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  • 协方差误差椭圆

    2016-03-03 22:38:50
    如何绘制协方差误差椭圆
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  • 误差椭圆

    2021-05-19 16:52:53
    原文链接:... 介绍 在这篇文章中,我将展示如何绘制二维正态分布数据的误差椭圆,又名置信椭圆。误差椭圆代表高斯分布的等值轮廓线,并允许可视化一个2D置信区间。下图显示了一组

    原文链接:https://blog.csdn.net/u010182633/article/details/45924061

    介绍

    在这篇文章中,我将展示如何绘制二维正态分布数据的误差椭圆,又名置信椭圆。误差椭圆代表高斯分布的等值轮廓线,并允许可视化一个2D置信区间。下图显示了一组二维正态分布数据样本的95%置信椭圆。这个置信椭圆定义的区域包含了95%的样本,这些样本可以从潜在高斯分布中得到。

    这里写图片描述
    在接下来的章节中,我们将讨论如何获得不同置信度(如99%置信区间)的置信椭圆,我们将展示如何用Matlab或C ++代码绘制这些椭圆。

    轴对齐的置信椭圆

    导出得到误差椭圆的一般方法之前,我们先看看特殊情况,椭圆的长轴平行X轴,如下图:
    这里写图片描述
    上图展示出了椭圆的角度由数据的协方差确定。在这种情况下,协方差为零,使得数据是不相关的,从而导致轴对齐误差椭圆。
    这里写图片描述
    此外,椭圆轴的大小取决于数据的方差。在我们的例子中,X轴方向的方差最大,Y轴方向的方差最小。

    一般情况下,长轴为2a,短轴为2b,原点为中心的轴对齐椭圆的方程式定义如下:
    这里写图片描述

    在我们的例子中,轴的长度由数据的标准差这里写图片描述定义,这样的话误差椭圆的方程式变为:
    这里写图片描述
    其中s定义椭圆的规模,可以是任意的数(例如,s=1)。现在的问题是如何选择s,使得所得到的椭圆规模代表我们所选择的置信水平(例如,95%的置信水平对应于s =5.991)。

    我们的2D数据从零协方差的高斯分布中采样得到。这意味着x值和y值也是高斯分布。因此,等式(2)的左手侧实际上代表独立正态分布数据样本的平方和。根据所谓的卡方(Chi-Square)分布,高斯数据点平方的总和是已知的。卡方分布用“自由度”的形式定义,它表示未知量的数目来。在我们的例子中,有两个未知数,因此自由度是二。

    因此,我们可以很容易地获取上述和的概率,通过计算卡方似然,s等于一个特定的值。事实上,由于我们感兴趣的是置信区间,我们正在寻找s小于或等于某个特定值的概率,这个特定值可以用累积卡方分布得到。由于统计人员都是懒惰的(这个翻译我也是醉了【好吧,其实就是我翻译的】原文为“As statisticians are lazy people”期待大家可以给出更好的翻译),我们通常无法尝试计算这个概率,而只是看一个概率表:https://people.richland.edu/james/lecture/m170/tbl-chi.html

    例如,使用此概率表,我们可以很容易地发现,在2个自由度的情况下:
    这里写图片描述

    因此,95%置信区间对应于s=5.991。换言之,95%的数据将落入椭圆内:
    这里写图片描述
    类似地,99%的置信区间对应为s=9.210,90%置信区间对应于s=4.605。

    图2显示的误差椭圆可以绘制成长轴长度等于这里写图片描述,短轴长度这里写图片描述

    任意置信椭圆

    在数据是相关的情况下,例如存在协方差,所产生的误差椭圆不会是轴对齐的。在这种情况下,如果我们暂时定义一个新的坐标系,使得所述椭圆变为轴对齐,然后旋转所产生的椭圆,那么上面的结论依然有效。

    换句话说,之前我们计算平行于x轴和y轴的方差,现在我们计算平行于置信椭圆长轴和短轴的方差,需要计算的方差方向由图1粉红和绿色箭头表示出来。
    这里写图片描述

    这些方向实际上是数据变化最多的方向,并用协方差矩阵定义。协方差矩阵可以看作是一个矩阵,该矩阵线性变换一些原始数据来获得当前观察到的数据。在之前特征向量和特征值的文章中,我们发现沿着这样一个线性变换的方向向量是变换矩阵的特征向量。事实上,图1中粉红色和绿色箭头所示的向量是数据协方差矩阵的特征向量,而向量的长度对应于特征值。

    因此,特征值代表特征向量方向上数据的传播。换句话说,特征值代表特征向量方向上数据的方差。在轴对齐误差椭圆的情况下(即协方差等于零)特征值等于协方差矩阵的方差,特征向量等于x轴和y轴的定义。在任意相关数据的情况下,特征向量表示数据最大传播方向,而特征值定义这个传播有多大。

    因此,95%置信椭圆可以类似地定义到轴对齐的情况,长轴长度为这里写图片描述,短轴长度为这里写图片描述,其中λ1和λ2表示协方差矩阵的特征值。

    为了获得椭圆的方向,我们简单地计算最大特征向量的角度(以x轴为基准):
    这里写图片描述

    其中v1是对应于最大特征值的协方差矩阵的特征向量。

    基于所述长轴长度,短轴长度和长轴与x轴之间的角度α,绘制置信椭圆变得很容易了。图3展示了几个置信度误差椭圆:
    这里写图片描述

    源码

    http://download.csdn.net/download/u010182633/8729819

    总结

    在这篇文章中,我们介绍了如何根据选择的置信度来获得二维正态分布数据的误差椭圆。对于可视化或分析数据以及另一篇关于介绍PCA的文章中,这是非常有用的。
    文章链接:http://blog.csdn.net/u010182633/article/details/45918737

    展开全文
  • 从从协方差的误差椭圆到PCA

    千次阅读 2019-02-18 13:07:51
    参考博客:如何绘制协方差误差椭圆 PCA-特征提取 1.误差椭圆的介绍 误差椭圆是代表高斯分布的等值轮廓线,并允许可视化一个2D置信区间,下图正态分布样本数据为95%置信椭圆: 下面主要介绍椭圆的长轴,短轴,...

    参考博客:如何绘制协方差误差椭圆
    PCA-特征提取

    1.误差椭圆的介绍

    误差椭圆是代表高斯分布的等值轮廓线,并允许可视化一个2D置信区间,下图正态分布样本数据为95%置信椭圆:
    在这里插入图片描述
    下面主要介绍椭圆的长轴,短轴,置信度以及椭圆的旋转角度的由来。

    2.轴对齐的置信椭圆

    先看一种特殊的误差椭圆,轴对齐的置信椭圆,即各个维度之间是独立的,协方差为0的误差椭圆。
    协方差为:
    在这里插入图片描述
    误差椭圆为:在这里插入图片描述

    椭圆的方程式定义如下:
    ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1 (\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 = 1 (ax)2+(by)2=1
    误差椭圆定义为
    ( x σ x ) 2 + ( y σ y ) 2 = s (\frac{x}{\sigma_x})^2 + (\frac{y}{\sigma_y})^2 = s (σxx)2+(σyy)2=s

    σ x 与 σ y \sigma_x与\sigma_y σxσy分别代表x和y的标准差,s与置信度有关。
    95%的置信水平对应于s =5.991。(详情参考卡方分布表

    3.任意置信椭圆

    数据之间存在相关的情况下存在写放擦汗,所产生的误差椭圆不会是轴对齐的。椭圆以x轴为基准,发生逆时针旋转,旋转的角度定义为 α \alpha α
    在这里插入图片描述
    我们这里可以直观的感觉到,误差椭圆的长短轴方向应该是协方差的特征向量的方向,大小等于特征值。

    因为我们知道特征向量之间是正交的,而且特征值的大小表示在对应特征向量上的能量大小,感兴趣可以参考花了10分钟,终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义
    所以误差椭圆定义为
    ( x λ 1 ) 2 + ( y λ 2 ) 2 = s (\frac{x}{\lambda_1})^2 + (\frac{y}{\lambda_2})^2 = s (λ1x)2+(λ2y)2=s
    95%的置信水平对应于s =5.991。那旋转角都怎么算呢?
    为了获得椭圆的方向,我们简单地计算最大特征向量的角度
    在这里插入图片描述

    可以参考

    向量能不能相除?

    4.PCA的介绍

    PCA即主成分分析(principal component analysis)

    1.线性变换,变换到原来空间的子空间;
    2.应用特征向量,选取正交特征,去相关。

    我们知道高维数据意味着更多的参数,更复杂的模型,很容易过度拟合,所以应该选择我们需要的特征保留,舍弃不需要的特征。

    5 PCA-从去相关到降维

    通常数据都是相关的,也就是数据的各个维度并不独立,导致各维度之间有或强或弱的相关性。直接删除一个维度,舍弃此维度的特征往往不可取,因为它隐含消去了其他维度的分量。我们可以去相关。
    考虑下面二维特征空间的例子:
    x1N(0,1)和x2N(0,1),x1,x2相互独立
    { x = x 1 + x 2 y = x 2 − x 1 \begin{cases} x = x_1 + x_2\\ y = x_2 - x_1\\ \end{cases} {x=x1+x2y=x2x1
    协方差
    ∑ = [ 2 2 2 2 ] \sum= \begin{bmatrix} {2}&{2}\\ {2}&{2}\\ \end{bmatrix} =[2222]
    s=时的误差椭圆的长轴与短轴,

    在这里插入图片描述

    借助代码,我们算一下特征向量和特征值

    import numpy as np
    #A = np.array([[16.7,14.94],[14.94,17.27]])
    #A = np.array([[3,-1],[-1,3]])
    A = np.array([[2,2],[2,2]])
    print('打印A:\n{}'.format(A))
    a,b = np.linalg.eig(A)
    print('打印特征值a:\n{}'.format(a))
    print('打印特征向量b:\n{}'.format(b))

    结果
    在这里插入图片描述
    特征值从大到小排列,则由特征向量组成的特征矩阵为:(每列表示一个特征向量)

    V = [ 0.7071 − 0.7071 0.7071 0.7071 ] V= \begin{bmatrix} {0.7071}&{-0.7071}\\ {0.7071}&{0.7071}\\ \end{bmatrix} V=[0.70710.70710.70710.7071]

    V是旋转矩阵, t a n ( α ) = 0.7071 / 0.7071 = 1 tan(\alpha) = 0.7071/0.7071 =1 tan(α)=0.7071/0.7071=1,坐标系逆时针旋转45度得到新的坐标系x’ 和 有 y’,
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    特征向量空间下的特征是正交的,未知的,换言之是不相关的,这时候想要降低维度只需按照需求删除x’或者y’.
    在上述例子中,我们以一个二维问题开始。如果我们想降低维数,问题仍然是是否消除x1(x’)或y1(y’)。尽管这样的选择可能取决于许多因素,如分类问题的数据可分性,但是PCA简单地假定最有趣的特征具有最大方差。这种假设是基于信息论的角度,由于最大方差的维对应于最大熵的维,编码了大部分信息。最小的特征向量将简单地表示噪声成分,而最大的特征向量往往对应于定义数据的主要成分。

    由主成分分析降低维数,然后投影数据到协方差矩阵的最大特征向量上。对于上面的例子,所得到的一维特征空间如图3所示:
    在这里插入图片描述

    显然,上面的例子很容易推广到更高维的特征空间。例如,在三维情况下,我们既可以将数据投影到两个最大特征向量定义的平面来获得2D特征空间,也可以将其投影到最大特征向量来获得1D特征空间。结果示于图4:
    在这里插入图片描述

    Figure 4. 3D data projected onto a 2D or 1D linear subspace by means of Principal Component Analysis.

    一般情况下,主成分分析使我们获得原始N维数据的一个线性M维子空间,其中M小于等于N。此外,如果未知,不相关的成分满足高斯分布,则PCA实际上充当了独立成分分析的角色,因为不相关的高斯变量在统计上是独立的。但是,如果底层成分不是正态分布,PCA仅仅产生去相关的变量,这些变量不一定是独立的。在这种情况下,非线性降维算法可能是一个更好的选择。
    参考为什么随机变量X和Y不相关却不一定独立?

    6. PCA-正交回归方法

    在上述的讨论中,我们以获得独立成分(如果数据不是正态分布,至少是不相关成分)为目标来减少特征空间的维数。我们发现,这些所谓的“主成分”是由我们数据协方差矩阵的特征值分解获得的。然后将数据投影到最大特征向量从而降低维数。

    现在,我们不考虑找不相关成分。相反,我们现在尝试通过找到原始特征空间上的一个线性子空间来实现降维数,我们可以将我们的数据映射的这个子空间上使得映射误差最小化。在二维情况下,这意味着我们试图找到一个向量,映射到这个向量上的数据对应于一个映射误差,而这个误差比任何其他可能向量所映射数据的映射误差低。接下来的问题是如何找到这个最佳向量。

    考虑图5所示的例子。三种不同的映射向量,以及所得到的一维数据。在接下来的段落中,我们将讨论如何确定哪些映射向量最小化映射误差。在寻找这个向量之前,我们必须定义这个误差函数。
    在这里插入图片描述这部分参考 PCA-正交回归方法PCA实际应用:特征脸,PCA配方,PCA陷阱

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  • 绘制误差椭圆的方法

    千次阅读 2020-02-10 14:48:52
    绘制误差椭圆的方法 首先计算各点误差椭圆三参数,然后绘制误差椭圆。 (本文以十个点为例,即已知10个点,每个点都有10个误差测量点) 计算代码: for U=2:10:92 str1=[‘B’,num2str(U),’:’,‘B’,num2str(U+9)]...

    绘制误差椭圆的方法

    首先计算各点误差椭圆三参数,然后绘制误差椭圆。
    (本文以十个点为例,即已知10个点,每个点都有10个误差测量点)

    计算代码:
    for U=2:10:92
    str1=[‘B’,num2str(U),’:’,‘B’,num2str(U+9)];
    str2=[‘C’,num2str(U),’:’,‘C’,num2str(U+9)];
    x=xlsread(‘data1.xlsx’,str1);
    y=xlsread(‘data1.xlsx’,str2);
    xx=0.0;
    yy=0.0;
    for i=1:10
    xx=xx+x(i);
    yy=yy+y(i);
    end
    x0=xx/10.0;%x坐标均值
    y0=yy/10.0;%y坐标均值
    xx1=0.0;
    yy1=0.0;
    xy1=0.0;
    for i=1:10
    xx1=xx1+(x(i)-x0)^2;
    yy1=yy1+(y(i)-y0)^2;
    end
    Cx2=xx1/10.0;%x坐标方差
    Cy2=yy1/10.0;%y坐标方差
    Cxy0=cov(x,y);
    Cxy=Cxy0(1,2);%x、y协方差
    %E:长半轴、F:短半轴、ct:长半轴E方位角
    E=sqrt(Cx2+Cy2+((Cx2-Cy2)^2+4CxyCxy))/2;
    F=sqrt(Cx2+Cy2-((Cx2-Cy2)^2+4CxyCxy))/2;
    ct=(atan((2Cxy))/(Cx2-Cy2))/2;
    %画误差椭圆
    figure;
    plot(x,y,'b’);
    hold on
    aerf=0:0.01:2
    pi;
    plot(x0+E
    cos(ct)cos(aerf)-Fsin(ct)sin(aerf),y0+Esin(ct)cos(aerf)+Fcos(ct)sin(aerf));
    E2=2
    E;
    F2=2F;
    plot(x0+E2
    cos(ct)cos(aerf)-F2sin(ct)sin(aerf),y0+E2sin(ct)cos(aerf)+F2cos(ct)sin(aerf));
    E3=3
    E;
    F3=3F;
    plot(x0+E3
    cos(ct)cos(aerf)-F3sin(ct)sin(aerf),y0+E3sin(ct)cos(aerf)+F3cos(ct)*sin(aerf));
    hold off
    end

    第一个点的误差椭圆示例:
    在这里插入图片描述
     
     
    想了解更多,请关注微信公众号“GAO戏精光芒万丈”:

     

    展开全文
  • 经常上网的人,基本都知道中国的经济发达城市主要分布于长三角和珠三角,那么,这些...如果是一倍误差椭圆,则可以涵盖68%的城市,如果是两倍误差椭圆,则可以涵盖95%的城市,而三倍误差椭圆的话,就可以涵盖99%的城...

    更多精彩,尽在公众号 “Python魔术师” 。

    经常上网的人,基本都知道中国的经济发达城市主要分布于长三角和珠三角,那么,这些经济发达的城市,地理中心是在哪里呢?

    标准误差椭圆可以告诉我们答案!

    标准误差椭圆的中心就是这些城市的地理中心,标准误差椭圆的方向和半径则可以代表这些城市分布的大致范围以及和地理中心的方位关系。如果是一倍误差椭圆,则可以涵盖68%的城市,如果是两倍误差椭圆,则可以涵盖95%的城市,而三倍误差椭圆的话,就可以涵盖99%的城市。

    以下是从网上找到的中国GDP排名前二十四的城市。我们以这些城市为例,进行标准误差椭圆的分析。
    在这里插入图片描述
    选取的城市分布如下图所示:
    在这里插入图片描述

    我们用的工具是Directional Distribution,工具界面如下:

    在这里插入图片描述
    点击OK,等待一会,就可以看到结果了。
    在这里插入图片描述
    上图是1倍误差椭圆,从图中可以看出,标准误差椭圆的中心大概在安徽的西南部,范围涵盖了长三角的全部以及珠三角的一部分,没有包括京津冀。

    在这里插入图片描述
    如上图所示,如果是两倍误差椭圆的话,就可以把京津冀、长三角、珠三角全部覆盖,东北和西南依然难以触及,也就进一步印证了中国经济中心位于华东、华南的观点。

    展开全文
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  • 如何绘制协方差误差椭圆

    万次阅读 多人点赞 2015-05-23 01:05:51
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  • 煤矿井下中线放样是煤矿测量中一项重要的工作。巷道水平投影的中心线成为巷道中线,用它来控制巷道在水平面内的掘进方向,随着巷道不断向前掘进,要标定出巷道的开切位置和掘进方向。现阶段,传统的井下放样方法主要采用...
  • 关于误差椭圆的计算和含义

    千次阅读 2013-07-07 21:22:34
    http://www.tyut.edu.cn/kecheng/kuangygc/jpkc/jxjc/htm/6.4.htm
  • 实现了导线网平差,包含算例。代码部分包括测量数据读取,近似坐标计算,坐标平差计算,误差椭圆绘制等。
  • 生成椭圆的matlab代码椭圆拟合python 使用python / numpy查找适合任意数据的椭圆体,对其进行绘制或写入文件。 (应该同时适用于python 2.7和python 3) 用于3轴磁力计校准。 如果您想使椭圆适合任意数据,请查看...
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  • 如果不希望显示误差椭圆,可在菜单栏中选择“视图”-“视图过滤器管理器”,再在“标志”选项卡中将“Error Ellipse”取消选择;
  • error_ellipse

    2015-05-23 01:05:56
    二维空间协方差矩阵可视化为一个误差椭圆的matlab和C++代码,C++代码应用到了opencv的库函数,所以如果需要运行这个代码需要配置opencv环境。
  • 前期的研究表明,估计误差集合(Estimation error set,EES)的更新是输出反馈模型预测控制综合方法研究的一个关键技术.在本文中,通过利用S-procedure,采用新的估计误差集合更新方法.通过适当地在线更新估计误差集合,可...

空空如也

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