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  • 2021-05-25 05:13:24

    第一章第四节空间曲线曲率计算公式及推导

    空间曲线的曲率定义及

    计算公式

    引理 设是单位圆周上的向量,即,

    设与之间的夹角记为,则有 。

    证明 因为

    所以

    (用解等腰三角形或用余弦定理,得

    。)

    定理1.2 设曲线:(是弧长参数)上的每一点有一个单位向量,与之间的夹角记为,那么。

    设曲线:,这里参数是曲线自身的弧长,我们知道,是曲线的切向量,,即是单位向量。

    记,,

    与的夹角,度量了曲线的弯曲程度。

    ,我们称之为曲线的 曲率,用来表示,。

    (举例解释,需要曲率这个量来刻画曲线;曲珑拐弯,拐弯抹角的程度。)

    直线可以用向量方程表示为,其中和为常向量,并且,这时切向量是常向量,从而,曲率。

    反之,如果,即,

    由此可知是常向量,进而解得,其中和为常向量。

    由此可知:直线的特征是。

    讨论圆

    (这是由于

    而,,故圆的方程可表示为。)

    这时,,

    于是,,

    即圆的曲率等于其半径的倒数。

    空间曲线曲率的计算公式:

    设曲线:,这里参数不必是弧长参数。

    我们有,

    将以上两式的双方作向量外积,得

    由于,,

    得,(即互相垂直)

    所以

    由于,

    所以,

    由此得出曲率公式

    代入曲率公式,可得简便计算公式

    求圆柱螺线

    的曲率。

    解 直接计算,得

    所以,

    代入公式,

    得出曲率

    它是一个常数,这与几何直觉是相符合的。

    平面曲线的曲率计算公式:

    设平面曲线L:。

    所以,平面曲线L:

    的曲率

    对曲线,

    此时,

    则曲率

    若曲线由极坐标方程给出,且二阶可导。

    则可得

    由曲率公式

    可计算:

    代入,得曲率为

    例6求心形线在处的曲率。

    代入公式,

    它在 曲率为

    空间曲线曲率公式的另一种证明方法:

    对光滑曲线:,,

    ,,

    严格递增,反函数存在,记为,把它代入;

    所以,是的函数,这里参数是弧长参数。

    我们有

    ,。

    空间曲线的曲率(描述曲线的弯曲程度)。

    设曲线的参数方程为:,,,,

    并假设是光滑曲线,且,,连续,

    设,则曲率。

    设曲线:,这里参数不必是弧长参数。

    我们有,,

    ,,

    ,,,

    ,,

    由,

    代入计算,得

    由此而来

    由,得

    故得空间曲线:

    的曲率

    即 。

    设平面曲线L:,

    所以,平面曲线L:

    的曲率

    当曲线由方程给出时,此时,利用上式,

    ,,,,

    故曲率

    曲率半径:若光滑曲线在点处的曲率为,

    当时,称为曲线在处的曲率半径。

    (平面曲线的情形,也有用几何图形给出的更方便直观的证法,见华东师大的书。)

    例1、 求曲线的曲率的最大值。

    解 由曲率的表达式

    从而得的最大值为。

    例2、证明:若曲线的所有切线经过同一点,则该曲线是一条直线.

    证明 证法一

    设曲线的切线经过,

    则有,

    于是,

    假若,

    则,

    再由,

    得,矛盾,

    所以

    从而曲率,

    故曲线必为一条直线.

    证法二 设曲线为,为弧长参数;所有切线经过的点为,

    则有,

    从而,

    由,

    得与正交,

    于是

    因为

    必有,

    所以为一条直线.

    例3 、 求椭圆

    上曲率最大和最小点.

    解 由于

    .

    由公式,

    .

    不妨设,

    于是在(长轴端点)处曲率最大;

    而在、(短轴端点)处曲率最小;

    且.

    例4、 由下述方程确定一条球面曲线:

    给定曲线上的一点

    求曲线在处的曲率.

    解 曲线为

    ;

    由条件得;

    再由,得

    ;

    ,

    ,,

    ,

    代入曲率公式

    计算,

    得 .

    例5、 设函数具有连续二阶偏导数,且,则等高线(为常数)的曲率为 .

    解 设由所确定的隐函数为,

    于是,

    求导得,

    从而,

    再求导可得

    代入曲率公式

    计算得,

    ;

    直接验证,

    可知

    故有 .

    21

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    定义

    • 曲率:曲线上某个点的切线方向角对弧长的变化率,表明曲线在该点的弯曲程度。
    • 设有光滑曲线 C C C(即曲线 C C C 二阶可导),在曲线 C C C 上选定一点 M M M 作为度量的基点,点 M M M 对应于弧长 s s s 且切线方向角为 α \alpha α,曲线 C C C 上另一点 M ′ M' M 对应于弧 s + Δ s s+\Delta s s+Δs 且切线方向角为 α + Δ α \alpha+\Delta \alpha α+Δα。那么,弧 M M ′ ⌢ \overset{\frown}{MM'} MM 的长度为 ∣ Δ s ∣ |\Delta s| Δs,从点 M M M M ′ M' M 切线转过的角度为 ∣ Δ α ∣ |\Delta\alpha| Δα
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    • 曲率:当 Δ s → 0 \Delta s\to 0 Δs0 时,即 M ′ → M M'\to M MM 时,平均曲率存在极限,称为曲线 C C C 在点 M M M 处的曲率,即: K = lim ⁡ Δ s → 0 ∣ Δ α ∣ ∣ Δ s ∣ = ∣ lim ⁡ Δ s → 0 Δ α Δ s ∣ K = \lim_{\Delta s\to 0}\frac{|\Delta\alpha|}{|\Delta s|} = |\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}| K=Δs0limΔsΔα=Δs0limΔsΔα

    定义公式

    设光滑曲线 C C C 表示为 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x),则根据上述定义,有曲率计算公式: K = y ¨ ( 1 + y ˙ 2 ) 3 2 K = \frac{\ddot{y}}{(1+\dot{y}^2)^\frac{3}{2}} K=(1+y˙2)23y¨ 推导过程请参考相关教材或文献。

    差分公式

    然而,对于隐函数 F [ x ( t ) , y ( t ) ] = 0 F[x(t),y(t)] = 0 F[x(t),y(t)]=0 或者离散数据,无法直接采用上述定义公式,上述定义公式经推导得到差分计算公式: K = ∣ x ˙ y ¨ − x ¨ y ˙ ∣ [ x ˙ 2 + y ˙ 2 ] 3 2 K = \frac{|\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}|}{[\dot{x}^2+\dot{y}^2]^\frac{3}{2}} K=[x˙2+y˙2]23x˙y¨x¨y˙

    MATLAB程序

    %% 正弦函数
    x = 0:0.01:2*pi;
    y = sin(x);
    figure(1);
    plot(x,y);
    
    %% 定义公式
    j = abs(sin(x)) ./ ((1+cos(x).^2).^(3/2));
    figure(2);
    plot(x,j);
    
    %% 差分公式
    x1 = diff(x);	% 一阶导
    x2 = diff(x1);	% 二阶导
    y1 = diff(y);
    y2 = diff(y1);
    x2(length(x1)) = x2(end);	% 使数组维度一致
    y2(length(y1)) = y2(end);
    k = abs(x1.*y2-x2.*y1) ./ (x1.^2+y1.^2).^(3/2);
    k(length(x)) = k(end);
    figure(3);
    plot(x,k);
    

    运行结果如下:
    正弦曲线

    图1 正弦曲线

    定义公式计算得曲率

    图2 定义公式计算得曲率

    差分公式计算得曲率

    图3 差分公式计算得曲率
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    显示曲线曲率、隐式曲线/隐函数曲率推导过程

    曲线曲率

    曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率示,曲线曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大。在这里插入图片描述

    显示曲线曲率推导过程

    设定曲线方程f=y(x),用s、 α \alpha α 分别表示弧长和角度,微分定义曲线曲率 k = lim ⁡ α → 0 ∣ Δ α Δ s ∣ {\rm{k}} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \left| {\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta s}}} \right| k=α0limΔsΔα 因为tan α \alpha α=y’,所以 α \alpha α=arctany’, 则
    d α = ( arctan ⁡ y ′ ) ′ d x = y ′ ′ 1 + y ′ 2 d x d\alpha = {\left( {\arctan y'} \right)^\prime }dx = \frac{{y''}}{{1 + {{y'}^2}}}dx dα=(arctany)dx=1+y2ydx d s = 1 + y ′ 2 d x ds=\sqrt{1+{{y'}^2}}dx ds=1+y2 dx 所以可得曲率
    k = y ′ ′ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 (1) k = \frac{y''}{({1+{y'}^2}) ^{\frac{3}{2}}} \tag{1} k=(1+y2)23y(1)

    隐式曲线曲率推导过程

    结合显示曲线曲率的推导公式,对于隐式曲线u(x,y(x))=0,只需要确定y’和y’’,然后讲y’和y’'带入上述曲率公式即可获得曲率公式。
    对隐函数两边同时对x求导可得:
    u x + u y d y d x = 0 u_x+u_y\frac{dy}{dx}=0 ux+uydxdy=0 d y d x = − u x u y (2) \frac{dy}{dx}=-\frac{u_x}{u_y} \tag{2} dxdy=uyux(2),对上式两边进一步同时对x求导可得

    d d x ( d y d x ) = − ( ( d d x u x ) u y − ( d d y u y ) u x u y 2 ) = − ( ( u x x + u x y d y d x ) u y − ( u x y + u y y d y d x ) u x u y 2 ) (3) \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=-(\frac{ (\frac{d}{dx}u_x) u_y- (\frac{d}{dy}u_y) u_x}{u_y^2})= -(\frac{ (u_{xx} +u_{xy}\frac{dy}{dx}) u_y- (u_{xy}+u_{yy}\frac{dy}{dx}) u_x}{u_y^2}) \tag{3} dxd(dxdy)=(uy2(dxdux)uy(dyduy)ux)=(uy2(uxx+uxydxdy)uy(uxy+uyydxdy)ux)(3)

    将公式(2)以及公式(3)进一步带入显示曲线曲率公式即公式(1)可求得: k = 2 u x u y u x y − u y 2 u x x − u x 2 u y y ( u x 2 + u y 2 ) 3 2 (4) k=\frac {2u_xu_yu_xy-u_y^2u_{xx}-u_x^2u_{yy}} {(u_x^2+u_y^2)^\frac{3}{2}} \tag{4} k=(ux2+uy2)232uxuyuxyuy2uxxux2uyy(4)

    展开全文
  • 1-1 基于matlab的平面曲线曲率的数值计算 工具 向量函数:设曲线r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))是一条正则曲线,其中sss是弧长参数。,r(s)r(s)r(s)是以向量形式表示的,所以称为向量函数。 ...

    1-1 基于matlab的平面曲线曲率的数值计算

    1. 工具

      向量函数:设曲线 r ( s ) = ( x ( s ) , y ( s ) ) r(s)=(x(s),y(s)) r(s)=(x(s),y(s))是一条正则曲线,其中 s s s是弧长参数。 r ( s ) r(s) r(s)是以向量形式表示的,所以称为向量函数。
    2. 曲率公式

      • 给定函数为向量函数 r ( s ) = ( x ( s ) , y ( s ) ) r(s)=(x(s),y(s)) r(s)=(x(s),y(s))形式:
        曲率的计算公式为: k = ∣ r ′ ′ ( s ) ∣ (1) k=|r''(s)| \tag {1} k=r(s)(1) 注意 : 当 给定函数 r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) r(t)=(x(t),y(t)) r(t)=(x(t),y(t))参数不是弧长参数时我们需要计算函数的弧长参数,才能进行下一步计算。其中弧长参数计算方法为计算弧微分 s = ∫ 0 t ∣ r ′ ′ ( u ) ∣ d u s=\displaystyle \int^{t}_{0}{|r''(u)|du} s=0tr(u)du.
      • 给定函数为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)形式:
        曲率 k = ∣ f ′ ′ ( x ) ∣ ( 1 + f ′ 2 ) ( 3 2 ) (2) k=\frac{|f''(x)|}{\sqrt{(1+f'^2)}^{(\frac{3}{2})}}\tag {2} k=(1+f2) (23)f(x)(2)
    3. matlab程序实现

      1.计算圆 r ( t ) = ( 2 c o s t , 2 s i n t ) , t ∈ ( 0 , 2 π ) r(t)=(2cost,2sint),t\in (0,2\pi) r(t)=(2cost,2sint)t(0,2π)的曲率
      解: 由公式 ( 1 ) (1) (1)计算曲率时发现参数不是弧长参数,所以我们要计算弧微分
      s = ∫ 0 t ∣ r ′ ′ ( u ) ∣ d u s=\displaystyle \int^{t}_{0}{|r''(u)|du} s=0tr(u)du

      于是
      s = ∫ 0 t 2 d u = 2 t s=\displaystyle \int^{t}_{0}{2du}=2t s=0t2du=2t

      从而转换成计算 r ( t ) = ( 2 c o s s 2 , 2 s i n s 2 ) , s ∈ ( 0 , 4 π ) 的 曲 率 r(t)=(2cos\frac{s}{2},2sin\frac{s}{2}),s\in (0,4\pi)的曲率 r(t)=(2cos2s,2sin2s)s(0,4π)
      MATLAB程序:
    clc,clear
    h=0.01;                        %步长
    s=0:h:4*pi;
    x=2*cos(s./2);y=2*sin(s./2);   %定义x,y
    r=[x,y];                       %定义向量函数
    r1=diff(r)./h;                 %一阶导
    r2=diff(r1)./h;                %二阶导
    k=r2;
    for i=1:length(r2)
        k(i)=norm(r2(i));
    end
    
    1. 计算 y = s i n x , x ∈ ( 0 , π ) y=sinx,x\in(0,\pi) y=sinx,x(0,π)的曲率
      由公式 ( 2 ) (2) (2) k = ∣ s i n x ∣ ( 1 + c o s x 2 ) ( 3 2 ) k=\frac{|sinx|}{\sqrt{(1+cosx^2)}^{(\frac{3}{2})}} k=(1+cosx2) (23)sinx
      MATLAB程序:
    clc,clear
    h=0.01;                        %步长
    x=0:h:pi;
    y=sin(x);                      %定义x,y
    y1=diff(y)./h;                 %一阶导
    y2=diff(y1)./h;                %二阶导
    y2(length(y1))=y2(end);        %二阶导右端点用向后差商代替,否则会有维度不一致情况
    k=abs(y2)./(sqrt(1+y1.^2).^(3/2));
    
    展开全文
  • 1-2 基于MATLAB的空间曲线曲率挠率的数值计算 1.工具 向量函数:设曲线r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))是一条正则曲线,其中sss是弧长参数。r(s)r(s)r(s)是以向量形式表示的,所以称为向量函数。...
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