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  • 离散傅里叶变换公式理解

    千次阅读 2020-01-07 15:33:08
    2πu表示角速度w,和连续傅里叶中的w对应 x/N表示时间 当x=N的时候,表示走了一个周期; 在连续傅里叶中,N不存在,x是时间。

    2πu表示角速度w,和连续傅里叶中的w对应

    x/N表示时间

    当x=N的时候,表示走了一个周期;

    在连续傅里叶中,N不存在,x是时间。

     

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  • 傅里叶变换公式理解 为什么要进行傅里叶变化 很多时候,频域比时域直观的多。 傅里叶变换,表明时域的信号可以分解为不同频率的正弦波的叠加。我们接受来自一段非周期信号的时候,可以更好的处理。 这也是通信...

    对傅里叶变换公式的理解

    为什么要进行傅里叶变化

    很多时候,频域比时域直观的多。
    傅里叶变换,表明时域的信号可以分解为不同频率的正弦波的叠加。我们接受来自一段非周期信号的时候,可以更好的处理。
    举个例子,如果我们把两个个没有公共频率成分的信号相加,一同发送。在接收端接收到之后,用滤波器把两个信号分开,就可以还原出发送的两个信号。这就是通信的实质。

    傅里叶变换公式

    傅里叶变换公式
    其中x(t)是非周期连续时间信号,w为实数

    适用于傅里叶公式的三个条件

    1、x(t) is absolutely integrable,namely

    x(t)必须绝对可积。可以理解为这个信号的能量必须是有限的。傅里叶变换不能表示具有无限能量的这些信号。
    2、x(t) has only a finite number of maximum and minima within any finite interval
    在任意个有限区间内,必须有有限个极大值和极小值
    3、x(t) has only a finite number of discontinuities within any finite interval
    它在任意一个有限区间内,必须有有限个不连续点
    第二和第三条件可以理解为信号足够光滑

    傅里叶公式的数学来源

    两种最基本的复指数信号


    前者是连续时间域的表达方式,参数为角速度,对应的连续时间
    后者是离散时间点的表达方式,参数为角速度,对应的时间点

    连续时间域的表达式有一些很重要的特征
    1、它是周期信号

    它的周期为

    k是整数,T为一个基本周期
    2、当角速度值越大的话,表明信号震荡的频率越快
    3、

    当w1的绝对值不等于w2的绝对值时,这两个信号是呈正交的关系

    证明这两个信号是正交,用内积,对其中一项取共轭


    证明的最后一步,根据欧拉公式可以得到,即下图

    其中,欧拉公式的推导也很有趣
    拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示,而另一位数学家,傅里叶男爵猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和
    感兴趣的读者可以参考下面链接,还有很多直观的动图
    如何理解傅里叶变换公式

    有了连续型复指数信号,一样,通过类比,在复空间内求内积,取一个信号的共轭,得到傅里叶变换公式

    参考文献

    1、mooc课程<<数字图像处理与应用>> 浙江大学 陆系群
    2、知乎,如何理解傅里叶变换公式,https://www.zhihu.com/question/19714540
    3、知乎,傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系是什么?为什么要进行这些变换?
    https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/103926934

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  • 在网络上其他博客的基础上,对傅里叶变换中DFT以及FTT公式的由来进行整理以及比较清洗的阐述。
  • 离散傅里叶变换公式推导

    千次阅读 2020-05-31 19:28:02
    离散傅里叶变换公式推导 先抛变换公式: Fm=∑n=0N−1fne−2πimn/N↔fn=1N∑m=0N−1Fme2πimn/N F_m=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-2\pi imn/N}\leftrightarrow f_n=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}F_me^{2\pi imn/N} Fm​=n...

    离散傅里叶变换公式推导

    先抛变换公式:
    F m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − 2 π i m n / N ↔ f n = 1 N ∑ m = 0 N − 1 F m e 2 π i m n / N F_m=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-2\pi imn/N}\leftrightarrow f_n=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}F_me^{2\pi imn/N} Fm=n=0N1fne2πimn/Nfn=N1m=0N1Fme2πimn/N
    式中的N是数据点个数
    讲道理一开始完全看不懂公式这么来的,一顿百度后我学到了很多,但就是没学到怎么推公式。好吧只能自己推。
    先来看一下DFT的物理意义:DFT示意图
    (图我网上随便下的)
    离散傅里叶变换是把周期性离散信号变换到频域上,大家知道,周期信号变到频域上是离散的。离散就是在个别点 { x n } \{x_n\} {xn}有值。我是学物理的,物理里面离散的可以这么表示:
    f ( x ) = ∑ n = 0 N − 1 f n δ ( x − x n ) f(x)=\sum_{n=0}^{N-1}f_n\delta(x-x_n) f(x)=n=0N1fnδ(xxn)
    δ ( x ) \delta(x) δ(x)是个在 x = 0 x=0 x=0处无穷大,其余位置为0且全空间积分为1的函数 ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1 δ(x)dx=1

    周期性信号变到频域上,那不就是傅里叶级数吗。自然有公式
    F m = ∫ − T T ∑ n = 0 N − 1 f n δ ( x − x n ) e − i x k m d x = ∑ n = 0 N − 1 ∫ f n δ ( x − x n ) e − i x k m d x = ∑ n = 0 N − 1 f n e − i x n k m \begin{aligned} F_m &= \int_{-T}^{T}\sum_{n=0}^{N-1}f_n\delta(x-x_n)e^{-ixk_m}dx \\&=\sum_{n=0}^{N-1}\int f_n\delta(x-x_n)e^{-ixk_m}dx \\&=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-ix_nk_m} \end{aligned} Fm=TTn=0N1fnδ(xxn)eixkmdx=n=0N1fnδ(xxn)eixkmdx=n=0N1fneixnkm
    接下来我们假设 d x , d k dx,dk dx,dk分别是 { x n } \{x_n\} {xn}, { k n } \{k_n\} {kn}的间距,那么:
    x n = n d x , k m = m d k x_n=ndx,\qquad k_m = mdk xn=ndx,km=mdk
    代入上式:
    F m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − i x n k m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − i m n d x d k \begin{aligned} F_m &=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-ix_nk_m} \\&=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-imndxdk} \end{aligned} Fm=n=0N1fneixnkm=n=0N1fneimndxdk
    是不是和最上面的式子很接近了?还差最后一步,确定 d x d k dxdk dxdk的值。
    下面我懒得写了,只说一下做法吧

    1. 先写出 F m F_m Fm f n f_n fn的逆变换,
      f n = c ∑ n = 0 N − 1 F m e i m n d x d k f_n = c\sum_{n=0}^{N-1}F_me^{imndxdk} fn=cn=0N1Fmeimndxdk
      c c c是个系数,之后应该能计算出是 1 / N 1/N 1/N
    2. 把上面的 F m F_m Fm表达式带进去,就能得到用 f n ′ f_{n'} fn求和表达的 f n f_n fn,这要求 d x d k dxdk dxdk满足一定关系,其实就是满足 d x d k = 2 π N dxdk = \frac{2\pi}{N} dxdk=N2π
    3. 最后把公式里的 d x d k dxdk dxdk替换就完事了

    这个公式推导倒是不难,主要问题是理解不要出现偏差。所谓离散傅里叶变换是把周期离散信号变换到周期离散频谱,这是真的离散信号。一开始我以为是连续信号在某些给定点采样得到的值呢(没有学过信号相关的内容,在计算物理中遇到了这个离散傅里叶变换)。

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    今天是南瓜老师陪伴你的第 14 天

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    数学没学好,说白了还是你没有形成数学思维

    欢迎大家来到南瓜老师的数学思维训练营 第 14 期

    到底怎么形成数学思维

    每周四 21:00 

    锁定南瓜老师的数学思维训练营

    南瓜老师点石成金 带你玩转数学思维

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    - 南瓜老师 -

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    北大本硕毕业,高中就读于人大附第一实验班(牛) 全国高中数学联赛一等奖、中学生物理竞赛一等奖得主(更牛) “南瓜数学”品牌创始人,10+年高中数学教龄,学员过十万(更更牛) / 今天南瓜老师训练营的内容是 三角恒等变换公式 。提到三角恒等变换这个章节,很多同学就会想到那些繁杂甚至说是恐怖的公式,便心生畏惧,不想学习。其实不然,学好三角恒等变换只需注意三点:

    ①三角恒等变换包括的公式类型以及记忆技巧

    ②三角恒等变换的常见考法形式

    ③三角恒等变换承上启下作用的理解

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    食用建议:语音配合文字效果更好哦。

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    三角恒等变换的核心——公式

    今天的语音逻辑训练营,想跟大家聊一聊三角函数的那些个公式。学完三角函数,同学都知道公式特别的多。三角恒等变换的这一部分,特别不容易背下来。怎么把这些公式能够更好的记住并且理解运用呢?我建议大家,首先要对这些公式的生成过程是有认识的。它是有一个核心脉络的。那么接下来呢,自己动手把这些公式推演几遍,不要光死背,动手推一推,就会觉得印象比较深刻。

    三角恒等变换之精华公式

    那么三角恒等变换的这一系列的公式的核心是谁呢?就是和差角公式。那我们先从一个开始说起,比如说正弦的和角公式。sin(α+β)=sinα·cosβ+sinβ·cosα,先把这一个公式给记住。

    其他和差角公式

    那我们在想去推其他的和角公式的时候,比如说cos(α+β)怎么办呢?我们要想sin和cos是什么关系啊,是相差π/2的关系,对不对?那么如果我们想推算cos(α+β)我们可以去算谁呢? 算sin(α+β)+π/2,然后把β+π/2当做一个角。那么往下带公式就可以推出cos的和角公式了。

    tan的和角公式呢,tan跟sin和cos是什么关系?是除的关系对不对?所以tan(α+β)就是sin(α+β)/cos(α+β)。差角公式的时候,我们再把β给换成-β就可以了。这样正弦、余弦、正切的和差角公式一共六个公式,自己可以尝试推演一下。

    倍角半角公式

    那么接下来我们再让 α 和 β 相等,在和角公式中就得到了二倍角公式——sin2α、cos2α、tan2α。那请注意,在这里面的cos2α的二倍角公式一共是三个,我们都需要掌握。那这样得到了二倍角公式之后,我们再看cos的二倍角公式中,如果我们把2α写成α,那么原式中的α是不是就变成了α/2。这个时候在它的基础上进行推导,就得到了半角公式。所以我们要知道半角公式是从cos的二倍角公式逆过来的。了解这一点,半角公式也就掌握了。

    辅助角公式的本质

    那还有一个非常重要的就是,我们生成正弦型函数的辅助角公式它是哪来的呢?它是对我们和差角公式的逆用。所以大家再回到正弦的和差角公式sin(α+β)这个式子去看,如果我们的 β 是一个具体的数字,比如说四分之π、三分之π,或者六分之π,再把这个式子打开,是不是就得到了几倍的 sinα 加上几倍的 cosα 。所以我们为什么要在辅助角公式的第一步要去提斜呢?要去提出一个√a²+b²呢?就是为了保证这个时候 sinx 和 cosx 前面剩下的系数可以形成一个角的正余弦值,要满足让他们平方和为一。

    所以当你发现三角函数的这些公式,你掌握的它的内在逻辑,理解了它们是怎么推出来,再自己动手演算几遍之后,就会发现这些公式其实一点都不难记。你掌握了吗?

    22b949a9f7e9b9e94cab04ee60b0d7b5.png 哇 / 哦 / 干 / 货 / 满 / 满 感谢今天的你完成本周 三角恒等变换公式 的学习 扫码 或点 领取一节干货满满的南瓜老师 焦点三角形 大招课

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    如果你有哪些模块知识难以理解

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    特邀老师/郭化楠 撰文编辑/九九 879b3979db9a0e8b20073840c88ac11d.png
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  • Ref: 如何理解傅里叶变换公式
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  • 知乎:https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/334686351马同学回答的太好了,让我对傅里叶有了更加深刻的认识。忍不住就贴了。
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    万次阅读 多人点赞 2019-03-29 14:41:09
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空空如也

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傅里叶变换公式理解