到。)
    

    2.1 连续
    2.1.1 定义1:当函数自变量的增量无线趋近于0的时候,因变量的增量的极限等于0。
    定义2:当自变量趋近于X0的时候,函数极限等于函数值f(x0).
    2.1.2 理解
    连续也只涉及到自变量向趋近于x0时,y的极限。只不过极限算完就算完了,极限是否存在,存在的话值是多少都不是我们关心的问题,但在连续的定义里面。要根据极限的计算结果对函数连续性进行评价。函数在极限存在且在该点有定义。极限不存在怎么办?该点没定义怎么办?于是就像"缺什么补什么"似的,高数引进的间断点的概念,并且根据函数该点处的极限情况分成了第一类间断点和第二类间断点。
    请注意,关于连续,我们经常研究的是某一点的情况。

    	对于很多非数学系的工科同志而言,这里又有一个点常常被忽略——有定义(包含分母不为0这种没定义的情况)
    

    2.2 可导与导数
    2.2.1 定义
    当自变量趋近于某一点x0的时候,因变量-f(x0)/自变量-x0的极限存在。
    2.2.2 理解
    如果说连续的定义和计算与极限还有几分相似的话,可导和可微就完全不是了。可导相当于构造了一个新的函数g(x),计算该函数的极限。当然,新构造出来的函数有它自己的实际意义,也就是因变量增量的比与自变量增量的比的极限。
    另一个值得注意的就是可导的结果并不是一个实际的值,好像布尔值一样,对函数某点做是否可导判断的问题可转换为函数g(x)在该点的极限是否存在。得出是或否就行了。
    到这里,理解“可导一定连续,但连续不一定可导”应该不难了,因为你肯定在极限中做过让你头疼很久的0比0型极限,通常情况是一个极限单独算存在,合在一块经过有限加减运算刚好凑成了0/0型,如果连续的结果(某一点的极限存在)存在,把它看成一个有结果的极限,那么可导刚好类似于0/0型。所以只知道连续的结果算不出可导的结果。知道了可导的结果,就知道连续的极限存在,也知道了可导一定连续。
    如果感觉记不住,就用一种地球人都知道的记忆方法:你看到面前的一排小蓝车,你把第一辆车推到了,接着后面的车跟着也倒了,可倒(导)一定连续,连续不一定可倒(导)。

    	请注意:对于导数是否存在一般为某一点,导数则有可能是一个区间
    

    2.3 可微

    	注意dx和dy从现在起才正式出现。
    

    2.3.1 定义
    Δy可以写成线性的形式A*Δx加上一个无穷小,即线性的形式。A与x无关,无穷小相对于Δx而言。满足条件的成为函数可微,并称AΔx为x在x0处的微分。记为dy,自变量的增量Δx等于自身的微分dx,所以有dy=Adx。
    2.3.2 解释
    2.3.2.1 Δy与dy的区别
    Δy与dy之间相差了一个无穷小量。也可以说dy是Δy的近似。
    2.3.2.2 可微和可导一样,判断是否可微即可,但A的确定又是一个难题,对于学高等数学的工科生直接使用结论A即为该点的导数值即可。

    	请注意:可微相对于某一点来说,微分相对于定义域
    
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  • 部分图片和写作灵感转载至知乎专栏文章 微分和导数的关系是什么?...古典微积分是为了解决曲线下积分的问题,采用分割近似求和的思想,明显知道Δx=xi+1−xi\Delta x=x_{i+1}-x_iΔx=xi+1​−xi​分的越

    部分图片和写作灵感转载至知乎专栏文章

    微分和导数的关系是什么?两者的几何意义有什么不同?为什么要定义微分 ? - 马同学的回答 - 知乎
    https://www.zhihu.com/question/22199657/answer/115178055

    1. 微积分的诞生

    • 古典微积分
      古典微积分是由Leibniz和Newton各自独立创建的。古典微积分是为了解决曲线下积分的问题,采用分割近似求和的思想,明显可知道 Δ x = x i + 1 − x i \Delta x=x_{i+1}-x_i Δx=xi+1xi分的越小则最后近似求和结果越准确,因此就出现了无穷小量 Δ x \Delta x Δx
      在这里插入图片描述
      在计算过程中,会自然的出现导数,因此有了对导数的讨论。

      • 导数的古典定义
        导数不是由Leibniz和Newton发明的,但是是他们在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定了。古典微积分中是使用切线、割线和无穷小量对导数进行定义的。
        将曲线上任意两点连接起来会产生一条与曲线相交的直线称为割线。割线可以反应曲线的平均变化率。
        在这里插入图片描述
        当割线和曲线的两个交点无限接近时就变成了曲线的切线。
        在这里插入图片描述
        在这里插入图片描述

    从图中的几何原理可得出导数的定义为 f ′ ( x ) = d y d x f'(x)=\frac{dy}{dx} f(x)=dxdy,而 d x dx dx d y dy dy两个无穷小量被称为x和y的微分,所以Leibniz也称导数为微商。因此可以看到在古典微积分中是先定义微分再定义导数

    • 用无穷小量定义会造成矛盾

      • 根据切线的定义,b和a横坐标距离相差了 d x dx dx,这样严格来说“切线”与曲线仍有两个交点。但如果a和b重叠,那么又无法确定直线,古典定义下的切线是一个悖论
      • 另外根据古典定义对导数的计算也会有影响。比如计算 x 2 x^2 x2的导数: d d x ( x 2 ) = f ( x + d x ) − f ( x ) d x = ( x + d x ) 2 − ( x 2 ) d x = x 2 + 2 x d x + d x 2 − x 2 d x = 2 x d x + d x 2 d x = 2 x + d x = 2 x \frac{d}{dx}(x^2)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^2-(x^2)}{dx}=\frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx}=\frac{2xdx+dx^2}{dx}=2x+dx=2x dxd(x2)=dxf(x+dx)f(x)=dx(x+dx)2(x2)=dxx2+2xdx+dx2x2=dx2xdx+dx2=2x+dx=2x,可以看出 d x dx dx在作为分母时应该被看做非0的极小值来约去,但在 2 x + d x 2x+dx 2x+dx处又应被看成0,这样的计算也是自相矛盾的。
        因此微积分的古典定义并不严谨。
    • 极限微积分

      • 极限,用 ε − X \varepsilon-X εX定义来描述极限
        :设函数 f ( x ) f(x) f(x) [ b , + ∞ ] \left[b,+\infty\right] [b,+]上有定义,若存在常数A,对任给 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在 X > 0 X>0 X>0,当 x > X x>X x>X时,都有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon f(x)A<ε,则称数A为函数f(x)当 x → + ∞ x\rightarrow +\infty x+时的极限。
      • 导数的极限定义
        f ′ ( x 0 ) = d y d x = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}} f(x0)=dxdy=limΔx0ΔxΔy=limΔx0Δxf(x0+Δx)f(x0)
        脱离微商使用极限思想重新定义导数,此时的导数称为了一个整体。
      • 因此在先定义了导数之后再定义了微分: 设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在x的某邻域U(x)内有定义,若 Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) \Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right) Δy=f(x+Δx)f(x)可表示为 Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x = A Δ x + o ( Δ x )   ( Δ x ) → 0 \Delta y=f^\prime\left(x_0\right)\Delta x+\alpha\Delta x=A\Delta x+o\left(\Delta x\right)\ \left(\Delta x\right)\rightarrow0 Δy=f(x0)Δx+αΔx=AΔx+o(Δx) (Δx)0,其中A是与 Δ x \Delta x Δx无关的常量,则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点x处可微。 A Δ x A\Delta x AΔx Δ y \Delta y Δy的线性主部,并称其为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即 d y = A Δ x dy=A\Delta x dy=AΔx
      • 我们可以看到,可微是人为定义的,通过计算来判断微分各变量之间的精确关系,即 d y = f ′ ( x 0 ) d x = A Δ x dy=f'(x_0)dx=A\Delta x dy=f(x0)dx=AΔx。因此当 f ′ ( x ) → ∞ f'(x)\rightarrow\infty f(x),如斜率 k = 90 ° k=90\degree k=90°时, d y dy dy d x dx dx的定量关系无法在数值上精确判断,故不可微。可微曲线就是以曲代直,以小段切线代替局部曲线。

    2. 一元函数可导、可微、连续的关系

    • 连续: f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0有定义且 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0) limxx0f(x)=f(x0)
    • 由于可微是由可导定义的,因此一元函数中可导和可微是可以互推的。也就是说只要可导有定义,则必有可微可定义,反之亦然。
    • 跳跃间断点时不连续,不可微也不可导
      在这里插入图片描述
    • 可导和可微可以推出连续都不能推出可导和可微。如 f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=\left|x\right| f(x)=x 时在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处连续,但不可导也不可微 在这里插入图片描述
    • 总结请添加图片描述

    3. 二元函数可偏导、可微、连续、偏导数连续的关系

    • 可微与可偏导的关系:可微可以推出可偏导,可偏导不能推出可微。二元函数中可偏导是一元属性,而可微是二元属性,一元属性的偏导存在无法推出二元属性的可微。
    • 可微与连续的关系和一元时的情况一样
    • 一阶偏导数连续与可微的关系:首先先考虑一阶时的情况,由震荡曲线 y = x 2 sin ⁡ 1 x 2 , ( x ≠ 0 ) ; y = 0 , ( x = 0 ) y=x^2\sin {\frac{1}{x^2}},(x\neq0); y=0,(x=0) y=x2sinx21,(x=0);y=0,(x=0)可知道震荡曲线可微但导数在 x = 0 x=0 x=0处不连续。将震荡函数扩展到二维中时, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处显然可微,但在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点偏导不连续,存在无穷多个趋近竖直的切平面
    • 一阶偏导数连续与可偏导的关系:可偏导包含在一阶偏导数中
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  • 一元函数微分学的概念与计算

    千次阅读 2021-01-11 11:03:11
    复合函数求导 设 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 在点 x x x 处可导, y = f ( u ) y=f(u) y=f(u) 在点 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 处可导,则: { f [ g ( x ) ] } ′ = f ′ [ g ( x ) ] g ′ ( x ) \left \{f \left ...

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    一元函数微分学的概念与计算

    一、导数定义

    f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ △ x → 0 f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) △ x = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x_0)=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f(x0)=x0limxf(x0+x)f(x0)=xx0limxx0f(x)f(x0)

    二、微分定义

    设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某邻域内有定义,且 x 0 + △ x x_0+\triangle x x0+x 在该邻域内,对于函数增量 △ y = f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0) y=f(x0+x)f(x0) ,若存在与 △ x \triangle x x 无关的常数 A A A ,使得 △ y = A △ x + o ( △ x ) \triangle y=A\triangle x+o(\triangle x) y=Ax+o(x) ,其中 o ( △ x ) o(\triangle x) o(x) 是在 △ x → 0 \triangle x\to 0 x0 时比 △ x \triangle x x 更高阶的无穷小,则称 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可微,并称 A △ x A\triangle x Ax f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处的微分,记作 d y ∣ x = x 0 = A △ x dy|_{x=x_0}=A\triangle x dyx=x0=Ax 或者 d f ( x ) ∣ x = x 0 = A △ x df(x)|_{x=x_0}=A\triangle x df(x)x=x0=Ax 。又 △ x = d x \triangle x=dx x=dx ,故 d y ∣ x = x 0 = A d x dy|_{x=x_0}=Adx dyx=x0=Adx

    三、计算

    1. 基本求导公式

    ( log ⁡ α x ) ′ = 1 x ln ⁡ α ( α > 0 , α ≠ 0 ) (\log_\alpha x)'=\frac{1}{x\ln\alpha}(\alpha>0,\alpha\ne0) (logαx)=xlnα1(α>0,α=0)
    ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)=1x2 1
    ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x (\tan x)'=\sec^2x (tanx)=sec2x
    ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arccosx)=1x2 1
    ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x (\cot x)'=-\csc^2x (cotx)=csc2x
    ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} (arctanx)=1+x21
    ( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 (arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2} (arccotx)=1+x21
    ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x (\sec x)'=\sec x\tan x (secx)=secxtanx
    ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x (\csc x)'=-\csc x\cot x (cscx)=cscxcotx
    [ ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) ] ′ = 1 x 2 + 1 \left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} [ln(x+x2+1 )]=x2+1 1
    [ ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) ] ′ = 1 x 2 − 1 \left[\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right]'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} [ln(x+x21 )]=x21 1

    2. 复合函数求导

    u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 在点 x x x 处可导, y = f ( u ) y=f(u) y=f(u) 在点 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 处可导,则:
    { f [ g ( x ) ] } ′ = f ′ [ g ( x ) ] g ′ ( x ) \left \{f \left [g \left (x \right ) \right ] \right \} ' = f' \left [ g\left( x \right) \right ] g'(x) {f[g(x)]}=f[g(x)]g(x)

    3. 隐函数求导

    等号两边同时对自变量求导即可。

    4. 反函数求导

    y x ′ = d y d x = 1 d x d y = 1 x y ′ y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x'_y} yx=dxdy=dydx1=xy1
    y x x ′ ′ = d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d ( 1 x y ′ ) d x = d ( 1 x y ′ ) d y ⋅ 1 x y ′ = − x y y ′ ′ ( x y ′ ) 3 y''_{xx}=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dy}\cdot\frac{1}{x'_y}=-\frac{x''_{yy}}{(x'_y)^3} yxx=dx2d2y=dxd(dxdy)=dxd(xy1)=dyd(xy1)xy1=(xy)3xyy

    5. 分段函数求导

    分段点用定义法,非分段点用公式法。

    6. 多项乘除、开方、乘方求导

    使用对数求导法,将复杂函数的项转化为对数中的加减项处理。

    7. 幂指函数求导

    将幂指函数转化为指数函数求导。

    8. 参数方程求导

    d y d x = d y d t d x d t \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} dxdy=dtdxdtdy
    d 2 y d x 2 = d ( d y d t ) d t d x d t = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) [ x ′ ( t ) ] 3 \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d(\frac{dy}{dt})}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{\left[x'\left(t\right)\right]^3} dx2d2y=dtdxdtd(dtdy)=[x(t)]3y(t)x(t)x(t)y(t)

    9. 变限积分求导

    F ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt F(x)=φ1(x)φ2(x)f(t)dt
    F ′ ( x ) = f [ φ 2 ( x ) ] φ 2 ′ ( x ) − f [ φ 1 ( x ) ] φ 1 ′ ( x ) F'(x)=f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x) F(x)=f[φ2(x)]φ2(x)f[φ1(x)]φ1(x)

    10. 高阶导数求导

    • 数学归纳法处理
    • 泰勒公式(麦克劳林展开)
    • 使用莱布尼茨公式: ( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)} (uv)(n)=k=0nCnku(nk)v(k)
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  • 文章目录第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算一、一元函数的导数与微分二、按定义求导数及其适用的情形三、基本初等函数导数表,导数四则运算法则与复合函数微分法则(一)基本初等函数导数表(微分表)四、...

    文章目录


    第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算

    一、一元函数的导数与微分

    (一)导数的定义、几何意义与力学意义
    1. 导数的定义
      2.1 定义
      2.2 左右导数
    2. 几何意义(切线斜率)
    3. 力学意义(物理的速度)
    (二)单侧可导与双侧可导的关系

    2.1 可导的充要条件,左右导数存在且相等

    (三)可微的定义、微分的几何意义及可微、可导与连续之间的关系
    1. 可微的定义
    2. 微分的几何意义
      Δyf(x)的增量,dy是切线的增量
    3. 可导、可微与连续之间的关系
      可微与可导等价
    (四)函数在区间上的可导性,导函数及高阶导数
    1. 函数在区间上的可导性
    2. 导函数
    3. 二阶导数及高阶导数
    4. 二阶导数的力学意义(物理的加速度)
    (五)奇偶函数与周期函数的导数性质

    奇的导数为偶,偶的导数为奇
    周期函数的导数也是周期函数且周期相同


    二、按定义求导数及其适用的情形

    (一)按定义求导数

    注意,Δx→0时,若f(x + Δx) - f(x)不是无穷小量则f '(x0)不存在

    (二)适合用定义求导数的几种情形

    分段函数
    只说连续没说可导

    (三)利用导数的定义求极限

    Ⅰ 直接按导数的定义求,注意增量的替换,只要趋近于0即可替换

    Ⅱ 数列极限与导数的关系


    三、基本初等函数导数表,导数四则运算法则与复合函数微分法则

    (一)基本初等函数导数表(微分表)

    (二)导数与微分的四则运算法则
    (三)复合函数的微分法则

    四、初等函数的求导法


    五、复合函数求导法的应用——由复合函数求导法则导出的几类函数的微分法

    (一)幂指函数的求导(微分)法

    方法1:变成以e为底的幂函数
    方法2:取对数然后再求导

    (二)反函数的求导法

    2.5 反函数的求导公式
    要会求反函数的一阶导数
    要知道 d 2 x / d y 2 d^{2}x/dy^{2} d2x/dy2 的含义,以及求法

    (三)由参数方程确定的函数的求导法
    (四)隐函数微分法

    直接将两端求导,然后将导数解出来,求二阶导时,直接从一阶导数的两端求导,再把二阶导解出来
    也可以用链式求导法则,按照多元函数的求导法则来求导:
    y ' (x) = - F 'x / F ' y


    六、分段函数的求导法

    (一)按定义求分界点初的导数或左右导数
    (二)按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数
    (三)分界点是连续点时,求导函数在分界点处的极限值或左、右极限值

    七、高阶导数及n阶导数的求法

    (一)归纳法

    先求出一二三阶导数,然后观察规律,使用归纳法

    (二)利用简单的初等函数的n阶导数公式(很难记,也很难用)

    (三)分解法

    将函数分解成为上述简单初等函数之和的形式,然后利用上述n阶导数公式,常有如下情形:

    1. 有理函数与无理函数的分解
    2. 三角函数的分解(利用各种三角恒等变换,二倍角公式等等)
    (四)莱布尼兹法则

    (五)利用泰勒公式(详见第五章泰勒公式的应用)

    八、一元函数微分学的简单应用

    (一)平面曲线的切线与法线
    1. 用显式方程表示的平面曲线
      根据导数,会写切线方程,法线方程

    2. 用参数方程表示的平面曲线

    3. 用极坐标方程表示的平面曲线

    4. 用隐式方程表示的平面曲线

    (二)平面曲线的曲率(见第三章)
    (三)用导数描述某些物理量

    速度,密度,电流强度,功率等


    本章常考题型约有七种


    后记:


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  • 一元函数的导数与微分概念及其计算
  • 一元函数中,可微与可导是等价的,但是在多元函数中,可微与可偏导之间的关系就没那么简单了,这是为什么呢?本文小编将以二元函数为例进行详细的说明。1.二元函数的可偏导在二元函数中,一元函数可导的概念变为可...
  • 函数可微的定义

    万次阅读 2020-12-13 16:54:50
    附:导数与微分https://wenku.baidu.com/view/676a08b065ce05087632131f.html
  • 对于任意定义在非空实数子集E上的实值函数f,在特征值完全在E中的对称矩阵的子集S E(m)上自然地定义了相应的实对称矩阵函数f M,并且得到了如下结果:如果f在E上连续,则f M也相应地在S E(m)上是连续的。
  • 二原函数可导理解

    2019-10-16 00:11:13
    偏导数存在一定可导可导偏导数不一定存在。在一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。 在 xOy 平面内,当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时...
  • 导数的定义: 简单概括为 函数的增量y与
  • 本文实例讲述了C++通过自定义函数一元二次方程的根。分享给大家供大家参考,具体如下: /* * 作 者: 刘同宾 * 完成日期:2012 年 11 月 24 日 * 版 本 号:v1.0 * 输入描述: * 问题描述: 求一元二次方程的根。...
  • 一元函数微分学

    2021-04-27 14:47:47
    一元函数微分学 主要涉及两方面: 概念类。主要是定义,通过一个式子来判断它的导数(存不存在、是多少)。 计算类。(包括很多 分段函数 复合函数 反函数 参数方程 隐函数 对数求导 幂指函数 高阶导数 变限积分求导) ...
  • 一元函数,多元函数,可微的含义:就是用极限的思想近似反应两个可变因素之间的函数关系。近似代替。 一元函数微分的几何意义:就是曲线x...dy指的是函数在某点切线方向上增量(当函数可导时函数从Xo变化到Xo+△X...
  • 基础知识: 一元函数的连续性: 前提: 1 函数f(x)在点x。有定义 2 (是个常数) 3 相等,即 二元函数的连续条件: 在某点可导: 定义1: 定义二: 可偏导: 可微: ...
  • 可以利用这个算法来计算普通一元函数的最大值,只需修改定义域和函数的形式即可。
  • 二元函数连续性、可导性及极限

    万次阅读 2019-07-14 09:17:49
    3,二元函数可微分定义 4,如果二元函数f(x,y)的偏数fx(x,y),fy(x,y)在点(x0,y0)连续,如果二元函数f(x,y)的偏数f_x(x,y),f_y(x,y)在点(x_0,y_0)连续,如果二元函数f(x,y)的偏数fx​(x,y),fy​(x,y)在点(x0​...
  • 在多元的情况下,微可的关系要比在一元情况下复杂,但是只是要复杂一些,如果我们从...1 偏微分在一元函数中的微分就是函数的切线:关于微分就是切线,我写的很多文章(比如我最近的 如何通俗解释全微分? )都...
  • 一些matlab的基础资料-Matlab 与 一元函数的导数和微分.doc 这些是我在学习期间自己做的一些笔记,简洁明了,分享给大家,希望对刚学习的朋友有所帮助,主要是高等数学内容 逻辑运算:matlab编程基础の基础....
  • 文章目录第三章 一元函数积分概念、计算及应用 第三章 一元函数积分概念、计算及应用
  • 也就是说我们定义微分,就是想借助微分这个工具来研究函数的变化趋势。 从上面你可以明白两件事: 第一:微分,即dy,不是一个符号哦,是真的有具体值的,它的值为 第二:观察下 ,显然是一个关于 的线性函数,...
  • 本资源为.zip压缩包,...注:源文件中的一元函数需要你自己修改,修改方式为在target.m文件中重新定义你自己的一元函数,且需要在gene.m文件中的boundsbegin变量、boundsend变量重新赋值你所定义一元函数的上下界。
  • 多元函数可导,连续,可微的关系

    万次阅读 多人点赞 2020-06-20 02:04:28
    对于二元函数而言:可导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何...
  • 函数的可微与可导

    千次阅读 2021-01-27 20:20:41
    最近复习到高数的一元函数微分部分 ,可导和可微是两个特别重要也特别容易混淆的概念。所以简单记录一下,便于自己理解,仅供参考。 导数 从物理角度来说(牛顿是从物理学的角度发明出的微积分)某点的导数就是一个...
  • 函数连续、可导、可微、连续可微

    千次阅读 2021-07-20 11:35:24
    文章目录1、函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​极限存在的充要条件2、函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​连续的充要条件3、函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​可微3.1一元函数可导的充要条件3.2多元函数偏导的定义4、函数f(x)f(x...
  • 思维导图下载:点我
  • 高等数学:一元函数积分学

    千次阅读 2019-08-02 13:04:53
    定义: 不定积分定义: 定积分定义: 注意区别:不定积分是一族函数,他又很多个函数,但是定积分呢?它就只有一个函数,并且它所代表的集合意义就是一个曲边梯形的面积。 另外千万搞清楚,不定积分是函数,...
  • 附上微的定义: ...rank_v2~rank_v29-1-111131869.nonecase&utm_term=%E5%8F%AF%E5%BE%AE&spm=1018.2226.3001.4450 答案: 资料1: 资料2: 资料3:

空空如也

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