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  • 卡诺图
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    2019-07-27 22:52:02

    卡诺图是包含一些小方块的几何图形,每个小方块称为一个单元,一个单元对应一个最小项。两个相邻的最小项在卡诺图里也必须是相邻的
    卡诺图里相邻的意义是
    1.几何相邻性:在几何位置上相邻,也就是左右紧挨或者上下紧挨
    2.对称相邻性:图形中对称位置的单元是相邻的
    比如对于三变量,你可以把它分为A和BC,纵轴写A的值,横轴写BC的值,记住BC的值必须也是相邻的,也就是说每两个之间差一个数字,比如00 01 11 10,而不是00 01 10 11
    这样纵轴和横轴对应的元素一结合,就对应某一个m,我们一般觉得写m太麻烦,所以就用数字代替m写到方格里
    对于四变量的卡诺图,m0和m8是相邻的,你自己画图看,他两是对称相邻.

    用卡诺图表示逻辑函数有两种方法
    第一种:已知最小项之和和真值表
    如果我们已知真值表,那么就直接写了
    如果已知最小项之和,我们列出为1时候各变量的值,然后再卡诺图里相应位置填1,其余位置填0。
    F=非ABC+A非BC+ABC
    第二种情况:根据一般形式写卡诺图
    F=非A非BC+CD+非B非D
    1:A=0,B=0,C=1
    2: C=0,D=0
    3: B=0,D=0
    AB CD 00 01 11 10
    00 1 11 11
    01 1
    11 1
    10 1 1 1
    因为11=1,所以上述图化简

    卡诺图合并最小项规则
    1.卡诺图上任意两个标1的方格相邻,可以合并为1项,并可消去一个变量
    比如
    A BC 00 01 11 10
    0 0 0 1 0
    1 0 1 1 0
    对于上图,第三列可以合并,我们画上一个圆圈圈,第二行的第二和第三列可以合并。
    对于第一个而言为非ABC+ABC=BC
    对于第二个而言为A非BC+ABC=AC
    再比如对于四变量而言
    AB CD 00 01 11 10
    00 1 1
    01
    11 1 1
    10
    我们很容易看出m0和m2这两个方格标1且相邻,所以消去C,保留ABD,结果是非A非B非D,剩下的类似
    2.卡诺图上任何标四个1的方格相邻,可以合并为一项,并可消去两个变量
    这分两种请情况
    第一种情况:四个方格在同一行或同一列
    你只要看谁变了,谁不变,就可以直接写出来
    比如在第一行,AB肯定不变,消去CD
    第二种情况:田字格
    和第一种情况一样的,当然田字格也有可能是分布在四角上,这也是田字格
    3.卡诺图上任何标1的8个方格相邻,可以合并为一项,并可消去三个变量
    和之前一模一样,当然你可能会想两行连在一起,还有两行分开的。

    用卡诺图把逻辑函数简化为最简与或式
    最简标准:
    1.乘积项的数目最少,意味着卡诺图中圈数最少
    2.每个乘机项中的变量最少,意味着卡诺图中的圈尽可能大
    求F(A,B,C)= m(3,4,5,6,7)的最简与或式
    先画出3变量的卡诺图,然后找到3,4,5,6,7
    在对应的方格写1
    就得到最简与或式
    记住圈的时候可以重叠,但是每两个圈必须有方格不一样
    化简步骤
    1.由表达式填卡诺图
    2.圈出孤立的标1方格
    3.找到只有一种圈法的标1方格,这一种圈法要大
    4.将剩余的标1方格圈成尽可能少,而且尽可能大的圈
    5.相加
    化简注意事项
    1.每一个标1的方格必须至少被圈一次
    2.每个圈中包含的相邻的最小方格数必须是2的整数次幂
    3.为了得到尽可能大的圈,圈与圈之间可以重叠
    4.若某个圈中标1的方格完全被其他圈所覆盖,则该圈为多余圈

    用卡诺图求一个函数的反函数
    可以得到反函数的最简与或式
    这一点是比用反演规则求所没有的
    直接在卡诺图里合并标0的方格,就得到反函数的最简与或式

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    目录

    1.学前需要了解知识点

    2.卡诺图(karnaugh map)

    3.逻辑函数的卡诺图化简法

    4.总结


    1.学前需要了解知识点

    • 最小项的定义
    • 最小项的表示方法
    • 最小项的相邻性

    最小项的定义:一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量,其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现,且仅出现一次,则这个乘积项称为该函数的一个标准积项,通常称为最小项

    最小项的表示方法:通常用来表示最小项。

    下标i的确定方式:把最小项中原变量记为1,反变量记为0,当变量顺序确定后,可以按顺序排列成一个二进制数,则这个二进制数相对应十进制数,就是这个最小项的下标i

    例1:

    函数L(A,B,C)中有3个变量,他们的最小项是:

    如果把原变量记为1,反变量记为0:

    以上就是下标i的确认方式。

    既然i已经确认,也就是说(m0、m1...m7)可以记成:

    最小项的的相邻性:任何两个最小项如果他们只有一个因子不同其余因子都相同,则称这两个最小项为相邻最小项

    例如:m0和m1具有相邻性,m1和m2却没有,因为他们有两个不同的因子;m3和m4也不相邻,但是m3和m2相邻。

    相邻的两个最小项之和可以合并一项消去一个变量。如:

    到此,已经具备接下来学习卡诺图的准备知识点,接下来看看怎么画卡诺图以及卡诺图化简法。

    2.卡诺图(karnaugh map)

    基本知识:

    • 卡诺图是由美国工程师卡诺(Karnaugh)首先提出的一种用来描述逻辑函数的特殊方格图。

    • 在这个方格图中,每一个方格代表逻辑函数的一个最小项,而且几何相邻(在几何位置上,上下或左右相邻)的小方格具有逻辑相邻性,即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同

    • 对于有n个变量的逻辑函数,其最小项有2^n个。因此该逻辑函数的卡诺图由 2^n  个小方格构成,每个小方格都满足逻辑相邻项的要求。

    稍微整理下上面的基本知识点:

    1. 一种描述逻辑函数特殊方格图。
    2. 每格代表一个最小项,上下左右相邻就具备相邻性。
    3. 有n个变量,最小项就有2^n且卡诺图也由2^n个格子构成。

    两变量的卡诺图:

    三变量的卡诺图:

    四变量的卡诺图以此类推吧!就不画了,累啊,偷懒一下。

    例2:画出逻辑函数的卡诺图。

    解:

    通过上面的例子,我们已经掌握如何画卡诺图,接下来就是如何使用卡诺图进行化简。

    3.逻辑函数的卡诺图化简法

    卡诺图相邻性的特点保证了几何相邻两方格所代表的最小项只有一个变量不同。因此,若相邻的方格都为1(简称1格)时,则对应的最小项就可以合并。合并的结果是消去这个不同的变量,只保留相同的变量。这是图形化简法的依据。     

    综上所述,卡诺图具备以下特性:

    1. 卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项,并消去一个变量。
    2. 卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项,并消去两个变量。
    3. 卡诺图中八个相邻1格的最小项可以合并成一个与项,并消去三个变量。

    利用这3点特性来接着看下面的例子:

    上图两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项,并消去一个变量,化简式子如下:

    根据上面3个特性再来看几个例子加深理解,以下是4个相邻1格的:

    再来看一题:

    用卡诺图化简法求最简与或表达式

    先画出卡诺图,然后转换十进制对应1,2,3,6,7的地方填入为1,其余填写为0(这个步骤有前面的知识点支撑,应该不难理解了。)

    然后获得式子:F =m1+m3+m2+m3+m6+m7

    即:

    好了到此,我们已经清楚如何化简了,接下来是对如何对卡诺图进行画圈进行探讨。

    首先,有这么几点需要明确:

    1. 列出逻辑函数的最小项表达式,由最小项表达式确定变量的个数(如果最小项中缺少变量,应按例的方法补齐)。
    2. 画出最小项表达式对应的卡诺图。
    3. 将卡诺图中的1格画圈,一个也不能漏圈,否则最后得到的表达式就会与所给函数不等;1格允许被一个以上的圈所包围。
    4. 圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一个也不漏圈的前提下,圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应,圈数越少,与或表达式的与项就越少。
    5. 按照2k个方格来组合(即圈内的1格数必须为1248等),圈的面积越大越好。因为圈越大,可消去的变量就越多,与项中的变量就越少。
    6. 每个圈应至少包含一个新的1格,否则这个圈是多余的。
    7. 用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。

    带着这7点来看

    例3:用卡诺图化简以下表达式


    :  从表达式中可以看出此为四变量的逻辑函数,但是有的乘积项中缺少一个变量,不符合最小项的规定。因此,每个乘积项中都要将缺少的变量补上:

    因此,获得整个表达式如下:

    这里演示了刚才提示的(1)点,最小项缺少变量补齐。

    例2:

    错误 (多画一个圈)


    正确

    例3:

    错误(圈的面积不够大)


    正确

    例4:

    错误(圈的面积不够大)


     

    例5:

    错误(有一个圈无新的1格)


     

    到此为止,已经学会了如何利用卡诺图化简法来化简函数。

    4.总结

    • 逻辑函数的化简有公式法和卡诺图化简法等。
    • 公式法是利用逻辑代数的公式和规则(定理)来对逻辑函数化简,这种方法适用于各种复杂的逻辑函数,但需要熟练地运用公式和规则(定理),且具有一定的运用技巧。
    • 卡诺图化简法简单直观,容易掌握,但变量太多时卡诺图太复杂,一般说来变量个数大于等于5时该法已不适用。
    • 在对逻辑函数化简时,充分利用无关项可以得到更为简单的结果。(有关无关项的知识点,在此文章没有提及。自己查找相关学习吧)

     

     

     

     

     

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空空如也

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