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  • 如何理解自相关和偏自相关图(最全面的讲解)

    万次阅读 多人点赞 2019-07-10 11:25:26
    前几篇的时间序列预测的文章中,都用到了自相关(ACF)和偏自相关(PACF)图,但是理解起来还是存在一些问题。今天就针对这2个概念,重点进行了解和学习。 数据集:澳大利亚墨尔本10年最低气温 链接: ...

    前几篇的时间序列预测的文章中,都用到了自相关(ACF)和偏自相关(PACF)图,但是理解起来还是存在一些问题。今天就针对这2个概念,重点进行了解和学习。

    数据集:澳大利亚墨尔本10年最低气温 链接: https://pan.baidu.com/s/17sVPK8iI-dlC4W6oGpd-Xg 提取码: jtei

    import pandas as pd
    from matplotlib import pyplot as plt
    data = pd.read_csv(“daily-minimum-temperatures-in-me.csv”, parse_dates=[‘Date’], index_col=‘Date’)
    data.head()
    data.plot(figsize=(12,6))

    在这里插入图片描述
    相关与自相关
    统计中的相关性说的是两个变量间的相关程度。我们假设如果每个变量都符合正态分布,可以使用皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient)来统计变量间的相关性。皮尔逊相关系数是-1和1之间的数字分别描述负相关或正相关。值为零表示无相关。

    自相关(英语:Autocorrelation),也叫序列相关,是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说,它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式(如被噪声掩盖的周期信号),或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。自相关函数在不同的领域,定义不完全等效。在某些领域,自相关函数等同于自协方差。

    由于时间序列的相关性与之前的相同系列的值进行了计算,这被称为序列相关或自相关。一个时间序列的自相关系数被称为自相关函数,或简称ACF。这个图被称为相关图或自相关图。

    以下是利用statsmodels库中使用plot_acf()函数计算和绘制“每日最低气温”自相关图:

    import statsmodels.api as sm
    sm.graphics.tsa.plot_acf(data)
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.show()

    在这里插入图片描述

    这个示例创建了一个2D的平面图,显示沿x轴的延迟值以及y轴上的相关性(-1到1之间)。置信区间被画成圆锥形。默认情况下,置信区间这被设置为95%。

    默认情况下,图中显示的是所有的延迟值,这让真实情况掩藏了,我们可以将x轴上的延迟值限制为50,让图更容易看懂。

    在这里插入图片描述
    sm.graphics.tsa.plot_acf(data, lags=50)
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.show()

    偏自相关函数(PACF)
    偏自相关函数用来度量暂时调整所有其他较短滞后的项 (y_{t-1}, y_{t-2}, …, y_{t-k-1}) 之后,时间序列中以 k 个时间单位(y_{t}和y_{t-k})分隔的观测值之间的相关。

    偏自相关是剔除干扰后时间序列观察与先前时间步长时间序列观察之间关系的总结。在滞后k处的偏自相关是在消除由于较短滞后条件导致的任何相关性的影响之后产生的相关性。一项观察的自相关和在先验时间步上的观测包括直接相关和间接相关。这些间接相关是线性函数观察(这个观察在两个时间步长之间)的相关。偏自相关函数试图移除这些间接相关。

    下面的示例使用statsmodels库中的plot_pacf()来计算和绘制最低每日温度数据集里的前50个滞后的偏自相关函数:

    sm.graphics.tsa.plot_pacf(data, lags=50)
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.show()
    在这里插入图片描述

    ACF和PACF图的直观认识
    时间序列的自相关函数和偏自相关函数的平面图描述了完全不同的情形。我们可以使用ACF和PACF图来探索一些信息。

    自回归直观认识(intuition)

    考虑由自回归(AR)过程产生的滞后时间为k的时间序列。我们知道,ACF描述了一个观测值与另一个观测值之间的自相关,包括直接和间接的相关性信息。这意味着我们可以预期AR(k)时间序列的ACF强大到(如同使用了)k的滞后,并且这种关系的惯性将继续到之后的滞后值,随着效应被削弱而在某个点上缩小到没有。我们知道,PACF只描述观测值与其滞后(lag)之间的直接关系。这表明,超过k的滞后值(lag value)不会再有相关性。这正是ACF和PACF图对AR(k)过程的预期。

    滑动平均直观认识(Moving Average Intuition)

    考虑由滑动平均(MA)过程产生的滞后(lag)时间为k的时间序列。请记住,滑动平均过程是先前预测的残留偏差的时间序列的自回归模型。考虑滑动平均模型的另一种方法是根据最近预测的错误修正未来的预测。我们期望MA(k)过程的ACF与最近的lag值之间的关系显示出强烈的相关性,然后急剧下降到低或者无相关性。根据定义,这解释了整个过程是如何产生的。对于PACF,我们预计图会显示与滞后(lag)的关系,以及滞后(lag)之前的相关。再次强调,这正是MAF(k)过程的ACF和PACF图的预期。

    自相关和偏自相关用于测量当前序列值和过去序列值之间的相关性,并指示预测将来值时最有用的过去序列值。了解了此内容,您就可以确定 ARIMA 模型中过程的顺序。更具体来说,

    自相关函数 (ACF)。延迟为 k 时,这是相距 k 个时间间隔的序列值之间的相关性。
    偏自相关函数 (PACF)。延迟为 k 时,这是相距 k 个时间间隔的序列值之间的相关性,同时考虑了间隔之间的值。
    截尾与拖尾是什么鬼?
    截尾是指时间序列的自相关函数(ACF)或偏自相关函数(PACF)在某阶后均为0的性质(比如AR的PACF);拖尾是ACF或PACF并不在某阶后均为0的性质(比如AR的ACF)。

    截尾:在大于某个常数k后快速趋于0为k阶截尾
    拖尾:始终有非零取值,不会在k大于某个常数后就恒等于零(或在0附近随机波动)
    自回归移动平均模型(ARMA(p,q))是时间序列中最为重要的模型之一,它主要由两部分组成: AR代表p阶自回归过程,MA代表q阶移动平均过程,其公式如下:
    在这里插入图片描述

    依据模型的形式、特性及自相关和偏自相关函数的特征,总结如下:

    在这里插入图片描述

    在时间序列中,ARIMA模型是在ARMA模型的基础上多了差分的操作。

    参考链接:

    https://machinelearningmastery.com/gentle-introduction-autocorrelation-partial-autocorrelation/
    文章来源:
    https://www.biaodianfu.com/acf-pacf.html

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  • 自相关与互相关

    千次阅读 2020-04-28 20:27:01
    自相关(Autocorrelation),也叫序列相关,是一个信号与其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说,自相关是对同一信号在不同时间的两次观察,通过对比来评判两者的相似程度。自相关函数就是信号x(t)和它的时移...

    自相关(Autocorrelation),也叫序列相关,是一个信号与其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说,自相关是对同一信号在不同时间的两次观察,通过对比来评判两者的相似程度。自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t-τ)的乘积平均值。它是时移变量τ的函数。

    这是从书上抄来的话,到底是什么意思呢?

    说人话!好吧,让我来编一个有关潜伏的故事:

    话说余则成要到火车站去交换情报,他需要在火车靠站的短短几分钟内找到这位情报员并完成交换工作,在熙熙攘攘的火车站里,除非事先知道情报员所在的车厢,否则根本来不及。任务的前一天,他收到了含有情报员所在车厢的密电,密电如下:

    这是什么鬼?

    这是一段随机信号,但在其中隐藏了一个正弦,你能看得出来吗?

    余则成同志的智商是比较高的,也是上过大学的,他的眼睛在杂乱无章的随机曲线上来回快速扫描,运用自己所有的知识,希望能找出那个正弦来。半个小时后……终于,

    他什么也没发现。

    余则成想了一个笨办法,他让翠平把曲线照猫画虎地描出一小段来,然后拿着翠平的画样在整个曲线上一点一点地进行对比。

    怎么对比呢?无非是“加、减、乘、除”之类。但因为“加、减”属于同量级的变化,用肉眼就能大概地完成,而“除”则具有缩小功能。所以,为放大曲线中的差异,显然“乘法”大概是比较好的选择。

    然后怎么办呢?总不能用“有点像”、“很像”、“很不像”这样的词来评价吧。他将整个比较过程分为四个步骤:

    第一步:将“画样”与原信号中的开始端对齐,逐点一一对应地相乘,得到一小段新曲线;

    第二步:将新曲线上各个点的值进行算术平均,得到一个均值;

    第三步:将得到的均值描绘在最终曲线图中;

    第四步:将“画样”向后挪动一点(“步距”),重复上述过程,直至“画样”移动到曲线末端。

    这个工作很繁琐,但好在不太难,余则成教会翠平后就忙着应付陆桥山去了,等晚上回到家,看到的结果虽然不是太满意,但最终的曲线中还是表现出了很强的规律性,他拿尺子量了所有“锯齿”的间距,取了个平均值,得到了Δt≈0.2s,取倒数便是5Hz。第二天,余则成顺利地在5号车厢与情报员完成了交接。

    好吧,我承认,这个故事编的不太认真,不过戏剧性本来也不是我们这里讨论的重点哈。

    我们只是想通过这个小栗子来说明,“自相关”这种数据处理方法,可以发现隐藏在杂乱信号中的有用信息。这个能力是相当重要的,因为工程实际中的信号,不可避免地要受到各种干扰,严重的时候会完全淹没真正有用的数据。自相关能找出重复信息(被噪声掩盖的周期信号),或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频,它常用于时域信号的分析。

    用数学的语言表述,则是:自相关函数是信号在时域中特性的平均度量,它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系。

    另外,上面的这个例子也仅是故事性的,并不满足数学的严格性。实际上,数学上是这样定义的:

    这个公式中,τ是进行“比较”时移动的“步距”。而整个公式的意思是“将x(t)进行时移,得到x(t+τ),然后将其与x(t)在整个范围内逐点进行相乘,得到一条新曲线,这条曲线下方所围成的面积就是一个R值。改变τ的取值,再来一次,……,如此不断重复,R的一系列值将成为R(τ)曲线,这就是自相关曲线”。

    自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值,它是时移变量τ的函数。

    如果能明确地看出原始数据有周期性,那么就不必在整个数轴范围(-∞~+∞)内进行移动比较了,只需要移动一个周期(T)即可:

    明白了自相关,互相关也就好懂了。其实,大多数教材都是先讲互相关的。因为,所谓相关性,从字面的意思就是指两组数据,把它们相互比较,看看有没有关联。自相关是自己和自己比,互相关呢,自然就是两个不同信号之间相互比:

    基本定义介绍完了,我们来看看,自相关函数有什么特点。

    假设有一个余弦信号: 

    它的自相关函数是什么呢?根据定义,有:

    可以看到,自相关函数仍为余弦,且频率不变。如果信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成,同样可以证明,余弦信号的自相关函数还是是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分,其频率不变,幅值等于原幅值平方的一半,即等于该频率分量的平均功率,但丢失了相角的信息。

    自相关函数具有如下主要性质

    (1). 自相关函数为偶函数, ,其图形对称于纵轴。因此,不论时移方向是导前还是滞后(τ为正或负),函数值不变;

    (2). 当τ=0时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值;

    (3). 周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号;

    (4). 若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,自相关函数趋于信号平均值的平方。

    典型应用:

    (1). 检测信号回声(反射)。若在宽带信号中存在着带时间延迟τ0的回声,那么该信号的自相关函数将在τ=τ0处也达到峰值(另一峰值在τ=0处),这样可根据τ0确定反射体的位置。

    (2). 检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的,而随机噪声信号随着延迟增加,它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后,被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息,而排除了随机信号的干扰。

    另外,相关函数的计算与卷积的计算有点关系。

    从定义式中可以看到,互相关函数和卷积运算类似,也是两个序列滑动相乘,但是区别在于:互相关的两个序列都不翻转,直接滑动相乘,求和;卷积的其中一个序列需要先翻转,然后滑动相乘,求和。所以,x(t)和y(t)做相关等于x(t)与y(-t)做卷积。

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  • 自相关与偏自相关的简单介绍

    千次阅读 2019-02-10 13:42:00
    自相关与偏自相关的简单介绍 [时间序列分析][3]–自相关系数和偏自相关系数
    展开全文
  • 自相关系数

    万次阅读 2019-06-11 10:50:50
    1、介绍 相关函数是描述信号X(s),Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来...自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同...

    1、介绍
    相关函数是描述信号X(s),Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义:
    在这里插入图片描述

    称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0,则称 X与Y 不相关。相关系数越大,相关性越大,但肯定小于或者等于1.。相关函数分为自相关和互相关。下面一一介绍
    自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2的取值之间的相关程度。定义式:
    在这里插入图片描述

    主要性质如下:

    (1)自相关函数为偶函数,其图形对称于纵轴。
    (2)当s=t 时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即
    (3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
    自相关是互相关的一种特殊情况.。互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻s,t的取值之间的相关程度,其定义为:
    在这里插入图片描述

    对于连续函数,有定义:
    在这里插入图片描述

    对于离散的,有定义:

    在这里插入图片描述

    从定义式中可以看到,互相关函数和卷积运算类似,也是两个序列滑动相乘,但是区别在于:互相关的两个序列都不翻转,直接滑动相乘,求和;卷积的其中一个序列需要先翻转,然后滑动相乘,求和。所以,f(t)和g(t) 做相关等于 f*(-t) 与 g(t) 做卷积。
    在图象处理中,自相关和互相关函数的定义如下:设原函数是f(t),则自相关函数定义为 R(u)=f(t)f(-t),其中表示卷积;设两个函数分别是f(t)和g(t),则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

    2、互相关公式
    自相关和互相关表示两个的线性度。越接近正负1线性度越好。若接近0表示线性关系不好,但有可能是其他关系,如平方等。
    相关的计算公式其实是为了让协方差有量纲:
    在这里插入图片描述
    也就是下面公式:
    在这里插入图片描述
    3、自相关
    协方差是会受到单位的影响的,而相关系数就是消除了量纲的影响。
    这里讲的自相关系数可以说是根据最原始的定义引伸出来的。
    其实自相关系数可以这么理解:把一列数据按照滞后数拆成两列数据,在对这两列数据做类似相关系数的操作。
    看一个例子:

    在这里插入图片描述

    这组数据是求滞后数为2的自相关系数,则变成求{x1,x2,…,x8}和{x3,x4,…,x10}两者的“相关系数”,相关系数打引号是因为这个相关系数的公式和以往的有点不一样。下面看一下公式的对比:

    在这里插入图片描述
    (注意:上面公式左边大的求和号只是对分子求和)
    要注意的是在计算自相管系数的时候 是使用的总体的均值, 可以看到他们除了 取得不一样, 几乎就是一样的。
    所以,我们可以这么理解自相关系数, 她就是用来表达一组数据前后数据 (自己和自己) 的相关性的。

    4、matlab中计算自相关系数
    比如矩阵A = [1 2 3 4] ;xcorr(A) = 4 11 20 30 20 11 4
    自相关函数是信号间隔的函数,间隔有正负间隔,所以n个长度的信号,有2n-1个自相关函数值,分别描述的是不同信号间隔的相似程度,并且该2n-1个自相关函数值关于n对称。
    比如,上面的矩阵,最后得到7个结果,其中第4个是自己和自己相乘,最后相加的结果,值最大11+22+33+44 = 30 。而第三个和第五个分别是间隔正负1的结果也就是12+23+34 = 20,21+32+43 = 20 。第二个和第六个分别是间隔正负2也就是13+24=11,31+42 = 11。第一个和第七个分别是间隔正负3也就是14 = 4 ,41=4 。
    而matlab中autocorr和xcorr有什么不同呢?autocorr是对序列减去均值后做的自相关,最后又进行了归一化。而且由于自相关本身是偶函数,autocorr只是取了以中点n为起始的后面n个序列。

    clear ;
    %使用autocorr函数
    A = [1 2 3 4] ;
    n = length(A) ;
    [ACF,lags,bounds] = autocorr(A,n-1) ;
    subplot(2,1,1) ;
    plot(lags(1:end),ACF(1:end)) ;
    title(‘autocorr求自相关’) ;
    %使用xcorr函数
    B = A - mean(A) ;%减掉均值
    [c,lags] = xcorr(B) ;
    d = c ./ c(n) ;%归一化
    subplot(2,1,2) ;
    plot(lags(n:end),d(n:end)) ;%取中点n为起始的后面n个序列
    title(‘xcorr求自相关’) ;

    得到的函数图像一样,如图所示:
    在这里插入图片描述

    展开全文
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