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1 极大线性无关组
如下，四个向量构成的向量组，其实经过简化后可以直接使用两个向量进行表示
(
1
0
)
(
2
0
)
(
0
10
)
(
0
5
)
⇒
(
1
0
)
(
0
5
)
\left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\10\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right)
(10)(20)(010)(05)⇒(10)(05)极大线性无关组：
α
1
,
α
2
,
α
3
,
α
4
,
α
5
\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}
α1,α2,α3,α4,α5的部分组
α
1
,
α
2
\alpha_{1},\alpha_{2}
α1,α2满足
1）
α
1
,
α
2
\alpha_{1},\alpha_{2}
α1,α2线性无关
2）每个向量均可由
α
1
,
α
2
\alpha_{1},\alpha_{2}
α1,α2表示
则称
α
1
,
α
2
\alpha_{1},\alpha_{2}
α1,α2是这个向量组的极大无关组（这里的极大是指：找无关的向量组的向量个数最大），比如上面的示例可以选择是
(
1
0
)
(
0
5
)
\left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right)
(10)(05)也可以是
(
2
0
)
(
0
5
)
\left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right)
(20)(05)，故极大无关组不是唯一的，但是任意两个极大无关组中向量的个数是相同的
2 向量组的秩
定义：极大线性无关组含向量的个数，记作
r
(
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
)
r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})
r(α1,α2,...,αs)
回故一下矩阵的秩：非零子式的最高阶数
1）
0
<
=
r
(
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
)
<
=
s
0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=s
0<=r(α1,α2,...,αs)<=s
比如下面向量组，根据上述结论，可知极大无关组的个数在0-5之间，但是实际上根据上一节里面的结论：n+1个n维向量组必定线性相关，所以
0
<
=
r
(
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
)
<
=
m
i
n
{
向
量
的
个
数
,
向
量
的
维
数
}
0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=min\{向量的个数,向量的维数\}
0<=r(α1,α2,...,αs)<=min{向量的个数,向量的维数}
(
1
1
2
)
(
1
1
0
)
(
1
2
2
)
(
1
8
9
)
(
3
4
5
)
\left(\begin{matrix} 1\\1\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\2\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\8\\9\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 3\\4\\5\end{matrix}\right)
⎝⎛112⎠⎞⎝⎛110⎠⎞⎝⎛122⎠⎞⎝⎛189⎠⎞⎝⎛345⎠⎞2）
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}
α1,α2,...,αs线性无关
⟺
r
=
s
\iff r =s
⟺r=s
3）
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}
α1,α2,...,αs线性相关
⟺
r
<
s
\iff r <s
⟺r<s
定理：
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}
α1,α2,...,αs可由
β
1
,
β
2
,
.
.
.
,
β
t
\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}
β1,β2,...,βt表示，则
r
(
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
)
<
=
r
(
β
1
,
β
2
,
.
.
.
,
β
t
)
r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}) <= r(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t})
r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)
注意：等价的向量组有相同的秩，但是有相同秩的向量组不一定等价
行秩与列秩
比如
A
=
(
1
1
1
1
1
3
0
2
1
1
5
6
9
1
0
0
1
1
)
A = \left(\begin{matrix} 1&1&1&1&1&3\\0&2&1&1&5&6\\9&1&0&0&1&1\end{matrix}\right)
A=⎝⎛109121110110151361⎠⎞这个向量可以分作行向量组
α
1
=
(
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
)
,
α
2
=
(
0
,
2
,
1
,
1
,
5
,
6
)
,
α
3
=
(
9
,
1
,
0
,
0
,
1
,
1
)
\alpha_{1} = (1,1,1,1,1,3),\alpha_{2}=(0,2,1,1,5,6),\alpha_{3} = (9,1,0,0,1,1)
α1=(1,1,1,1,1,3),α2=(0,2,1,1,5,6),α3=(9,1,0,0,1,1)与列向量组
β
1
,
β
2
,
β
3
,
β
4
,
β
5
,
β
6
\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4},\beta_{5},\beta_{6}
β1,β2,β3,β4,β5,β6
结论：行秩 = 列秩 = 矩阵的秩
r
(
A
)
r(A)
r(A)
就是利用上面的式子，直接求解矩阵的秩就可以得到行秩和列秩的值
B
=
(
3
3
3
2
−
1
5
−
5
3
−
13
4
−
3
11
)
⇒
(
1
1
1
0
−
3
3
0
0
0
0
0
0
)
B = \left(\begin{matrix} 3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&1&1\\0&-3&3\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right)
B=⎝⎜⎜⎛32−543−13−335−1311⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛10001−3001300⎠⎟⎟⎞
3 极大线性无关组的求解
定理：初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系
(
1
0
5
0
1
3
0
0
0
)
⇒
(
1
0
5
0
1
3
1
1
8
)
\left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{matrix}\right)\Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\1&1&8\end{matrix}\right)
⎝⎛100010530⎠⎞⇒⎝⎛101011538⎠⎞比如将第一行和第二行都加到第三行上面去，将向量拆解成向量组进行表示，左侧为
α
1
=
(
1
,
0
,
0
)
,
α
2
=
(
0
,
1
,
0
)
,
α
3
=
(
5
,
3
,
0
)
\alpha_{1} = (1,0,0),\alpha_{2}=(0,1,0),\alpha_{3} = (5,3,0)
α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(5,3,0) ，其中
α
1
,
α
2
\alpha_{1},\alpha_{2}
α1,α2线性无关的，
α
3
=
5
α
1
+
3
α
2
\alpha_{3} = 5\alpha_{1}+3\alpha_{2}
α3=5α1+3α2。可以发现对于右侧的向量也可以拆解成向量组的形式表示，
β
1
=
(
1
,
0
,
1
)
,
β
2
=
(
0
,
1
,
1
)
,
β
3
=
(
5
,
3
,
8
)
\beta_{1} = (1,0,1),\beta_{2}=(0,1,1),\beta_{3} = (5,3,8)
β1=(1,0,1),β2=(0,1,1),β3=(5,3,8)，显然
β
1
,
β
2
\beta_{1},\beta_{2}
β1,β2是线性无关的，而且
β
3
=
5
β
1
+
3
β
2
\beta_{3} = 5\beta_{1}+3\beta_{2}
β3=5β1+3β2，也就证明了定理。
例题，若
α
1
=
(
1
,
−
2
,
2
,
−
1
)
,
α
2
=
(
2
,
−
4
,
8
,
0
)
,
α
3
=
(
−
2
,
4
,
−
2
,
3
)
,
α
4
=
(
3
,
−
6
,
0
,
−
6
)
\alpha_{1} = (1,-2,2,-1),\alpha_{2}=(2,-4,8,0),\alpha_{3} = (-2,4,-2,3),\alpha_{4} = (3,-6,0,-6)
α1=(1,−2,2,−1),α2=(2,−4,8,0),α3=(−2,4,−2,3),α4=(3,−6,0,−6),求解向量组的极大线性无关组
基本步骤：
- 1）不管向量是行或者列，均按照列构成矩阵
- 2）只用初等行变换，化为行简化阶梯型
- 3）首非零元所在列做极大无关组
- 4）其余向量表示系数，直接写出来即可
解：首先按照前两个步骤完成下列的操作，还是以左侧为
α
\alpha
α，右侧为
β
\beta
β，发现
β
1
,
β
2
\beta_{1},\beta_{2}
β1,β2线性无关，按照第三步就是直接作为极大无关组，
β
3
,
β
4
\beta_{3},\beta_{4}
β3,β4直接忽略最后的含0行后数值直接作系数读出来，比如
β
3
=
−
3
β
1
+
1
2
β
2
,
β
4
=
6
β
1
−
3
2
β
2
\beta_{3} = -3\beta_{1}+\frac{1}{2}\beta_{2},\beta_{4} = 6\beta_{1}-\frac{3}{2}\beta_{2}
β3=−3β1+21β2,β4=6β1−23β2
(
1
2
−
2
3
−
2
−
4
4
−
6
2
8
−
2
0
−
1
0
3
−
6
)
⇒
(
1
0
−
3
6
0
1
1
2
−
3
2
0
0
0
0
0
0
0
0
)
\left(\begin{matrix} 1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&-3&6\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)
⎝⎜⎜⎛1−22−12−480−24−233−60−6⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛10000100−321006−2300⎠⎟⎟⎞最后按照刚刚梳理的定理：初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系，故对于
β
\beta
β适应的线性关系，对于
α
\alpha
α同样适用，所以原向量组的极大线性无关组为
α
1
,
α
2
,
α
3
=
−
3
α
1
+
1
2
α
2
,
α
4
=
6
α
1
−
3
2
α
2
\alpha_{1},\alpha_{2}, \alpha_{3} = -3\alpha_{1}+\frac{1}{2}\alpha_{2},\alpha_{4} = 6\alpha_{1}-\frac{3}{2}\alpha_{2}
α1,α2,α3=−3α1+21α2,α4=6α1−23α2
