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  • 一、 特殊关系 、 二、 集合上的特殊关系 、 三、 整除关系 、 四、 大小关系 、





    一、 特殊关系



    特殊二元关系 :

    • 空关系
    • 恒等关系
    • 全域关系
    • 整除关系
    • 小于等于关系
    • 包含关系
    • 真包含关系




    二、 集合上的特殊关系



    集合 A A A 是任意集合 , 集合 A A A 中可以定义以下关系 :

    空关系 : ∅ \varnothing , 空关系中没有关系 ;

    恒等关系 : I A = { < x , x > ∣ x ∈ A } I_A = \{ <x, x> | x \in A \} IA={<x,x>xA}

    全域关系 : E A = A × A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A } E_A = A \times A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \} EA=A×A={<x,y>xAyA} , 任何两个元素之间都有关系 ;


    上述三种关系是最基本的关系 , 任意集合都能定义上述三种关系 ;

    全域关系最大的关系 , 其中包含所有可能的有序对 ;

    空关系最小的关系 , 其中没有任何有序对 ;

    恒等关系 有特殊意义 , 关系运算中不起到任何作用 ;





    三、 整除关系



    A ⊆ Z A \subseteq Z AZ , A A A 集合是整数集的子集 , 定义 A A A 集合上的整除关系 :

    D A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ∣ y } D_A = \{ <x, y> | x \in A \land y \in A \land x|y \} DA={<x,y>xAyAxy}

    其中的 x ∣ y x|y xy 中的 ∣ | 符号是整除的意思 , x x x 整除 y y y ;



    x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy

    y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy



    整除关系示例 :

    A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A = \{ 1, 2, 3, 4 \} A={1,2,3,4}

    D A = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 1 , 3 > , < 1 , 4 > , < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 3 , 3 > , < 4 , 4 > } D_A = \{ <1, 1> , <1, 2> , <1, 3> , <1, 4> , <2, 2> , <2, 4> , <3, 3> , <4,4> \} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}





    四、 大小关系



    A ⊆ R A \subseteq R AR , 集合 A A A 是实数集子集 , 在集合 A A A 上有以下二元关系 :


    大于关系 ( Great Than ) :

    G A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x > y } G_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x > y \} GA={<x,y>xAyAx>y}


    大于等于关系 ( Great Than Or Equal To ) :

    G E A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ≥ y } GE_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x \geq y \} GEA={<x,y>xAyAxy}


    小于关系 ( Less Than ) :

    L A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x < y } L_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x < y \} LA={<x,y>xAyAx<y}


    小于等于关系 ( Less Than Or Equal To ) :

    L E A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ≤ y } LE_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x \leq y \} LEA={<x,y>xAyAxy}



    如果 A A A 集合是有限集 , 则 A A A 上的关系是有限个 ;

    如果 A A A 集合是无限集 , 则 A A A 上的关系是无限个 ;

    展开全文
  • 一. 偏序关系 1. 偏序关系定义 ( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 ) ( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 ) 2. 偏序集定义 ...( 1 ) 偏序集定义 ...( 2 ) 整除关系









    一. 偏序关系




    1. 偏序关系定义



    ( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )


    偏序关系 定义 :

    • 1.前置条件 1 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothing A̸= , 并且 R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A ;

    • 2.前置条件 2 : 如果 R R R自反 , 反对称 , 传递的 ;

      • ① 自反 : 每个元素 自己 和 自己 都有关系 , x R x xRx xRx ;
      • ② 反对称 : 如果 x R y xRy xRy 并且 y R x yRx yRx x = y x=y x=y , x ̸ = y x \not=y x̸=y , x R y xRy xRy y R x yRx yRx 不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;
      • ③ 传递 : 如果 有 x R y xRy xRy , y R z yRz yRz , 那么必须有 x R z xRz xRz , 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;
    • 3.结论 : R R R A A A 上的偏序关系 ;

    • 4.表示 : 使用 ⪯ \preceq 表示偏序关系 ;

    • 5.读法 : ⪯ \preceq 读作 "小于等于" ;

    • 6.使用公式表示 :
      &lt; x , y &gt; ∈ R ⟺ x R y ⟺ x ⪯ y &lt;x, y&gt; \in R \Longleftrightarrow xRy \Longleftrightarrow x \preceq y <x,y>RxRyxy

    • 7.公式解读 : 如果 x x x , y y y 两个元素 构成 有序对 &lt; x , y &gt; &lt;x,y&gt; <x,y> , 并且在偏序关系 R R R , x x x y y y 具有 R R R 关系 , 也可以写成 x x x 小于等于 ( 偏序符号 ) y y y ;

    • 8.常见的偏序关系 : 树 上 的 小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 0 0 0 自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ;




    ( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )


    偏序关系 与 等价关系 :

    • 1.表示层次结构 : 偏序关系是非常常用的二元关系 , 通常用来 表示 层次结构 ;
    • 2.等价关系 : 等价关系 是 用来分类的 , 将一个 集合 分为 几个等价类 ;
    • 3.偏序关系 : 偏序关系 通常是 用来组织的 , 在每个类的内部 , 赋予其一个结构 , 特别是层次结构 , 有上下层级 ,




    2. 偏序集定义



    ( 1 ) 偏序集定义


    偏序集 定义 :

    • 1.前置条件 1 : ⪯ \preceq A A A 上的 偏序关系 ;
    • 2.结论 : &lt; A , ⪯ &gt; &lt;A , \preceq&gt; <A,> 是偏序集 ;
    • 3.解读 : 集合 A A A 与 偏序关系 ⪯ \preceq 构成的有序对 , 称为 偏序集 ;





    二. 偏序关系 示例




    1. 小于等于关系



    ( 1 ) 小于等于关系 说明


    偏序集示例 1 ( 小于等于关系 ≤ \leq 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , &lt; A , ≤ &gt; \varnothing \not= A \subseteq R , &lt;A , \leq &gt; ̸=AR,<A,>
    • 2.语言描述 : 如果 A A A 是 实数集 R R R 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing , 集合 A A A 中的 小于等于关系 , 是偏序关系 ;
    • 3.使用集合形式表示关系 : ≤ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≤ y } \leq = \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x \leq y \} ={<x,y>x,yAxy}



    ( 2 ) 小于等于关系 分析


    实数集 A A A 上的 小于等于关系 ( ≤ \leq ) 分析 :

    • 1.自反性质分析 : x x x 小于等于 x x x , x ≤ x x \leq x xx , 是成立的 , 小于等于关系 是 自反的 ;
    • 2.反对称性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 小于等于 关系 是 反对称的 ,
    • 3.传递性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 z z z , x x x 小于等于 z z z , 是成立的 , 因此 小于等于关系 是 传递的 ;
    • 4.总结 : 综上所述 , 小于等于 关系 是 偏序关系 ;




    2. 大于等于关系



    ( 1 ) 大于等于关系 说明


    偏序集示例 2 ( 大于等于关系 ≥ \geq 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , &lt; A , ≥ &gt; \varnothing \not= A \subseteq R , &lt;A , \geq &gt; ̸=AR,<A,>
    • 2.语言描述 : 如果 A A A 是 实数集 R R R 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing , 集合 A A A 中的 大于等于关系 ( ≥ \geq ) , 是偏序关系 ;
    • 3.使用集合形式表示关系 : ≥ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≥ y } \geq = \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x \geq y \} ={<x,y>x,yAxy}



    ( 2 ) 大于等于关系 分析


    实数集 A A A 上的 大于等于关系 ( ≥ \geq ) 分析 :

    • 1.自反性质分析 : x x x 大于等于 x x x , x ≥ x x \geq x xx , 是成立的 , 大于等于关系 是 自反的 ;
    • 2.反对称性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 大于等于 关系 是 反对称的 ,
    • 3.传递性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 z z z , x x x 大于等于 z z z , 是成立的 , 因此 大于等于关系 是 传递的 ;
    • 4.总结 : 综上所述 , 大于等于 关系 是 偏序关系 ;




    3. 整除关系



    ( 1 ) 整除关系 说明


    偏序集示例 3 ( 整除关系 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ Z + = { x ∣ x ∈ Z ∧ x &gt; 0 } &lt; A , ∣ &gt; \varnothing \not= A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x &gt; 0 \}&lt;A , | &gt; ̸=AZ+={xxZx>0}<A,>
    • 2.语言描述 : 如果 A A A 是 正整数集 Z + Z_+ Z+ 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing , 集合 A A A 中的 整除关系 ( ∣ | ) , 是偏序关系 ;
    • 3.使用集合形式表示关系 : ∣ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ∣ y } |= \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x | y \} ={<x,y>x,yAxy}
    • 4.整除关系 : x ∣ y x|y xy , x x x y y y 的因子 , 或 y y y x x x 的倍数 ;



    ( 2 ) 整除关系 分析


    正整数集 A A A 上的 整除关系 ( ∣ | ) 分析 :

    • 1.自反性质分析 : x x x 整除 x x x , x ∣ x x | x xx , 是成立的 , 整除关系 ( | ) 是 自反的 ;
    • 2.反对称性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 x x x , 两个正整数互相都能整除 , 它们只能相等 , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 整除 关系 是 反对称的 ,
    • 3.传递性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 z z z , x x x 整除 z z z , 是成立的 , 因此 整除关系 是 传递的 ;
    • 4.总结 : 综上所述 , 整除 关系 是 偏序关系 ;




    4. 包含关系



    ( 1 ) 包含关系 说明


    偏序集示例 4 ( 包含关系 ⊆ \subseteq 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : A ⊆ P ( A ) , ⊆ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ⊆ y } \mathscr{A} \subseteq P(A) , \subseteq = \{&lt;x , y&gt; | x , y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \} AP(A),={<x,y>x,yAxy}
    • 2.语言描述 : 集合 A A A 上的幂集合 P ( A ) P(A) P(A) , P ( A ) P(A) P(A) 的子集合 构成 集族 A \mathscr{A} A , 该集族 A \mathscr{A} A 上的包含关系 , 是偏序关系 ;



    ( 2 ) 包含关系 分析


    分析 集合的 子集族 之间的包含关系 :


    ① 假设一个比较简单的集合

    A = { a , b } A=\{a, b\} A={a,b}


    ② 分析 下面 A A A 的 3 个子集族 ;

    A 1 = { ∅ , { a } , { b } } \mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} \} A1={,{a},{b}}

    集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 包含 空集 ∅ \varnothing , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} ;

    A 2 = { { a } , { a , b } } \mathscr{A}_2 = \{ \{a\} , \{a, b\} \} A2={{a},{a,b}}

    集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 包含 单元集 { a } \{a\} {a} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ;

    A 3 = P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} , \{a, b\} \} A3=P(A)={,{a},{b},{a,b}}

    集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 包含 空集 ∅ \varnothing , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ; 这是 集合 A A A 的 幂集 ;


    ③ 列举出集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 上的包含关系 :

    ⊆ 1 = I A 1 ∪ { &lt; ∅ , { a } &gt; , &lt; ∅ , { b } &gt; } \subseteq_1 = I_{\mathscr{A}1} \cup \{ &lt;\varnothing , \{a\}&gt; , &lt;\varnothing , \{b\}&gt; \} 1=IA1{<,{a}>,<,{b}>}

    ⊆ 1 \subseteq_1 1 是集合 A 1 \mathscr{A}1 A1 上的偏序关系 ;

    即 分析 空集 ∅ \varnothing , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} 三个 集合之间的包含关系 :

    • 1.恒等关系 I A 1 I_{\mathscr{A}1} IA1 : &lt; { a } , { a } &gt; 和 &lt; { b } , { b } &gt; &lt;\{a\} , \{a\}&gt; 和 &lt;\{b\} , \{b\}&gt; <{a},{a}><{b},{b}> , 集合上的恒等关系 , 每个集合 肯定 自己包含自己 ;
    • 2. &lt; ∅ , { a } &gt; &lt;\varnothing , \{a\}&gt; <,{a}> : 空集 肯定 包含于 集合 { a } \{a\} {a} ;
    • 3. &lt; ∅ , { b } &gt; &lt;\varnothing , \{b\}&gt; <,{b}> : 空集 肯定 包含于 集合 { b } \{b\} {b} ;
    • 4.总结 : 这些包含关系 的性质分析 :
      • ① 自反 : 每个元素自己 包含 自己 , A ⊆ A A \subseteq A AA , 包含关系具有 自反性质 ;
      • ② 反对称 : 如果 集合 A ⊆ B A \subseteq B AB , B ⊆ A B \subseteq A BA , 那么 A = B A = B A=B , 显然 包含关系 具有反对称性质 ;
      • ③ 传递 : 如果 A ⊆ B A \subseteq B AB , 并且 A ⊆ C A \subseteq C AC , 那么有 A ⊆ C A \subseteq C AC , 包含关系 具有传递性质 ;

    ④ 列举出集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 上的包含关系 :

    ⊆ 2 = I A 2 ∪ { &lt; { a } , { a , b } &gt; \subseteq_2 = I_{\mathscr{A}2} \cup \{ &lt;\{a\} , \{a, b\}&gt; 2=IA2{<{a},{a,b}>

    ⊆ 2 \subseteq_2 2 是集合 A 2 \mathscr{A}2 A2 上的偏序关系 ;


    ⑤ 列举出集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的包含关系 :

    ⊆ 3 = I A 3 ∪ { &lt; ∅ , { a } &gt; , &lt; ∅ , { b } &gt; , &lt; ∅ , { a , b } &gt; , &lt; { a } , { a , b } &gt; , &lt; { b } , { a , b } &gt; } \subseteq_3 = I_{\mathscr{A}3} \cup \{ &lt;\varnothing , \{a\}&gt; , &lt;\varnothing , \{b\}&gt;, &lt;\varnothing , \{a, b\}&gt; , &lt;\{a\} , \{a, b\}&gt; , &lt;\{b\} , \{a, b\}&gt; \} 3=IA3{<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a,b}>,<{b},{a,b}>}

    ⊆ 3 \subseteq_3 3 是集合 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的偏序关系 ;




    5. 加细关系



    ( 1 ) 加细关系 说明


    偏序集示例 5 ( 加细关系 ⪯ 加 细 \preceq_{加细} 是 偏序关系 ) :

    • 1.加细关系描述 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothing A̸= , π \pi π 是 由 A A A 的 一些划分 组成的集合 ;

    ⪯ 加 细 = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preceq_{加细} = \{&lt;x , y&gt; | x , y \in \pi \land x 是 y 的 加细\} ={<x,y>x,yπxy}

    • 2.划分 : 划分 是 一个 集族 ( 集合的集合 ) , 其元素是集合 又叫 划分快 , 其中 每个元素(集族中的元素)集合 中的 元素 是 非空集合 A A A 的元素 ;
      • ① 该集族不包含空集 ;
      • ② 该集族中任意两个集合都不想交 ;
      • ③ 该集族中 所有 元素 取并集 , 得到 集合 A A A ;



    ( 2 ) 加细关系 分析


    分析 集合的 划分之间 的 加细 关系 :

    ① 集合 A = { a , b , c } A = \{a, b, c\} A={a,b,c} , 下面的 划分 和 加细 都基于 该 集合 进行分析 ;


    ② 下面 列出集合 A A A 的 5 个划分 :

    划分 1 : 对应 1 个等价关系 , 分成 1 类 ;
    A 1 = { { a , b , c } } \mathscr{A}_1 =\{ \{ a, b, c \} \} A1={{a,b,c}}

    划分 2 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
    A 2 = { { a } , { b , c } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b, c \} \} A2={{a},{b,c}}

    划分 3 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
    A 3 = { { b } , { a , c } } \mathscr{A}_3 = \{ \{ b \} , \{ a, c \} \} A3={{b},{a,c}}

    划分 4 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
    A 4 = { { c } , { a , b } } \mathscr{A}_4 = \{ \{ c \} , \{ a, b \}\} A4={{c},{a,b}}

    划分 5 : 对应 3 个等价关系 , 分成 3 类 ; 每个元素自己自成一类
    A 5 = { { a } , { b } , { c } } \mathscr{A}_5 = \{ \{ a \} , \{ b \}, \{ c \} \} A5={{a},{b},{c}}

    ③ 下面 列出要分析的几个由划分组成的集合 :

    集合 1 :
    π 1 = { A 1 , A 2 } \pi_1 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2 \} π1={A1,A2}

    集合 2 :
    π 2 = { A 2 , A 3 } \pi_2 = \{ \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3 \} π2={A2,A3}

    集合 3 :
    π 3 = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } \pi_3 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3, \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \} π3={A1,A2,A3,A4,A5}

    ④ 集合 π 1 \pi_1 π1 上的加细关系分析 :

    • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 1 I_{\pi 1} Iπ1 , &lt; A 1 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1&gt; <A1,A1> , &lt; A 2 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2&gt; <A2,A2> ;
    • 2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 划分中的 每个划分块 , 都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分 中块 的某个划分块的子集合 , 因此有 A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 记做 &lt; A 2 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1&gt; <A2,A1> ;
    • 3.加细的定义 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 A 2 \mathscr{A}_2 A2 都是集合 A A A 的划分, A 2 \mathscr{A}_2 A2 中的 每个划分块 , 都含于 A 1 \mathscr{A}_1 A1 中的某个划分块中 , 则称 A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 ;

    - 4.加细关系列举 :
    ⪯ 1 = I π 1 ∪ { &lt; A 2 , A 1 &gt; } \preceq_1 = I_{\pi 1} \cup \{ &lt;\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1&gt; \} 1=Iπ1{<A2,A1>}


    ⑤ 集合 π 2 \pi_2 π2 上的加细关系分析 :

    • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 2 I_{\pi 2} Iπ2 , &lt; A 3 , A 3 &gt; &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3&gt; <A3,A3> , &lt; A 2 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2&gt; <A2,A2> ;
    • 2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 3 \mathscr{A}_3 A3 这两个划分互相不是加细 , 因此 该集合中没有其它加细关系 ;

    - 4.加细关系列举 :
    ⪯ 2 = I π 2 \preceq_2 = I_{\pi 2} 2=Iπ2


    ⑥ 集合 π 3 \pi_3 π3 上的加细关系分析 :

    • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 3 I_{\pi 3} Iπ3 , &lt; A 1 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1&gt; <A1,A1> , &lt; A 2 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2&gt; <A2,A2>, &lt; A 3 , A 3 &gt; &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3&gt; <A3,A3>, &lt; A 4 , A 4 &gt; &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_4&gt; <A4,A4>, &lt; A 5 , A 5 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_5&gt; <A5,A5> ;
    • 2.其它加细关系 :
      • ① 与 A 5 \mathscr{A}_5 A5 划分相关的加细 : A 5 \mathscr{A}_5 A5 是划分最细的 等价关系 , A 5 \mathscr{A}_5 A5 是其它所有 划分 的加细 , 因此有 &lt; A 5 , A 4 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4&gt; <A5,A4> , &lt; A 5 , A 3 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3&gt; <A5,A3> , &lt; A 5 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2&gt; <A5,A2> , &lt; A 5 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; <A5,A1> ;
      • ② 与 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分相关的加细 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 是划分最粗的 等价关系 , 所有的划分 都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 因此有 &lt; A 5 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; <A5,A1> , &lt; A 4 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1&gt; <A4,A1> , &lt; A 3 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1&gt; <A3,A1> , &lt; A 2 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1&gt; <A2,A1> ;
    • 4.加细关系列举 :

    ⪯ 3 = I π 3 ∪ { &lt; A 5 , A 4 &gt; , &lt; A 5 , A 3 &gt; , &lt; A 5 , A 2 &gt; , &lt; A 5 , A 1 &gt; , &lt; A 4 , A 1 &gt; , &lt; A 3 , A 1 &gt; , &lt; A 2 , A 1 &gt; } \preceq_3 = I_{\pi 3} \cup \{ &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; , &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1&gt;, &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1&gt;, &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1&gt; \} 3=Iπ3{<A5,A4>,<A5,A3>,<A5,A2>,<A5,A1>,<A4,A1>,<A3,A1>,<A2,A1>}


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  • 一、哈斯图示例 ( 整除关系 ) 、 二、哈斯图示例 ( 包含关系 ) 、 三、哈斯图示例 ( 加细关系 ) 、





    一、哈斯图示例 ( 整除关系 )



    集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

    集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ” 是偏序关系 ,

    偏序集是 < A , ∣ > <A, |> <A,>

    x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy
    y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy


    绘制上述偏序集的哈斯图 :

    在这里插入图片描述


    1 1 1 是最小的 , 1 1 1 能整除所有的数 ;

    1 1 1 上面的一层是素数 , 素数只能被 1 1 1 和其本身整除 ; 素数肯定是覆盖 1 1 1 的 ; 即素数与 1 1 1 之间没有元素 ;


    素数之上的数 , 由素数相乘的数组成 ;

    6 6 6 既可以整除 2 2 2 , 又可以整除 3 3 3 , 因此其既覆盖 2 2 2 , 又覆盖 3 3 3 ;

    10 10 10 既可以整除 2 2 2 , 又可以整除 5 5 5 , 因此其既覆盖 2 2 2 , 又覆盖 5 5 5 ;

    15 15 15 既可以整除 3 3 3 , 又可以整除 5 5 5 , 因此其既覆盖 3 3 3 , 又覆盖 5 5 5 ;

    4 4 4 可以整除 2 2 2 , 因此 4 4 4 覆盖 2 2 2 ;

    9 9 9 可以整除 3 3 3 , 因此 9 9 9 覆盖 3 3 3 ;





    二、哈斯图示例 ( 包含关系 )



    集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \} A={a,b,c} ,

    集族 A \mathscr{A} A 包含于 A A A 集合的幂集 , A ⊆ P ( A ) \mathscr{A} \subseteq P(A) AP(A) ,

    集族 A = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { b , c } , { a , c } } \mathscr{A} = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a , b \} , \{ b,c \} , \{ a, c \} \} A={,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}}

    集族 A \mathscr{A} A 上的 包含关系 “ ⊆ \subseteq ” 是偏序关系 ,

    偏序集是 < A , ⊆ > <\mathscr{A} , \subseteq > <A,>

    在这里插入图片描述

    空集 包含于 所有集合 , 是最小的 , 在哈斯图最下面 ;

    空集 之上是单元集 , 单元集 覆盖 空集 , 它们之间并不会有第三个元素 ;

    三个单元集之间相互没有包含关系 , 是不可比的 ;

    单元集 之上是 双元集 , 每个 双元集 之下就是其包含的对应的单元集 ;





    三、哈斯图示例 ( 加细关系 )



    加细关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集族 ;


    集合 A A A 非空 , π \pi π A A A 集合划分组成的集合 , 每个划分都是一个集族 ;

    划分参考 : 【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )

    集族之间有一种关系 , 加细关系 , 使用符号 ≼ 加 细 \preccurlyeq_{加细} 表示 ;

    加细关系 ≼ 加 细 \preccurlyeq_{加细} 符号化表示 :

    ≼ 加 细 = { < x , y > ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preccurlyeq_{加细} = \{ <x, y> | x, y \in \pi \land x 是 y 的加细 \} ={<x,y>x,yπxy}


    前提 :

    • 集合 A = { a , b , c , d } A = \{ a, b , c , d \} A={a,b,c,d}

    • 集族 A 1 = { { a } , { b } , { c } , { d } } \mathscr{A}_1= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ d \} \} A1={{a},{b},{c},{d}}

    • 集族 A 2 = { { a , b } , { c , d } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a , b \} , \{ c , d \} \} A2={{a,b},{c,d}}

    • 集族 A 3 = { { a , c } , { b , d } } \mathscr{A}_3= \{ \{ a,c \} , \{ b,d\} \} A3={{a,c},{b,d}}

    • 集族 A 4 = { { a } , { b , c , d } } \mathscr{A}_4= \{ \{ a \} , \{ b, c , d \} \} A4={{a},{b,c,d}}

    • 集族 A 5 = { { a } , { b } , { c , d } } \mathscr{A}_5= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c , d \} \} A5={{a},{b},{c,d}}

    • 集族 A 6 = { { a , b , c , d } } \mathscr{A}_6 = \{ \{ a , b , c , d\} \} A6={{a,b,c,d}}

    上述集族都是 A A A 集合的划分 ;


    划分关系的哈斯图 :

    在这里插入图片描述

    A 1 \mathscr{A}_1 A1 是所有划分的加细 , 是最细的划分 , 在哈斯图最下面 ;

    所有的划分都是 A 6 \mathscr{A}_6 A6 的加细 , 是最粗粒度的划分, 在哈斯图最上面 ;

    A 5 \mathscr{A}_5 A5 既是 A 2 \mathscr{A}_2 A2 的加细 , 又是 A 4 \mathscr{A}_4 A4 的加细 ;

    A 3 \mathscr{A}_3 A3 A 4 \mathscr{A}_4 A4 互相不是对方的加细 , 不可比 ;

    A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 4 \mathscr{A}_4 A4 互相不是对方的加细 , 不可比 ;

    A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 3 \mathscr{A}_3 A3 互相不是对方的加细 , 不可比 ;

    A 3 \mathscr{A}_3 A3 A 5 \mathscr{A}_5 A5 互相不是对方的加细 , 不可比 ;

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  • 首先输入一个正整数,然后调用calFactor函数计算因子并得到元素个数,接着调用calCover函数计算盖住关系,最后调用judge函数判断是否为有补格。 #include<iostream> using namespace std; int factor[50]; //...

    实验原理

    首先输入一个正整数,然后调用calFactor函数计算因子并得到元素个数,接着调用calCover函数计算盖住关系,最后调用judge函数判断是否为有补格。

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int factor[50];   //用来存放因子
    int matrix[50][50];  //用来存放关系矩阵以及盖住关系
    int calFactor(int n);  //用来计算因子
    void calCover(int cnt); //用来计算盖住关系
    void judge(int cnt);  //用来判断是否为有补格
    int gcd(int a, int b);   //用来计算最大公约数
    int main()
    {
    	int n,cnt;
    	cout << "请输入一个正整数:";
    	cin >> n;
    	cnt = calFactor(n);
    	calCover(cnt);
    	judge(cnt);
    	return 0;
    
    }
    int calFactor(int n)
    {
    	int cnt = 0;
    	cout <<"它的因子为:";
    	for (int i = 1; i <= n / 2; i++)
    	{
    		if (n % i == 0)
    		{
    			factor[cnt++] = i;
    			cout << i << ",";
    		}
    	}
    	factor[cnt++] = n;
    	cout << n << endl;
    	return cnt;
    }
    
    void calCover(int cnt)
    {
    	for (int i = 0; i < cnt; i++)	//计算关系矩阵
    	{
    		for (int j = 0; j < cnt; j++)
    		{
    			if (factor[j] % factor[i] == 0)
    			{
    				matrix[i][j] = 1;
    			}
    		}
    	}
    	for (int i = 0; i < cnt; i++)		//计算盖住关系
    	{
    		for (int j = 0; j < cnt; j++)
    		{
    			for (int k = 0; k < cnt; k++)
    			{
    				if (i != j && j != k && i!=k)
    				{
    					if (matrix[i][k] && matrix[k][j])
    						matrix[i][j] = 0;
    				}
    			}
    		}
    	}
    	for (int i = 0; i < cnt; i++)	
    	{
    		matrix[i][i] = 0;
    	}
    	cout << "盖住关系为:{";		//输出盖住关系
    	for (int i = 0; i < cnt; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < cnt; j++)
    		{
    			if (matrix[i][j])
    				cout << "<" << factor[i] << "," << factor[j] << "> ";
    		}
    	}
    	cout << "}" << endl;
    }
    int gcd(int a, int b)	//求最大公约数   
    {
    	int r = 1;
    	while (r != 0)
    	{
    		r = a % b;
    		a = b;
    		b = r;
    	}
    	return a;
    }
    
    void judge(int cnt)
    {
    	int flag;
    	for (int i = 0; i < cnt; i++)
    	{
    		flag = 0;
    		for (int j = 0; j < cnt; j++)		
    		{
    			if (i != j)
    			{
    				int g = gcd(factor[i], factor[j]);
    				int l = factor[i] * factor[j] / g;
    				if (g == factor[0] && l == factor[cnt-1])
    				{
    					flag = 1;
    					break;
    				}
    			}
    		}
    		if (!flag)		//只要有一个元素没有补元就不是有补格
    		{
    			cout << "该格不是有补格。";
    			return;
    		}
    	}
    	cout << "该格是有补格。";
    }
    

    整除关系中,任意两个元素的最大下界就是它们的最大公约数,最小上界就是它们的最小公倍数。

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