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  • 理解不变因子、行列式因子、初等因子

    万次阅读 多人点赞 2021-11-16 11:15:56
    理解行列式因子之前,我们先要了解它定义中的k阶子式是怎么求出来的。而行列式因子的引入是为了证明smith标准型的唯一性。 k阶子式 在行列式中任取k行k列的,这些行列相交的公共元素,重新组合的新的行列式。以例子...

    1、先导

    理解行列式因子之前,我们先要了解它定义中的k阶子式是怎么求出来的。而行列式因子的引入是为了证明smith标准型的唯一性。

    k阶子式

    行列式任取k行k列的,k是任意取得,没有限制,(k行k列也就是说明行、列数相同就可以了,像我可以取第1、2行,列数可以取1、2列;列数也可以取2、3列,这两个也都是2阶子式)这些行列相交的公共元素,重新组合的新的行列式。以例子来说明加深理解。
    A = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ A=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} A=147258369

    (1)1阶子式

    1 阶 子 式 有 : ∣ 1 ∣ 、 ∣ 2 ∣ 、 ∣ 3 ∣ 、 . . . ∣ 9 ∣ 取 完 行 列 式 中 的 全 部 元 素 。 1阶子式有:\begin{vmatrix} 1 \\ \end{vmatrix} 、 \begin{vmatrix} 2 \\ \end{vmatrix} 、 \begin{vmatrix} 3 \\ \end{vmatrix} 、... \begin{vmatrix} 9 \end{vmatrix} 取完行列式中的全部元素。 1123...9

    (2)2阶子式

    2 阶 子 式 有 : ∣ 1 2 3 4 ∣ ( 第 1 、 2 行 , 第 1 、 2 列 ) 、 ∣ 2 3 5 6 ∣ ( 第 1 、 2 行 , 第 2 、 3 列 ) 、 . . . 、 ∣ 5 6 8 9 ∣ ( 第 2 、 3 行 , 第 2 、 3 列 ) . . . 2阶子式有:\begin{vmatrix} 1&2 \\ 3&4\\ \end{vmatrix} (第1、2行,第1、2列)、 \begin{vmatrix} 2&3 \\ 5&6 \end{vmatrix} (第1、2行,第2、3列)、 ...、 \begin{vmatrix} 5&6 \\ 8&9 \end{vmatrix} (第2、3行,第2、3列)... 21324121225361223...58692323...
    一直到取完全部的2阶行列式,全部的这些二阶行列式都是2阶子式。

    (3)3阶子式

    3阶子式就是该行列式。
    依此类推到k阶子式。

    主子式

    行列式取k行k列,行(或列)的标号虽然可以任取(不需要按照间隔为1来取),但是列(或行)的标号要与行(或列)一致,即行列标号一样,例如行取1、3、6,列就得取1、3、6;行取2、3、5,列就得取2、3、5.

    顺序主子式

    也是在行列式中取k行k列,但是要从第1行第1列开始选,也就是说一阶顺序主子式只是第1行第1列构成的行列式;二阶顺序主子式只有第1、2行和第1、2列构成的行列式;三阶顺序主子式只有第1、2、3行和第1、2、3列构成的行列式,依此类推。
    说明顺序主子式唯一。

    2、不变因子

    不变因子是将矩阵化成smith标准型后的对角线上的全部非0元素。smith标准型的化简是采用行和列变化,使其后一个对角线元素能整除前一个对角线元素。举个例子(下面的A、B矩阵都是数字矩阵的的λ-矩阵化成的,即λE-A、λE-B,这两个的λ-矩阵的λ的次数是和阶数一样的,都是3次)。
    A ( λ ) = ( 1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 ( λ − 1 ) ( λ − 2 ) ) , B ( λ ) = ( 1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 ( λ − 2 ) 2 ) A(λ)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ-1 &0 \\ 0 & 0 & (λ-1 )(λ-2 )\\ \end{pmatrix} ,B(λ)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ-1 &0 \\ 0 & 0 & (λ-2 )^2 \\ \end{pmatrix} A(λ)=1000λ1000(λ1)(λ2),B(λ)=1000λ1000(λ2)2其中A(λ)是Smith标准型,因为(λ-1)(λ-2)能整除(λ-1),当然(λ-1)可以整除1;而B(λ)不是Smith标准型,因为 (λ-2)2不能整除 (λ-1)。当然不一定一开始的对角线元素就是1,也可以是λ的多项式(我举得这个C(λ)例子不是数字矩阵的λ-矩阵,因此λ的阶数不等于他的维数)。
    C ( λ ) = ( λ − 1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 ( λ − 1 ) ( λ − 2 ) ) C(λ)=\begin{pmatrix} λ-1 & 0 & 0 \\ 0 & λ-1 &0 \\ 0 & 0 & (λ-1 )(λ-2 )\\ \end{pmatrix} C(λ)=λ1000λ1000(λ1)(λ2)C(λ)这种也是smith标准型

    3、行列式因子

    定义:λ-矩阵A(λ)的全部的非零k阶子式的首项系数为1的最大公因式Dk (λ)称为k阶行列式因子。
    不变因子和行列式因子的关系:不变因子di ,行列式因子Di 。d1 =D1 ,d2 =D2 /D1 …,dr =Dr /Dr-1
    要是给出的矩阵是对角形式的,用行列式因子能很快的求解出不变因子,从而求出Smith标准型。举个例子: A ( λ ) = ( λ ( λ + 1 ) 0 0 0 λ 0 0 0 ( λ + 1 ) 2 ) A(λ)=\begin{pmatrix} λ(λ+1) & 0 & 0 \\ 0 & λ &0 \\ 0 & 0 & (λ+1)^2\\ \end{pmatrix} A(λ)=λ(λ+1)000λ000(λ+1)2
    可见。非零1阶子式有λ(λ+1)、λ 、(λ+1)2 ,则最大公因式D1 =1;非零2阶子式有λ2(λ+1)、λ(λ+1)3 ,λ(λ+1)2 ,则最大公因式D2 =λ(λ+1);非零3阶子式有λ2(λ+1)3 ,则最大公因式D32(λ+1)3
    因此我们可以求解第一个不变因子d1 =D1 =1;d2 =D2 /D1 =λ(λ+1);d3 =D3 /D2 =λ(λ+1)2 。故可化成Smith标准型为
    ( 1 0 0 0 λ ( λ + 1 ) 0 0 0 λ ( λ + 1 ) 2 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ(λ+1) &0 \\ 0 & 0 & λ(λ+1)^2\\ \end{pmatrix} 1000λ(λ+1)000λ(λ+1)2

    4、初等因子

    把不变因子中的常数项去掉,剩下的关于λ的因式进行分解,注意分解的因式是互不相同的(仅是针对同一个不变因子的)。例如:不变因子为1,λ,λ(λ-1),
    则初等因子为λ,λ,λ-1;若是不变因子为1,1,(λ-1)3 ,则初等因子为(λ-1)3

    5、参考

    矩阵分析(第三版)史荣昌
    k阶子式、主子式、顺序主子式的一些定义的参考
    使用LaTeX写矩阵

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  • 关于方阵的行列式因子、不变因子、初等因子,例题,这三个因子很有用。

    方阵的行列式因子、不变因子、初等因子

    行列式因子

    直接的定义

    λ E − A \lambda E - A λEA中所有非零 k k k级子行列式的首项(即最高次项)系数为1的最大公因式称为 λ E − A \lambda E - A λEA的(简称 A A A的) k k k级行列式因子(因式),记为 D k ( λ ) ( k = 1 , . . . , n ) D_k (\lambda)(k=1,...,n) Dk(λ)(k=1,...,n)

    分析:

    • 听上去很费解,需要看例题才行
    • 注意: 只有 λ − 矩 阵 \lambda-矩阵 λ λ E − A \lambda E - A λEA才有行列式因子的概念
    • 注意: A A A的行列式因子,其实并不是直接算 A A A的行列式,而是 λ E − A \lambda E - A λEA

    例题1

    解答1

    分析1

    • 行列式因子从 D n ( λ ) D_n(\lambda) Dn(λ) 向着 D 1 ( λ ) D_1(\lambda) D1(λ)
    • 2级子式为例,应该把所有2级子式列出来(共9个),然后找其中首项系数为1的最大公因式,作为 D 2 ( λ ) D_2(\lambda) D2(λ)
      • 注意是首项系数为1的式子( − λ − 1 -\lambda - 1 λ1 1 1 1算; 2 λ − 1 2\lambda - 1 2λ1不算)中的最大公因式
      • 注意 D 2 ( λ ) D_2(\lambda) D2(λ)是最大公因式

    不变因子


    分析:

    • λ E − A \lambda E - A λEA可以经过初等变换化成对角阵形式(初等变换下的标准型)
    • 对角线上即不变因子
    • 如何求,看例题才清楚
      • 方法一:直接初等变换成对角阵形式,很难
      • 方法二:利用不变因子与行列式因子间的关系

    如对于例题1
    d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) = 1 d_1(\lambda) = D_1(\lambda) = 1 d1(λ)=D1(λ)=1
    d 2 ( λ ) = D 2 ( λ ) D 1 ( λ ) = 1 d_2(\lambda) = \frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)} = 1 d2(λ)=D1(λ)D2(λ)=1
    d 3 ( λ ) = D 3 ( λ ) D 2 ( λ ) = ( λ − 2 ) 3 d_3(\lambda) = \frac{D_3(\lambda)}{D_2(\lambda)} = (\lambda-2)^3 d3(λ)=D2(λ)D3(λ)=(λ2)3

    分析:

    • 不变因子是从 1 到 n 来求
    • 一般利用行列式因子求

    初等因子

    在我理解: s s s是独立的特征值数量?

    初等因子计算方法

    见到例题才清晰。

    例题2

    分析:

    • 值得注意的是,初等因子可以重复
    • 括号内 λ \lambda λ应该为1次, ( λ 2 + 1 ) 2 (\lambda^2 + 1)^2 (λ2+1)2要看作 ( λ − i ) 2 ( λ + i ) 2 (\lambda - i)^2(\lambda + i)^2 (λi)2(λ+i)2

    三种因子小结

    例题3

    例题4

    这道题解将所有二级子式列了出来。

    例题5

    已知 A A A 的初等因子为 λ , λ 2 , λ + 1 \lambda,\lambda^2,\lambda+1 λ,λ2,λ+1,求 A A A的不变因子。

    解: A A A的不变因子为 d 4 ( λ ) = λ 2 ( λ + 1 ) d_4(\lambda)=\lambda^2 (\lambda + 1) d4(λ)=λ2(λ+1) d 3 ( λ ) = λ d_3(\lambda)=\lambda d3(λ)=λ d 2 ( λ ) = d 1 ( λ ) = 1 d_2(\lambda)=d_1(\lambda)=1 d2(λ)=d1(λ)=1

    分析:凑出来的,根据行列式因子的关系;此外,不变因子的最高次数和要等于 n n n

    小结

    A A A n n n阶方阵,则 λ E − A \lambda E - A λEA的:

    • 行列式因子,个数 = n =n =n,次数和 ≥ n \ge n n
    • 不变因子,个数 = n =n =n,次数和 = n = n =n
    • 初等因子,个数 ≤ n \le n n,次数和 = n = n =n

    不但可由行列式因子求出不变因子和初等因子,而且反之亦然。(两个方阵只要有一种因子相同,则另两种也相同)

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  • 1. 行列式因子 1.1 定义 1.2 定理 2. 不变因子

    1. 行列式因子

    1.1 定义

    1.2 定理

    2. 不变因子

     

     

     

     

     

     

     

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