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  • 什么叫行向量组与列向量组? 什么是矩阵的维度?
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    2021-04-18 10:31:39

    行向量组指的是矩阵每行构成一个向量,所有行构成的向量的整体称为一个行向量组

    列向量组指的是矩阵每列构成一个向量,所有列构成的向量的整体称为一个列向量组

    例如:  给你一个矩阵A

    A =

    1  2  3

    4  5  6

    则A的行向量组为: (1,2,3), (4,5,6)A的列向量组为:  (1,4)',(2,5)', (3,6)'

    扩展资料:

    在线性代数中,行向量是一个 1×n的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。行向量的转置是一个列向量,反之亦然。所有的行向量的集合形成一个向量空间,它是所有列向量集合的对偶空间。

    设 F 是一个环或域,F 中的 mn 个元素  ,  ,排成一个表:

    称为 F 上的一个 m 行 n 列矩阵,或  阶矩阵,简称  矩阵,  称为矩阵的元素(entry of matrix),或更明确地,矩阵的 (i,j) 元素。上述矩阵亦常记作  或字母 A 。

    矩阵  称为 F 上的一个 n 元行向量,对应地,  矩阵  称为 F 上的一个 m 元列向量(column vector),一个  矩阵的各行构成的 m 个行向量称为矩阵的行向量,各列构成的 n 个列向量称为矩阵的列向量。

    矩阵称为 n 阶方阵(square matrix),而称一般的  矩阵为长方阵(rectangular matrix)。

    最常见的是 F 取实数域  或复数域  ,这时的矩阵分别为实矩阵(real matrix)或复矩阵(complex matrix)。

    在线性代数中,列向量是一个 n×1 的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的列所组成:列向量的转置是一个行向量,反之亦然。所有的列向量的集合形成一个向量空间,它是所有行向量集合的对偶空间。

    单位列向量,即向量的长度为1,其向量所有元素的平方和为1。

    在线性代数中,行向量是一个 1×n的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。

    行向量的转置是一个列向量,反之亦然。

    所有的行向量的集合形成一个向量空间,它是所有列向量集合的对偶空间。

    在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的只有大小,没有方向的量叫做数量(物理学中称标量)。

    向量的记法:印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

    在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。

    几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。因此,平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

    不过,依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系,也可以透过选取恰当的定义,在向量空间上介定范数和内积,这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

    参考资料:百度百科——行向量

    参考资料:百度百科——列向量

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    1.矩阵初等行变换化成行阶梯矩阵
    2.把所有阶梯上的,所在列向量取 秩的个数个
    3.然后重新组成一个矩阵,重新画一画阶梯,看看阶梯数是否依旧等于秩的个数,是的话,这些个向量组就是一个极大无关线性组,否则就不是啦

    所以直接取行阶梯矩阵每行第一个非0所在列所组成的新矩阵,阶梯数一定等于新矩阵的秩的个数,就一定是原矩阵的一个极大线性无关组。

    • 注意点:

    1.only求秩的时候,可行列混合变换,求解;其他情况都只能用单一行变换或者列变换求到底。
    2.行阶梯到行最简的时候,不要使用列变换!!!
    3.🔺有些新矩阵可以重新再行变换一下,就又是秩等于原矩阵的秩了,所以也是的,不要遗漏。


    • 秩的不等式


    • 判断/证明正确命题(难点)

    定理一:向量组 α1,α2,α3,α4.....αn(n>=2)线性相关的充要条件:向量组中至少有一个向量可由其余的n-1个向量线性表出。

    方法1:举反例
    方法2:反证法/逆否命题
    方法3:定义法(同乘/带入重组)
    方法4:秩
    方法5:Ax=0,x解的情况


    • 判断向量组是否线性相关/线性无关

    n>m时

    方法1:n个m维向量,线性无关

    n=m时

    方法1:以少表多,多的相关
    方法2:凑系数
    方法3:Ax=0,x是否只能是0解
    方法4:|A|=0?线性相关(低阶)
    方法5:化行阶梯,满秩?(高阶/非方阵)

    n<m时

    方法1:化行阶梯,打假,讨论秩
    方法2:定理六,七(部分...,高维...)
    方法3:以少表多,多的相关


    • 抽象向量组判断线性表出,等价矩阵,等价向量组

    问题1:初等行变换不改变行向量的线性相关性,初等列变换不改变列的线性相关性?对

    A的行秩=A的列秩=矩阵的秩
    初等行变换不改变行向量组的秩,初等列变换不改变列向量组的秩→初等行,列变换不改变矩阵的秩→初等变换不改变矩阵行列向量组的线性相关性

    问题2:单个矩阵初等变换后,其行列向量组一定等价吗?一定。

    问题3:矩阵A通过初等列(行)变换变成矩阵B,那么A,B的列(行)向量组等价吗?一定。

    问题4:矩阵A通过初等行列混合变换变成矩阵B,那么A,B的行(列)向量组一定等价吗?不一定。

    如图:B的1,3行(列)不能用A,的行(列)向量线性表示,故不等价


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    千次阅读 2021-06-05 23:45:21
    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a

    目录

     

    一、行向量和列向量

    二、矩阵和向量

    3.向量组等价、系数矩阵

    4、向量组的线性相关性


    一、行向量和列向量

    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。

    aT= \bigl(\begin{smallmatrix} a1 & a2 & a3 &... & ... & an \end{smallmatrix}\bigr)横着的是行向量;

    a=\begin{pmatrix} \\ a1 \\ a2 \\ a3 \\ . \\ . \\an \end{pmatrix}是竖着的,是列向量;

    还要注意一下表示法,通常带T的是行向量,不带T的是列向量。

     

    二、矩阵和向量

    我们知道的矩阵的分块法,我们可以按每列进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是列向量。

    如果我们对每行进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是行向量。

    三、向量组的线性组合

    1.向量组A:a1,a2,......,an 对于任何一组实数k1,k2,......,kn表达式:k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n}称为向量组A的线性组合,k1,k2,...kn也称为线性组合的系数。


    2.若给定向量组A,和向量b,如果存在一组数使\begin{align*} \underset{b}{\rightarrow}&= k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n} \end{align*},那么向量b则是向量组A 的线性组合,也称向量b能由向量组A线性表示。

    将ki用xi替换也等价为:\begin{align*} x_{1}\underset{a}{\rightarrow}_{1}+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n}+...+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n} &= \underset{b}{\rightarrow} \end{align*}有解。若有解则有R(A)=R(A,b)。

    =>定理:向量b能由向量组A线性表示的充要条件是:R(A)=R(A,b)


    3.向量组等价、系数矩阵

    向量组B能由向量组A线性表示:B中的每个向量都可以由A线性表示。

    向量组B和向量组A等价:二者可以相互线性表示。

     

    \begin{align*} C_{m\times n} &= A_{m\times l}B_{l\times n} \end{align*}

    我们可以称:C的列向量组能由A的列向量组线性表示。B称这一表示的系数矩阵

    或称:C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵

    笔:这一点可以结合前面的理解,行变换和列变换来理解,系数矩阵在左边时可以认为是对行进行线性变换,在右边时可以认为对列进行线性变换


    =>定理:向量组B \begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A: \begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B)。

    笔:注意B,A是列向量组。所以系数矩阵应该在右边:AX=B,即有解,易得上面定理。

    =>推论:借用上面定理调换AB位置可知A和B等价的充要条件:R(A)=R(A,B)=R(B)

    笔:注意R(A,B)=R(B,A)即可


    =>定理:设向量组B:\begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示,则R(B)\leqR(A)

    笔:即AX=B有解时二者秩的关系,有解则有 R(A)=R(A,B),又知道R(B)\leqR(A,B)=R(A),所以推知。


     

    4、向量组的线性相关性

    上面介绍的是线性表示

    下面介绍的是线性相关性

    向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix},如果存在不全为零的数\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}使

    \begin{align*} k1\underset{a1}{\rightarrow}+k2\underset{a2}{\rightarrow}+...+kn\underset{an}{\rightarrow} &= \underset{0}{\rightarrow} \end{align*}则称A是线性相关的,否则是线性无关的。

     

    如果\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}不全为0那么势必有一个或多个向量\underset{ai}{\rightarrow}能由其他向量线性表示,

     

    反之也能推导到A是线性相关的。


    有了向量组的线性相关性后我们再看下方程组。

    当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时,那么经过逆过程此方程会被消去,此方程也就成为了多余的方程,此时称方程组是线性相关的;当方程组中没有多余的方程时,我们称为方程组线性无关(独立)。

    二者结合起来:方程组AX=b线性相关时,即(A,b)的行向量组线性相关,因为(A,b)就代表了方程组。

     

    =>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关的充要条件:R(A)<向量个数n; 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关的充要条件:R(A)=向量个数n;

    笔:如果将上面AX=b,b换为0,那么就成为AX=0。线性相关就变成了此方程组存在非零解,如果是0解相应的A就为线性无关。转换为非零解的问题,假定n个变量n个方程,如果R(A)<n,说明有方程被约掉,此时是有无限解的,也就是存在非零解。如果<n个方程,那么此时必有R(A)<n。同上,如果AX=0仅有零解,那么A是线性无关的,仅有零解说明了存在了唯一解,此时必有R(A)=n,n个方程n变量恰好有一组解。


     

    ①=>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关,则向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}也线性相关;若向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}线性无关, 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关;

    笔:向量组A线性相关:则R(A)<n, 所以R(B)\leqR(A)+1=n+1,所以B线性相关;向量组B向量无关R(B)=n+1,假若A线性相关那么R(A)<n,所以R(B)\leqR(A)+1<n+1,就会推知B 线性相关,所以知假设不成立,所以A线性无关。

     

    ②=>定理:m个n维向量组成的向量组B即n×m矩阵,如果n<m,那么一定线性相关。

    笔:因为R(B)\leqmin{n,m}=n<m所以知,定线性相关。

    ③=>定理: 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,则

    向量b必能由A线性表示,且表示式唯一。

    笔:向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,即R(B)<n+1。 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,所以R(A)=n。所以就可以推知n=R(A)\leqR(B)<n+1,所以R(B)=n。所以AX=b有唯一解。

    注:之前我在此混淆了方程组和向量组的关系。向量组的线性相关性和方程组的线性相关性,方程组的线性相关性只是说明是否有多余的方程,并未透露解的问题,有可能方程组的方程个数很多。所以具体有无解或者是解的个数问题 需要判断R(A)=?R(A,B),且和n的关系。


    向量组的秩

    ->就是最大线性无关向量组所含向量的个数

    ->向量组的任一向量都能由最大线性无关向量组线性表示

    矩阵的秩和它的列向量组的秩、行向量组的秩相等。

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  • 向量组的秩1 极大线性无关组2 向量组的秩3 极大线性无关组的求解 手动反爬虫:原博地址 知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息 如若转载...


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    1 极大线性无关组

    如下,四个向量构成的向量组,其实经过简化后可以直接使用两个向量进行表示
    ( 1 0 ) ( 2 0 ) ( 0 10 ) ( 0 5 ) ⇒ ( 1 0 ) ( 0 5 ) \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\10\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) (10)(20)(010)(05)(10)(05)极大线性无关组: α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5} α1,α2,α3,α4,α5的部分组 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2满足
    1) α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2线性无关
    2)每个向量均可由 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2表示
    则称 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2是这个向量组的极大无关组(这里的极大是指:找无关的向量组的向量个数最大),比如上面的示例可以选择是 ( 1 0 ) ( 0 5 ) \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) (10)(05)也可以是 ( 2 0 ) ( 0 5 ) \left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) (20)(05),故极大无关组不是唯一的,但是任意两个极大无关组中向量的个数是相同的

    2 向量组的秩

    定义:极大线性无关组含向量的个数,记作 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}) r(α1,α2,...,αs)
    回故一下矩阵的秩:非零子式的最高阶数

    1) 0 < = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < = s 0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=s 0<=r(α1,α2,...,αs)<=s

    比如下面向量组,根据上述结论,可知极大无关组的个数在0-5之间,但是实际上根据上一节里面的结论:n+1个n维向量组必定线性相关,所以 0 < = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < = m i n { 向 量 的 个 数 , 向 量 的 维 数 } 0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=min\{向量的个数,向量的维数\} 0<=r(α1,α2,...,αs)<=min{,}
    ( 1 1 2 ) ( 1 1 0 ) ( 1 2 2 ) ( 1 8 9 ) ( 3 4 5 ) \left(\begin{matrix} 1\\1\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\2\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\8\\9\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 3\\4\\5\end{matrix}\right) 1121101221893452) α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s} α1,α2,...,αs线性无关    ⟺    r = s \iff r =s r=s
    3) α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s} α1,α2,...,αs线性相关    ⟺    r < s \iff r <s r<s

    定理: α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s} α1,α2,...,αs可由 β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t} β1,β2,...,βt表示,则 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < = r ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}) <= r(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}) r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)
    注意:等价的向量组有相同的秩,但是有相同秩的向量组不一定等价

    行秩与列秩
    比如
    A = ( 1 1 1 1 1 3 0 2 1 1 5 6 9 1 0 0 1 1 ) A = \left(\begin{matrix} 1&1&1&1&1&3\\0&2&1&1&5&6\\9&1&0&0&1&1\end{matrix}\right) A=109121110110151361这个向量可以分作行向量组 α 1 = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 ) , α 2 = ( 0 , 2 , 1 , 1 , 5 , 6 ) , α 3 = ( 9 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 ) \alpha_{1} = (1,1,1,1,1,3),\alpha_{2}=(0,2,1,1,5,6),\alpha_{3} = (9,1,0,0,1,1) α1=(1,1,1,1,1,3),α2=(0,2,1,1,5,6),α3=(9,1,0,0,1,1)与列向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 , β 6 \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4},\beta_{5},\beta_{6} β1,β2,β3,β4,β5,β6

    结论:行秩 = 列秩 = 矩阵的秩 r ( A ) r(A) r(A)

    就是利用上面的式子,直接求解矩阵的秩就可以得到行秩和列秩的值

    B = ( 3 3 3 2 − 1 5 − 5 3 − 13 4 − 3 11 ) ⇒ ( 1 1 1 0 − 3 3 0 0 0 0 0 0 ) B = \left(\begin{matrix} 3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&1&1\\0&-3&3\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) B=32543133351311100013001300

    3 极大线性无关组的求解

    定理:初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系
    ( 1 0 5 0 1 3 0 0 0 ) ⇒ ( 1 0 5 0 1 3 1 1 8 ) \left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{matrix}\right)\Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\1&1&8\end{matrix}\right) 100010530101011538比如将第一行和第二行都加到第三行上面去,将向量拆解成向量组进行表示,左侧为 α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) , α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) , α 3 = ( 5 , 3 , 0 ) \alpha_{1} = (1,0,0),\alpha_{2}=(0,1,0),\alpha_{3} = (5,3,0) α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(5,3,0) ,其中 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2线性无关的, α 3 = 5 α 1 + 3 α 2 \alpha_{3} = 5\alpha_{1}+3\alpha_{2} α3=5α1+3α2。可以发现对于右侧的向量也可以拆解成向量组的形式表示, β 1 = ( 1 , 0 , 1 ) , β 2 = ( 0 , 1 , 1 ) , β 3 = ( 5 , 3 , 8 ) \beta_{1} = (1,0,1),\beta_{2}=(0,1,1),\beta_{3} = (5,3,8) β1=(1,0,1),β2=(0,1,1),β3=(5,3,8),显然 β 1 , β 2 \beta_{1},\beta_{2} β1,β2是线性无关的,而且 β 3 = 5 β 1 + 3 β 2 \beta_{3} = 5\beta_{1}+3\beta_{2} β3=5β1+3β2,也就证明了定理。

    例题,若 α 1 = ( 1 , − 2 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 4 , 8 , 0 ) , α 3 = ( − 2 , 4 , − 2 , 3 ) , α 4 = ( 3 , − 6 , 0 , − 6 ) \alpha_{1} = (1,-2,2,-1),\alpha_{2}=(2,-4,8,0),\alpha_{3} = (-2,4,-2,3),\alpha_{4} = (3,-6,0,-6) α1=(1,2,2,1),α2=(2,4,8,0),α3=(2,4,2,3),α4=(3,6,0,6),求解向量组的极大线性无关组

    基本步骤:

    • 1)不管向量是行或者列,均按照列构成矩阵
    • 2)只用初等行变换,化为行简化阶梯型
    • 3)首非零元所在列做极大无关组
    • 4)其余向量表示系数,直接写出来即可

    解:首先按照前两个步骤完成下列的操作,还是以左侧为 α \alpha α,右侧为 β \beta β,发现 β 1 , β 2 \beta_{1},\beta_{2} β1,β2线性无关,按照第三步就是直接作为极大无关组, β 3 , β 4 \beta_{3},\beta_{4} β3,β4直接忽略最后的含0行后数值直接作系数读出来,比如 β 3 = − 3 β 1 + 1 2 β 2 , β 4 = 6 β 1 − 3 2 β 2 \beta_{3} = -3\beta_{1}+\frac{1}{2}\beta_{2},\beta_{4} = 6\beta_{1}-\frac{3}{2}\beta_{2} β3=3β1+21β2,β4=6β123β2
    ( 1 2 − 2 3 − 2 − 4 4 − 6 2 8 − 2 0 − 1 0 3 − 6 ) ⇒ ( 1 0 − 3 6 0 1 1 2 − 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \left(\begin{matrix} 1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&-3&6\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right) 1221248024233606100001003210062300最后按照刚刚梳理的定理:初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系,故对于 β \beta β适应的线性关系,对于 α \alpha α同样适用,所以原向量组的极大线性无关组为 α 1 , α 2 , α 3 = − 3 α 1 + 1 2 α 2 , α 4 = 6 α 1 − 3 2 α 2 \alpha_{1},\alpha_{2}, \alpha_{3} = -3\alpha_{1}+\frac{1}{2}\alpha_{2},\alpha_{4} = 6\alpha_{1}-\frac{3}{2}\alpha_{2} α1,α2,α3=3α1+21α2,α4=6α123α2

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    千次阅读 2021-06-02 16:22:38
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  • 向量组极大无关组表示问题

    千次阅读 2021-04-18 13:25:11
    已知向量组T:Eqn11.gif (3.16 KB, 下载次数: 1)2013-10-21 19:19 上传.(1) 求向量组T的秩,并判断向量组T的相关性;(2) 求T的极大线性无关组;(3) 将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。程序:>> A=[1...
  • 向量组的秩(4)

    2022-01-19 19:54:43
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  • n维向量向量组的线性相关性向量组线性相关性的判定一PPT教案学习.pptx
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  • 向量组的秩

    千次阅读 2020-05-23 15:13:02
    设在线性空间VVV中有一族向量SSS(其中可能只有有限个向量,也可能有无限个向量),如果在SSS中存在一组向量{α1,α2,⋯ ,αr}\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}{α1​,α2​,⋯,αr​}适合下列条件: ...
  • 正交向量组

    千次阅读 2020-03-22 14:17:16
    (1)正交向量组 是 线性无关的 (2)n维欧式空间中俩俩正交的非零向量不会超过n个,即n维欧式空间中一个正交向量组最多n个向量 2.正交基 在n维欧式空间中,由n个非零向量组成的正交向量组称为正交基 3.标准正交基 ...
  • 等价向量组的秩相等

    千次阅读 2021-09-26 18:43:44
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  • 2013-11-21一个向量组和它本身的部分向量组一定等价么?没错呀设ai1,ai2,。。。,air 是向量组a1,a2,。。。,as的一个极大无关组根据极大无关组的定义有1。 ai1,ai2,。。。,air 线性无关2。 向量组a1,a2,。。 。,as中...
  •   向量组α1⃗,α2⃗,...,αs⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1​​,α2​​,...,αs​​的极大线性无关组中所含有向量的个数称为向量组的秩,其中等价向量组必然等秩,但向量组等秩不一定是...
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  • 本节为线性代数复习笔记的第二部分,矩阵的概念与计算(1),主要包括:线性相关的概念,五个判别定理,极大线性无关组和等价向量组。 1. 线性相关   对m个n维向量 α1⃗,α2⃗,...,αm⃗\vec{\alpha_1},\vec{\...
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    千次阅读 2020-04-24 22:48:43
    1. 向量组的秩 设有向量组(α1,α2........αn)(\alpha_1,\alpha_2........\alpha_n)(α1​,α2​........αn​)其中所含有的极大线性无关组的个数就是向量组的秩 例:考虑向量组α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),...

空空如也

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