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  • 相干信号
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    2020-06-29 19:23:59

    相干信号:

    两束满足相干条件的信号称为相干信号,
      相干条件(Coherent Condition):
      这两束信号在相遇区域:①振动方向相同;
      ②振动频率相同;
      ③相位相同或相位差保持恒定

    相干积分:

    于输入进导航接收机的数字中频信号,首先与NCO输出的正弦信号和余弦信号分别混频相乘。得到对应于同相支路和正交支路的两个积分值。经过相关器后进行积分-清除运算。积分-清除器通过积分低通滤波器消除信号中的高频信号成分和噪声,以提高载噪比。 [1] 

    在同相支路和正交支路上的积分-清除电路的工作过程大致如下:积分器对输入信号经过一定时间的积分后,分别输出两条支路的积分结果,然后清除器清除积分器中的各个寄存单元,接着再进行下一时段的积分,如此重复不断。

    非相干积分:

    非相干积分把本地码与卫星信号的相关程度累 加,这个过程即本地码与卫星信号的逐步同步,当同步达到要求后, 即累加值达到了阈值。在捕获的过程中,通常是对相关的处理结果进 行非相干的处理,非相干积分是使用了相关积分的结果,以达到提高 信噪比的作用。

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    QQ:701359719

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    基于空间平滑MUSIC算法的相干信号DOA估计(1)

    基于空间平滑MUSIC算法的相干信号DOA估计(1)

    空间平滑MUSIC算法(1)

    在上一篇博客中有提到,当多个入射信号相干时,传统MUSIC算法的效果就会不理想。具体原因是多个入射信号相干时,有部分能量就会散发到噪声子空间,使得MUSIC算法不能对其进行有效估计。

    针对这种情况,解相干方法被提出。本文主要讲解通过降维处理解相干,之所以叫降维处理是因为这种方法将原阵列拆分成很多个子阵列,通过子阵列的协方差矩阵重构接收数据协方差矩阵,阵列的自由度DOF会随之降低,即可分辨的相干信号数降低。

    先看看传统MUSIC算法对相干信号进行DOA估计的效果。

    MATLAB代码

    % Code For Music Algorithm

    % The Signals Are All Coherent

    % Author:痒羊羊

    % Date:2020/10/29

    clc; clear all; close all;

    %% -------------------------initialization-------------------------

    f = 500; % frequency

    c = 1500; % speed sound

    lambda = c/f; % wavelength

    d = lambda/2; % array element spacing

    M = 20; % number of array elements

    N = 100; % number of snapshot

    K = 6; % number of sources

    coef = [1; exp(1i*pi/6);...

    exp(1i*pi/3); exp(1i*pi/2);...

    exp(2i*pi/3); exp(1i*2*pi)]; % coherence coefficient, K*1

    doa_phi = [-30, 0, 20, 40, 60, 75]; % direction of arrivals

    %% generate signal

    dd = (0:M-1)'*d; % distance between array elements and reference element

    A = exp(-1i*2*pi*dd*sind(doa_phi)/lambda); % manifold array, M*K

    S = sqrt(2)\(randn(1,N)+1i*randn(1,N)); % vector of random signal, 1*N

    X = A*(coef*S); % received data without noise, M*N

    X = awgn(X,10,'measured'); % received data with SNR 10dB

    %% calculate the covariance matrix of received data and do eigenvalue decomposition

    Rxx = X*X'/N; % covariance matrix

    [U,V] = eig(Rxx); % eigenvalue decomposition

    V = diag(V); % vectorize eigenvalue matrix

    [V,idx] = sort(V,'descend'); % sort the eigenvalues in descending order

    U = U(:,idx); % reset the eigenvector

    P = sum(V); % power of received data

    P_cum = cumsum(V); % cumsum of V

    %% define the noise space

    J = find(P_cum/P>=0.95); % or the coefficient is 0.9

    J = J(1); % number of principal component

    Un = U(:,J+1:end);

    %% music for doa; seek the peek

    theta = -90:0.1:90; % steer theta

    doa_a = exp(-1i*2*pi*dd*sind(theta)/lambda); % manifold array for seeking peak

    music = abs(diag(1./(doa_a'*(Un*Un')*doa_a))); % the result of each theta

    music = 10*log10(music/max(music)); % normalize the result and convert it to dB

    %% plot

    figure;

    plot(theta, music, 'linewidth', 2);

    title('Music Algorithm For Doa', 'fontsize', 16);

    xlabel('Theta(°)', 'fontsize', 16);

    ylabel('Spatial Spectrum(dB)', 'fontsize', 16);

    grid on;

    5d4e3376a55a8588ff58ddb1f2e33989.bmp

    可以看到,对于相干信号,传统MUSIC算法DOA估计效果很差。

    降维处理解相干方法主要包括空间平滑类处理算法,而空间平滑类处理算法可以分成前向空间平滑算法(FSS)、后向平滑算法(BSS)、前后向平滑算法(FBSS),正如上面所说,这些算法的估计效果很好,但是损失了阵列孔径,导致可分辨的相干信号数降低。

    2.1 线性阵列信号模型

    3ab94a813158b3ba6f75d0408a94668d.png

    关于这个线性阵列中符号的具体说明可以参考上一篇博文。子空间方法——MUSIC算法

    2.2 前向空间平滑算法

    前向空间平滑算法将阵列分成多个互相重叠的子阵列,然后对子阵接收数据的协方差矩阵作平均。当子阵阵元数目大于等于相干信号数时,可以有效解相干。

    3ea6539cdb39be95bab9a3bba5f68697.png

    如上图所示,我们把M元阵列均匀分成L个子阵列,每个子阵列有N=M-L+1个阵元。以最左边的子阵列为参考阵列,定义第J个子阵的接收数据为:

    X

    J

    f

    =

    [

    x

    J

    ,

    x

    J

    +

    1

    ,

    ?

    ?

    ,

    x

    J

    +

    N

    ?

    1

    ]

    X_{J}^{f}=\left[x_{J}, x_{J+1}, \cdots, x_{J+N-1}\right]

    XJf?=[xJ?,xJ+1?,?,xJ+N?1?]那么第J个子阵接收数据的协方差矩阵(也称作空间平滑矩阵)可以表示为

    R

    N

    j

    j

    =

    A

    1

    D

    j

    ?

    1

    R

    s

    (

    D

    j

    ?

    1

    )

    H

    A

    1

    H

    +

    σ

    2

    I

    N

    j

    =

    1

    ,

    2

    ,

    ?

    ?

    ,

    L

    R_{N}^{j j}=A_{1} D^{j-1} R_{s}\left(D^{j-1}\right)^{H} A_{1}^{H}+\sigma^{2} I_{N} \quad j=1,2, \cdots, L

    RNjj?=A1?Dj?1Rs?(Dj?1)HA1H?+σ2IN?j=1,2,?,L其中,

    D

    =

    diag

    ?

    [

    e

    ?

    j

    ?

    2

    π

    d

    λ

    sin

    ?

    θ

    1

    ,

    e

    ?

    j

    2

    π

    d

    λ

    sin

    ?

    θ

    2

    ,

    ?

    e

    ?

    j

    2

    π

    d

    λ

    sin

    ?

    θ

    R

    ]

    D=\operatorname{diag}\left[\mathrm{e}^{-j\frac{-2 \pi d}{\lambda} \sin \theta_{1}}, \mathrm{e}^{-j\frac{2 \pi d}{\lambda} \sin \theta_{2}}, \cdots \mathrm{e}^{-j\frac{2 \pi d}{\lambda} \sin \theta_{R}}\right]

    D=diag[e?jλ?2πd?sinθ1?,e?jλ2πd?sinθ2?,?e?jλ2πd?sinθR?],A1为第一个子阵即参考阵列的流型矩阵。

    因此,前向空间平滑后的协方差矩阵可以由各个子阵的协方差矩阵求平均得到。

    R

    ~

    f

    =

    1

    L

    j

    =

    1

    L

    R

    N

    j

    j

    \tilde{R}^{f}=\frac{1}{L} \sum_{j=1}^{L} R_{N}^{j j}

    R~f=L1?j=1∑L?RNjj?利用前向空间平滑协方差矩阵和MUSIC算法就可以分辨出多个相干信号的方位。可以证明,该方法最大可以检测M/2个相干的信号。

    MATLAB代码

    % Code For Music Algorithm

    % The Signals Are All Coherent

    % Author:痒羊羊

    % Date:2020/10/29

    clc; clear all; close all;

    %% -------------------------initialization-------------------------

    f = 500; % frequency

    c = 1500; % speed sound

    lambda = c/f; % wavelength

    d = lambda/2; % array element spacing

    M = 20; % number of array elements

    N = 100; % number of snapshot

    K = 6; % number of sources

    L = 10; % number of subarray

    L_N = M-L+1; % number of array elements in each subarray

    coef = [1; exp(1i*pi/6);...

    exp(1i*pi/3); exp(1i*pi/2);...

    exp(2i*pi/3); exp(1i*2*pi)]; % coherence coefficient, K*1

    doa_phi = [-30, 0, 20, 40, 60, 75]; % direction of arrivals

    %% generate signal

    dd = (0:M-1)'*d; % distance between array elements and reference element

    A = exp(-1i*2*pi*dd*sind(doa_phi)/lambda); % manifold array, M*K

    S = sqrt(2)\(randn(1,N)+1i*randn(1,N)); % vector of random signal, 1*N

    X = A*(coef*S); % received data without noise, M*N

    X = awgn(X,10,'measured'); % received data with SNR 10dB

    %% reconstruct convariance matrix

    %% calculate the covariance matrix of received data and do eigenvalue decomposition

    Rxx = X*X'/N; % origin covariance matrix

    Rf = zeros(L_N, L_N); % reconstructed covariance matrix

    for i = 1:L

    Rf = Rf+Rxx(i:i+L_N-1,i:i+L_N-1);

    end

    Rf = Rf/L;

    [U,V] = eig(Rf); % eigenvalue decomposition

    V = diag(V); % vectorize eigenvalue matrix

    [V,idx] = sort(V,'descend'); % sort the eigenvalues in descending order

    U = U(:,idx); % reset the eigenvector

    P = sum(V); % power of received data

    P_cum = cumsum(V); % cumsum of V

    %% define the noise space

    J = find(P_cum/P>=0.95); % or the coefficient is 0.9

    J = J(1); % number of principal component

    Un = U(:,J+1:end);

    %% music for doa; seek the peek

    dd1 = (0:L_N-1)'*d;

    theta = -90:0.1:90; % steer theta

    doa_a = exp(-1i*2*pi*dd1*sind(theta)/lambda); % manifold array for seeking peak

    music = abs(diag(1./(doa_a'*(Un*Un')*doa_a))); % the result of each theta

    music = 10*log10(music/max(music)); % normalize the result and convert it to dB

    %% plot

    figure;

    plot(theta, music, 'linewidth', 2);

    title('Music Algorithm For Doa', 'fontsize', 16);

    xlabel('Theta(°)', 'fontsize', 16);

    ylabel('Spatial Spectrum(dB)', 'fontsize', 16);

    grid on;

    3127ceb06aa757ee60a8eaa7a2ea4779.bmp

    可以看到,在6个入射信号均相干的情况下,基于前向平滑的MUSIC算法能较好地对其进行DOA估计,但仍存在估计精度的问题,比如真实入射角度为75°的信号的方位被估计成了74.2°。

    后向空间平滑MUSIC算法和前/后向空间平滑MUSIC算法在下一篇博客中讲解。

    参考论文:《基于空间平滑MUSIC算法的相干信号DOA估计,陈文锋,吴桂清》

    代码Code均为原创。

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    展开全文
  • 关于相干信号的阵列处理

    千次阅读 2020-11-17 19:28:22
    相干信号源数学模型 对两个平稳信号si(t)s_i(t)si​(t)和sk(t)s_k(t)sk​(t),定义相关系数 信号的相关性定义如下 相干信号源间只差一个复常数,假设有nnn个相干信号源 s0(t)s_0(t)s0​(t)称为生成信源,生成了...

    相干信号源数学模型

    对两个平稳信号 s i ( t ) s_i(t) si(t) s k ( t ) s_k(t) sk(t),定义相关系数
    在这里插入图片描述

    信号的相关性定义如下
    在这里插入图片描述

    相干信号源间只差一个复常数,假设有 n n n个相干信号源
    在这里插入图片描述

    s 0 ( t ) s_0(t) s0(t)称为生成信源,生成了入射到阵列上的 n n n个相干信号源。
    相干信号源模型:
    在这里插入图片描述

    平滑秩序列法

    当信号源相干时,估计信号源数。
    对于独立信号的分辨能力,阵元数M应大于独立源数,即 M ≥ K + 1 M\geq K+1 MK+1;对于前向/后向空间平滑法,应满足 M ≥ K + J 1 M\geq K+J_1 MK+J1 K K K是总源数, J 1 J_1 J1是相关源数目,对于双向平滑算法,应满足 M ≥ K + 1 2 J 1 M\geq K+\frac{1}{2}J_1 MK+21J1
    R 0 \bm{R}_0 R0 M × M M×M M×M维矩阵, k k k是正整数,定义一个 ( M − k ) × M (M-k)×M (Mk)×M维矩阵 I M − K \bm{I}_{M-K} IMK
    在这里插入图片描述

    R 0 \bm{R}_0 R0分成交叉重叠矩阵 { R 0 ( i ) } i = 1 M − 1 \{\bm{R}_0^{(i)}\}_{i=1}^{M-1} {R0(i)}i=1M1
    在这里插入图片描述

    信号源由 L L L组相关源的群组成,表示为 g i g_i gi,如 i = 1 i=1 i=1表示单个独立信号, i = 3 i=3 i=3表示有三个相干源, L L L是最大的相关源数, g 2 = 3 g_2=3 g2=3表示有三个相关群,每个群有2个相干源,相关群总数为在这里插入图片描述

    总信号源数为在这里插入图片描述

    从有限次快拍的数据中获得数据协方差矩阵,此时在这里插入图片描述

    R ( k ) ^ \hat{\bm{R}^{(k)}} R(k)^的信号子空间维数就是 R 0 ( k ) ^ \hat{\bm{R}_0^{(k)}} R0(k)^的秩,故平滑秩序列为在这里插入图片描述

    根据MDL准则
    在这里插入图片描述

    双向平滑秩序列在这里插入图片描述

    平滑秩算法

    1. k = 0 k=0 k=0
    2.MDL准则求 R 0 ( k ) ^ \hat{\bm{R}_0^{(k)}} R0(k)^维数
    3. k = k + 1 k=k+1 k=k+1
    4.判断结果条件
    5.根据平滑秩序列判断源数及结构

    波束形成最优权

    空间存在 M M M个阵元组成的阵列,阵元的接收信号矢量为 x ( t ) \bm{x}(t) x(t),各阵元的权矢量
    w = [ w 1   w 2   ⋯   w M ] T \bm{w}=[w_1\ w_2\ \cdots\ w_M]^T w=[w1 w2  wM]T

    阵列输出
    y ( t ) = w H x ( t ) = ∑ i = 1 M w i ∗ x i ( t ) y(t)=\bm{w}^H\bm{x}(t)=\sum^M_{i=1}w_i^*x_i(t) y(t)=wHx(t)=i=1Mwixi(t)

    阵列输出平均功率
    P ( w ) = 1 L ∑ t = 1 L ∣ y ( t ) ∣ 2 = w H E x ( t ) x H ( t ) w = w H R w P(w)=\frac{1}{L}\sum^L_{t=1}|y(t)|^2=\bm{w}^HE{\bm{x}(t)\bm{x}^H(t)}\bm{w}=\bm{w}^H\bm{R}\bm{w} P(w)=L1t=1Ly(t)2=wHEx(t)xH(t)w=wHRw

    目的:保证来自某个确定方向 θ d \theta_d θd的信号能正确接收,其他入射方向的信号或干扰被抑制
    数学表示:在保证所需方向 θ d \theta_d θd的信号输出为唯一常数的条件下,使阵列的输出功率极小化
    在这里插入图片描述

    拉格朗日常数法求解,目标函数:在这里插入图片描述

    w \bm{w} w求导,令其等于零,求得最优权矢量
    在这里插入图片描述

    常数
    在这里插入图片描述

    空间平滑算法

    根据上述相干信号源的数学模型,当信号源完全相干,阵列接受的数据协方差矩阵的秩降为1,导致信号子空间维数小于信号源数,相当于信号子空间“扩散”到了噪声子空间,导致相干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交,无法估计信号源方向。
    核心问题:使信号协方差矩阵的秩有效恢复,从而正确估计信号源方向
    方法:
    1.降维:空间平滑SS算法、修正空间平滑MSS算法
    2.非降维:Toeplitz法、子空间拟合算法
    3.矩阵重构算法:矩阵分解MD法、奇异值分解SVD法

    原理

    窄带均匀线阵,第 l l l个阵元接收的数据为
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    M M M个阵元, N N N个信号源
    在这里插入图片描述

    将阵列分成相互交错的 p p p个子阵,每个子阵的阵元数为 m m m,有 M = p + m − 1 M=p+m-1 M=p+m1,取 x 1 ( t ) x_1(t) x1(t)为参考子阵,则对于第 k k k个子阵有数据模型
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    数据协方差矩阵为
    在这里插入图片描述

    前向空间平滑MUSIC方法对满秩协方差矩阵的恢复是通过求各子阵协方差的均值来实现的,取前向平滑修正的协方差矩阵为
    在这里插入图片描述

    矩阵重构类算法

    Toeplitz矩阵

    具有 2 n − 1 2n-1 2n1个元素的 n n n阶矩阵
    A = [ a 0 a − 1 a − 2 ⋯ a − n + 1 a 1 a 0 a − 1 ⋯ a − n + 2 a 2 a 1 a 0 ⋯ a − n + 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n − 1 a n − 2 a n − 3 ⋯ a 0 ] \bm{A}= \begin{bmatrix} {a_{0}}&{a_{-1}}&{a_{-2}}&{\cdots}&{a_{-n+1}}\\ {a_{1}}&{a_{0}}&{a_{-1}}&{\cdots}&{a_{-n+2}}\\ {a_{2}}&{a_{1}}&{a_{0}}&{\cdots}&{a_{-n+3}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n-1}}&{a_{n-2}}&{a_{n-3}}&{\cdots}&{a_{0}}\\ \end{bmatrix} A=a0a1a2an1a1a0a1an2a2a1a0an3an+1an+2an+3a0

    称为Toeplitz矩阵,简称 T T T矩阵,简记为 A = ( a − j + i ) 1 n \bm{A}=(a_{-j+i})_1^n A=(aj+i)1n,其中 “ 1 ” “1” 1 “ n " “n" n"表示矩阵元素的下标 ( i , j = 1 , 2 , ⋯   , n ) (i,j=1,2,\cdots,n) i,j=1,2,,n T T T矩阵完全由第1行和第一列的 2 n − 1 2n-1 2n1个元素确定。
    可见,Toeplitz矩阵中位于任意一条平行于主对角线的直线上的元素全都是相等的,且关于副对角线对称。

    Toeplitz算法

    理想情况下阵列接收数据的协方差阵 R ^ \hat\bm{R} R^具有Toeplitz性质。但实际中,要通过Toeplitz预处理使得矩阵接近真实的数据协方差阵 R \bm{R} R在这里插入图片描述
    S T \bm{S}_T ST是Toeplitz矩阵集。
    1.对阵列的数据协方差矩阵Toeplitz预处理,得到一个矢量 r ^ \hat\bm{r} r^
    2.通过矢量 r ^ \hat\bm{r} r^重构数据协阵 R T \bm{R}_T RT
    3.对重构矩阵进行特征值分解,得到数据的信号子空间与噪声子空间
    4.利用MUSIC算法进行DOA估计

    MVDR波束形成器(Capon波束形成器)

    常规波束形成器的阵增益有限,为了最大限度提高阵增益,MVDR波束形成其可以让感兴趣方位的信号无失真输出,使波束输出噪声方差最小。
    波束输出噪声方差
    在这里插入图片描述

    MVDR波束形成的加权向量设计问题可以表述为
    在这里插入图片描述

    采用Lagrange算子,定义函数
    在这里插入图片描述
    w \bm{w} w求导,并令导数为0,得到
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    MVDR波束输出功率为
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    MVDR波束形成器的阵增益为
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    MVDR波束形成MATLAB仿真

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    在这里插入图片描述

    B M V D R = w M V D R H a s B_{MVDR}=\bm{w}_{MVDR}^H\bm{a}_s BMVDR=wMVDRHas

    10阵元标准线阵,假设基阵接收噪声是功率为0dB的高斯白噪声。一个信噪比SNR=30dB的单频信号从10°的方向入射。设计MVDR波束形成其加权矢量。
    观察方向分别取10°和-10°,对于 θ 0 = − 10 ° \theta_0=-10° θ0=10°,相当于 β = 0 \beta=0 β=0,10°方向平面波被是做干扰,对于10°方向波束,10°方向被是做期望信号,对应 β = 1 \beta=1 β=1
    MVDR波束图
    对于 θ 0 = − 10 ° \theta_0=-10° θ0=10°的波束图,在-10°方向的响应为1(0dB)。MVDR波束形成其在10°方向形成零点抑制干扰。对于 θ 0 = 10 ° \theta_0=10° θ0=10°的波束图,假想导向向量与真实基阵方向相应向量相等,且接收噪声是白噪声, R n = I R_n=I Rn=I,该MVDDR波束形成其退化为常规波束形成器。

    N = 10;                %阵元数
    n = 0:9;
    theta0 = 10;           %信号入射角
    p0 = exp(-1i*pi*n'*(-sin(theta0/180*pi)));
    angle = -90:0.1:90;    %波束扫描范围
    p = exp(-1i*pi*n'*(-sin(angle/180*pi)));
    Rx = 10^3*(p0*p0')+eye(N);  %接收噪声是0dB高斯白噪声Rn=I
    w0_MVDR = Rx^(-1)*p0/(p0'*Rx^(-1)*p0);
    B = w0_MVDR'*p;
    B_dB = 20*log10(abs(B));
    plot(angle,B_dB,'--');
    hold on;
    theta1 = -10;%信号入射角
    p1 = exp(-1i*pi*n'*(-sin(theta1/180*pi)));
    w1_MVDR = Rx^(-1)*p1/(p1'*Rx^(-1)*p1);
    B1 = w1_MVDR'*p;
    B1_dB = 20*log10(abs(B1));
    plot(angle,B1_dB);
    title('波束图');
    xlabel('\theta/(°)');
    ylabel('20lg|B(\theta)|/dB');
    axis([-90,90,-100,0]);
    

    MVDR波束扫描估计方位谱MATLAB仿真

    MVDR波束形成器输出功率
    σ M V D R 2 = w H R x w \sigma^2_{MVDR}=\bm{w}^H\bm{R}_x\bm{w} σMVDR2=wHRxw
    在这里插入图片描述

    MVDR波束扫描得到的方位谱峰值尖锐,分辨能力较好。

    w_MVDR = zeros(N,length(angle));
    for i=1:length(angle)
        w_MVDR(:,i) = Rx^(-1)*p(:,i)/(p(:,i)'*Rx^(-1)*p(:,i));
    end
    P = w_MVDR'*Rx*w_MVDR;
    P_dB = 10*log10(abs(diag(P)))';
    figure(2);
    plot(angle,P_dB);
    title('方位谱');
    xlabel('\theta_0/(°)');
    ylabel('10lg|P(\theta_0)|/dB');
    grid on;
    hold on;
    plot(10,30,'r-o');        %SNR=30dB
    legend('方位谱','真实信号');
    

    分析扫描方位波束加权向量范数 10 log ⁡ ( ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ) 10\log{(||\bm{w}||^2)} 10log(w2)
    加权向量范数

    在波束观察方向距离信号方向较远时,加权向量范数很小,接近-10dB。
    局部放大

    随着间隔的减小,加权向量范数逐渐增加,当波束方向等于信号方向,加权向量范数突然下降。

    两信号源情况下MVDR

    10阵元标准线阵,基阵接收噪声是功率为0dB的高斯白噪声,两个信噪比为15dB与30dB的单频信号分别从-10°和10°入射

    常规

    在这里插入图片描述

    对于-10°的相对弱信号,由于“能量泄露”,被强信号湮没。

    MVDR

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    正确显示两个信号方向和功率,信号分辨力高于常规波束形成。

    接收相干信号盲多波束形成

    按照上述相干信号模型,阵列接收信号相关矩阵
    在这里插入图片描述

    按照上述波束形成最优权算法,线性约束最小方差准则求权矢量
    **加粗样式**

    实际中 R u \bm{R}_u Ru b d \bm{b}_d bd不能直接获得。
    根据独立信号和噪声对应的数据协方差矩阵为Toeplitz矩阵,而相干信号的协方差矩阵不是Toeplitz矩阵的特性,通过阵列接收信号的协方差矩阵 R \bm{R} R构造出仅含相干信号的数据矩阵。
    Toeplitz矩阵的定义:对于 M M 维矩阵 R \bm{R} R,若 R = J R T J \bm{R}=\bm{J}\bm{R}^T\bm{J} R=JRTJ,其中 j \bm{j} j M M 维反对角单位矩阵,则称 R \bm{R} R为Toeplitz矩阵。相关矩阵中的 R J = A S A H \bm{R}_J=\bm{A}\bm{S}\bm{A}^H RJ=ASAH S \bm{S} S为实对角矩阵,那么
    在这里插入图片描述

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    所以, R J \bm{R}_J RJ R N \bm{R}_N RN是Toeplitz矩阵,而 R \bm{R} R R D \bm{R}_D RD不是Toeplitz矩阵。因此可以构造只含有相关信号的数据矩阵(不包含独立信号和噪声信息)
    在这里插入图片描述

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    因此, R D 1 \bm{R}_{D1} RD1有一对符号相异,绝对值相等的特征值,其他特征值都为0。进行特征值分解在这里插入图片描述

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    阵列接收数据的协方差矩阵 R \bm{R} R特征值分解
    在这里插入图片描述

    其中,信号子空间在这里插入图片描述

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    由于存在噪声,上式不为0,求解 r \bm{r} r(约束防止0解)
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    r \bm{r} r解为上是最小特征值对应的特征向量 η \bm{\eta} η
    因此,相干信号合成导向矢量 b d \bm{b}_d bd的估计值为
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    波束形成器的加权矢量
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 相干信号产生

    2021-06-02 09:12:56
    两束满足相干条件的信号称为相干信号,  相干条件(Coherent Condition):  这两束信号在相遇区域:①振动方向相同;  ②振动频率相同;  ③相位相同或相位差保持恒定  那么在两束信号相遇的区域内就会产生...

    1、网友关于相干信号产生的解释

    2、相干信号的matlab产生

    展开全文
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    基于空间平滑MUSIC算法的相干信号DOA估计(1) 2.3 后向空间平滑算法 后向空间平滑更准确的说是共轭后向空间平滑,它是对后向子阵列地共轭接收数据协方差矩阵进行平滑。定义第一个共轭后向子阵列由 {M,M−1,⋯ ,M−p...
  • 相干信号波达方向估计技术综述
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空空如也

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