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  • multilayer perceptron
    2021-10-26 20:26:19
    • 训练集,验证集,测试集。

    • k-折交叉验证:把数据分为k份,其中一份作为验证集,得到训练精度。循环k次分别将数据用作验证集,取平均值为最后结果。

    • 过拟合:训练误差减小,但是泛化误差先减小,后增加。两个误差gap大。
      解决:模型足够大,再控制模型容量。

      • 估计模型容量(比较同类算法模型):
      1. 模型参数的个数,参数的选择范围。
      • 估计数据复杂度:样本个数,每个样本的元素个数,时间,空间结构。 请添加图片描述- 模型容量要和数据复杂度匹配,才能避免过拟合和欠拟合。
      • 如何控制模型容量?-控制参数取值范围:
      1. 硬性限制,参数<a
      2. 柔性限制:加正则项——权重衰退 :使得模型参数不会过大,控制模型复杂度。|note
    • dropout: 多用在MLP,

    python

    • lambda argument_list: expression表示的是一个函数。这个函数叫做lambda函数。argument_list是输入,带入expression得到输出。
    • assert expression : Expression为False时,返回AssertError
    • Tips:
      • mask = (torch.Tensor(X.shape).uniform_(0, 1) > dropout).float()
        输出0、1矩阵,并且用mask相乘比 X[mask] = 赋值运算速度快。
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  • def relu(X): return torch.max(X, 0) W1 = nn.Parameter(torch.randn(num_input, num_hiddens) * 0.01) b1 = nn.Parameter(torch.zeros(num_hiddens)) # 偏移 W2 = nn.Parameter(torch.randn(num_hiddens, num_...

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    def relu(X):
    	return torch.max(X, 0)
    
    W1 = nn.Parameter(torch.randn(num_input, num_hiddens) * 0.01) 
    b1 = nn.Parameter(torch.zeros(num_hiddens)) # 偏移
    W2 = nn.Parameter(torch.randn(num_hiddens, num_output) * 0.01)
    b2 = nn.Parameter(torch.zeros(num_outputs))
    # nn.Parameter(): 类型转换函数,将一个不可训练的类型 Tensor 转换成可以训练的类型 parameter 并将这个 parameter 绑定到这个 module 里面
    # torch.randn(n, m ): 生成n*m随机数字的tensor,这些随机数字满足标准正态分布(0~1)
    # torch.zeros(): torch.zeros()返回一个由标量值0填充的张量,其形状由变量参数size定义
    
    H = relu(X @ W1 + b1)
    Y = H @ W2 + b2
    
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  • 所谓多层感知器,其实就是具有一个或多个隐藏层(hidden layer)的全连接前馈神经网络,如图所示,在最重要的求取损失关于权重的偏导数的过程上,跟之前的 Logistic Regression 和 Softmax Regression 一样,仍然是...

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    所谓多层感知器,其实就是具有一个或多个隐藏层(hidden layer)的全连接前馈神经网络,如图所示,在最重要的求取损失关于权重的偏导数的过程上,跟之前的 Logistic Regression 和 Softmax Regression 一样,仍然是使用链式法则进行求导。

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    为了将感知器、Logistic Regression 和 Adaline 看作是单层神经网络,习惯上,我们把输入层作为第 0 层,把第一个隐藏层作为第 1 层,以此类推。在符号上也是如此, a 2 ( 1 ) a_2^{(1)} a2(1) 表示第 1 层的第 2 个神经元,即第一个隐藏层的第 2 个神经元。

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    单层神经网络模型的损失函数是凸函数,而在多层神经网络模型下就不是了,凸函数会存在很多的局部极小值点,所以需要进行多次不同的权重初始化,以防止损失陷入局部极小值点。

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    Sigmoid 激活函数 + MSE 损失函数的组合虽然在形式上很好(Sigmoid 函数的导数抵消了负对数似然函数导数的分母),但是 Sigmoid 函数 σ ( z ) \sigma (z) σ(z) 当输入 z 很小时,其输出也会很小,这就造成了梯度消失的问题。

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    但是,在 MLP 中,只有隐藏层还不够,还需要加上非线性的激活函数,才能解决异或问题。Logistic Regression 是无隐藏层 + 非线性激活函数,线性 MLP 是有隐藏层 + 线性激活函数,它们都是只能产生线性决策边界的。

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    在非线性激活函数中,Sigmoid 和 Tanh(及其变种)都是 S 型曲线,而 Tanh 与 Sigmoid 相比,优势在于其过零点、零点附近的曲线更陡峭(梯度大)、可以同时产生正负值(避免了梯度消失)

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    ReLU 及其变种,当 ReLU 函数的输入小于 0 时,斜率也为 0,相当于神经元“死亡”,如果太多神经元“死亡”就会影响训练,但也可以看作是一种剪枝或者正则化方法(避免过拟合)。Leaky ReLU 的 α 是超参数,需要人为设定;而PReLU 中的 α 是通过训练得到的。

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    Smooth Adversarial Training 这篇论文中,作者比较了不同激活函数的性能与鲁棒性。

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    代码示例 1 是 Sigmoid + 均方损失,代码示例 2 是 Softmax + 交叉熵损失,后者的性能更好,可能是因为前面提到过的,Sigmoid + MSE 的组合会留下 σ ( z ) ( 1 − σ ( z ) ) \sigma (z) (1 - \sigma (z)) σ(z)(1σ(z)) ,这是两个小数的乘积,值会越来越小导致梯度消失。

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    虽然已经有论文证明单层神经网络可以逼近任意函数,但不代表它是可行的。使用深度学习而不是宽度学习,好处是能用更少的神经元(参数)得到相同的学习能力,而后面的层受到前面层的限制,也可以避免过拟合,但是层数多会造成梯度消失和梯度爆炸的问题。

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  • 多层感知机(Multi-Layer Perception)

    千次阅读 2017-11-28 00:06:05
    多层感知机及其BP算法(Multi-Layer Perception) Deep Learning 近年来在各个领域都取得了 state-of-the-art 的效果,对于原始未加工且单独不可解释的特征尤为有效,传统的方法依赖手工选取特征,而 Neural ...

    鸣谢

    多层感知机及其BP算法(Multi-Layer Perception)

    Deep Learning 近年来在各个领域都取得了 state-of-the-art 的效果,对于原始未加工且单独不可解释的特征尤为有效,传统的方法依赖手工选取特征,而 Neural Network 可以进行学习,通过层次结构学习到更利于任务的特征。得益于近年来互联网充足的数据,计算机硬件的发展以及大规模并行化的普及。本文主要简单回顾一下 MLP ,也即为Full-connection Neural Network ,网络结构如下,分为输入,隐层与输出层,除了输入层外,其余的每层激活函数均采用 sigmod ,MLP 容易受到局部极小值与梯度弥散的困扰,如下图所示:
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    MLP 的 Forward Pass

    MLP 的 BP 算法基于经典的链式求导法则,首先看前向传导,对于输入层有 I 个单元, 对于输入样本 (x,z) ,隐层的输入为:

    ah=i=1Iwihxi
    bh=f(ah)

    这里函数 f 为 非线性激活函数,常见的有sigmod或者是 tanh ,本文选取 sigmod 作为激活函数。计算完输入层向第一个隐层的传导后,剩下的隐层计算方式类似,用 hl 表示第 l 层的单元数:
    ah=h=1hl1whhbh
    bh=f(ah)

    对于输出层,若采用二分类即 logisticregression ,则前向传导到输出层:
    a=hwhhbh
    y=f(a)

    这里 y 即为MLP的输出类别为 1 的概率,输出类别为0的概率为 1y ,为了训练网络,当 z=1 时, y 越大越好,而当z=0时, 1y 越大越好,这样才能得到最优的参数 w ,采用MLE的方法,写到一起可以得到 yz(1y)1z 这便是单个样本的似然函数,对于所有样本可以列出 log 似然函数 O=(x,z)zlogy+(1z)log(1y) ,直接极大化该似然函数即可,等价于极小化以下的 log 损失函数:
    O=(x,z)zlogy+(1z)log(1y)

    对于多分类问题,即输出层采用 softmax ,假设有 K 个类别,则输出层的第k个单元计算过程如下:
    ak=hwhkbh
    yk=f(ak)

    则得到类别 k 的概率可以写作kyzkk,注意标签 z 中只有第k维为 1 ,其余为0,所以现在只需极大化该似然函数即可:
    O=(x,z)kyzkk

    同理等价于极小化以下损失:
    O=(x,z)kyzkk

    以上便是 softmax 的损失函数,这里需要注意的是以上优化目标 O 均没带正则项,而且logistic softmax 最后得到的损失函数均可以称作交叉熵损失,注意和平方损失的区别。


    Backward Pass

    有了以上前向传导的过程,接下来看误差的反向传递,对于 sigmod 来说,最后一层的计算如下: a=hwhbh , y=f(a)=σ(a) 这里 bh 为倒数第二层单元 h 的输出,σ sigmod 激活函数,且满足 σ(a)=σ(a)(1σ(a)) ,对于单个样本的损失 :

    O=[zlog(σ(a)+(1z)log(1σ(a))]

    可得到如下的链式求导过程:
    Owh=Oaawh

    显而易见对于后半部分 awh bh ,对于前半部分 Oa :
    Oa=[z log(σ(a))+(1z)log(1σ(a))]a=[zσ(a)1z1σ(a)]σ(a)=[zσ(a)1z1σ(a)]σ(a)(1σ(a))=σ(a)z=yz

    以上,便得到了 logistic 的残差,接下来残差反向传递即可,残差传递形式同 softmax ,所以先推倒 softmax 的残差项,对于单个样本, softmax log 损失函数为:
    O=izilogyi

    其中:
    yi=eaijeaj

    根据以上分析,可以得到 yk 关于 ak 的导数:
    ykak=ikeajeakjeajjeajeakeakjeajjeaj=yk(1yk)    k=k=ykyk         kk

    现在能得到损失函数 O 对于ak的导数:
    Oak=[izilogyi]ak=izilogyiak=izi1yiyiak=zk(1yk)ikzi1yi(yiyk)=zk+zkyk+ikziyk=zk+yk(izi)=ykzk

    这里有 izi=1 ,即只有一个类别。 到这一步, softmax sigmod 的残差均计算完成,可以用符号 δ 来表示,对于单元 j ,其形式如下:
    δj=Oaj

    这里可以得到 softmax 层向倒数第二层的残差反向传递公式:
    δh=Obhbhah=bhahkOakakbh=f(ah)kwhkδk

    其中 ak=hwhkbh ,对于 sigmod 层,向倒数第二层的反向传递公式为:
    δh=Obhbhah=bhahOaabh=f(ah)whδ

    以上公式的 δ 代表 sigmod 层唯一的残差,接下来就是残差从隐层向前传递的传递过程,一直传递到首个隐藏层即第二层( 注意,残差不会传到输入层,因为不需要,对输入层到第二层的参数求导,其只依赖于第二层的残差,因为第二层是这些参数的放射函数):
    δh=f(ah)h=1hl+1whhδh

    整个过程可以看下图:
    这里写图片描述
    最终得到关于权重的计算公式:
    Owij=Oajajwij=δjbi

    至此完成了 backwark pass 的过程,注意由于计算比较复杂,有必要进行梯度验证。对函数 O 关于参数 wij 进行数值求导即可,求导之后与与上边的公式验证差异,小于给定的阈值即认为我们的运算是正确的。

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