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  • >>X=[1,2,9] >>mean(X)=4 >>median(X)=2 2、方差 數學定義: 均方差: Matlab 函數:var 要注意的是var函數所采用公式中,分母不是 ,而是 。這是因為var函數實際上求的並不是方差,而是誤差理論中“有限次測量...

    1、均值

    數學定義: 9063b2d5efbf9c7b63123249ebb7bcec.gif

    Matlab函數:mean

    >>X=[1,2,3]

    >>mean(X)=2

    如果X是一個矩陣,則其均值是一個向量組。mean(X,1)為列向量的均值,mean(X,2)為行向量的均值。

    >>X=[1 2 3

    4 5 6]

    >>mean(X,1)=[2.5, 3.5, 4.5]

    >>mean(X,2)=[2

    5]

    若要求整個矩陣的均值,則為mean(mean(X))。

    >>mean(mean(X))=3.5

    也可使用mean2函數:

    >>mean2(X)=3.5

    median,求一組數據的中值,用法與mean相同。

    >>X=[1,2,9]

    >>mean(X)=4

    >>median(X)=2

    2、方差

    數學定義:cd39d3b5a84c75422f3e644793d4eba6.gif

    均方差:

    Matlab 函數:var

    要注意的是var函數所采用公式中,分母不是 ,而是 。這是因為var函數實際上求的並不是方差,而是誤差理論中“有限次測量數據的標准偏差的估計值”。

    >>X=[1,2,3,4]

    >>var(X)=1.6667

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/length(X)=1.2500

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/(length(X)-1)=1.6667

    var沒有求矩陣的方差功能,可使用std先求均方差,再平方得到方差。

    std,均方差,std(X,0,1)求列向量方差,std(X,0,2)求行向量方差。

    >>X=[1 2

    3 4]

    >>std(X,0,1)=1.4142 1.4142

    >>std(X,0,2)=0.7071

    0.7071

    若要求整個矩陣所有元素的均方差,則要使用std2函數:

    >>std2(X)=1.2910

    4、協方差矩陣

    A=[61.45,55.9,61.95,59,58.14,53.61,55.48,54.21,61.52,54.92];

    B=[40.36,39.8,49.2,48,51.5,49.39,51.13,58.06,61,62.35];

    C=[8.61,8.91,10.43,13.32,13.48,15.75,18.14,19.95,21.95,23.53];

    D=[14.31,14.72,15.28,15.91,14.67,15,15.86,15.16,13.72,12.94];

    E=[7.67,7.75,8.15,9.24,10.68,10.58,10.31,10,8.91,8.51];

    >> q=[A',B',C',D',E'];

    >> w=cov(q)

    w =

    10.3710 -4.7446 -6.6023 -0.1873 -1.8881

    -4.7446 59.1503 38.7606 -3.0743 3.0982

    -6.6023 38.7606 28.6966 -2.0199 2.4166

    -0.1873 -3.0743 -2.0199 0.8474 0.3936

    -1.8881 3.0982 2.4166 0.3936 1.3412

    轉自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_4936c31d01011v8j.html

    另外可以參考:http://blog.csdn.net/u010529217/article/details/24483109

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  • >>X=[1,2,9] >>mean(X)=4 >>median(X)=2 二、 方差 数学定义: 均方差: Matlab 函数:var 要注意的是var函数所采用公式中,分母不是 ,而是 。这是由于var函数实际上求的并非方差,而是偏差理论中“有限次测量...

    一、 均值html

    数学定义: 函数

    Matlab函数:meanpost

    >>X=[1,2,3]flex

    >>mean(X)=2htm

    若是X是一个矩阵,则其均值是一个向量组。mean(X,1)为列向量的均值,mean(X,2)为行向量的均值。blog

    >>X=[1 2 3数学

    4 5 6]it

    >>mean(X,1)=[2.5, 3.5, 4.5]class

    >>mean(X,2)=[2gc

    5]

    若要求整个矩阵的均值,则为mean(mean(X))。

    >>mean(mean(X))=3.5

    也可以使用mean2函数:

    >>mean2(X)=3.5

    median,求一组数据的中值,用法与mean相同。

    >>X=[1,2,9]

    >>mean(X)=4

    >>median(X)=2

    二、 方差

    数学定义:

    均方差:

    Matlab 函数:var

    要注意的是var函数所采用公式中,分母不是 ,而是 。这是由于var函数实际上求的并非方差,而是偏差理论中“有限次测量数据的标准误差的估计值”。

    >>X=[1,2,3,4]

    >>var(X)=1.6667

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/length(X)=1.2500

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/(length(X)-1)=1.6667

    var没有求矩阵的方差功能,可以使用std先求均方差,再平方获得方差。

    std,均方差,std(X,0,1)求列向量方差,std(X,0,2)求行向量方差。

    >>X=[1 2

    3 4]

    >>std(X,0,1)=1.4142  1.4142

    >>std(X,0,2)=0.7071

    0.7071

    若要求整个矩阵全部元素的均方差,则要使用std2函数:

    >>std2(X)=1.2910

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  • 方差、标准差、均方差、均方误差、均方根误差详细总结 看到网上别的大神总结的都是复制粘贴的,排版很凌乱,特此总结并精美排版一下。 方差 方差是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。方差用来度量随机变量和...

    方差、标准差、均方差、均方误差、均方根误差详细总结

    看到网上别的大神总结的都是复制粘贴的,排版很凌乱,特此总结并精美排版一下。

    方差

    方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度统计中的方差(样本方差)是各个样本数据和平均数之差的平方和的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。

    对于一组随机变量或者统计数据,其期望值(平均数)用 E ( X ) E(X) E(X)​表示,即随机变量或统计数据的均值, 方差的公式如下所示(对各个数据与均值的差的平方和再求平均数):
    σ 2 = ∑ ( X − E ( X ) ) 2 N \sigma^{2} =\frac{\sum \left( X-E\left( X\right) \right)^{2} }{N} σ2=N(XE(X))2
    σ 2 \sigma^{2} σ2为总体方差, X X X为变量, E ( X ) E(X) E(X)为期望值(总体均值),N为总体样数。

    注:这个公式描述了随机变量(统计数据)与均值的偏离程度。方差的概念也可以从最小二乘法的角度来进行理解。

    标准差

    标准差又称均方差,是方差的算数平方根,标准差的公式如下:
    σ = ∑ ( X − μ ) 2 N \sigma =\sqrt{\frac{\sum \left( X-\mu \right)^{2} }{N} } σ=N(Xμ)2
    μ \mu μ​表示期望,等同上面的 E ( X ) E(X) E(X)​。

    有了方差为什么还需要标准差?

    可以看到标准差的概念是基于方差的,仅仅是求了一个平方根而已。那么为什么要造出标准差这样一个概念呢?

    简单来说,方差单位和数据的单位不一致,没法使用,虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度,但是处理结果是不符合我们的直观思维的。

    标准差和数据的单位一致,使用起来方便。内在原因就是方差开了一个平方,而标准差通过加了一个根号使得和均值的量纲(单位)保持了一致,在描述一个波动范围时标准差比方差更方便。

    注:至于为什么要开平方,参见最小二乘法

    举个例子:一个班级里有60个学生,平均成绩是70分,标准差是9,方差是81,假设成绩服从正态分布,那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分,通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为68%,即约等于下图中的34.2%*2

    额外说明:一个标准差约为 68%(平均值-标准差,平均值+标准差),两个标准差约为95%(平均值-2倍标准差,平均值+2倍标准差), 三个标准差约为99%。它反映组内个体间的离散程度。

    为什么正态分布中要用到标准差,就是因为这个概念可以很好的表示波动范围。

    img

    均方误差(MSE)

    均方误差各数据偏离真实值差值的平方和 的平均数,也就是误差平方和的平均数。
    M S E ( θ ^ ) = E ( θ ^ − θ ) 2 MSE\left( \hat{\theta } \right) =E\left( \hat{\theta } -\theta \right)^{2} MSE(θ^)=E(θ^θ)2
    θ ^ \hat{\theta} θ^是估计量, θ \theta θ是实际值。

    举个例子:我们要测量房间里的温度,很遗憾我们的温度计精度不高,所以就需要测量5次,得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是 x x x,数据与真实值的误差 e = x − x i e=x-x_i e=xxi

    那么均方误差为 M S E = ∑ ( x − x i ) MSE=\sum(x-x_i) MSE=(xxi)​​ 。

    均方根误差

    均方误差的开方叫均方根误差均方根误差才和标准差形式上接近。

    总的来说,均方差(标准差)是数据序列与均值的关系,而均方根误差是数据序列与真实值之间的关系。因此,标准差是用来衡量一组数自身的离散程度,而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差,它们的研究对象和研究目的不同,但是计算过程类似。

    总结

    • 均方差=标准差

    • 方差是各数据偏离平均值差值的平方和的平均数

    • 均方误差(MSE)是各数据偏离真实值 差值的平方和的平均数

    • 方差是平均值,均方误差是真实值

    总的来说,方差数据序列与均值的关系,而均方误差数据序列与真实值之间的关系,所以我们要注意区分 真实值和均值 到区别。

    参考文章:https://zhuanlan.zhihu.com/p/83410946、https://blog.csdn.net/zengxiantao1994/article/details/77855644/

    展开全文
  • [损失函数]——均方差

    千次阅读 2021-04-06 20:54:35
    1. 均方差损失函数(Mean Squared Error, MSE) 均方差损失函数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值,公式为: MSE=1N(y^−y)2MSE = \frac{1}{N}(\hat{y}-y)^{2}MSE=N1​(y^​−y)2 N为样本个数。 2. 均方差...

    1. 均方差损失函数(Mean Squared Error, MSE)

    均方差损失函数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值,公式为:
    M S E = 1 N ( y ^ − y ) 2 MSE = \frac{1}{N}(\hat{y}-y)^{2} MSE=N1(y^y)2
    N为样本个数。

    2. 均方差在pytorch中的用法

    均方差损失函数在pytorch中的函数为:

    torch.nn.MSELoss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')
    

    pytorch中默认损失计算的是均值。
    我看很多博客对该损失函数讲解的不是很全面,它们只告诉你这个接口怎么用而不讲解其中是怎么进行运算的,下面我用一个实例来讲解一下函数内部是如何运算的。

    >>> input = torch.randn(3,5,requires_grad=True)
    >>> input
    tensor([[ 0.0107,  0.0574,  0.2145, -0.6022, -0.2549],
            [-0.5236, -0.0693,  0.4386,  0.1597,  2.2749],
            [-1.7281, -0.6220,  2.5002, -0.5681, -0.5767]], requires_grad=True)
    >>> target = torch.randn(3,5)
    >>> target
    tensor([[ 0.3699, -0.7985,  1.2310,  0.3084,  2.2067],
            [ 0.2520, -1.0720,  0.1930, -0.2715,  0.7808],
            [-0.9800, -1.0310, -1.2699, -0.9418, -1.2091]])
    >>> loss = nn.MSELoss()
    >>> output = loss(input, target)
    >>> output.backward()
    >>> output
    tensor(1.8899, grad_fn=<MseLossBackward>)
    

    计算得到inputtarget的均方差为2.3449。下面我们不借助torch.nn.MESLoss()来计算下它们的均方差。

    首先根据公式我们要计算inputtarget的差的平方:

    >>> result = (input-output)**2
    >>> result
    tensor([[ 0.1290,  0.7326,  1.0333,  0.8291,  6.0594],
            [ 0.6015,  1.0054,  0.0603,  0.1860,  2.2324],
            [ 0.5596,  0.1673, 14.2134,  0.1397,  0.3998]], grad_fn=<PowBackward0>)
    

    接着我们求result所有元素的和,然后再除以元素总个数15:

    >>> result = result.view(15,).sum()/15
    >>> result
    tensor(1.8899, grad_fn=<DivBackward0>)
    

    nn.MSELoss()计算结果相同。
    值得注意的是,若多分类任务中要使用均方差作为损失函数,需要将标签转换成one-hot形式,这与交叉熵损失函数恰巧相反。关于交叉熵如何使用可以参考我的另一篇博客:[损失函数]——交叉熵
    因为在使用nn.CrossEntropyLoss()时是取出激活层输出中每个样本( 每一行)中最大的数参与损失函数的运算,而均方差则不然,它是对每一个输出都要参与运算,所以在使用均方差作为损失函数的时候要将标签转换成one-hot形式。

    3. 均方差不宜和sigmoid函数一起使用

    下面用公式来进行说明:
    sigmoid的函数如下:
    S ( x ) = 1 1 + e − x S(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} S(x)=1+ex1
    均方差损失函数:
    L o s s = 1 N ( y ^ − y ) 2 = 1 N ( S ( ω ∗ x + b ) − y ) 2 Loss = \frac{1}{N}(\hat{y}-y)^{2} =\frac{1}{N}(S(\omega *x +b)-y)^2 Loss=N1(y^y)2=N1(S(ωx+b)y)2
    对权值求导 ω \omega ω
    ∂ L o s s ∂ ω = 2 N ( S ( ω ∗ x + b ) − y ) S ′ ( ω ∗ x + b ) \frac{\partial Loss}{\partial \omega }=\frac{2}{N}(S(\omega *x +b)-y){S}'(\omega *x +b) ωLoss=N2(S(ωx+b)y)S(ωx+b)
    最终变换成对sigmoid函数求导,sigmoid函数有一个特点,那就是横坐标越远离坐标原点,导数越接近于0,当 S ( ω ∗ x + b ) S(\omega *x +b) S(ωx+b)越接近1时导数越小,最终会造成梯度小时。
    sigmoid函数

    pytorch官方文档
    交叉熵损失函数(Cross Entropy Error Function)与均方差损失函数(Mean Squared Error)

    展开全文
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  • 均值、方差、均方值、均方差计算

    千次阅读 2021-02-05 09:23:37
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