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  • Moore-Penrose 广义逆
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    2018-02-04 23:22:33

    Moore-Penrose 广义逆

    对于任意一个矩阵 Am×nCm×n, A m × n ∈ C m × n , 若矩阵 Xn×mCn×m X n × m ∈ C n × m 满足:
    AXA=A(1) (1) A X A = A
    XAX=X(2) (2) X A X = X
    (AX)H=AX(3) (3) ( A X ) H = A X
    (XA)H=XA(4) (4) ( X A ) H = X A
    则称 X X A 的 Moore-Penrose 广义逆,记为 A+ A +

    定理

    对于任意一个矩阵 Am×nCm×n, A m × n ∈ C m × n , A+ A + 存在并唯一。

    证明

    1. 存在性

    A A 做奇异值分解:
    A=UBVH
    其中 Um×m,Vn×n U m × m , V n × n 均为酉矩阵,
    B=(Λ0(mr)×(nr))m×n B = ( Λ 0 ( m − r ) × ( n − r ) ) m × n
    Λ=λ1λrr×r, Λ = ( λ 1 ⋱ λ r ) r × r , 其中 {λi,iN,1ir} { λ i , i ∈ N , 1 ≤ i ≤ r } AHA A H A r r 个正特征值。
    C=(Λ10(mr)×(nr))m×n,D=(I0(mr)×(nr))m×n
    X=VCUH, X = V C U H , 则:
    AX=(UBVH)(VCUH)=UBCUH=UDUH A X = ( U B V H ) ( V C U H ) = U B C U H = U D U H
    XA=(VCUH)(UBVH)=VCBVH=VDVH X A = ( V C U H ) ( U B V H ) = V C B V H = V D V H
    因此:
    (AX)H=(UDUH)H=UDUH=AX ( A X ) H = ( U D U H ) H = U D U H = A X
    (XA)H=(VDVH)H=VDVH=XA ( X A ) H = ( V D V H ) H = V D V H = X A
    XAX=(VDVH)(VCUH)=VDCUH=VCUH=X X A X = ( V D V H ) ( V C U H ) = V D C U H = V C U H = X
    AXA=(UBVH)(VDVH)=UBDVH=UBVH=A A X A = ( U B V H ) ( V D V H ) = U B D V H = U B V H = A

    2. 唯一性

    设存在两个矩阵 X,Y X , Y 均满足条件,则
    AX=(AYA)X=(AY)(AX)=(AY)H(AX)H=(AXAY)H=(AY)H=AY A X = ( A Y A ) X = ( A Y ) ( A X ) = ( A Y ) H ( A X ) H = ( A X A Y ) H = ( A Y ) H = A Y
    XA=X(AYA)=(XA)(YA)=(XA)H(YA)H=(YAXA)H=(YA)H=YA X A = X ( A Y A ) = ( X A ) ( Y A ) = ( X A ) H ( Y A ) H = ( Y A X A ) H = ( Y A ) H = Y A
    因此:
    X=XAX=(XA)X=(YA)X=Y(AX)=Y(AY)=YAY=Y X = X A X = ( X A ) X = ( Y A ) X = Y ( A X ) = Y ( A Y ) = Y A Y = Y

    性质

    1. r(A+)=r(A) r ( A + ) = r ( A )
      证明:由条件1,2可得。
    2. rangeA+=rangeAH,kerA+=kerAH range ⁡ A + = range ⁡ A H , ker ⁡ A + = ker ⁡ A H
      证明:
      AHα=ββ=AHα=(AXA)Hα=(XA)HAHα=(XA)AHα=X(AAHα)rangeAHrangeA+ A H α = β ⇒ β = A H α = ( A X A ) H α = ( X A ) H A H α = ( X A ) A H α = X ( A A H α ) ⇒ range ⁡ A H ⊆ range ⁡ A +
      Xα=ββ=Xα=(XAX)α=(XA)Xα=(XA)HXα=(AHXH)Xα=AH(XHXα)rangeA+rangeAH X α = β ⇒ β = X α = ( X A X ) α = ( X A ) X α = ( X A ) H X α = ( A H X H ) X α = A H ( X H X α ) ⇒ range ⁡ A + ⊆ range ⁡ A H
      AHα=0⃗ Xα=(XAX)α=X(AX)Hα=X(XHAH)α=(XXH)(AHα)=0⃗ kerAHkerA+ A H α = 0 → ⇒ X α = ( X A X ) α = X ( A X ) H α = X ( X H A H ) α = ( X X H ) ( A H α ) = 0 → ⇒ ker ⁡ A H ⊆ ker ⁡ A +
      Xα=0⃗ AHα=(AXA)Hα=AH(AX)Hα=AH(AX)α=(AHA)(Xα)=0⃗ kerA+kerAH X α = 0 → ⇒ A H α = ( A X A ) H α = A H ( A X ) H α = A H ( A X ) α = ( A H A ) ( X α ) = 0 → ⇒ ker ⁡ A + ⊆ ker ⁡ A H
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    Moore-Penrose伪Moore-Penrose广义逆

    Moore-Penrose伪逆(Moore-Penrose广义逆)


    对于非方矩阵而言,其逆矩阵没有定义。假设在下面的问题中,我们希望通过矩阵A的左逆B来求解线性方程:
    A x = y Ax=y Ax=y
    等式两边左乘 A − 1 A^{-1} A1后,我们得到:
    x = A − 1 y x=A^{-1}y x=A1y
    是否存在一个唯一的映射,将A映射到B,取决于问题的形式。
    如果矩阵A的行数大于列数,那么上述方程可能没有解;如果矩阵A的行数小于列数,那么上述矩阵可能有很多解。

    Moore-Penrose伪逆使我们能够解决这类问题。矩阵A的伪逆定义为:
    A + = lim ⁡ x → 0 ( A T A + x I ) − 1 A T A^{+}=\lim_{x \to 0}(A^{T}A+xI)^{-1}A^{T} A+=x0lim(ATA+xI)1AT
    但是在实际中计算伪逆是使用下面的式子:
    A + = V D + U H A^{+}=VD^{+}U^{H} A+=VD+UH
    其中 V 、 D + 、 U H V、D^{+}、U^{H} VD+UH都是矩阵A按照奇异值分解后得到的。

    • 矩阵右上角 A H A^{H} AH H H H是什么呢?

      这是一种转置,但是能应用更广泛的范围,被称作共轭转置。当出现复数的时候,才会体现它的不同,在为实数的时候和普通转置的操作是一样的。下面我们举一个共轭转置的例子。
      A = [ 1 + i 3 2 − 3 i 6 ] A=\left[ \begin{matrix} 1+i & 3 \\ 2-3i & 6\\ \end{matrix} \right] A=[1+i23i36]
      A A A的共轭转置 A H A^{H} AH为:
      A H = [ 1 − i 2 + 3 i 3 6 ] A^{H}=\left[ \begin{matrix} 1-i & 2+3i\\ 3 & 6\\ \end{matrix} \right] AH=[1i32+3i6]

    倘若学了矩阵论,那肯定会想起广义逆,没错,伪逆就是广义逆的一种,从它的定义以及描述来看,不能说毫无关系,只能说是一模一样。


    如何求解Moore-Penrose伪逆(Moore-Penrose广义逆)


    要想求解伪逆,我们要经过以下两步

      1. 求解矩阵的奇异值分解
      1. 按照求解的奇异值分别进行变换
      1. 按照伪逆公式求解公式求解该矩阵的伪逆

    我们通过一个小例子进行引入:

    求解矩阵 A = [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ] A=\left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ \end{matrix}\right] A=001000010000的伪逆 A + A^{+} A+

    我们通过这个很简单的例题来引入。

    1.矩阵的奇异值分解


    首先,我们先进行矩阵 A A A的奇异值分解。

    奇异值分解的公式是怎样的呢?它的各个元素和我们的最终目的求解矩阵的伪逆很像,这也是为什么我们要先求解奇异值分解。奇异值分解公式为:
    A = U D V H A=UDV^{H} A=UDVH

    其实在矩阵论这本书上是 A = U Σ V H A=U\Sigma V^{H} A=UΣVH,但是在我查找资料,推测其定义应该是一样的,所以在这里以伪逆的定义形式来命名。(当然也有可能是我出错了,倘若如此,希望指正,谢谢!)

    由之前的讲解我们可以得出:
    A H = [ 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] A^{H}=\left[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}\right] AH=000000100010
    则有
    A H A = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ] A^{H}A=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right] AHA=100010000
    接下来求解 A H A A^{H}A AHA的特征值,通过下面的公式求解:
    ∣ λ I − A H A ∣ = ( λ − 1 ) 2 λ |\lambda I-A^{H}A|=(\lambda-1)^{2}\lambda λIAHA=(λ1)2λ
    求解可得特征值分别为:
    λ 1 = 1 , λ 2 = 1 , λ 3 = 0 \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=0 λ1=1,λ2=1,λ3=0


    1. 第一步,根据特征值求解 D D D

    由特征值我们可以求解出 D D D,那么 D D D的求解公式是咋样的呢?
    在这里我给出求解不为零部分的通式:
    Δ = [ σ 1 σ 2 ⋱ σ n ] \Delta=\left[\begin{matrix} \sigma_{1} & & &\\ & \sigma_{2} & &\\ & & \ddots &\\ & & & & \sigma_{n}\\ \end{matrix}\right] Δ=σ1σ2σn
    其中的参数 σ \sigma σ λ \lambda λ关系如下(只求不为零的):
    σ i = λ i \sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}} σi=λi
    而在该题中 D D D应该为多少呢?维度是怎样的呢?我们需要根据 D D D的左右矩阵来判断,也就是必须满足矩阵的运算规则。所以它的 Δ = [ 1 0 0 1 ] \Delta=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] Δ=[1001]

    D D D的通式为:
    D = [ Δ 0 0 0 ] D=\left[\begin{matrix} \Delta & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right] D=[Δ000]
    D D D中, 0 0 0表示的不是单个0,而是 0 0 0矩阵,具体大小,视左右矩阵而论。


    1. 第二步,求解变量 V V V

    要想求解 V V V,首先需要求解出 A H A A^{H}A AHA特征值对应的特征向量。根据特征向量求解公式:
    ( λ i I − A ) x = 0 (\lambda_{i}I-A)x=0 (λiIA)x=0

    注意,上面公式是指 λ i \lambda_{i} λi A A A的特征值,而在本题中, λ i \lambda_{i} λi A H A A^{H}A AHA的特征值,所以在计算时应该是:
    ( λ i I − A H A ) x = 0 (\lambda_{i}I-A^{H}A)x=0 (λiIAHA)x=0

    求解对应的基础解系选取一个简单的作为特征向量,求解的各特征值对应的特征向量为: α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T , α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) T , α 3 = ( 0 , 0 , 1 ) T \alpha_{1}=(1,0,0)^T,\alpha_2=(0,1,0)^T,\alpha_3=(0,0,1)^T α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,0,1)T,然后需要将得到的特征向量进行标准正交化,这里将标准正交化后的结果用 v 1 , v 2 , v 3 v_1,v_2,v_3 v1,v2,v3表示,其实对于当前例子我们可以看出求得的特征向量标准正交化后也是一样的,也就是 v 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T , v 2 = ( 0 , 1 , 0 ) T , v 3 = ( 0 , 0 , 1 ) T v_{1}=(1,0,0)^T,v_2=(0,1,0)^T,v_3=(0,0,1)^T v1=(1,0,0)T,v2=(0,1,0)T,v3=(0,0,1)T

    V V V的求解公式如下:
    V = ( v 1 , v 2 , ⋯   , v n ) V=(v_1,v_2,\cdots,v_n) V=(v1,v2,,vn)

    所以, V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] V=(v_1,v_2,v_3)=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] V=(v1,v2,v3)=100010001

    1. 第三步,求解变量 U U U

    求解 U U U按照以下规则,首先求解特征值不为零的。按照下面的公式进行求解:
    u i = 1 σ i A v i u_i=\frac{1}{\sigma_i}Av_i ui=σi1Avi
    根据公式可得: u 1 = 1 σ 1 A v 1 = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) T , u 2 = 1 σ 2 A v 2 = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) T u_1=\frac{1}{\sigma_1}Av_1=(0,0,1,0)^T,u_2=\frac{1}{\sigma_2}Av_2=(0,0,0,1)^T u1=σ11Av1=(0,0,1,0)T,u2=σ21Av2=(0,0,0,1)T,再通过已得到的 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1,v2来求解,根据性质, U U U中的子列向量必须两两正交,所以剩下的列向量必须满足下面要求:
    u i = { β ∣ u 1 T β = 0 , u 2 T β = 0 } u_i=\lbrace{\beta}|u_1^T\beta=0,u_2^T\beta=0\rbrace ui={βu1Tβ=0,u2Tβ=0}
    最终求解可得 β = ( k 1 , k 2 , 0 , 0 ) \beta=(k_1,k_2,0,0) β=(k1,k2,0,0),其中 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2为任意实数。
    所以可得 u 3 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , u 4 = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) u_3=(1,0,0,0),u_4=(0,1,0,0) u3=(1,0,0,0),u4=(0,1,0,0)

    从而可知:
    U = ( u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) = [ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] U=(u_1,u_2,u_3,u_4)=\left[\begin{matrix} 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \\ 1& 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right] U=(u1,u2,u3,u4)=0010000110000100


    1. 第四步 确定 D D D,得出最后结果

    从上面我们已经知道如下结果:
    U = [ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] U=\left[\begin{matrix} 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \\ 1& 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right] U=0010000110000100
    V = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] V=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] V=100010001
    现在我们就需要来确定 D D D了,我们已知:
    Δ = [ 1 0 0 1 ] \Delta=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] Δ=[1001]

    D = [ Δ 0 0 0 ] D=\left[\begin{matrix} \Delta & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right] D=[Δ000]
    而矩阵 A A A的奇异值分解为下面公式, A = U D V H A=UDV^{H} A=UDVH

    所以我们可得 D D D的维度,也就是 D 4 × 3 D_{4\times3} D4×3,所以最终我们确定 D D D
    D = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] D=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}\right] D=100001000000

    到这里,矩阵的奇异值分解就结束了,我们可以通过公式: A = U D V H A=UDV^{H} A=UDVH来进行验证。

    虽然奇异值分解结束了,但是伪逆计算却还没开始,不过当你已经求解出了奇异值分解之后,伪逆也就不难了。


    2. 矩阵伪逆的计算

    这里我们还是需要摆出伪逆的计算公式。
    A + = V D + U H A^{+}=VD^{+}U^{H} A+=VD+UH

    而我们刚才奇异值分解的是: A = U D V H A=UDV^{H} A=UDVH

    这里有一个很不幸消息,如果你直接这样看的话你会发现,我们所求的 D D D其实也是个不可逆矩阵,也就是说如果这样的话,也是要求伪逆的。而且你会有更惊人的发现,它的和 A A A是很相似的。所以这里我们需要分解。

    也就是真正使用的公式:

    A = U D V H = U ( Δ 0 0 0 ) V H A=UDV^{H}=U\left(\begin{matrix} \Delta & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right)V^{H} A=UDVH=U(Δ000)VH
    A + = V D + U H = V ( Δ − 1 0 0 0 ) U H A^+=VD^+U^{H}=V\left(\begin{matrix} \Delta^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right)U^{H} A+=VD+UH=V(Δ1000)UH

    这样你就会发现很容易求解,由于 Δ = [ 1 0 0 1 ] \Delta=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] Δ=[1001],所以
    Δ − 1 = [ 1 0 0 1 ] \Delta^{-1}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] Δ1=[1001]

    那么就可以得出: D + = ( Δ − 1 0 0 0 ) = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] D^+=\left(\begin{matrix} \Delta^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right)=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}\right] D+=(Δ1000)=100010000000

    所以可得 A A A的伪逆,亦即广义逆为:
    A + = V D + U H = V ( Δ − 1 0 0 0 ) U H = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] = [ 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] A^+=VD^+U^{H}=V\left(\begin{matrix} \Delta^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right)U^{H}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \\ 1& 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \\ 0& 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right] A+=VD+UH=V(Δ1000)UH=1000100011000100000000010000110000100=000000100010


    至此,我们求解完毕,其实在本文中,我们最最主要了解的是,我们一般不使用原始公式,而是使用下面的:

    A = U ( Δ 0 0 0 ) V H A=U\left(\begin{matrix} \Delta & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right)V^{H} A=U(Δ000)VH
    A + = V ( Δ − 1 0 0 0 ) U H A^+=V\left(\begin{matrix} \Delta^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right)U^{H} A+=V(Δ1000)UH


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  • 矩阵求运算一般是对于方阵而言,矩阵求没有对非方阵定义。非方阵求会给我们带来很多便捷,假设我们得到矩阵A的左矩阵B,对于线性方程组Ax=y,我们可以这样求得:x=...在这些情况下,Moore-Penrose允许我...

            矩阵求逆运算一般是对于方阵而言,矩阵求逆没有对非方阵定义。非方阵求逆会给我们带来很多便捷,假设我们得到矩阵A的左逆矩阵B,对于线性方程组Ax=y,我们可以这样求得:x=By;根据问题的结构,有可能无法设计一个从A到B的单一映射。

            如果矩阵A更高(行数m大于列数n,即未知数的约束方程可能大于未知数的数目),那么这个方程就有可能没有解。如果矩阵A更宽(行数m小于列数n,即未知数的约束方程一定大于未知数的数目),那么就有多种解 。在这些情况下,Moore-Penrose伪逆允许我们取得一些进展。矩阵A的伪逆定义如下:

     A^{+}=\lim_{\alpha \rightarrow 0}(A^{T}A+\alpha I)^{-1}A^{T}

           用上述定义计算伪逆是不实用的,计算伪逆的实用算法基于如下公式:

    A^{+}=VD^{+}U^{T} 

            其中矩阵U、D、V是矩阵A的奇异值分解(上篇文章所讲);对角矩阵D的伪逆D^{+}是通过取其非零元素的倒数,然后所得矩阵进行转置得到的。当A的列数多于行数时,那么使用伪逆解线性方程组就提供了许多可能的解之一,具体地说,它提供了在所有可能的解中具有最小欧氏范数||x||_{2}的解x=A^{+}y。当A的行数多于列数时,可能方程组是没有解的,在这种情况下,根据欧式范数\left \| Ax-y \right \|_{2},使用伪逆给出了使Ax尽可能接近y的解x。

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    Moore-Penrose广义逆

    摩尔-彭若斯广义逆 A+(Moore–Penrose pseudoinverse)是最著名的广义逆阵,也是该词的通俗意思。

    1903年,埃里克伊姆(Erik Ivar Fredholm)提出积分算子的伪逆的概念。摩尔-彭若斯广义逆先后被以利亚金·黑斯廷斯·摩尔(Eliakim Hastings Moore)(1920年)、阿恩·布耶哈马(Arne Bjerhammar)(1951年)、罗杰·彭罗斯(1955年)发现或描述。

    它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解(最小二乘法)。

    矩阵的摩尔-彭若斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的,并且可以通过奇异值分解求得。

    (来自维基百科)

    一. 定义

    设 A∈Cm*n,若存在矩阵G∈Cn*m(C为复数域),使得
    (1) AGA = A;
    (2) GAG = G;
    (3) (AG)H = AG;
    (4) (GA)H = GA;
    则称 G 为 A 的Moore-Penrose广义逆加号广义逆,简称为A的M-P逆。A的任意M-P逆记为A+

    二. 定理

    定理一:
    若矩阵A∈Cm*n存在M-P广义逆,则A的M-P逆是唯一的。

    证明: 设G1,G2都是A的M-P广义逆,则G1,G2均满足M-P逆的定义中的四个条件,于是

    G1=(G1A)G1 = (G1A)HG1 = AHG1HG1=(AHG2HAH)G1HG1=(G2A)H(G1A)HG1=G2AG1AG1=G2AG1;
    G2=G2(AG2)=G2(AG2)H=G2G2HAH=G2G2H(AHG1HAH)=G2(AG2)H(AG1)H=G2AG2AG1=G2AG1
    所以 G1=G2

    定理二:
    任意矩阵A∈Cm*n都存在M-P广义逆A+,设rank(A)= r,A的一个满秩分解为A=BC,B∈Cm*r,C∈Cr*n,rank(B)=rank(C )=r,则A+=CH(CCH)-1(BHB)-1BH

    定理三
    设矩阵A∈Cm*n,rank(A)=r,A的奇异值分解为
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    其中Δ为对角线由A的正奇异值所构成的对角矩阵,Δ∈Cr*r

    定理四
    设A∈Cm*n,λ∈Cn,则A+满足以下性质:
    (1) (A+)+ = A
    (2) (A+)H = (AH)+

    (3) (λA)+ = λ+A+,其中 λ+ ={ 0,λ=0;1/λ,λ≠0}
    (4) A∈Cm*n是列满秩的,则 A+ = (AHA)-1AH;
    若A是行满秩的,则 A+ = AH(AAH)-1
    (5) 若A有满秩分解A=BC,则A+ = C+B+

    参考资料:
    [1]https://en.wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penrose_inverse
    [2] 《矩阵论》(第二版)杨明,刘先忠.华中科技大学出版社,2005年3月 ISBN 978-7-5609-3046-6

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  • 本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题,帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。9 n5 m% D/ x2 t) E; F% u5 K 1 q% }- r( g" j 首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义:2 H, y% F9 S6 L3 ?6 A , ...
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  • Moore-Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解
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  • 讨论带有对合?...Penrose , 给出了具有满单分解态射的加权Moore-Penrose 存在的几个充要条件以及具有满单分解的加权Moore-Penrose逆的表达式, 所得结论和公式包括了关于广义Moore-Penrose 中的结果.
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  • 设A为C* -代数,a,a- =a +δa∈A并且a+存在,‖a+‖‖δa‖<1。定义a-是a的稳定扰动,当且仅当a- A∩...对于B-D广义逆ap+,在给出一般表达式的前提下,对于一类具有“p-零”性质的B-D广义逆,得到了‖a- p+‖的一个上界。
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