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  • 若当标准型
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    2020-11-19 14:52:29

    已知
    A = [ 2 0 0 1 4 0 1 0 2 ] A = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} A=211040002
    特征多项式为:
    ∣ λ I − A ∣ = ∣ λ − 2 0 0 − 1 λ − 4 0 − 1 0 λ − 2 ∣ = ( λ − 2 ) 2 ( λ − 4 ) = 0 |\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda -2 & 0 &0 \\ -1 & \lambda -4 & 0\\ -1 & 0 & \lambda -2 \end{vmatrix} = (\lambda - 2)^2(\lambda -4)=0 λIA=λ2110λ4000λ2=(λ2)2(λ4)=0
    求出特征值: λ = 2 (二重) , 4 \lambda = 2\text{(二重)}, 4 λ=2(二重),4.

    但是显然 A A A 不会相似于对角矩阵:
    [ 2 0 0 0 4 0 0 0 2 ] \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} 200040002
    因而只能是相似于若当标准型:
    J = [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] J = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} J=210020004
    注意:若当标准型的标准求法需要用到 λ \lambda λ-多项式(或 λ \lambda λ-矩阵),参见高等代数教材。但在这里掐指一算就知道了,因为只有 2 是二重根

    下面要求变换矩阵 P P P 使得:
    A = P J P − 1 ⇔ A P = P J ⇔ A [ p 1 p 2 p 3 ] = [ p 1 p 2 p 3 ] [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] ⇔ { A p 1 = 2 p 1 + p 2 A p 2 = 2 p 2 A p 3 = 4 p 3 ⇔ { ( A − 2 I ) p 1 = p 2 ⇒ ( A − 2 I ) 2 p 1 = 0 ( A − 2 I ) p 2 = 0 ( A − 4 I ) p 3 = 0 \begin{aligned} &A = PJP^{-1} \\ \Leftrightarrow& AP = PJ \\ \Leftrightarrow& A \begin{bmatrix}p_1 & p_2 & p_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}p_1 & p_2 & p_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases} A p_1 = 2p_1 + p_2 \\ A p_2 = 2p_2 \\ A p_3 = 4p_3 \end{cases} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases} (A - 2I) p_1 = p_2 \Rightarrow (A - 2I)^2 p_1 = 0\\ (A-2I) p_2 = 0 \\ (A-4I) p_3 = 0 \end{cases} \end{aligned} A=PJP1AP=PJA[p1p2p3]=[p1p2p3]210020004Ap1=2p1+p2Ap2=2p2Ap3=4p3(A2I)p1=p2(A2I)2p1=0(A2I)p2=0(A4I)p3=0
    p 3 p_3 p3 A − 4 I A-4I A4I 的核空间,很好求:
    ( A − 4 I ) p 3 = [ − 2 0 0 1 0 0 1 0 − 2 ] p 3 = 0 ⇒ p 3 = [ 0 1 0 ] (A-4I)p_3 = \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} p_3 = 0 \Rightarrow p_3= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (A4I)p3=211000002p3=0p3=010
    p 2 p_2 p2 A − 2 I A-2I A2I 的核空间; p 1 p_1 p1 ( A − 2 I ) 2 (A-2I)^2 (A2I)2 的核空间,但是不在 A − 2 I A-2I A2I 的核空间

    这该怎么求呢?

    先求 p 1 p_1 p1:
    ( A − 2 I ) 2 p 1 = [ 0 0 0 1 2 0 1 0 0 ] 2 p 1 = [ 0 0 0 2 4 0 0 0 0 ] p 1 = 0 (A-2I)^2p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 1 &2 & 0\\ 1 & 0 &0 \end{bmatrix}^2 p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 2 &4 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix} p_1 =0 (A2I)2p1=0110200002p1=020040000p1=0 ⇒ p 1 = [ 0 0 1 ] 或者 [ − 2 1 0 ] \Rightarrow p_1= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text{或者} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} p1=001或者210
    由于前者 [ 0 0 1 ] \displaystyle \begin{bmatrix}0 \\0 \\1 \end{bmatrix} 001 A − 2 I A-2I A2I 的核空间,故舍弃,所以 p 1 = [ − 2 1 0 ] \displaystyle p_1 = \begin{bmatrix} -2 \\1 \\0 \end{bmatrix} p1=210
    所以
    p 2 = ( A − 2 I ) p 1 = [ 0 0 0 1 2 0 1 0 0 ] [ − 2 1 0 ] = [ 0 0 − 2 ] p_2 = (A-2I)p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 1 &2 & 0 \\ 1 & 0 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\1 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\-2 \end{bmatrix} p2=(A2I)p1=011020000210=002
    至此, P P P 矩阵求出

    可以验证:
    A P = [ 2 0 0 1 4 0 1 0 2 ] [ − 2 0 0 1 0 1 0 − 2 0 ] = [ − 4 0 0 2 0 4 − 2 − 4 0 ] AP = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 &0 \\ 2 & 0 & 4\\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} AP=211040002210002010=422004040
    P J = [ − 2 0 0 1 0 1 0 − 2 0 ] [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] = [ − 4 0 0 2 0 4 − 2 − 4 0 ] = A P PJ = \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0& 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 &0 \\ 2 & 0 & 4\\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} = AP PJ=210002010210020004=422004040=AP
    A = P J P − 1 A = PJP^{-1} A=PJP1

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    笔者研读了矩阵分析和矩阵论,觉得要么没仔细讲要么没讲好,我们就举个例子来看看吧。

    关于Jordan标准型的定义,这个我们不过分介绍,直接举个例子。

    正规解法:

    但其实你可以根据Jordan标准型的形式直接构造,每一个Jordan块对角位置都是eigen value,而右上角有没有1是看此eigenvalue的几何重数。

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    若尔当(约当/约旦)标准型的求解方法:


    方法一:初等变换法

    例:求矩阵  A=\begin{bmatrix} -1 & -2 &6 \\ -1& 0 & 3\\ -1& -1 &4 \end{bmatrix}  的若尔当标准型。

    STEP1:求\lambda E-A的初等因子

     \lambda E-A=\begin{bmatrix} \lambda +1 & 2 &-6 \\ 1 & \lambda &-3 \\ 1&1 & \lambda -4 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& \lambda -1 &0 \\ 0&0 & \left ( \lambda -1 \right )^{2} \end{bmatrix}

    注:定理指出,矩阵的特征矩阵({\color{Red} {\color{Red} }\lambda E-A})一定可以通过初等变换化为上述标准型,称为{\color{Red} \lambda}矩阵的标准型。

    初等因子:{\color{Red} \lambda}矩阵的标准型对角线上次数大于0且首项为1的一次方幂。

    本例题中,初等因子为\lambda -1\left ( \lambda -1 \right )^{2}

    注:虽然上述两个初等因子对应的特征值相同,但是代表两个不同的若尔当块。

    STEP2:写出每个初等因子对应的若尔当块

    初等因子对应的特征值为对应若尔当块对角线元素,初等因子的阶数为对应若尔当块的阶数。

    \lambda -1对应的若尔当块为:J_{1}=\left [ 1 \right ]

    \left ( \lambda -1 \right )^{2}对应的若尔当块为:J2=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0& 1 \end{bmatrix}

    STEP3:写出若尔当标准型

    J=\begin{bmatrix} J_{1} &0 \\ 0& J_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &1 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}

    {\color{Red} J_{1}}{\color{Red} J_{2}}的顺序可以变,但一般按照初等因子的顺序。


    方法二:求特征值法

    例:求矩阵  A=\begin{bmatrix} -1 & -2 &6 \\ -1& 0 & 3\\ -1& -1 &4 \end{bmatrix}  的若尔当标准型。

    STEP1:求矩阵的特征值

    det(\lambda I-A)=0,解得\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=1

    STEP2:求每个特征值的几何重数(相同特征值求一次即可)

    几何重数:代表该特征值对应的若尔当块的个数;几何重数=特征矩阵的列数-rank(特征矩阵)。

    本题中:\lambda =1对应的几何重数=3-rank(A-\lambda_{1}I)=3-1=2。

    STEP3:求每个特征值对应的若尔当块的最大阶数

    设每个特征值对应的若尔当块的最大阶数为{\color{Red} k_{i}},则{\color{Red} k_{i}}为使{\color{Red} rank[(A-\lambda _{i})^{k_{i}}]=rank[(A-\lambda _{i})^{k_{i+1}}]}成立的最小正整数。

    引用https://blog.csdn.net/xuehuafeiwu123/article/details/53321730

    本题中,由于\left ( A-I \right )^{2}为零矩阵,所以k=2,即\lambda =1对应的若尔当块的最大阶数为2,所以\lambda =1有两个若尔当块,一个一阶的,一个二阶的,即:

    J_{1}=\left [ 1 \right ]

    J2=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0& 1 \end{bmatrix}

    STEP4:写出若尔当标准型

    J=\begin{bmatrix} J_{1} &0 \\ 0& J_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &1 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}

    {\color{Red} J_{1}}{\color{Red} J_{2}}的顺序可以变。


    方法三:求Q矩阵(特征值均互异可用)

    STEP1:求矩阵的特征值

    STEP2:求矩阵的特征值对应的特征向量p1,p2,p3

    STEP3:由特征向量组成Q矩阵

    STEP4:求J

    J=Q-1*A*Q


    参考文献

    [1]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2013:342-348.

    展开全文
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