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  • 椭圆曲线加密算法 java语言实现 elliptic curve private keys produce DER encodings of PKCS8 PrivateKeyInfo objects and elliptic curve public keys produce DER encodings of X.509 SubjectPublicKeyInfo ...
  • 椭圆曲线加密算法

    2019-09-30 13:19:52
    关于椭圆曲线加密算法,难得找到一篇好文,跟大家分享一下。 后续进行更多了解后,继续跟大家分享。 ECC加密算法入门介绍 转载于:https://www.cnblogs.com/sword03/p/9321998.html...

    关于椭圆曲线加密算法,难得找到一篇好文,跟大家分享一下。
    后续进行更多了解后,继续跟大家分享。
    ECC加密算法入门介绍

    转载于:https://www.cnblogs.com/sword03/p/9321998.html

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  • ECC椭圆曲线加密算法

    千次阅读 2016-12-25 16:14:37
    椭圆曲线加密也是一种公钥加密算法,和RSA与离散对数一样,它也是基于一个数学求解的难题,并且它的难度比RSA和离散对数都要大,它基于的数字难题就是求取定义在椭圆曲线上的离散对数的求取难题。

    椭圆曲线加密也是一种公钥加密算法,和RSA与离散对数一样,它也是基于一个数学求解的难题,并且它的难度比RSA和离散对数都要大,它基于的数字难题就是求取定义在椭圆曲线上的离散对数的求取难题,对于这个难题的描述比大数分解和离散对数要稍微复杂一些,不过它也还算比较形象,理解起来也不难,如果有公式恐惧的直接看文字也能明白大致的意思。

    1、定义在实数域上的椭圆曲线

    曲线方程是: y2=x3+ax+b4a3+27b20
    曲线形状是:
    这里写图片描述
    一个椭圆曲线群指的就是由曲线上的点和无穷远点 O 组成的集合。
    这个群是一个加法群,这个加法群是这样定义的:
    对于椭圆曲线上不同的两点P Q ,则有P+Q=R,它表示为一条通过 P Q的直线与椭圆曲线相交于一点 R , R 关于 X 轴对称的点即为R,如下图所示:
    这里写图片描述
    对于曲线上的任意一点 P ,有P+(P)=O O 是无穷远点。如果P点的坐标是 (x,y) ,那么 P 点的坐标是 (x,y) ,如下图所示(下图也是一种椭圆曲线):
    这里写图片描述
    对于椭圆曲线上的任意一点 P ,有P+P=2P=R,相对于在 P 点做一条切线,切线与曲线相交于一点,然后取椭圆曲线上关于该交点的对称点,如下图所示:
    这里写图片描述
    特别的,对于点P,如果 y=0 ,那么交点在无穷远点,则有 2P=O ,如下图所示:
    这里写图片描述
    上面的几条运算法则定义了椭圆曲线的加法,依据这个加法现在就可以说明一下椭圆曲线加密所利用的数学难题:
    对于椭圆曲线上的点 P ,其中y0,也就是纵坐标不能于0,依据前面定义的加法的计算法则,给定一个整数 n ,很容易求出Q=nP,也就是 n P相加,但是在已知了 P Q的条件下求取 n 则是一个很难的问题。
    前面给出了实数域上椭圆曲线的加法的定义,利用一定的平面解析几何的方法就可以得到加法的计算公式:
    如果P=(xP,yP) Q=(xQ,yQ) 不是互反的,也就是不是横坐标相等,纵坐标相反,那么求取 P+Q=R , R=(xR,yR) 的算法是:
    s=yPyQxPxQ ,可以看出 s 就是直线的斜率
    xR=s2xPxQ,yR=yP+s(xPxR)
    求取 R=2P 的公式是(这个是针对 P=(xP,yP) ,且 yP0 ):
    s=3xp2+a2yp
    xR=s22xP,yR=yP+s(xPxR)

    2、定义在 FP 域和 F2m 域上的椭圆曲线

    FP 域指的是对于素数 P ,由小于P的所有正整数(包括0)组成的集合,在这个集合上定义的加法和乘法都是模 P 加和模P乘,也就是对加或者是乘法的结果都要模 P ,最后的是模P的结果。
    F2m 域指的则是对于所有位长小于等于 m 的二进制数组成的集合,在这个集合上的加法就是模2加,乘法则是把二进制数对应成一个多项式,然后两个多项式相乘,模上一个m级的本原多项式,结果就是模后的多项式的系数。
    域定义好了,依据这两个域的定义,可以看出和实数域不一样的是,定义在这两个域上的二维平面上的这两个域上的点是有限个的,在这两种域上定义的椭圆曲线方程和实数域是一样的,也是:
    y2=x3+ax+b4a3+27b20
    但是在这两种域上的椭圆曲线的形状就看起来不像是什么曲线了,而是一些离散的点,看起来如下图所示:
    这里写图片描述
    虽然看起来不像是曲线,但是还是可以看出基于横轴对称的特性。
    在个两个域上的加法(针对两个点的加法)的定义和在实数域上也是一样的,只是具体的加和乘是定义在 FP 或者 F2m 域上的,即:
    FP 域上:
    P+Q=R
    s=yPyQxPxQmodP
    xR=s2xPxQmodP
    yR=yP+s(xPxR)modP
    对于 2P=R
    s=3xP2+a2yPmodP
    xR=s2xPxQmodP
    yR=yP+s(xPxR)modP
    F2m 域上:
    P+Q=R
    s=yPyQxP+xQ
    xR=s2+s+xP+xQ+a
    yR=xR+yP+s(xP+xR)
    对于 2P=R
    s=xP+yPxP
    xR=s2+s+a
    yR=xP2+(s+1)xR
    只是所有的乘和加运算是在 F2m 域上的

    3、椭圆曲线上的加密与解密算法

    椭圆曲线上的加密与解密一般是运用定义在 FP 域或者 F2m 域上的椭圆曲线。
    如果Alice想通过 FP 域上椭圆曲线加解密算法和Bob通信,加解密的过程一般是这样的:
    1、首先是关于密钥的问题
    这是一个事先的过程,在Alice想给Bob发消息之前这个事情就已经做了。
    通过选取合适的参数 a,b,P 建立椭圆曲线 EP(a,b) ,并选取椭圆曲线上的一点 G 作为基点,Bob选整数K作为私钥,通过运算 H=KG 得到椭圆曲线上的另外一个点作为公钥,然后把 EP(a,b),G,H 传给Alice。
    2、加密过程
    Alice对于要加密的信息 m ,通过编码成为椭圆曲线上的一个点M(有编码就有解码,这个是可逆的,所以我们只用关心对于 M 的加密与解密)。然后Alice选择一个随机的数r,然后在椭圆曲线上计算两个点:
    C1=M+rH
    C2=rG
    然后Alice把 C1 C2 发给Bob,可以看出Alice是用Bob的公钥进行加密。
    3、解密过程
    Bob收到消息后就用自己的私钥进行解密:
    C1KC2=M+rKGKrG=M

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  • 详细可以参考ECC椭圆加密算法学习————从实数域到有限域的椭圆曲线。不难发现,在实数域的标量乘法看上去是一个“简单”的问题,但是在有限域$\mathbb {F}_{p}$就显得非常困难。本文主要讨论如何将之前所学的运用...

    0x00 前言

    之前学习了实数域上的椭圆曲线与有限域$\mathbb {F}_{p}$上的椭圆曲线。详细可以参考ECC椭圆加密算法学习————从实数域到有限域的椭圆曲线。

    不难发现,在实数域的标量乘法看上去是一个“简单”的问题,但是在有限域$\mathbb {F}_{p}$就显得非常困难。本文主要讨论如何将之前所学的运用于加密问题中。

    相关代码

    一些重要的域参数素数 $p$

    椭圆曲线系数 $a$ 与 $b$

    基点(生成元) $G$

    子群的阶$n$

    辅因子$h$

    之后,将这六个域参数组合成一个一个六元组$(p,a,b,G,n,h)$

    在后文中会经常用到

    本文代码

    0x01 椭圆曲线加密算法

    尽管之前花了很长时间的铺垫,但是椭圆曲线的密码学策略,简单而纯粹

    在选取完毕一个六元组后,定义如下内容私钥: 一个随机的整数$d$,选取自${1,...,n-1}$

    公钥:$H = dG$  ($G$是循环子群的生成元)

    至此,来考虑一个问题

    如果我们知道 $d$与六元组,那么很简单就可以算出$H$了。但是,如果我们只知道$H$和$G$,去寻找一个$d$是非常困难的,因为这需要解决离散对数问题。

    通过这一组密钥,可以衍生出两种经典的椭圆曲线加密算法,分别是 ECDH,可以用来加密。以及 ECDSA ,可以用来数字签名

    0x02 ECDH 加密算法

    ECDH是Diffie—Hellman算法的衍生。关于DH算法这里不展开,如果能学到这里想必对DSA与DH都有一定程度的了解。

    2.1 ECDH 的工作过程

    ECDH的工作原理如下所示,实际上和纯粹的DH算法有着非常相似的地方Alice 和 Bob 首先约定一个六元组,生成自己的私钥和公钥。定义数据结构如下

    Alice Private Key : $d_A$

    Alice Public Key : $H_A = d_AG$

    Bob Private Key : $d_B$

    Bob Public Key : $H_B = d_BG$

    Alice 和 Bob 公开得交换公钥。第三方可以窃听到 公钥$H_A$和$H_B$,但是他无法解出$d_A$和$d_B$

    Alice 用自己的私钥计算 $S_A = d_A H_B$;Bob 用自己的私钥计算 $S_B = d_B H_A$

    很显然 $S_A = S_B$ 因为以下算式

    $$S = d_AH_B = d_A(d_B G) = d_B(d_A G)$$

    对此,可以将上述过程总结为一个数学问题。给定三个点 P,aP,bP,那么abP的结果是什么?

    总之,ECDH的问题也被归结为非常困难的那一类。尽管无法证明有多困难,但是这个难度应该和在上一篇文章最后提及的椭圆曲线难题的难度相当。此时,Alice和Bob已经获得了共享密钥,可以通过对称加密来交换数据

    比如说,他们可以使用S的x坐标密钥,使用AES或者3DES加密消息。

    实际上在TLS的过程中中,TLS将x坐标与其他相关的数字关联起来,从而计算得到字节型字符串的散列。

    2.2 ECDH 加密解密实践

    之前为了解释算法的过程,所以采用了非常简单的椭圆曲线。实际上,运用在实际中的曲线非常复杂。有一个组织叫高效密码学标准协会SECG。制定了一系列的高强度的密码学标准。可以在相关文档中查到高强度的密码学参数。

    在此,选取了Secp256k1作为之后演示的例子。同时secp256k1也是比特币公钥加密中的椭圆曲线参数。

    其六元组的构成如下所示:p = 0xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffefffffc2f

    a = 0

    b = 7

    xG = 0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798

    yG = 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8

    n = 0xfffffffffffffffffffffffffffffffebaaedce6af48a03bbfd25e8cd0364141

    h = 1

    通过一个简单的脚本,可以还原上述过程,如果一切顺利,S_A 与 S_B 无论如何都是相等的Curve: secp256k1

    Alice's private key: 103578888203905683147310628925141324706004210586941582062255108435073330635559

    Alice's public key: (72205313168121137722470139642970359323314163425341806818266474706052417395420, 42908651374588414209406038144703625728727324613824233811609705542553632995837)

    Bob's private key: 97727733532815547475289836254065376178409286030674739848985976984975775000167

    Bob's public key: (5226211608039988834249916327528388136314009566006478722042576040985411258297, 76867928087387169315809382707245048142671884194759753857442364958995784506075)

    Shared secret calculate by Alice : (90402392865121638378190357760493775057772079441731676814490847255017097141119, 29964306249717728516272468678674342055122755840848542530168745390980111134510)

    Shared secret calculate by Bob : (90402392865121638378190357760493775057772079441731676814490847255017097141119, 29964306249717728516272468678674342055122755840848542530168745390980111134510)

    2.3 临时(Ephermeral) ECDH

    ECDHE 也是一种常见的ECDH算法。其中的E表示短暂的。指交换的密钥是临时的,而不是静态的。在TLS中使用ECDHE。那么客户端和服务端在建立连接时即时生成其公钥私钥对,然后使用TLS证书对密钥进行签名,然后在各方之间交换

    0x03 ECDSA 加密算法

    ECDSA 的使用场景如下:

    Alice想要用她的私钥$d_A$对一个消息进行签名。Bob希望通过Alice的公钥$H_A$来验证对消息的签名。但是只有Alice能够签名,其他人只能验证她的签名。

    同样Alice和Bob使用相同的六元组域参数。所谓ECDSA是应用于椭圆曲线的DSA数字签名算法的变体。

    关于DSA的具体细节,可以看看我之前写的文章(PS: 代码有些问题,当初连模逆运算都不是很懂)

    ECDSA处理的是消息的哈希值,而不是消息本身,散列函数选择取决于双方,但是应当选用安全的散列函数。在此,我们定义消息的散列值为$z$

    3.1 ECDSA 的签名过程

    ECDSA 的流程如下所示:

    预定完毕一个六元组后,Alice首先定义公钥和私钥私钥: 一个随机的整数$d_A$,选取自${1,...,n-1}$

    公钥: $H_A = d_AG$  ($G$是循环子群的生成元)

    随后,Alice 定义如下内容选取一个随机的整数$k$,选取自${1,...,n-1}$

    计算 $P = kG$  ($G$是循环子群的生成元)

    计算 $r \equiv x_p ;(mod ;n );$ ($x_p$ 是P的横坐标)

    如果 $r = 0 $ 则重新选取k

    计算 $s \equiv k^{-1} ( z + rd_A); (mod;n)$ ($d_A$是Alice的私钥,$k^{-1}$是$k$的逆元)

    如果 $s = 0 $ 则重新选取k

    将 $(r,s)$ 封装为一个签名

    简单来说,该算法生成了一个密钥k。该密钥通过标量积隐藏在签名的$r$中。之前也说过,通过$P$和$G$计算$k$,是有限域椭圆曲线的数学难题。

    随后$r$通过算式 $s \equiv k^{-1} ( z + rd_A); (mod;n)$与消息散列$z$建立起联系。并将$r$和$s$封装为签名。

    为了计算$s$,需要知道$k$的对于$n$的逆元。在之前说到过,如果$n$是个合数,那么在计算模逆的时候会出些一些非常棘手的状况。所以如果私钥不是素数,那么ECDSA就不能够被使用。当然,在制定高强度密码学标准的时候,自然是考虑到了这种情况

    3.2 ESDSA 的验证过程

    对于Bob而言,他知道$z$和$(r,s)$,可以这样来验证签名计算 $u_1 \equiv s^{-1} z ;(mod ;n)$

    计算 $u_2 \equiv s^{-1} r ;(mod ;n)$

    计算 $P_0 = u_1G + u_2H_A$

    当且仅当 $ r=xP;mod;n $的时候 $P_0 = H_A$

    3.3 ESDSA 的正确性验证

    首先从最后一步开始:(严谨而言下面每个式子都需要模n)

    $$

    \begin{eqnarray}

    P =&   u_1G + u_2H_A \

    =& u_1G + u_2d_AG\

    =& (;u_1 + u_2d_A; ); G

    \end{eqnarray}

    $$

    之后回带 $u_1$,$u_2$

    $$

    \begin{eqnarray}

    P =& (;u_1 + u_2d_A; ); G \

    =& (;s^{-1} z  +  s^{-1} rd_A;) ;G\

    =& s^{-1}(;z + rd_A;); G

    \end{eqnarray}

    $$

    ∵ $s = k^{-1}(;z + rd_A;); mod ; n  $

    ∴ $ k = s^{-1}(;z + rd_A;); mod ; n$

    因此的得证 $ P = kG$

    综上所述,可以将ECDSA的过程用下图来概括ab8aaecf98fb5043ffc1ec5e0b553807.png

    3.4 ESDSA 签名与验证演示

    我写了一个ESDSA签名与验证的脚本,其输出内容如下所示。详细代码可以再github里查看Curve: secp256k1

    Private key: 104402155858234843462820049838931863424340700345639408070129091750274190501639

    Public key: (26871662523956236501334015334554552355718345422423650192015494443518483271191, 78585437455917839772708635641693122787004414694759872862060571807949572029114)

    Message: 79600447942433

    Signature: (90544279873496095960562757005038315753760612769739282803554290388042828042546, mpz(81447758399901905504654585382621756821500911503165874513424939904998314198491))

    Verification: signature matches

    3.5 ESDSA 简单攻击演示

    生成ECDSA签名时,保守秘密非常重要 ķ真的很秘密。如果我们使用相同的ķ来签名,或者如果随机数生成器可预测,攻击者就能找到私钥

    如果使用相同的k进行签名,将会发生一些有趣的事情。也是索尼在11年前犯的错误

    在计算开始之前,首先我们应当知道域参数的六元组(或者曲线名称),两组签名 $(r_1,s_1),(r_2,s_2)$与哈希值$z1$,$z2$。以及公钥 $S_A$

    对于相同的k生成的两组签名 $(r_1,s_1),(r_2,s_2)$而言。最先确定的是$r1=r2$

    两式相减可得 $$s_1 - s_2 \equiv k^{-1} \times (z_1 -z_2) ; mod ;n$$

    两边同乘k后将k的系数除过去 可得 $$k   \equiv (s_1 - s_2)^{-1} \times (z_1 -z_2) ; mod ;n$$

    此时,就可以计算出$k$,再利用 $k$ 可以计算出私钥$d_A$

    $$s \equiv k^{-1} (z _ rd_A) ; mod ; n \Longrightarrow d_A \equiv  r{-1} (sk -z ) ; mod ; n$$

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  • 椭圆曲线加密算法及其在PKI中应用模型的研究
  • 该C源码,可移植性强,适用于非对称密码体制的加密技术。唯一要注意的是RNG随机数在不同的平台,针对上层底层的区别用不同的方法。另外就是字节类型统一后调用API接口函数即可实现
  • 椭圆加密算法的原理和理论进行了大体的讲解
  • SM2基于ECC,ECC(Elliptic Curves Cryptography)加密算法是一种公钥加密算法,与主流的RSA算法相比,ECC算法可以使用较短的密钥达到相同的安全程度。近年来,人们对ECC的认识已经不再处于研究阶段,开始逐步进入...

            SM2基于ECC,ECC(Elliptic Curves Cryptography)加密算法是一种公钥加密算法,与主流的RSA算法相比,ECC算法可以使用较短的密钥达到相同的安全程度。近年来,人们对ECC的认识已经不再处于研究阶段,开始逐步进入实际应用,如国家密码管理局颁布的SM2算法就是基于ECC算法的。


      demo下载:  https://github.com/HungryGoogle/SM2_Demo_replace_RSA/tree/master

    1 调用函数
        SM2Utils.testSm2();
        
    2 运行结果:
        <br/>leeTest------>: 1 ---------------------------------------
        <br/>leeTest------>: privateKey = 128B2FA8BD433C6C068C8D803DFF79792A519A55171B1B650C23661D15897263
        <br/>leeTest------>: pubkey = 040AE4C7798AA0F119471BEE11825BE46202BB79E2A5844495E97C04FF4DF2548A7C0240F88F1CD4E16352A73C17B7F16F07353E53A176D684A9FE0C6BB798E857
        <br/>leeTest------>: userId = lee@deepin.com
        <br/>leeTest------>: after privateKey sign, result = 304402206E0266508466EEB68C4E50D1D823101C405EEF3295859BD160811E0E455FF53002205372010CC62B1D73341982906D99EAAC4A1472618150F4D690B4D92B8BA41B0D
        <br/>leeTest------>: user pubkey verifyResult = true
        <br/>leeTest------>: 2 ---------------------------------------
        <br/>leeTest------>: cipherText = 307202203DF61DE93F19AA4547DF343BD1C369CE4062C2F523FC1F111945EF1952CAD72202200245B30B374D0ECB3FB140DBEB01BB66D307A7B2254CD74E4C1602701A504CFA0420AD353782C492BE55041B394B7CB2DB8BFC664E2F6F2C78DA1B726BA83A424463040AEE6592603C35E9891EA9
        <br/>leeTest------>: plainText = HelloWorld
        <br/>leeTest------>: End ---------------------------------------
    
     3 文章来自于
        http://blog.csdn.net/moonshine99/article/details/79426665

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  • 有趣的椭圆曲线加密

    2020-03-18 23:02:44
    椭圆曲线加密算法依赖于椭圆曲线理论,后者理论涵盖的知识比较深广,而且涉及数论中比较深奥的问题。经过数学家几百年的研究积累,已经有很多重要的成果,一些很棘手的数学难题依赖椭圆曲线理论得以解决(比如费马大...
  • 在ECC椭圆曲线上的一种加密算法,是现在比较流行的一种非对称加密算法
  • 该实例是加密货币的椭圆曲线算法,使用C+编写。可以方便学习加密/签名,是做区块链项目的重要的一个子项目参考。
  • C++椭圆曲线库下载网址http://sourceforge.net/projects/libecc/files/,打开之后右边显示: 点击红框里面链接:http://sourceforge.net/projects/jecc/?source=recommended,跳转到jecc下载页 点击下载即可。...
  • ECC加密算法 java

    万次阅读 2015-10-12 12:04:38
    ECC-Elliptic Curves Cryptography,椭圆曲线密码编码学,是目前已知的公钥体制中,对每比特所提供加密强度最高的一种体制。在软件注册保护方面起到很大的作用,一般的序列号通常由该算法产生。   当我开始整理...
  • 区块链-椭圆曲线加密生成公钥

    千次阅读 2019-05-10 19:04:53
    椭圆曲线加密法:https://blog.csdn.net/qq_40452317/article/details/90075982 目录:... 先阅读上面那篇椭圆曲线加密法文章。 https://blog.csdn.net/qq_40452317/article/detail...
  • 椭圆曲线加密(ECC)

    千次阅读 2018-08-28 18:05:29
    椭圆曲线加密 椭圆曲线加密(ECC)最大的优点就是使用比RSA短得多的密钥得到相同的安全性,因此可以减少处理负荷,使公钥密码的应用领域得到拓展。 1. 奇怪的对称性 它是水平对称的。图形是关于x轴对称的。 更...
  • 概述 椭圆曲线数字签名算法...本文在对椭圆曲线数字签名算法原理进行简单解释的同时,介绍了两种在Solidity语言中验证椭圆曲线加密数字签名的方式。其中包括了已经被广泛采用的Solidity函数ecrecover和波场0.5.9版...
  • java 非对称加密算法

    千次阅读 2017-05-23 21:24:36
    慕课网学习笔记 参考:java加密算法 ...非对称加密算法主要有:DH(Diffie-Hellman)密钥交换算法、RSA(基于因子分解)、Elgamal(基于离散对数)、ECC(Elliptical Curve Cryptography,椭圆曲线加密)。DH(密
  • 椭圆曲线密码算法介绍

    千次阅读 2006-05-29 01:41:00
    椭圆曲线密码算法介绍 1,有限域上的椭圆曲线 设K表示一个有限域,E是域K上的椭圆曲线,则E是一个点的集合: E/K = { ( x, y ) | y2+ a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6, a1, a3, a2, a4...
  • 程序对提供的点 G(输入)和提供的 256 位随机生成的私钥 d(输入)执行标量乘法。 程序默认为 secp256k1 基点。 输入应为大端十六进制。... 程序不会运行检查来验证输入点是否在椭圆曲线上 (y^2=Y=x^3+7)。
  • tls 1.2加密 A couple of reader alerts: 读者警告: In order to (somewhat) simplify the description process and tighten the volume of the article we are going to write, it is essential to make a ...
  • SM2椭圆曲线公钥密码算法JAVA实现

    千次阅读 2018-01-10 14:39:00
    //System.out.println("椭圆曲线点X: " + userKey.getX().toBigInteger().toString(16)); //System.out.println("椭圆曲线点Y: " + userKey.getY().toBigInteger().toString(16)); //System.out.println(""); ...
  • java常用加密算法

    千次阅读 2016-12-18 19:06:11
    java常用加密算法

空空如也

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