1 时序模型

在时序模型中，以时间t为自变量，研究Y数值自身变化趋势。

研究时间序列数据的意义：在现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化、反映股市行情的各种指数等通常都可以表达为时间序列数据，通过研究这些数据，发现这些经济变量的变化规律（对于某些变量来说，影响其发展变化的因素太多，或者是主要影响变量的数据难以收集，以至于难以建立回归模型来发现其变化发展规律，此时，时间序列分析模型就显现其优势——因为这类模型不需要建立因果关系模型，仅需要其变量本身的数据就可以建模），这样的一种建模方式就属于时间序列分析的研究范畴。而时间序列分析中，ARIMA模型是最典型最常用的一种模型。

2 时间序列内容

时间序列可以分为长期趋势（trend）、季节变动（seasonal）、循环变动（cycling）和随机波动（irregular）四个部分。

• 长期趋势（ T ）现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势
• 季节变动（ S ）现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动
• 循环变动（ C ）现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动
• 不规则变动（I ）是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动和不规则的突发性影响很大的变动两种类型

2.1 时间序列模型详解

2.1.1 插值法

插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

2.1.2 AR模型

AR模型(Auto regressive Model)是一种线性预测，即已知N个数据，可由模型推出第N点前面或后面的数据（设推出P点），所以其本质类似于插值，其目的都是为了增加有效数据，只是AR模型是由N点递推，而插值是由两点（或少数几点）去推导多点，所以AR模型要比插值方法效果更好。
AR模型（自回归模型），是统计上一种处理时间序列的方法，用同一变数例如x的之前各期，亦即x1至xt-1来预测本期xt的表现，并假设它们为一线性关系。因为这是从回归分析中的线性回归发展而来，只是不用x预测y，而是用x预测 x（自己）；所以叫做自回归。

2.1.3 MA模型

MA模型(moving average model)称为滑动平均模型，MA模型和AR大同小异，它并非是历史时序值的线性组合而是历史白噪声的线性组合。与AR最大的不同之处在于，AR模型中历史白噪声的影响是间接影响当前预测值的（通过影响历史时序值）。
令{et}代表未观测的白噪声序列，{zt}是观测到的时间序列，将线性过程{zt}表示成现在和过去白噪声变量的加权线性组合，对于以下形式的序列

称为滑动平均MA（q）模型。

2.1.4 ARMA模型

ARMA模型(auto regressive moving average model)自回归滑动平均模型，模型参量法高分辨率谱分析方法之一。这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法。它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能，但其参数估算比较繁琐。

自回归移动平均模型由两部分组成：自回归部分和移动平均部分，因此包含两个阶数，可以表示为ARMA(p,q)，p是自回归阶数，q为移动平均阶数，回归方程表示为：

从回归方程可知，自回归移动平均模型综合了AR和MA两个模型的优势，在ARMA模型中，自回归过程负责量化当前数据与前期数据之间的关系，移动平均过程负责解决随机变动项的求解问题，因此，该模型更为有效和常用。

2.1.5 ARIMA模型

介绍时间序列平稳性时提到过，AR/MA/ARMA模型适用于平稳时间序列的分析，当时间序列存在上升或下降趋势时，这些模型的分析效果就大打折扣了，这时差分自回归移动平均模型也就应运而生。ARIMA模型能够用于齐次非平稳时间序列的分析，这里的齐次指的是原本不平稳的时间序列经过d次差分后成为平稳时间序列。
在现实生活中，存在很多非平稳的时间序列，它们的均值和方差是随着时间的变化而变化的，幸运的是，统计学家们发现，很多时间序列本身虽然不平稳，但是经过差分（相邻时间点的指标数值相减）之后，形成的新时间序列就变成平稳时间序列了。因此，差分自回归移动平均模型写成ARIMA(p,d,q)。p代表自回归阶数；d代表差分次数；q代表移动平均阶数。在spss软件中，有时输出的ARIMA模型包括6个参数：ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)，这是因为如果时间序列中包含季节变动成分的话，需要首先将季节变动分解出来，然后再分别分析移除季节变动后的时间序列和季节变动本身。这里小写的p,d,q描述的是移除季节变动成分后的时间序列；大写的P,D,Q描述的是季节变动成分。两个部分是相乘的关系。因此，ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)也被称为复合季节模型。

Python数据挖掘之时序模型预测

一、单变量序列预测

# 对数据直接进行ARIMA自回归综合移动平均线预测
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
import pandas as pd
import numpy as np
data = pd.read_excel('C:/Users/86188/Desktop/Python数据挖掘与数据分析/My work/第六章/财政收入影响因素分析及预测/tmp/new_reg_data_GM11.xls')

data_y = data['y']
data_y = data_y.dropna()

model = ARIMA(data_y, order=(1,1,1))
model_fit = model.fit()

print('模型报告为：\n', model_fit.summary())
print('预测未来2年，其预测结果、标准误差、置信区间如下：\n', model_fit.forecast(2))

#用AR自回归预测
from statsmodels.tsa.ar_model import AutoReg 
import pandas as pd
import numpy as np
data = pd.read_excel('C:/Users/86188/Desktop/Python数据挖掘与数据分析/My work/第六章/财政收入影响因素分析及预测/tmp/new_reg_data_GM11.xls')

data_y = data['y']
data_y = data_y.dropna()

model = AutoReg(data_y, lags=1) 
model_fit = model.fit()

print('模型报告为：\n', model_fit.summary())
print('预测未来2年，其预测结果、标准误差、置信区间如下：\n', model_fit.forecast(2))

import pandas as pd
import numpy as np

data = pd.read_excel('C:/Users/86188/Desktop/Python数据挖掘与数据分析/My work/第六章/财政收入影响因素分析及预测/tmp/new_reg_data_GM11.xls')

data_y = data['y']
data_y = data_y.dropna()
data_ymin = np.min(data_y)
data_ymax = np.max(data_y)
mmdata_y = (data_y-data_ymin)/(data_ymax-data_ymin)

print(mmdata_y)
#原数据图序列
import matplotlib.pyplot as plt 
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号
data_y.plot()
plt.show()

# 自相关图
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(data_y).show()

#将代码arima_model更改为arima.model
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
# 定阶
data_y = data_y.astype(float) 
pmax = int(len(D_data)/10)  # 一般阶数不超过length/10
qmax = int(len(D_data)/10)  # 一般阶数不超过length/10
bic_matrix = []  # BIC矩阵
for p in range(pmax+1):
  tmp = []
  for q in range(qmax+1):
    try:  # 存在部分报错，所以用try来跳过报错。
      #加入'oder='
      tmp.append(ARIMA(data_y, order=(p,1,q)).fit().bic)
    except:
      tmp.append(None)
  bic_matrix.append(tmp)

bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix)  # 从中可以找出最小值
print(bic_matrix)
#对数据的类型规范为float
p,q = bic_matrix.stack().astype(float).idxmin()  # 先用stack展平，然后用idxmin找出最小值位置。
print('BIC最小的p值和q值为：%s、%s' %(p,q)) 
model = ARIMA(data_y, order=(p,1,q)).fit()  # 建立ARIMA(0, 1, 1)模型
#旧版本的moel.summary2()用不了了，要换为summary()
print('模型报告为：\n', model.summary())
print('预测未来2年，其预测结果、标准误差、置信区间如下：\n', model.forecast(2))

结论：

​ 由于数据自身存在问题（样本数据少，数据平稳性差，差分也难使数据平稳），差分前后进行ARIMA的预测相差不大，效果都不是很好，AR的预测稍微比ARIMA好点，但也是比较差。

二、多向量时序模型SVR预测

linearsvr = LinearSVR()  # 调用LinearSVR()函数
linearsvr.fit(x_train,y_train)
x = ((data[feature] - data_mean[feature])/data_std[feature]).values  # 预测，并还原结果。
data['y_pred'] = linearsvr.predict(x) * data_std['y'] + data_mean['y']
outputfile = 'C:/Users/86188/Desktop/Python数据挖掘与数据分析/My work/第六章/财政收入影响因素分析及预测/tmp/new_reg_data_GM11_revenue.xls'  # SVR预测后保存的结果
data.to_excel(outputfile)

print('真实值与预测值分别为：\n',data[['y','y_pred']])

fig = data[['y','y_pred']].plot(subplots = True, style=['b-o','r-*'])  # 画出预测结果图
plt.show()

结论：

显然对于该数据来说，用多变量时序模型预测精度更准，效果更加。

上一篇文章讲了4中典型时序路径，都是可以基于一种时序模型进行时序的分析，进行书序的约束。典型的时序模型如下图所示，一个完整的时序路径包括源时钟路径、数据路径和目的时钟路径，也可以表示为触发器+组合逻辑+触发器的模型。

该时序模型的要求为：

                                                    Tclk ≥ Tco + Tlogic + Trouting + Tsetup – Tskew

其中，Tco为发端寄存器时钟到输出时间；Tlogic为组合逻辑延迟；Trouting为两级寄存器之间的布线延迟；Tsetup为收端寄存器建立时间；Tskew为两级寄存器的时钟歪斜，其值等于时钟同边沿到达两个寄存器时钟端口的时间差；Tclk为系统所能达到的最小时钟周期。通过建立时间可以分析出系统最高运行频率。

上式可以简单这么理解，只要数据从上个寄存器传到下个寄存器的总时间小于等于工作时钟周期，数据就可以安全可靠地传输。（这个模型不针对两个时钟域的信号）

这里我们多说一下这个Tskew，skew分为两种，positive skew和negative skew，其中positive skew见下图，这相当于增加了后一级寄存器的触发时间。

但对于negative skew，则相当于减少了后一级寄存器的触发时间，如下图所示。

当系统稳定后，都会是positive skew的状态，但即便是positive skew，综合工具在计算时序时，也不会把多出来的Tskew算进去。

用下面这个图来表示时序关系就更加容易理解了。为什么要减去Tskew，下面这个图也更加直观

发送端寄存器产生的数据，数据经过Tco、Tlogic、Trouting后到达接收端，同时还要给接收端留出Tsetup的时间。而时钟延迟了Tskew的时间，因此有：

                                                                     Tdata\_path + Tsetup <= Tskew + Tclk

对于同步设计Tskew可忽略(认为其值为0)，因为FPGA中的时钟树会尽量保证到每个寄存器的延迟相同。

公式中提到了建立时间，那保持时间在什么地方体现呢？

保持时间比较难理解，它的意思是reg1的输出不能太快到达reg2，这是为了防止采到的新数据太快而冲掉了原来的数据。保持时间约束的是同一个时钟边沿，而不是对下一个时钟边沿的约束。

reg2在边沿2时刻刚刚捕获reg1在边沿1时刻发出的数据，若reg1在边沿2时刻发出的数据过快到达reg2，则会冲掉前面的数据。因此保持时间约束的是同一个边沿

在时钟沿到达之后，数据要保持Thold的时间，因此，要满足：

                                            Tdata\_path =  Tco + Tlogic + Trouting ≥ Tskew + Thold

（Tdata\_path为发送端在时刻2发送数据到接收端的时间，确保满足保持时间）

这两个公式是FPGA的面试和笔试中经常问到的问题，因为这种问题能反映出应聘者对时序的理解。

在公式1中，Tco跟Tsu一样，也取决于芯片工艺，因此，一旦芯片型号选定就只能通过Tlogic和Trouting来改善Tclk。其中，Tlogic和代码风格有很大关系，Trouting和布局布线的策略有很大关系。

（来源：科学计算technomania ，作者猫叔）