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  • 三、特征选择(filter):线性相关性的F检验
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    2022-04-21 22:04:40

    一、F检验的基本思路

      从理论上来说,F计算量的分子和分母都是服从卡方分布的, F = S S B / ( k − 1 ) S S E / ( n − k ) F=\frac{SSB/(k-1)}{SSE/(n-k)} F=SSE/(nk)SSB/(k1)中,分子是服从自由度为n-k的卡方分布,而分母是服从自由度为n-k的卡方分布,且能够证明二者相互独立。也就是说,统计检验量F是借助卡方分布构建的,更进一步来说,只要是相互独立的、服从卡方分母的随机变量,相除构成的随机变量都是服从F分布的。而F统计量的标准表达公式如下: F = X 1 / d 1 X 2 / d 2 F=\frac{X_1/d_1}{X_2/d_2} F=X2/d2X1/d1其中 X 1 X_1 X1 X 2 X_2 X2相互独立且服从自由度为 d 1 d_1 d1 d 2 d_2 d2的卡方分布,此时随机变量F服从自由度为( d 1 , d 2 d_1,d_2 d1,d2)的F分布。

      f_classif和chi2检验能够很好的解决分类问题的特征筛选。而如果是回归问题,sklearn提供了一种基于F检验的线性相关性检验方法f_regression,该检验方法并不常见。

    f_regression构建了一个如下形式的F统计量:

    F = r x y 2 1 − r x y 2 ∗ ( n − 2 ) F = \frac{r^2_{xy}}{1-r^2_{xy}} * (n-2) F=1rxy2rxy2(n2)

    其中 r x y r_{xy} rxy为两个连续变量的相关系数,并且满足自由度为(1,n-2)的F分布。该计算过程并不复杂,并且统计量F和 r x y 2 r_{xy}^2 rxy2变化方向一致,即与相关系数绝对值的变化保持一致,本质上和相关系数一样,也是衡量了两个变量之间的相关性,并且是一种线性相关关系,并且数值越大、线性相关关系越强,反之则越弱。这些都不难理解,但问题是为什么 r x y 2 1 − r x y 2 ∗ ( n − 2 ) \frac{r^2_{xy}}{1-r^2_{xy}} * (n-2) 1rxy2rxy2(n2)会服从F分布呢?这里我们需要先回顾下 r x y r_{xy} rxy的计算公式,相关系数的计算公式是用xy的协方差除以x的标准差和y的标准差之积:

    r x y = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 r_{xy} = \frac{\sum^n_{i=1} (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}} rxy=i=1n(xixˉ)2 i=1n(yiyˉ)2 i=1n(xixˉ)(yiyˉ)

      相关系数的另一种解释方法是相互解释的变异占变异的比例。同离散变量的方差分析类似,定义总变差(Total variation)为SST:

    S S T = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 SST = \sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2 SST=i=1n(xixˉ)2i=1n(yiyˉ)2

    而已经解释的变差(Explained variation)为SSR:

    S S R = ( ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ) 2 SSR=(\sum_{i=1}^n ( x_i-\bar x)(y_i-\bar y))^2 SSR=(i=1n(xixˉ)(yiyˉ))2

    则有:

    r x y 2 = S S R S S T r_{xy}^2=\frac{SSR}{SST} rxy2=SSTSSR

    类似的,未解释的变差部分我们也可以用SSE来进行表示,即SSE=SST-SSR。

      这里需要注意,如果这里不是x和y,而是y的预测值和y的真实值,则决定系数 R 2 = S S R S S T R^2=\frac{SSR}{SST} R2=SSTSSR。这也是为何经常会说决定系数实际上就是相关系数的平方的结论。此时我们再看 r x y 2 1 − r x y 2 \frac{r^2_{xy}}{1-r^2_{xy}} 1rxy2rxy2所代表的含义,就非常清楚了:

    r x y 2 1 − r x y 2 = S S R / S S T 1 − S S R / S S T = S S R S S E \frac{r^2_{xy}}{1-r^2_{xy}}=\frac{SSR/SST}{1-SSR/SST}=\frac{SSR}{SSE} 1rxy2rxy2=1SSR/SSTSSR/SST=SSESSR

    已解释的变差和未解释的变差比例,而(n-2)实际上就是自由度,即:

    F = r x y 2 1 − r x y 2 ∗ ( n − 2 ) = S S R / 1 S S E / ( n − 2 ) F = \frac{r^2_{xy}}{1-r^2_{xy}} * (n-2)=\frac{SSR/1}{SSE/(n-2)} F=1rxy2rxy2(n2)=SSE/(n2)SSR/1

    相当于是对统计量的修正,而最终 r x y 2 1 − r x y 2 ∗ ( n − 2 ) ∼ F ( 1 , n − 2 ) \frac{r^2_{xy}}{1-r^2_{xy}} * (n-2)\sim F(1, n-2) 1rxy2rxy2(n2)F(1,n2)

      一旦找到了检验统计变量,我们就可以推断当前事件发生的概率,进而有理有据的接受或者拒绝零假设。而这里的基于相关系数的检验,零假设是二者不存在线性相关关系。由于最终的检验统计变量仍然是服从F分布的,因此我们称其为线性相关性的F检验。

      并且,此时假设检验中零假设与备择假设如下:

    H 0 : 两 个 连 续 变 量 间 不 存 在 线 性 相 关 关 系 H_0:两个连续变量间不存在线性相关关系 H0:线
    H 0 : 两 个 连 续 变 量 间 存 在 线 性 相 关 关 系 H_0:两个连续变量间存在线性相关关系 H0:线

    该方法的缺点是只能检测线性相关关系,但不相关不代表独立,可能是非线性相关关系。

    二、python实现F检验线性相关

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import random
    # 构建数据
    random.seed(6)
    
    df = pd.DataFrame({'Y':[random.uniform(1,200) for _ in range(1381)],'X':[random.uniform(1,200) for _ in range(1381)]})
    
    # 自实现线性相关F检验
    
    # 统计总体偏差平方和
    X_mean = df['X'].mean()
    Y_mean = df['Y'].mean()
    SST = np.power(df['Y'] - Y_mean, 2).sum() + np.power(df['X'] - X_mean, 2).sum()
    
    # 已经解释的变差(Explained variation)为SSR
    
    SSR = np.power(((df['Y'] - Y_mean)*(df['X'] - X_mean)).sum(), 2)
    
    # 构建F统计检验量,即满足F(1, n-2)的概率分布
    n = df.shape[0]
    SSE = SST - SSR
    
    MSR = SSR/(1)
    MSE = SSE/(n-2)
    
    F_score = MSR/MSE
    
    F_score
    
    
    # 借助sklean进行基于线性相关F检验
    
    from sklearn.feature_selection import SelectKBest
    KB = SelectKBest(f_regression, k=10)
    
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    其通常是用来分析用了超过一个参数的统计模型,以判断该模型中的全部或一部分参数是否适合用来估计母体。

    方差分析

    在研究一个(或多个)分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时,方差分析就是其中主要方法之一。
    如果在数据分析过程中,遇到的分类变量有多个,且每一分类变量对应的因变量的值形成的多个总体分布都服从于正态分布,并且各个总体的方差相等,那么比较各个总体均值是否一致的问题可以用方差分析来解决。
    表面上看,方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计分析方法,但本质上它所研究的是分类型自变量对数值型因变量的影响。
    方差分析就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响

    每次抽样为一个试验,所要检验的对象称为因素或因子,因素的不同表现称为水平或处理;
    将在试验中回改变状态的因素称为因子,常用大写字母表示
    因子所处的状态称为因子的水平,常用因子的字母加下标来表示
    试验中所考察的指标,它是一个随机变量

    如果一个试验中所考察的因子只有一个,那么这是单因子试验的问题
    假定因子 A A A r r r各水平,在每个水平下指标的全体都构成一个总体,因此共有 r r r个总体。
    假定第 i i i个总体服从均值为 μ i \mu_i μi,方差为 σ 2 \sigma^2 σ2的正态分布,从该总体获得一个样本量为 m m m的样本 y i 1 , y i 2 , ⋯   , y i m y_{i1},y_{i2},\cdots,y_{im} yi1,yi2,,yim,其观测值便是我们观测到的数据 i = 1 , 2 , ⋯   , r i=1,2,\cdots,r i=1,2,,r,最后假定各样本是相互独立的
    单因素方差分析主要是要检验如下假设:
    H 0 : u 1 = u 2 = ⋯ = u r H_0:u_1=u_2=\cdots=u_r H0:u1=u2==ur
    H 1 : u 1 , u 2 , ⋯   , u r H_1:u_1,u_2,\cdots,u_r H1:u1,u2,,ur不全相等

    H 0 H_0 H0不真时,表示不同水平下的指标的均值有显著差异,此时称因子 A A A是显著的,否则称因子 A A A不显著

    方差分析是在相同方差假定的下检验多个正态均值是否相等的一种统计分析方法

    在方差分析中,需要考察数据误差的来源
    SST称为总离差平方和,或简称总平方和,它反映了全部试验数据之间的差异
    SSM组间离差平方和,简称组间平方和,或称因素 A A A平方和
    SSE组内离差平方和,反映了组内数据和组内平均的随机误差
    S S T = S S M + S S E SST=SSM+SSE SST=SSM+SSE

    在方差分析中,数据的总误差可以分解为组内误差和组间误差,如果因素的不同水平对因变量没有影响,那么在组间误差中只包含随机误差,而没有系统误差。这时组间误差与组内误差经过平均后的数据就应该接近于1,反之,如果因素不同水平对因变量有影响,那么组间误差除了包含随机误差外,还包含系统误差,这时组间误差平均后的数据就会大于组内误差平均后的数值,它们之间的数值就会大于1。当这个比值大到某种程度时,就认为因素的不同水平之间存在着显著差异,也就是自变量对因变量有显著影响。

    双样本方差

    设样本 x 1 , x 2 , ⋯   , x n 1 x_1,x_2,\cdots,x_{n_1} x1,x2,,xn1来自正态总体 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma_1^2) N(μ1,σ12) y 1 , y 2 , ⋯   , y n 2 y_1,y_2,\cdots,y_{n_2} y1,y2,,yn2来自正态总体 N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma_2^2) N(μ2,σ22),则此时关于双样本方差检验为:
    F = s 1 2 s 2 2 F=\frac{s_1^2}{s_2^2} F=s22s12
    σ 1 2 = σ 2 2 \sigma_1^2=\sigma_2^2 σ12=σ22时,服从 F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F(n_1-1,n_2-1) F(n11,n21)

    方差分析(ANOVA)又称“变异数分析”或“F检验”,用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验

    方差分析的目的是判断差异是不可控的随机因素,还是可控因素。

    方差分析的基本思想是:通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小,从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

    原理
    方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个:
    (1) 实验条件,即不同的处理造成的差异,称为组间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和的总和表示,记作SSb,组间自由度dfb。
    (2) 随机误差,如测量误差造成的差异或个体间的差异,称为组内差异,用变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平方和的总和表示, 记作SSw,组内自由度dfw。
    总偏差平方和 SSt = SSb + SSw。
    组内SSw、组间SSb除以各自的自由度(组内dfw =n-m,组间dfb=m-1,其中n为样本总数,m为组数),得到其均方MSw和MSb,一种情况是处理没有作用,即各组样本均来自同一总体,MSb/MSw≈1。另一种情况是处理确实有作用,组间均方是由于误差与不同处理共同导致的结果,即各样本来自不同总体。那么,MSb>>MSw(远远大于)。
    MSb/MSw比值构成F分布。用F值与其临界值比较,推断各样本是否来自相同的总体 。

    单因素方差分析

    x ‾ ‾ = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n i x i j ∑ i = 1 k n = ∑ i = 1 k n i x ‾ i ∑ i = 1 k n \displaystyle \overline {\overline x} =\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}x_{ij}}{\sum_{i=1}^kn} = \frac{\sum_{i=1}^kn_i \overline x_i}{\sum_{i=1}^kn} x=i=1kni=1kj=1nixij=i=1kni=1knixi
    总平方和反应全部观察值的离散状况SST
    S S T = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n i ( x i j − x ‾ ‾ ) 2 SST=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\overline {\overline x})^2 SST=i=1kj=1ni(xijx)2
    组间平方和反映各总体的样本均值之间的差异程度SSA
    S S A = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n i ( x ‾ i − x ‾ ‾ ) 2 \displaystyle SSA=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}(\overline x_i-\overline {\overline x})^2 SSA=i=1kj=1ni(xix)2
    M S A = S S A k − 1 MSA=\frac{SSA}{k-1} MSA=k1SSA
    组内平方和反映每个样本各观察者的离散状况SSE
    S S E = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n i ( ( x i j − x ‾ i ) 2 SSE=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}((x_{ij}-\overline x_i)^2 SSE=i=1kj=1ni((xijxi)2
    M S E = S S E n − k MSE=\frac{SSE}{n-k} MSE=nkSSE

    F = M S A M S E ~ F ( k − 1 , n − k ) F=\frac{MSA}{MSE} \text{\textasciitilde} F(k-1,n-k) F=MSEMSA~F(k1,nk)

    F分布
    X ~ χ 2 ( n 1 ) , Y ~ χ 2 ( n 2 ) X \text{\textasciitilde} \chi^2(n_1),Y \text{\textasciitilde} \chi^2(n_2) X~χ2(n1),Y~χ2(n2), 且 X X X Y Y Y相互独立,则随机变量
    F = X / n 1 Y / n 2 F=\frac{X/n_1}{Y/n_2} F=Y/n2X/n1
    所服从的分布称为自由度为 ( n 1 , n 2 ) (n_1,n_2) (n1,n2)的F分布,记作 F ~ F ( n 1 , n 2 ) F \text{\textasciitilde} F(n_1,n_2) F~F(n1,n2)

    χ 2 \chi ^2 χ2分布,设独立随机变量 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1,X2,,Xn均服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),则随机变量 χ 2 = ∑ i = 1 n χ i 2 \displaystyle \chi ^2 =\sum_{i=1}^n{\chi_i}^2 χ2=i=1nχi2的分布称为服从自由度为 n n n χ 2 \chi^2 χ2分布,记作 χ 2 ~ χ 2 ( n ) \chi^2 \text{\textasciitilde} \chi^2(n) χ2~χ2(n)分布

    SST 总平方和反映全部观察值的离散状况
    SSA 组间平方和反映各总体的样本均值之间的差异程度
    SSE 组内平方和反映每个样本各观察值的离散状况
    MSA 组间均方
    MSE 组内均方
    F = M S A / k − 1 M S E / n − k F=\frac{MSA/k-1}{MSE/n-k} F=MSE/nkMSA/k1

    检验统计量

    根据中心极限定理,样本均值 x ‾ \overline x x服从正态分布, x ‾ ~ N ( u , σ 2 n ) \overline x \text{\textasciitilde} N(u,\frac{\sigma^2}{n}) x~N(u,nσ2)
    x ‾ − u σ 2 n ~ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline x - u}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \text{\textasciitilde} N(0,1) nσ2 xu~N(0,1)

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  • python f检验

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  • f检验

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    然后计算的F值与查表得到的F表值比较,如果

    F < F表 表明两组数据没有显著差异;

    F ≥ F表 表明两组数据存在显著差异。

     

     

    通常的F检验例子包括:

    • 假设一系列服从正态分布的母体,都有相同的标准差。这是最典型的F检验,该检验在方差分析(ANOVA)中也非常重要。

    • 假设一个回归模型很好地符合其数据集要求。

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空空如也

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