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  • 离散趋势
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    2021-02-22 22:58:34

    一、作用

    离散趋势体现了数据内部水平差异

    二、分类

    集中趋势指标包括极差、平均差、标准差

    1. 极差:相距最远的两个点之间的距离,体现数据内部最大差异状况。
    2. 平均差:一组数据各项与平均值之间的平均差异。平均差=(每个数据项-均值)后相加除以数据项的个数,平均差越大,数据越分散,对于事件驱动型数据,在样本量较小的时候容易导致误差,平均差对离散值更敏感。
    3. 标准差:是优化后的更能代表离散程度的指标,能更直观的了解差异程度,是最常用的离散指标。标准差=(每个数据项-均值)平方后相加除以数据项的个数再开二次方

    三、总结

    离散趋势指标

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    内容导入:

    大家好,这里是每天分析一点点。本期给大家介绍的是数据分析基础系列离散趋势的基本原理与应用,包括极差、方差与离散系数的原理与计算,再结合股票案例分析,讨论收益的稳定性,根据离散趋势指标计算结果解释原因。文章内容适合数据分析小白,内容深入浅出,案例贴合实际。下期给大家介绍描述性统计分析的应用,欢迎大家关注。

    概念介绍:

    离散趋势的概念:

    离散趋势在统计学中是指一组数据在某一中心值分散的程度,它反映了各个数据远离其中心点的程度,并且从另一个方面说明了集中趋势测度值的代表程度。描述数据离散程度采用的测度值,根据所依据数据类型的不同主要有极差、分位距、方差、标准差和离散系数。

    极差的原理:

    极差为一组数据的最大值与最小值之差,也称全距R。容易受极端值的影响。

    方差的原理:

    方差与标准差表示数据集波动的大小,方差小,表示数据集比较集中,波动性小,方差大,表示数据集比较分散,波动性大。这两个指标能较好地反映出数据的离散程度,是应用最广泛的离散程度的测度值,实际应用中更多使用标准差。

    离散系数的原理:

    离散系数也称为变异系数,是一组数据的标准差与其相应的平均数之比。是测度数据离散程度的统计量,主要用于比较不同样本数据的离散程度,离散系数大,说明数据的离散程度大;离散系数小,说明数据的离散程度小。

    特别提示:

    1、极差描述了数据的范围,但无法描述其分布状态。且对异常值敏感。

    2、标准差只能用于统一体系内的数据比较。

    3、离散系数是统一的数据波动性比较参数。

    计算与应用方式:

    极差的计算与应用:

    极差为一组数据的最大值与最小值之差。

    计算公式:

    计算实例:假设一支股票8天的收益为10,11,12,13,14,15,16,17,现在计算这支股票的极差最大值是17,最小值是10。因此,极差=最大值-最小值=17-10=7。

    极差对于数据的波动程度衡量不够准确,股票收入变成1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 101。当数据出现异常的离群值,极差准确性就受到影响。此时,极差=最大值-最小值=101-10=100;但是,正常区间的数据波动性没这么大。还记得第一期去除异常值的箱体图吗,当去除异常值1和101时,极差变成17-10=7,又回到了正常水平。

    方差的计算与应用:

    方差是各变量值与其平均数离差平方的平均数。

    方差的平方根称为标准差。

    计算实例:用方差与标准差计算下列股票的波动性,17, 11, 15, 13, 13, 13, 13, 14, 12, 12,12,12, 10, 16,

    import numpy as np

    data=np.array([17,11,15,13,14,12,10,16])

    var=np.var(data);print(var)

    std=np.std(data);print(std)

    #方差为5.25

    #标准差为2.29129

    离散系数的计算与应用:

    1、离散系数的计算

    是一组数据的标准差与其相应的平均数之比。

    计算实例:一个班的年龄如下:17,11,15,13,14,12,10,16,先计算平均数,再计算标准差,最终得到离散系数。

    import numpy as np

    data=np.array([17,11,15,13,14,12,10,16])

    mean=np.var(data)

    std=np.std(data)

    Vs=std/mean

    print(Vs)

    #该数据离散系数为0.436436

    为什么要有离散系数呢?是为了不同样本的波动性可比较。因为如果样本的平均值是相同的,那么我们比较方差或者标准差就能知道数据的稳定性。如果数据的平均值不同,无法通过上述比较得出结果,就需要应用离散系数。离散系数最通常的应用,对于股票的风险测量,股票的风险系数就是离散系数。

    综合应用场景:

    甲乙两个运动员都是中等水平,各连续打靶8次,请问哪个运动员发挥稳定?

    甲乙连续打8次靶,按先后顺序记录如下:

    甲运动员:[8,7,8,9,9,8,7,8]。

    乙运动员:[5,6,6,7,7,10,10,10]。

    通过计算,得出的离散趋势结果入下表所示:

    如果计算的结果中有离散系数,我们可以直接使用离散系数进行比较,就不用看方差与标准差。通过方差、标准差、离散系数的比较,发现甲的离散趋势指标均比乙的指标小,因此,甲发挥的更加稳定。

    各位看官,今天看得过瘾吗?还没有结束,我们为大家准备了离散趋势的相关python代码案例,作为小礼物送给大家,更多内容,请关注海数据公众号。

    本期分享到这里,我们会在每周持续更新,咱们下期再见,期待您的光临。

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  • 此时我们主要用到两个统计学工具:集中趋势和离散趋势。 1. 集中趋势 集中趋势是一组数据的代表值,那用什么值作代表最有代表性呢?当然这个值应该和所有值差距不大是最好,此时我们首先想到的就是平均数,事实上,...

    给定一组数据,我们怎么来判断业务的基本情况呢?此时我们主要用到两个统计学工具:集中趋势和离散趋势。

    1. 集中趋势

    集中趋势是一组数据的代表值,那用什么值作代表最有代表性呢?当然这个值应该和所有值差距不大是最好,此时我们首先想到的就是平均数,事实上,用来衡量集中趋势的最常用指标就是平均数,当然有时我们也使用中位数。

    平均数和中位数一般是不同的,除非样本呈正态分布。如果衡量集中趋势的指标选择不合理,那么对业务整体情况的判断往往会出现争议,最常见的例子就是“工资水平”统计数据的梗——大多数人总是感到“拖了大家的后腿”。为什么会这样呢?因为工资收入是偏态分布的,而且是正偏态分布——大多数人工资处于较低的水平。

    那么表示集中趋势时,什么时候选择平均数,什么时候选择中位数呢?我们可以通过考察数据分布的正态、偏态情况进行选择。

    如果样本呈正态分布,那么集中趋势使用平均数或中位数表示均可,因为两者是相等的。
    如果样本呈偏态分布,那么选择中位数更能反映数据的集中趋势。通常情况下,正偏态的中位数小于平均数,负偏态的中位数大于平均数。因此,如果工资水平的计量采用中位数,大家心里接受的程度可能会更高一些。
    比如以下工资水平的抽样数据,用中位数表示是3000,用平均数表示是9200。显然选择中位数的表示集中趋势更符合实际。
    salary=[2500,3500,2000,4000,2200,3000,1800,20000,50000,3000]

    2. 离散趋势

    离散趋势反映了样本数据之间的差异水平。反映离散趋势的统计指标一般包括标准差/方差、极差、四分位间距IQR和变异系数。

    • 极差是样本最大值与最小值的差;
    • 四分位间距IQR是75%分位数与25%分位数的差,显然四分位间距IQR一般要比极差小;
    • 变异系数是标准差与均值的比值,通常认为如果变异系数超过15%,则说明业务状况是很不稳定的。上例中,工资样本的变异系数是1.58,说明工资水平是极不稳定的。

    除了变异系数是相对量化指标外,其它三个指标都是绝对量化指标。因此,变异系数可以进行不同数据集离散程度的比较,而其它三个指标不可以,因为不同数据集的数据尺度有所差异。

    集中趋势和离散趋势相结合才能更准确的反映业务状况,当离散趋势不明显时,集中趋势反映总体水平的能力就越强。

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  • 1.数据离散程度的最常用测度值 2.反映了各变量值与均值的平均差异 3.根据总体数据计算的,称为总体方差(标准差),记为δ²(δ);根据样本数据计算的,称为样本方差(标准差),记为s²(s) 1.1 总体方差与...

    目录

    一、数据型数据:方差和标准差

    1.1 总体方差与标准差

    1.1.1 方差的公式

     1.1.2 标准差的公式

    1.2 样本方差与标准差

    1.2.1 方差的公式

    1.2.2 标准差的公式

    二、自由度

    三、相对位置的度量:标准分数

    四、度量相对离散程度:离散系数


    一、数据型数据:方差和标准差

    1.数据离散程度的最常用测度值

    2.反映了各变量值与均值的平均差异

    3.根据总体数据计算的,称为总体方差(标准差),记为δ²(δ);根据样本数据计算的,称为样本方差(标准差),记为s²(s)

    1.1 总体方差与标准差

    1.1.1 方差的公式

    未分组数据         

    组距分组数据

     1.1.2 标准差的公式

    未分组数据

    组距分组数据

    1.2 样本方差与标准差

    1.2.1 方差的公式

    未分组数据

    组距分组数据

    1.2.2 标准差的公式

    未分组数据

    组距分组数据

    例:

    分组数据的标准差

     

    二、自由度

    1.自由度是指数据个数与附加给独立的观测值的约束或限制的个数之差

    2.从字面含义来看,自由度是指一组数据中可以自由取值的个数

    3.当样本数据的个数为n时,若样本平均数确定后,则附加给n个观测值的约束个数就是1个,因此只有n-1个数据可以自由取值,其中必有一个数据不能自由取值

    4.按着这一逻辑,如果对n个观测值附加的约束个数为k个,自由度则为n-k

    说明:

    1.样本有三个值,X₁=2,X₂=4,X₃=9,当x拔=5确定后,X₁,X₂,X₃有两个数据可以自由取值,,另一个则不能自由取值,比如X₁=6,X₂=7,则X₃必然取2,而不能取其他值

    2.样本方差的自由度为什么时n-1呢?因为计算离差平方和((Xi-x拔)²)的时候,必须先求出样本均值x拔,而x拔则是附件给离差平方和的一个约束,因此计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值,而不是n个

    3.样本方差用自由度去除,其原因可以从多方面解释,从实际应用角度看,在抽样估计中,当用样本方差s²去估计总体方差δ²时,他是δ²的无偏估计量

    三、相对位置的度量:标准分数

    1.也称标准化值

    2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量

    3.可判断一组数据中是否有离群点

    4.用于对变量的标准化处理

    5.计算公式为(样本值-样本均值)/样本标准差

    z分数只是将原始数据进行线性变换,它并没有改变一个数据在该组数据的位置,也没有改变该组数分布的形状,而只是使该组数剧均值为0,标准差为1

     上图中均值x拔=34,标准差经过计算=6,反推回去就是25和34相差1.5倍的标准差

    四、度量相对离散程度:离散系数

    1.标准差与其相应的均值之比

    2.对数据相对离散程度的测度

    3.消除了数据水平高低和计量单位的影响

    4.用于对不同组别数据离散程度的比较

    5.计算公式为Vs=S/x拔

    例:

    经过计算得出X₁拔=536.25,X₂拔,32.5125

    S₁=309.1896,S₂=23.09177

    所以V₁=309.1/536.25=0.577,V₂=23.09177/32.5125=0.710

    结论:计算结果表明V₁<V₂,说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度

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