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  • 特征值

    千次阅读 2017-03-15 11:27:35
    特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值(characteristic value)或本征...
    

    特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量。


    简介编辑

    又称 本征值 英文名eigen value。“特征”一词译自德语的eigen,由 希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用( 赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念)。eigen一词可翻译为“自身的”,“特定于...的”,“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。 [1]  

    特征值定义

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    特征值基本定义

    A为n阶矩阵,若存在 常数λ及n维 非零向量x,使得 Ax=λx,则称λ是矩阵 A的特征值,x是 A属于特征值λ的 特征向量[2]  
    A的所有特征值的全体,叫做A的谱,记为
    .

    特征值广义特征值

    如将特征值的取值扩展到 复数领域,则一个广义特征值有如下形式:
    其中 AB为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解方程( AB) ν=0,得到det( AB)=0(其中det即行列式)构成形如 AB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项,称为一个“丛(pencil)”。
    B可逆,则原关系式可以写作
    ,也即标准的特征值问题。当 B为非可逆矩阵(无法进行逆变换)时, 广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
    如果 AB实对称矩阵,则特征值为 实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显,因为
    A矩阵未必是对称的。 [1]  

    特征值计算方法

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    求特征值及特征向量 求特征值及特征向量
    求n阶矩阵A的特征值的基本方法:
    根据定义可改写为关系式
    单位矩阵(其形式为主对角线元素为λ-
    ,其余元素乘以-1)。要求向量
    具有非零解,即求 齐次线性方程组
    有非零解的值
    。即要求行列式
    。 解次行列式获得的
    值即为 矩阵 A的特征值。将此值回代入原式求得相应的
    ,即为输入这个行列式的特征向量。
    具体操作以右图为例。
      
    关于特征值
    关于特征值 (3张)
    定义1是一个 阶方阵(即使一个n*n的矩阵), 是一个数,如果方程
    (1)
    存在非零解向量 ,则称 的一个特征值,相应的非零解向量 称为属于特征值 的特征向量.
    (1)式也可写成,
    (2)
    这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式
    , (3)
    上式是以 为未知数的一元 次方程,称为方阵 的特征方程.其左端 次多项式,记作 ,称为方阵 的特征多项式.
    = =
    =
    显然, 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此, n阶矩阵 有n个特征值.
    阶矩阵 的特征值为 由多项式的根与系数之间的关系,不难证明
    (Ⅰ)
    (Ⅱ)
    的一个特征值,则 一定是方程 的根,因此又称特征根,若 为方程 重根,则 称为 重特征根.方程 的每一个非零解向量都是相应于 的特征向量,于是我们可以得到求矩阵 的全部特征值和特征向量的方法如下:
    第一步:计算 的特征多项式
    第二步:求出特征方程 的全部根,即为 的全部特征值;
    第三步:对于 的每一个特征值 ,求出齐次线性方程组:
    的一个基础解系 ,则 的属于特征值 的全部特征向量是
    (其中 是不全为零的任意实数).
    [注]:若的属于的特征向量,则也是对应于的特征向量,因而特征向量不能由特征值惟一确定.反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值.
    由以上讨论可知,对于方阵 的每一个特征值,我们都可以求出其全部的特征向量.但对于属于不同特征值的特征向量,它们之间存在什么关系呢?这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用.对此我们给出以下结论:
    定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.

    特征值基本应用

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    特征值求特征向量

    A为n阶 矩阵,根据关系式 Ax=λx,可写出(λ E- A)x=0,继而写出 特征多项式E- A|=0,可求出矩阵 A有n个特征值(包括重特征值)。将求出的特征值λi代入原特征多项式,求解方程(λi E- A)x=0,所求 解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

    特征值判断相似矩阵的必要条件

    设有n阶矩阵 AB,若 AB相似( AB),则有:
    1、 A的特征值与 B的特征值相同——λ( A)=λ( B),特别地,λ( A)=λ( Λ), Λ为A的 对角矩阵
    2、 A的特征多项式与 B的特征多项式相同——|λE- A|=|λ E-B|;
    3、 A等于 B的迹——tr A=tr B/
    ,其中i=1,2,…n(即 主对角线上元素的和);
    4、 A行列式值等于 B的行列式值——| A|=| B|;
    5、 A等于 B的秩——r( A)=r( B)。 [2]  
    因而 AB的特征值是否相同是判断 AB是否相似的根本依据。

    特征值判断矩阵可对角化的充要条件

    相似对角化 相似对角化
    矩阵可 对角化有两个充要条件:1、矩阵有n个不同的 特征向量;2、特征向量重根的重数等于 基础解系的个数。对于第二个充要条件,则需要出现二重以上的重特征值可验证(一重相当于没有重根)。 [2]  
    若矩阵 A可对角化,则其 对角矩阵 Λ的主对角线元素全部为 A的特征值,其余元素全部为0。(一个矩阵的对角阵不唯一,其特征值可以换序,但都存在由对应特征向量顺序组成的 可逆矩阵P使
    = Λ

    特征值更多应用

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    量子力学:
    设A是 向量空间的一个 线性变换,如果空间中某一 非零向量通过A变换后所
    奇异矩阵特征值 奇异矩阵特征值
    得到的向量和X仅差一个常数因子,即AX=kX ,则称k为A的特征值,X称为A的属于特征值k的 特征向量特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时,在 波函数满足 单值、有限、连续性和 归一化条件下,势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值,这些值就是正的 本征值
    设M是n阶 方阵, I是 单位矩阵, 如果存在一个数λ使得 M-λI 是 奇异矩阵(即不 可逆矩阵, 亦即 行列式为零), 那么λ称为M的特征值。
    在A变换的作用下, 向量ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍。称ξ是A 的一个特征向量,λ是对应的特征值(本征值),是(实验中)能测得出来的量,与之对应在量子力学理论中,很多量并不能得以测量,当然,其他理论领域也有这一现象。
    展开全文
  • 使用python求解特征值与特征向量

    万次阅读 多人点赞 2016-10-25 19:04:05
    使用python求解特征值与特征向量 实例介绍

    #使用python求解特征值与特征向量
    问题描述:
    求解矩阵[[1.25,0.375,0],[0.375,1.25,-0.5],[0,-0.5,0.875]]的特征值与特征向量

    参考链接1:
    百度经验:python线性代数—求方阵的特征值特征向量

    利用python求解方阵特征值与特征向量的方法及代码实现

    >>>import numpy as np      ##引入numpy模块
    >>>x=numpy.diag((1,2,3))   ##写入对角阵x
    >>>x                       ##输出对角阵x
    array([[1,0,0],
    [0,2,0],
    [0,0,3]])
    >>>a,b=numpy.linalg.elg(x) ##特征值赋值给a,对应特征向量赋值给b 
    >>>a                       ##特征值 1 2 3
    array([1.,2.,3.])
    >>>b                       ##特征向量
    array([1.,0.,0.],
    [0.,1.,0.],
    [0.,0.,1.])  
    

    局限性:使用函数numpy.diag( )产生的是对角阵,实际情况都是要处理一般方阵。关于numpy.diag( )的用法可以参考numpy.diag 使用说明

    参考链接2:
    科学计算python VS matlab
    介绍python进行矩阵运算的各种函数

    a2=np.array([[1,2,3],[2,3,4]])   #建立一个二维数组
    b2=np.array([[1,2,3],[2,3,4]],dtype=int)  #可以输出指定数据类型
    np.linalg.eig(a2)                #返回矩阵a2的特征值与特征向量
    

    针对开头的问题,求解代码如下图所示:
    问题求解代码

    参考链接3:
    特征值与特征向量的雅克比算法C++实现

    没有比较就不知道,使用python求解特征值问题多么简单!
    链接3是使用C++求解特征值的方法,虽然有点复杂,代码多,个人感觉,有必要看一看,以认识具体的实现过程。

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  • 矩阵特征值和特征向量详细计算过程

    万次阅读 多人点赞 2018-05-07 12:22:13
    1.矩阵特征值和特征向量定义 A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0,并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征...

    1.矩阵特征值和特征向量定义

            A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0,并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候,称为A的特征方程,特征方程是一个齐次线性方程组,求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。

     

    计算:A的特征值和特征向量。

    计算行列式得

    化简得:

    得到特征值:

    化简得:

     

    得到特征矩阵:

    同理,当得:

    得到特征矩阵:






       

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  • 特征值和特征向量 特征向量矩阵 特征向量矩阵S,由矩阵A的所有线性无关的特征向量按列排列组成的矩阵。 特征值矩阵,有矩阵A的所有特征值放在对角线位置组成的对角矩阵。 特征值分解的物理意义 矩阵的...

    特征值,特征向量,特征向量矩阵
    一图胜千言:
    在这里插入图片描述

    特征向量矩阵S,由矩阵A的所有线性无关的特征向量按列排列(从大到小)组成的矩阵。
    特征值矩阵,有矩阵A的所有特征值放在对角线位置组成的对角矩阵。

    1. 特征值和特征向量
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    2. 特征值分解的物理意义(转载)

    矩阵的特征值分解目的就是提取出一个矩阵最重要的特征。

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换(如蓝色的箭头所示),在图中,蓝色的箭头是一个最主要的变化方向(变化方向可能有不止一个),如果我们想要描述好一个变换,那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。

    反过头来看看之前特征值分解的式子,分解得到的Σ矩阵是一个对角阵,里面的特征值是由大到小排列的,这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向(从主要的变化到次要的变化排列)。

    当矩阵是高维的情况下,那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换,这个线性变化可能没法通过图片来表示,但是可以想象,这个变换也同样有很多的变换方向,我们通过特征值分解得到的前N个特征向量,那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。我们利用这前N个变化方向,就可以近似这个矩阵(变换)。也就是之前说的:提取这个矩阵最重要的特征

    总结一下,特征值分解可以得到特征值与特征向量,特征值表示的是这个特征到底有多重要,而特征向量表示这个特征是什么,可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间,我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情。不过,特征值分解也有很多的局限,比如说变换的矩阵必须是方阵

    什么是特征矩阵?
    矩阵里涉及“特征”二字的都和λE-A有关,行列式|λE-A|是关于λ的一个多项式,称为A的特征多项式, 而|λE-A|=0是一个方程,它的根就称作A的特征值,同理矩阵λE-A就称为A的特征矩阵

    • 补充一:2. 中提到的“Q是这个矩阵A 的特征向量组成的矩阵”,这里特征向量如何组成矩阵呢?
      我们知道,特征向量对应的特征值是唯一的。所以,这里将按特征值从大到小排序,再把排序后的特征值对应的特征向量(取前N个)组成新矩阵。

    • 补充二: 如何求矩阵的特征向量?概括如下:
      1.先求出矩阵的特征值: |A-λE|=0
      2.对每个特征值λ求出(A-λE)X=0的基础解系a1,a2,…,as
      3.A的属于特征值λ的特征向量就是 a1,a2,…,as 的非零线性组合在这里插入图片描述

    • 补充三 A = Q ∧ Q − 1 A = Q\wedge Q^{-1} A=QQ1官方说明 。这里的Q如果是对称阵可以写成 A = Q ∧ Q T A = Q\wedge Q^{T} A=QQT,具体见官方说明。

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  • 矩阵特征值和特征向量详细计算过程(转载)

    万次阅读 多人点赞 2018-09-02 09:43:47
    1.矩阵特征值和特征向量定义        A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特...
  • 求可逆矩阵 P,使 P^(-1)AP=∧ 的一般解题步骤 ...但是,当特征值有重根时,相同特征值对应的不同特征向量顺序可以交换吗? 经过验证,相同特征值 对应的 不同特征向量 顺序 可以交换 。过程如下: ...
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    022 特征值特征向量性质总结
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    万次阅读 多人点赞 2018-01-09 18:54:14
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    千次阅读 2019-11-29 20:31:32
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  • 尤其是特征值还被称为矩阵的Eigenvalues ,然后看了知乎上的一些解释,也未能得到较好的理解,有些太理论:)然后本文就从自己现有知识体系下解释一下矩阵的特征向量与特征值的几何意义。有如下...
  • 矩阵特征值

    千次阅读 2017-01-28 16:44:53
    矩阵特征值
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  • 特征值和特征矩阵

    万次阅读 2017-08-18 13:19:43
    写一点对矩阵特征值和特征矩阵的理解 1. A是一个矩阵,它作用在向量v上。如果A是2阶对角阵的话,它起到的作用是将v

空空如也

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