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  • 四、整数规划问题解的特征、 五、整数规划问题 与 松弛问题 示例、 六、分支定界法、 1、整数规划概念、 2、分支定界法求解整数规划步骤、 3、分支定界理论分析、 七、分支过程示例、 八、分支定界法求整数规划示例...





    一、整数规划





    1、整数规划概念


    线性规划 使用 单纯形法求解 , 线性规划中的 运输规划 使用 表上作业法 求解 ;

    之前讨论的都是线性规划问题 , 非线性规划如何求解 , 没有给出具体的方法 ;


    整数规划问题 : 要求 一部分 或 全部 决策变量 取值整数 的规划问题 , 称为整数规划 ;

    整数规划问题的松弛问题 : 不考虑 整数变量条件 , 剩余的 目标函数约束条件 构成的线性规划问题 称为 整数规划问题的松弛问题 ;

    整数线性规划 : 如果上述 整数规划问题的松弛问题 是线性规划 , 则称该整数规划为 整数线性规划 ;


    整数规划与之前的线性规划多了一个约束条件 , 变量大于等于 0 0 0 , 并且都是整数 ;


    整数线性规划数学模型一般形式 :

    m a x Z = ∑ j = 0 n c j x j s . t { ∑ j = 1 n a i j x j = b i     (   i = 1 , 2 , ⋯   , m   ) x j ≥ 0     (   j = 1 , 2 , ⋯   , n   ) 部 分 或 全 部 为 整 数 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = \sum_{j = 0}^{n} c_j x_j \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i \ \ \ ( \ i = 1, 2, \cdots , m \ ) \\\\ \rm x_j \geq 0 \ \ \ ( \ j = 1, 2, \cdots , n \ ) 部分 或 全部 为整数 \end{cases}\end{array} maxZ=j=0ncjxjs.tj=1naijxj=bi   ( i=1,2,,m )xj0   ( j=1,2,,n )



    2、整数规划分类


    整数线性规划分为以下几类 : ① 纯整数线性规划 , ② 混合整数线性规划 , ③ 0-1 型整数线性规划 ;


    ① 纯整数线性规划 : 全部决策变量都 必须取值整数 的 整数线性规划 ;

    ② 混合整数线性规划 : 决策变量中有一部分 必须 取整数值 , 另一部分 可以不 取值整数值 的 整数线性规划 ;

    ③ 0-1 型整数线性规划 : 决策变量 只能取值 0 0 0 1 1 1 的整数线性规划 ;





    二、整数规划示例



    资金总额 B \rm B B , 有 n n n 个投资项目 , 项目 j j j 所需的投资金额 是 a j a_j aj , 预期收益是 c j c_j cj , j = 1 , 2 , ⋯   , n j = 1,2,\cdots,n j=1,2,,n ;

    投资还有以下附加条件 :

    ① 如果投资项目 1 1 1 , 必须投资项目 2 2 2 ; 反之如果投资项目 2 2 2 , 没有限制 ;

    ② 项目 3 3 3 和 项目 4 4 4 必须至少选 1 1 1 个 ;

    ③ 项目 5 , 6 , 7 5,6,7 5,6,7 只能选择 2 2 2 个 ;



    决策变量分析 : 选择合适的 决策变量 决策变量取值 ;

    选取变量 , 使得变量的一组取值 , 能更好对应线性规划问题的解决方案 ;

    每个项目有对应的两个选择 , 投资 / 不投资 , 分别使用 1 1 1 0 0 0 表示 ;

    x j x_j xj 表示第 j j j 个项目的投资选择 , 投资 1 1 1 , 不投资 0 0 0 ; ( j = 1 , 2 , ⋯   , n j = 1,2, \cdots, n j=1,2,,n )


    投资额约束条件 : 所有的投资总额不能超过 B \rm B B , ∑ j = 1 n a j x j ≤ B \sum_{j = 1}^{n} a_{j} x_j \leq B j=1najxjB ;

    分析条件 ① : 投资项目 1 1 1 , 必须投资项目 2 2 2 , 此时 x 1 = x 2 = 1 x_1 = x_2 = 1 x1=x2=1 ; 投资项目 2 2 2 可以投资项目 1 1 1 , 可以不投资项目 1 1 1 , 同时投资的情况上面已经分析过 , 分析后者 x 1 = 1 , x 2 = 0 , 此 时 x 1 > x 2 x_1 = 1, x_2 = 0 , 此时 x_1 > x_2 x1=1,x2=0,x1>x2 ; 综合上述两种情况就有 x 2 ≥ x 1 x_2 \geq x_1 x2x1 ;

    分析条件 ② : 项目 3 3 3 和 项目 4 4 4 必须至少选 1 1 1 个 , 两者选择一个 , 或者都选择 , 二者相加之和是 1 1 1 2 2 2 ; 有约束方程 x 3 + x 4 ≥ 1 x_3 + x_4 \geq 1 x3+x41 ;

    分析条件 ③ : 项目 5 , 6 , 7 5,6,7 5,6,7 只能选择 2 2 2 个 , 则三者相加等于 2 2 2 即可 ; 约束方程 x 5 + x 6 + x 7 = 2 x_5 + x_6 + x_7 = 2 x5+x6+x7=2 ;


    投资问题可以表示为以下线性规划 :

    m a x Z = ∑ j = 1 n c j x j s . t { ∑ j = 1 n a j x j ≤ B x 2 ≥ x 1 x 3 + x 4 ≥ 1 x 5 + x 6 + x 7 = 2 x j = 0 , 1     (   j = 1 , 2 , ⋯   , n   ) \begin{array}{lcl} \rm maxZ = \sum_{j = 1}^{n} c_j x_j \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm \sum_{j = 1}^{n} a_{j} x_j \leq B \\\\ \rm x_2 \geq x_1 \\\\ \rm x_3 + x_4 \geq 1 \\\\ \rm x_5 + x_6 + x_7 = 2 \\\\ \rm x_j = 0 , 1 \ \ \ ( \ j = 1, 2, \cdots , n \ ) \end{cases}\end{array} maxZ=j=1ncjxjs.tj=1najxjBx2x1x3+x41x5+x6+x7=2xj=0,1   ( j=1,2,,n )


    根据 【运筹学】整数规划 ( 相关概念 | 整数规划 | 整数线性规划 | 整数线性规划分类 ) 博客中的整数线性规划概念 , 上述线性规划是 整数线性规划 ;

    上述整数线性规划 的 松弛问题 是一个线性规划 , 可以使用单纯形法对其进行求解 , 求出最优解后 , 可能是小数 , 那么如何得到整数问题的最优解 , 不能进行简单的四舍五入 ;





    三、整数规划解决的核心问题



    给出 整数规划问题 ,

    先求该 整数规划的松弛问题 的解 ,

    松弛问题就是不考虑整数约束 , 将整数线性规划当做普通的线性规划 , 使用单纯形法求出其最优解 ;


    简单的将其松弛问题最优解上下取整 , 得到的四个值 , 可能 不在可行域中 , 选择的整数解 , 必须在可行域中 ;


    根据 整数规划问题的的松弛问题 的最优解 , 如何找其 整数规划问题 的整数最优解 , 是整数规划问题的核心问题 ;





    四、整数规划问题解的特征



    整数规划问题解的特征 :

    ① 整数规划问题 与 松弛问题 可行解集合关系 : 整数规划问题 可行解集合 , 是该整数规划问题的 松弛问题 可行解集合 的子集 , 任意两个可行解的 凸组合 , 不一定满足整数约束条件 , 不一定是可行解 ;

    ② 整数规划问题 与 松弛问题 最优解关系 : 整数规划问题的可行解 一定是 其 松弛问题的可行解 , 松弛问题的可行解不一定是整数规划问题的可行解 , 整数规划问题的最优解 不会优于 松弛问题的最优解 ;


    松弛问题 比 整数规划问题 条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 " 约束变量必须都是整数 " ;





    五、整数规划问题 与 松弛问题 示例



    假设有如下整数规划问题 :

    m a x Z = x 1 + x 2 s . t { 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x 1 + 3 x 2 ≤ 1 x 1 , x 2 ≥ 0   并 且 为 整 数 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \ 并且为整数 \end{cases}\end{array} maxZ=x1+x2s.t14x1+9x2516x1+3x21x1,x20 


    上述整数规划问题对应的松弛问题 : 松弛问题 比 整数规划问题 条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 " 约束变量必须都是整数 " ;

    m a x Z = x 1 + x 2 s . t { 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x 1 + 3 x 2 ≤ 1 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=x1+x2s.t14x1+9x2516x1+3x21x1,x20



    使用图解法 , 解上述 松弛问题 的最优解为 { x 1 = 3 2 x 2 = 10 3 \begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{3}{2} \\\\ \rm x_2 = \cfrac{10}{3} \end{cases} x1=23x2=310

    此时目标函数值 m a x Z = x 1 + x 2 = 29 6 \rm maxZ = x_1 + x_2 = \cfrac{29}{6} maxZ=x1+x2=629

    在这里插入图片描述

    简单的将其松弛问题最优解上下取整 , 得到的四个点 , 如上图的四个红色点 , 都不在可行域中 , 选择的整数解 , 必须在可行域中 ;

    根据 整数规划问题的的松弛问题 的最优解 , 如何找其 整数规划问题 的整数最优解 , 是整数规划问题的核心问题 ;


    穷举法 ( 有局限性 ) : 直接看上图中可行域内的整数点 , 然后再逐一代入目标函数 , 得到一个 整数规划问题 的最优解 , 但是这种方法无法推广应用 , 如果点的个数比较多 , 如几万个 , 变量的维数多 , 如 10 10 10 个约束变量 , 这种方法肯定不适用 ;


    整数规划问题的求解方法有 : ① 分支定界法 , ② 割平面法 ;

    推荐使用 分支定界法 ;





    六、分支定界法





    1、整数规划概念


    分支定界法相关概念 :

    分支 : 将一个问题不断细分为 若干子问题 , 之后逐个讨论子问题 ;

    定界 : 分支很多的情况下 , 需要讨论的情况也随之增多 , 这里就需要定界 , 决定在什么时候不在进行分支 ; 满足 ① 得到最优解 , ② 根据现有条件可以排除最优解在该分支中 , 二者其一 , 就可以进行定界 ;

    定界的作用是 剪掉没有讨论意义的分支 , 只讨论有意义的分支 ;



    2、分支定界法求解整数规划步骤


    分支定界法求解整数规划步骤 :

    ( 1 ) 求 整数规划 的 松弛问题 最优解 :

    如果 该 最优解就 是整数 , 那么得到整数规划最优解 ;

    如果 该 最优解 不是整数 , 那么转到下一个步骤 分支 与 定界 ;


    ( 2 ) 分支 与 定界 :

    任选一个 非整数解变量 x i x_i xi , 在 松弛问题 中加上约束 :

    x i ≤ [ x i ] x_i \leq [x_i] xi[xi] x i ≥ [ x i ] + 1 x_i \geq [x_i] + 1 xi[xi]+1

    形成 两个新的 松弛问题 , 就是两个分支 ;

    上述分支 , 分的越细致 , 限制条件越多 , 同时 最优解的质量就越差 ;

    新的分支松弛问题特征 :

    • 原问题求 最大值 时 , 目标值 是 分支问题 的上界 ;

    • 原问题求 最小值 时 , 目标值 是 分支问题 的下界 ;


    分支 1 1 1 的最优解是 x ∗ x^* x , 将最优解代入目标函数后得到最优值 f 1 f_1 f1 ;

    分支 2 2 2 的最优解是 y ∗ y^* y , 将最优解代入目标函数后得到最优值 f 2 f_2 f2 ;

    如果目标函数求最大值 , 那么就讨论 f 1 , f 2 f_1, f_2 f1,f2 谁更大 ;


    检查 分支松弛问题 的 解 及 目标函数值 :

    ① 得到最优整数解 : 如果该分支的 解 是 整数 , 并且 目标函数值 大于等于 其它分支的目标值 , 则剪去其它分支 , 停止计算 ;

    ② 没有得到最优整数解 : 如果该分支的 解 是 小数 , 并且 目标函数值 大于 整数解的目标值 , 需要 继续进行分支 , 直到得到最优解 ;



    3、分支定界理论分析


    假设考虑 分支 1 1 1 松弛问题 , 每次都要给问题找到一个界 , 开始先使用观察法找到一个界 , 找到一个整数解 f f f , 将该解代入目标函数 , 然后在 不断地计算中, 修改该界 ;

    假设 分支 1 1 1 松弛问题 目标函数 求最大值 ,

    如果求解 分支 1 1 1 松弛问题 最优解 恰好也是一个整数解 f 0 f_0 f0 , 如果 f 0 > f f_0 > f f0>f , 此时需要重新定界 , f 0 f_0 f0 作为新的界来讨论 ;

    根据新的界来看 分支 2 2 2 松弛问题是否需要讨论 , 求出 分支 2 2 2 的最优解 对应的 目标函数最优值 f ∗ f^* f ;

    如果 分支 2 2 2 的最优值 小于 分支 1 1 1 的最优值 f ∗ ≤ f 0 f^* \leq f^0 ff0 , 此时分支 2 2 2 不用再进行分支了 , 再进行分支 , 其最优值会越来越差 ;

    定界法的作用是将不符合条件的分支剪去 ;





    七、分支过程示例



    如上篇博客 【运筹学】整数规划 ( 整数规划问题解的特征 | 整数规划问题 与 松弛问题 示例 ) 中 , 求解如下 整数规划 解 :

    m a x Z = x 1 + x 2 s . t { 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x 1 + 3 x 2 ≤ 1 x 1 , x 2 ≥ 0   并 且 为 整 数 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \ 并且为整数 \end{cases}\end{array} maxZ=x1+x2s.t14x1+9x2516x1+3x21x1,x20 


    其对应的松弛问题是 : 去掉整数解限制 ;

    m a x Z = x 1 + x 2 s . t { 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x 1 + 3 x 2 ≤ 1 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=x1+x2s.t14x1+9x2516x1+3x21x1,x20


    分支都是基于松弛问题进行的 , 为松弛问题分支 , 组成两个新的松弛问题 ;


    下图是求解结果 ( 图解法 ) :

    在这里插入图片描述
    最优解 x 1 = 3 2 x_1 = \cfrac{3}{2} x1=23 , 分别为 x 1 x_1 x1 添加 x i ≤ [ x i ] x_i \leq [x_i] xi[xi] x i ≥ [ x i ] + 1 x_i \geq [x_i] + 1 xi[xi]+1 约束 , 形成两个新的线性规划 ;


    分支 1 1 1 整数规划 : 添加 x i ≤ [ x i ] x_i \leq [x_i] xi[xi] 约束 , 即 x 1 ≤ 1 x_1 \leq 1 x11 ;

    m a x Z = x 1 + x 2 s . t { 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x 1 + 3 x 2 ≤ 1 x 1 ≤ 1 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=x1+x2s.t14x1+9x2516x1+3x21x11x1,x20


    分支 2 2 2 整数规划 : 添加 x i ≥ [ x i ] + 1 x_i \geq [x_i] +1 xi[xi]+1 约束 , 即 x 1 ≥ 2 x_1 \geq 2 x12 ;

    m a x Z = x 1 + x 2 s . t { 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x 1 + 3 x 2 ≤ 1 x 1 ≥ 2 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=x1+x2s.t14x1+9x2516x1+3x21x12x1,x20


    这样就将一个线性规划 , 分解成了两个问题分支 , 分别找两个分支问题的所有整数解 ;

    整数规划的整数解 , 肯定在上述两个分支之一中 , 中间将一部分可行域排除在外了 , 就是下图中两个红色箭头之间的可行域部分 , 被排除掉的部分肯定没有整数解 , 都是小数 ;

    在这里插入图片描述





    八、分支定界法求整数规划示例





    1、分支定界法求整数规划示例


    使用 分支定界法 求如下整数规划 :

    m i n W = − x 1 − 5 x 2 s . t { x 1 − x 2 ≥ − 2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 x 1 ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0   并 且 为 整 数 \begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \ 并且为整数 \end{cases}\end{array} minW=x15x2s.tx1x225x1+6x230x14x1,x20 



    2、求整数规划的松弛问题及最优解


    求上述整数规划 ( I P \rm IP IP ) 的松弛问题 ( L P \rm LP LP ) : 去掉整数限制即可得到一个一般的线性规划 ;

    m i n W = − x 1 − 5 x 2 s . t { x 1 − x 2 ≥ − 2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 x 1 ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=x15x2s.tx1x225x1+6x230x14x1,x20

    可以使用单纯形法求上述线性规划的最优解 , 本次使用图示法 , 求的最优化 ;

    在这里插入图片描述

    使用图示法解得上述 松弛问题 最优解 { x 1 = 18 11 ≈ 1.64 x 2 = 40 11 ≈ 3.64 \begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{18}{11} \approx 1.64 \\\\ \rm x_2 = \cfrac{40}{11} \approx 3.64 \end{cases} x1=11181.64x2=11403.64 , 将上述最优解代入约束方程 ,

    得到整数规划最小值 m i n W = − x 1 − 5 x 2 = − 218 11 ≈ − 19.8 \rm min W = -x_1 -5 x_2 = - \cfrac{218}{11} \approx -19.8 minW=x15x2=1121819.8


    如果上述 松弛问题 最优解 是整数 , 则该整数线性规划的最优解就是 松弛问题 的最优解 ;

    上述 松弛问题 L P \rm LP LP 最优解不是整数 , 这里需要进行 分支 操作 , 分成两个 分支松弛问题 L P 1 \rm LP1 LP1 L P 2 \rm LP2 LP2 ;



    3、第一次分支操作


    分支操作 : 任选一个 非整数解变量 x i x_i xi , 在 松弛问题 中加上约束 , x i ≤ [ x i ] x_i \leq [x_i] xi[xi] x i ≥ [ x i ] + 1 x_i \geq [x_i] + 1 xi[xi]+1 , 形成 两个新的 松弛问题 , 就是两个分支 ;


    选择 非整数取值的变量 x 1 = 18 11 ≈ 1.64 x_1 = \cfrac{18}{11} \approx 1.64 x1=11181.64 , 作为分支变量 ,

    x i ≤ [ x i ] x_i \leq [x_i] xi[xi] 对应的 分支新增约束条件是 x 1 ≤ 1 x_1 \leq 1 x11 ;

    x i ≥ [ x i ] + 1 x_i \geq [x_i] + 1 xi[xi]+1 对应的 分支新增约束条件是 x 1 ≥ 2 x_1 \geq 2 x12 ;


    L P 1 \rm LP1 LP1 分支松弛问题中加入 x 1 ≤ 1 x_1 \leq 1 x11 条件后为 :

    m i n W = − x 1 − 5 x 2 s . t { x 1 − x 2 ≥ − 2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 x 1 ≤ 4 x 1 ≤ 1 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=x15x2s.tx1x225x1+6x230x14x11x1,x20

    求上述 L P 1 \rm LP1 LP1 分支的最优解 { x 1 = 1 x 2 = 3 \begin{cases} \rm x_1 = 1 \\\\ \rm x_2 = 3 \end{cases} x1=1x2=3 , 将上述最优解代入约束方程 ,

    得到整数规划最小值 m i n W = − x 1 − 5 x 2 = − 16 \rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 16 minW=x15x2=16

    L P 1 \rm LP1 LP1 分支的界就是 − 16 -16 16 ;



    L P 2 \rm LP2 LP2 分支松弛问题中加入 x 1 ≥ 2 x_1 \geq 2 x12 条件后为 :

    m i n W = − x 1 − 5 x 2 s . t { x 1 − x 2 ≥ − 2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 x 1 ≤ 4 x 1 ≥ 2 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=x15x2s.tx1x225x1+6x230x14x12x1,x20

    求上述 L P 2 \rm LP2 LP2 分支的最优解 { x 1 = 2 x 2 = 10 3 \begin{cases} \rm x_1 = 2 \\\\ \rm x_2 = \cfrac{10}{3} \end{cases} x1=2x2=310 , 将上述最优解代入约束方程 ,

    得到整数规划最小值 m i n W = − x 1 − 5 x 2 = − 56 3 ≈ − 18.7 \rm min W = -x_1 -5 x_2 = - \cfrac{56}{3} \approx -18.7 minW=x15x2=35618.7

    L P 2 \rm LP2 LP2 分支的目标值是 − 18.7 -18.7 18.7 ;


    L P 1 \rm LP1 LP1 分支的最优解时整数 , 界 是 − 16 -16 16 ,

    L P 2 \rm LP2 LP2 分支目标值还不是整数 , 因此需要继续分支 ;



    判定某个分支 松弛问题 是否继续向下分支的依据 :

    ① 根据整最优解是否是整数判定 : 首先看 分支 松弛问题 最优解 是否是整数 , 如果是那就停下来 , 如果不是继续向下分支 ;

    ② 根据界的优劣判定 ( 定界思想 ) : 是否继续向下分支 , 还需要看 界 的值 , 通过该 界 的值 , 讨论是否继续向下分支 ;

    • 分支条件 : 如果 本分支的界另外一个分支的界 要好 , 则继续分支下去 ;
    • 不分支条件 : 如果本分支的界比另外一个分支的界差 , 那么本分支就不再向下分支了 ;


    4、第二次分支操作


    L P 2 \rm LP2 LP2 继续向下分支 , x 1 x_1 x1 变量已经是整数变量了 ,

    这里 选择 非整数取值的变量 x 2 = 10 3 ≈ 3.33 x_2 = \cfrac{10}{3} \approx 3.33 x2=3103.33 , 作为分支变量 ,

    x i ≤ [ x i ] x_i \leq [x_i] xi[xi] 对应的 分支新增约束条件是 x 2 ≤ 3 x_2 \leq 3 x23 ;

    x i ≥ [ x i ] + 1 x_i \geq [x_i] + 1 xi[xi]+1 对应的 分支新增约束条件是 x 2 ≥ 4 x_2 \geq 4 x24 ;


    这里得到了 L P 2 \rm LP2 LP2 分支下的两个 分支松弛问题 L P 21 \rm LP21 LP21 L P 22 \rm LP22 LP22 ;

    L P 21 \rm LP21 LP21 分支松弛问题中加入 x 2 ≤ 3 x_2 \leq 3 x23 条件后为 :

    m i n W = − x 1 − 5 x 2 s . t { x 1 − x 2 ≥ − 2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 x 1 ≤ 4 x 1 ≥ 2 x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_2 \leq 3 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=x15x2s.tx1x225x1+6x230x14x12x23x1,x20

    在这里插入图片描述

    求上述 L P 21 \rm LP21 LP21 分支的最优解 { x 1 = 12 5 = 2.4 x 2 = 3 \begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{12}{5} = 2.4 \\\\ \rm x_2 = 3 \end{cases} x1=512=2.4x2=3 , 将上述最优解代入约束方程 ,

    得到整数规划最小值 m i n W = − x 1 − 5 x 2 = − 17.4 \rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 17.4 minW=x15x2=17.4

    L P 21 \rm LP21 LP21 分支的最优解不是整数 , 而且比 L P 1 \rm LP1 LP1 分支的界 − 16 -16 16 要好 , 可需要继续分支 ;



    L P 22 \rm LP22 LP22 分支松弛问题中加入 x 2 ≥ 4 x_2 \geq 4 x24 条件后为 :

    m i n W = − x 1 − 5 x 2 s . t { x 1 − x 2 ≥ − 2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 x 1 ≤ 4 x 1 ≥ 2 x 2 ≥ 4 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_2 \geq 4 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=x15x2s.tx1x225x1+6x230x14x12x24x1,x20

    上述 L P 22 \rm LP22 LP22 分支 没有可行解 , 直接停止 ;



    5、第三次分支操作


    L P 21 \rm LP21 LP21 继续向下分支 ,

    这里 选择 非整数取值的变量 x 1 = 12 5 = 2.4 x_1 = \cfrac{12}{5} = 2.4 x1=512=2.4 , 作为分支变量 ,

    x i ≤ [ x i ] x_i \leq [x_i] xi[xi] 对应的 分支新增约束条件是 x 1 ≤ 2 x_1 \leq 2 x12 ;

    x i ≥ [ x i ] + 1 x_i \geq [x_i] + 1 xi[xi]+1 对应的 分支新增约束条件是 x 1 ≥ 3 x_1 \geq 3 x13 ;

    这里得到了 L P 21 \rm LP21 LP21 分支下的两个 分支松弛问题 L P 211 \rm LP211 LP211 L P 212 \rm LP212 LP212 ;


    L P 211 \rm LP211 LP211 分支松弛问题中加入 x 1 ≤ 2 x_1 \leq 2 x12 条件后为 :

    m i n W = − x 1 − 5 x 2 s . t { x 1 − x 2 ≥ − 2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 x 1 ≤ 4 x 1 ≥ 2 x 1 ≤ 2 x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_1 \leq 2 \\\\ \rm x_2 \leq 3 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=x15x2s.tx1x225x1+6x230x14x12x12x23x1,x20

    求上述 L P 211 \rm LP211 LP211 分支的最优解 { x 1 = 2 x 2 = 3 \begin{cases} \rm x_1 = 2 \\\\ \rm x_2 = 3 \end{cases} x1=2x2=3 , 将上述最优解代入约束方程 ,

    得到整数规划最小值 m i n W = − x 1 − 5 x 2 = − 17 \rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 17 minW=x15x2=17

    L P 21 \rm LP21 LP21 分支的最优解是整数 , 而且比 L P 1 \rm LP1 LP1 分支的界 − 16 -16 16 要好 , 是当前最好的 界 ;

    因此这里将 界 更新为 − 17 -17 17 ;


    L P 212 \rm LP212 LP212 分支松弛问题中加入 x 1 ≥ 3 x_1 \geq 3 x13 条件后为 :

    m i n W = − x 1 − 5 x 2 s . t { x 1 − x 2 ≥ − 2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 x 1 ≤ 4 x 1 ≥ 2 x 1 ≥ 3 x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_1 \geq 3 \\\\ \rm x_2 \leq 3 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=x15x2s.tx1x225x1+6x230x14x12x13x23x1,x20

    求上述 L P 212 \rm LP212 LP212 分支的最优解 { x 1 = 3 x 2 = 2.5 \begin{cases} \rm x_1 =3 \\\\ \rm x_2 = 2.5 \end{cases} x1=3x2=2.5 , 将上述最优解代入约束方程 ,

    得到整数规划最小值 m i n W = − x 1 − 5 x 2 = − 15.5 \rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 15.5 minW=x15x2=15.5

    定界 : L P 212 \rm LP212 LP212 分支的最优解不是整数 , 其目标值 − 15.5 - 15.5 15.5 要比当前的界 − 17 -17 17 要差 , 因此该分支直接裁减掉 ;



    6、整数规划最优解


    该整数规划 I P \rm IP IP 的最优解 { x 1 = 2 x 2 = 3 \begin{cases} \rm x_1 = 2 \\\\ \rm x_2 = 3 \end{cases} x1=2x2=3 , 将上述最优解代入约束方程 ,

    得到整数规划最小值 m i n W = − x 1 − 5 x 2 = − 17 \rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 17 minW=x15x2=17


    分支记录如下 :

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 1. 线性规划问题(LP) 线性规划问题是要最小化或最大化一个受限于一组有限的线性约束的线性函数。 Matlab 中规定线性规划的标准形式为 第一个式子为目标函数,s.t. 式是约束条件。其中 c 和 x 为 n 维列向量,A、...

    1. 线性规划问题(LP)

    线性规划问题是要最小化或最大化一个受限于一组有限的线性约束的线性函数。

    • Matlab 中规定线性规划的标准形式为
      在这里插入图片描述

    第一个式子为目标函数,s.t. 式是约束条件。其中 c 和 x 为 n 维列向量,A、Aeq 为适当维数矩阵,b、beq 为适当维数列向量

    • 在 matlab 中,线性规划的函数为 linprog() ,有两种常用形式:
      • X = linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)
      • [X,FVAL]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)

    返回的值 X 是向量 x 的值,FVAL 是目标函数的值,LB 和 UB 分别是变量 x 的下界和上界, 是 x 的初始值。

    1.2 应用例子

    • 求下列线性规划问题:
      在这里插入图片描述

    依据 Matlab 的标准,默认求解是求最小值,而本例是求的最大值,把 z 的系数变为相反数,即 -1 就好了,同理下面的大于等于号也做同样处理,然后没有上界 UB,下界 LB 为三个变量都为 0,也就是一个全零的矩阵 zeros(3, 1)

    • 编写一个 .m 文件:
      在这里插入图片描述

    1.3 相关问题

    • 运输问题(产销平衡)
    • 指派问题(匈牙利算法)
    • 对偶理论与灵敏度分析
    • 投资的收益和风险

    2. 非线性规划问题(NLP)

    如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题。
    在这里插入图片描述

    2.2 非线性规划的基本解法

    • 罚函数法
    • 近似规划法
      近似规划法的基本思想;是将问题(3)中的目标函数f(x)和约束条件g(x);h(x)近似为线性函数,并对变量的取值范围加以限制。从而得到一个近似线性规划问题。再用单纯形法求解。把其符合原始条件的最优解作为(3)解的近似。
      每得到一个近似解后,都从这点出发,重复以上操作。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.3 相应问题

    • 无约束问题(一维搜索方法、二次插值法、无约束极值问题的解法)
    • 约束极值问题(二次规划、罚函数法)
    • 飞行管理问题

    3. 整数规划问题(IP)

    数学规划中的变量(全部或部分)限制为整数时,称为整数规划,例如,所求的解是机器的台数,人数,车辆船只数等等。

    • 整数规划的分类:
      • 纯整数规划:全部决策变量只能取整数的线性规划
      • 混合整数规划:决策变量中有一部分必须取整数,另一部分可以不取整数的线性规划
      • 0-1整数规划:决策变量只能取0,1的线性变化

    3.1 混合整数规划问题(MIP)

    • 混合整数线性规划是整数线性规划模型的一种。

    • 整数线性规划模型分类:

      • 若I={0,1},J={1,…,n},即全部的决策变量仅取0或1,称之为0-1规划;
      • 若J是{1,2…n}的非空真子集,即仅有部分决策变量要求取整数,称为混合整数线性规划;
      • 若J={1,2,…n},即全部的决策变量都取整数,称为纯整数线性规划;
    • 常用的整数规划问题解法有:

      • 分枝定界法:可求纯或混合整数线性规划
      • 割平面法:可求纯或混合整数线性规划
      • 隐枚举法:用于求解0-1整数规划,有过滤法和分枝法。
      • 匈牙利法:解决指派问题(0-1规划特殊情形)
      • 蒙特卡罗法:求解各种类型规划

    3.2 常用方法讲解

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4. 二次规划问题(Quadratic Programming)

    在这里插入图片描述

    5. 混合整数二次规划问题(MIQP)

    通过上面的定义我们不难看出混合整数二次规划问题本质就是一种混合整数规划问题的一种特例,其中他的目标函数为二次型,其约束条件满足混合整数规划问题。

    6.参考的博客文章

    展开全文
  • 线性规划 LP(Linear programming,线性规划)是一种优化方法,在优化问题中目标函数和约束函数均为向量变量的线性函数,LP问题可描述为:minf(x):待最小化的目标函数(如果问题本身不是最小化问题,则应做适当转换,...

    线性规划 LP(Linear programming,线性规划)是一种优化方法,在优化问题中目标函数和约束函数均为向量变量的线性函数,LP问题可描述为:

    minf(x):待最小化的目标函数(如果问题本身不是最小化问题,则应做适当转换,使其变为最小化问题,比如如果原始问题是最大化的话,目标函数 f = -f)

    A⋅x≤b:不等式约束

    Aeq⋅x=beq:等式约束

    lb≤x≤ub:取值范围约束(lb:lower bound,ub:upper bound)

    [x, fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

    2. 线性规划模型的三要素

    1)决策变量:需决策的量,即待求的未知数(x),

    2)目标函数:需优化的量,即欲达的目标,用决策变量的表达式表示(即目标函数是关于决策变量的函数 f(x))

    3)约束条件:为实现优化目标需受到的限制,用决策变量的等式(Aeq⋅x=beq)或者不等式表示(Ax≤b)

    3. 使用 matlab 求解实际问题

    b1ecf10159631725d83c8cd0ff4d5369.png

    一定要明确其中 A, b; Aeq, beq; lb, ub

    也即求解如下问题:

    max12x+15y,s.t.0.25x+0.5y≤1200.5x+0.5y≤1500.25x≤50x≥0,y≥0

    f = [-12, -15];

    A = [.25, .5; .5, .5; .25, 0]; b = [120; 150; 50];

    lb = [0; 0];

    [x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, []);

    yalmip + lpsolve + matlab 求解混合整数线性规划问题(MIP/MILP)

    最近建立了一个网络流模型,是一个混合整数线性规划问题(模型中既有连续变量,又有整型变量).当要求解此模型的时候,发现matlab优化工具箱竟没有自带的可以求解这类问题的算法(只有bintprog求解器 ...

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    一.线性规划问题 已知目标函数和约束条件均为线性函数,求目标函数的最小值(最优值)问题. 1.求解方式:用linprog函数求解 2.linprog函数使用形式: x=linprog(f,A,b)  ...

    线性规划问题的matlab求解

    函数:[x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, Beq, LB, UB) 返回的x:是一个向量——在取得目标函数最小时各个xi的取值: 返回的fval:目标函数的最小值: 参 ...

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    一.前端cshtml代码

    添加附件: @us ...
    展开全文
  • 一、运输规划涉及内容、 二、运输规划问题的数学模型、





    一、运输规划涉及内容



    运输规划涉及内容 :

    运输规划问题的数学模型 ;

    表上作业法 ;

    运输问题应用 ;





    二、运输规划问题的数学模型



    两个产地 A 1 \rm A_1 A1 , A 2 \rm A_2 A2 的物品运往 三个销售地 B 1 \rm B_1 B1 , B 2 \rm B_2 B2 , B 3 \rm B_3 B3 ,

    各地的 产量 , 销量 ,

    各个产地 运往 各个销售地 的每件物品的运费如下图所示 :

    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3产量
    A 1 \rm A_1 A1 6 6 6 4 4 4 6 6 6 200 200 200
    A 2 \rm A_2 A2 6 6 6 5 5 5 5 5 5 300 300 300
    销量 150 150 150 150 150 150 200 200 200

    A 1 , A 2 \rm A_1 , A_2 A1,A2 的产量之和是 500 500 500 ,

    B 1 , B 2 , B 3 \rm B_1 , B_2 , B_3 B1,B2,B3 的总的销量之和是 500 500 500 ,

    上述产量之和等于销量之和 , 是产销平衡的 ;

    不同的产地运往不同的销地 , 运费不同 , 如何合理安排运输 , 能使总运费最少 ;


    这里存在一个产销平衡问题 : 总产量 = 总销量 = 500 500 500 ;


    假设变量 :

    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3产量
    A 1 \rm A_1 A1 x 1 \rm x_1 x1 x 2 \rm x_2 x2 x 3 \rm x_3 x3 200 200 200
    A 2 \rm A_2 A2 x 4 \rm x_4 x4 x 5 \rm x_5 x5 x 6 \rm x_6 x6 300 300 300
    销量 150 150 150 150 150 150 200 200 200

    A 1 \rm A_1 A1 产地运往 B 1 \rm B_1 B1 产地的产品数量是 x 1 \rm x_1 x1 ,

    A 1 \rm A_1 A1 产地运往 B 2 \rm B_2 B2 产地的产品数量是 x 2 \rm x_2 x2 ,

    A 1 \rm A_1 A1 产地运往 B 3 \rm B_3 B3 产地的产品数量是 x 3 \rm x_3 x3 ,

    A 2 \rm A_2 A2 产地运往 B 1 \rm B_1 B1 产地的产品数量是 x 4 \rm x_4 x4 ,

    A 2 \rm A_2 A2 产地运往 B 2 \rm B_2 B2 产地的产品数量是 x 5 \rm x_5 x5 ,

    A 2 \rm A_2 A2 产地运往 B 3 \rm B_3 B3 产地的产品数量是 x 6 \rm x_6 x6 ;


    存在以下等式约束 :

    A 1 \rm A_1 A1 的产量 x 1 + x 2 + x 3 = 200 \rm x_1 + x_2 + x_3 = 200 x1+x2+x3=200 ;

    A 2 \rm A_2 A2 的产量 x 4 + x 5 + x 6 = 300 \rm x_4 + x_5 + x_6 = 300 x4+x5+x6=300 ;

    B 1 \rm B_1 B1 的销量 x 1 + x 4 = 150 \rm x_1 + x_4 = 150 x1+x4=150 ;

    B 2 \rm B_2 B2 的销量 x 2 + x 5 = 150 \rm x_2 + x_5= 150 x2+x5=150 ;

    B 3 \rm B_3 B3 的销量 x 3 + x 6 = 200 \rm x_3 + x_6= 200 x3+x6=200 ;


    变量约束 : 每个变量肯定大于等于 0 ;

    x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ≥ 0 \rm x_1, x_2, x_3 , x_4 , x_5 , x_6 \geq 0 x1,x2,x3,x4,x5,x60


    目标函数 : 目的是为了使运费最小 ;

    m i n W = 6 x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 + 6 x 4 + 5 x 5 + 5 x 6 \rm minW = 6x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 6x_4 + 5x_5 + 5x_6 minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6


    上述的目标函数与约束方程都是线性的 , 因此该规划是线性规划 ;


    最终的线性规划如下 :

    m i n W = 6 x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 + 6 x 4 + 5 x 5 + 5 x 6 s . t { x 1 + x 2 + x 3 = 200 x 4 + x 5 + x 6 = 300 x 1 + x 4 = 150 x 2 + x 5 = 150 x 3 + x 6 = 200 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm minW = 6x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 6x_4 + 5x_5 + 5x_6 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 + x_2 + x_3 = 200 \\\\ \rm x_4 + x_5 + x_6 = 300 \\\\ \rm x_1 + x_4 = 150 \\\\ \rm x_2 + x_5= 150 \\\\ \rm x_3 + x_6= 200 \\\\ \rm x_1, x_2, x_3 , x_4 , x_5 , x_6 \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6s.tx1+x2+x3=200x4+x5+x6=300x1+x4=150x2+x5=150x3+x6=200x1,x2,x3,x4,x5,x60


    使用单纯形法对上述规划求解即可得到最优解 ;

    单纯形法解线性规划最优解过程 :

    ① 基可行解 : 先找到一个 初始基可行解 ;

    ② 检验数 : 计算检验数 , 判定当前基可行解是否是 最优解 ;

    ③ 迭代 : 根据检验数确定 入基变量 , 根据入基变量系数计算 出基变量 , 然后进行 同解变换 , 生成新的单纯形表 , 继续计算检验数 ;


    首先确定基是多少 , 将上述线性规划 , 转为标准形 , 约束方程的系数矩阵 A m × n \rm A_{m \times n} Am×n m × n \rm m \times n m×n 矩阵 , n ≥ m \rm n \geq m nm , n \rm n n 是变量个数 , m \rm m m 是约束方程个数 ,

    假设 A m × n \rm A_{m \times n} Am×n 矩阵是行满秩的 , 即秩为 m \rm m m , 约束方程个数为 m \rm m m , 上述运输问题的约束方程个数是 5 5 5 个 ;


    上述运输问题的系数矩阵为 : 5 5 5 个约束方程对应的是 5 × 6 \rm 5 \times 6 5×6 矩阵 ;

    ( 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix} \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad \\\\ \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad \end{pmatrix} 111000000111100100010010001001


    运输问题约束方程的 系数矩阵都是由 0 0 0 1 1 1 组成 的 , 这种矩阵称为 稀疏矩阵 , 稀疏矩阵的计算要远远比正常的矩阵更简单 ;


    针对运输问题 , 存在一个简化版的单纯形法 ;


    简化版的单纯形法与单纯形法的框架基本类似 , 也需要按照 ① 初始基可行解 , ② 最优解判定 , ③ 迭代 , 步骤进行计算 ;


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