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  • ANOVA
    千次阅读
    2021-06-27 17:12:40

    不同分析问题需要使用的分析方法

    集合之间平均值校验

    集合之间平均值校验

    变量关系比较

    变量关系比较

    变量关系比较

    1 ~ 2 个的集合

    多个集合(2个以上)

    范畴型变量独立性校验

    数值型变量间线性关系

    一种数值型变量与N个变量间的关系

    T-test(2个group,比如男女身高差)

    ANOVA(eg.比较大学学科间考试成绩差的情况)

    Chi Square

    相关分析

    回归分析

    One sample T-test(e.g.肉的重量是否1kg)

    Paired T-test(比如减肥前后,特定集合的前后比较)

    Two sample T-test(比如比较男女身高的求两个集团的平均)

    One way ANOVA (ANOVA有一个独立类型要素时使用一元分析,如求出家庭收入对食品消费程度的差异时使用)

    Two way ANOVA(有两个独立要素时使用,比如考虑跟学历及性别有关的消费金额的差异;不在ds级别范围)

    求一个因素的双侧检验

    One Sample T Test

    H0:体温等于97.7 H1:体温不等于97.7

    统计某一列的均值等

    Statistic Summary

    对应的两个(同样/类似)集合差异比较,有before-after关系的验证

    Paired T Test

    如 各州10年间增加的犯罪平均是否是170(即10年后的数据-10年前的数据=170)

    比较两个相互不同的独立group间的平均差异。

    Two Sample T Test For Stacked Data

    如 男女体温的平均是否有差异。

    对立假设:

    •男性平均体温与女性平均体温有差异

    集合之间平均值校验,独立变量只有一个-

    One Way ANOVA

    T检验

    T分布

    用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体均值。

    t分布特征

    (1)单峰分布,以0为中心,左右对称;

    (2)自由度越小,峰部越矮,而尾翘得越高;

    (3)当自由度增大时,t分布逼近u分布(标准正态分布),当自由度无穷大时,t分布就是标准正态分布;

    (4)t分布是一簇曲线,自由度不同,曲线的形状不同

    参考 <https://www.360kuai.com/pc/999af5d60c3b37c14?cota=4&kuai_so=1&tj_url=so_rec&sign=360_57c3bbd1&refer_scene=so_1>

    T-test


    用于小样本的两个平均值差异程度的检验方法,是用T分布理论来推断差异发生的概率,从而判定两个平均数的差异是否显著。

    T统计量(T-statistic)和T检验(T-test)

    t-test是指用T-statistic来做假设检验(hypothesis testing),而T-statistic是根据model计算的,用来做检验的统计量.

    正常T-statistic应该在0假设(null hypothesis)为真时,服从T分布(T-distribution).

    T-test时根据T-statistic值的大小计算p-value,决定是接受还是拒绝假设.

    参考:http://blog.sina.com.cn/s/blog_6cb445270102ymkq.html

    One Sample T-test

    在知道样本均值时验证平均差的时候使用。

    具体体现为:比较平均值与特定数字相同/大/小时使用

    Paired T-test

    对应的两个(同样/类似)集合差异比较。

    对立假设:

    • 减肥前后的体重变化不是0
    • 使用心得学习方法后成绩差异不是0
    • 同一时间段内A代理店与竞争B代理店的卖出额差异不是0

    例如 两个集团,各8个a资料,自由度是8-1=7

    Two Sample T-test

    比较两个相互不同的独立group间的平均差异。

    对立假设:

    • 男性平均体温与女性平均体温有差异
    • A品牌轮胎与B品牌轮胎寿命有差异

    t=group间平均差异/group内变动

    group间平均差异比gourp内变动明显很大的话,验证统计量就会更大,P值变小,就能驳回H0假设。

    Two Sample t-test 从下面三个基本假设出发:

    1.独立性(Independency) ←各观测值不会互相影响,比如男子group和女子group互相独立

    2.正态性(Normality) ← 根据独立变数的从属变数满足正态分布的正态性,只要样本量增加就能自然的解决

    3.等分散性(Equal Variance) ←根据独立变数的从属变数分布的分散在各group相同( 因等分散与否,分析方法不一样)

    分散:反应在统计里变量的平均的距离;分散相同的情况叫等分散,这种情况使用学生t分布;分散不同的情况叫E分散,使用E验证。

    学生t表格

    学生t表格,行为d.f.(自由度),列为1-α

    (个人理解:服从t分布的对应自由度和概率下的t临界值)

    例如:n=5,自由度为4,第5列值为2.132,对应的单侧值是95%,双侧值5%,

    表示T<2.132的概率是95%(单侧),

    记为Pr(−∞ < T < 2.132) = 0.95;T介于-2.132和2.132之间的概率为90%(双侧),记为

    Pr(−2.132 < T < 2.132) = 0.9

    参考 <https://baike.baidu.com/item/t%E5%88%86%E5%B8%83/299142?fr=aladdin#3>

    ANOVA

    Analysis of Variance 方差分析/分散分析:同时判断多个正态总体均值是否相等的统计方法。

    F分布假设验证的方法。

    例如:可以比较三个集团以上的平均,性别、年龄段SNS使用时间的两个以上变量的比较

    • 独立变量只有一个----一元分散分析
    • 独立变量有两个以上-----二元分散分析

    ANOVA有下面三个基本假设:

    1. 独立性(Independency)
    2. 正态性(Normality)
    3. 等分散性(Equal Variance) (方差相同)

    等分散性验证方法(Bartlett’s test)。

    方差:(各个值-平均值)的平方和/样本个数

    零假设和对立假设

    零假设: 所有集合的平均一样,

    对立假设:集合中至少有一个以上的平均不一样.

    事后校验

    采纳对立假设的情况下,接着有些group的平均相同与否要进行多重比较,这个叫事后验证。

    事后校验:两两校验,有名的方法是Duncan, Tukey, Scheffe。

    Ex: { G1, G2, G3, G4 } 4个集合事后校验=> 组合数: 4个里面选两个nC2=6

    Tukey是把group组成对即pairwise检查。

    SSA:如果各group的样本平均值相同时没有差异,SSA会为0.

    SST=SSE+SSA

    MSA=SSA/(k-1) 平均平方

    MSE:误差平方

    残差error : 所以是SSE

    SST中T表示total

    MSE=SSE/(n-k)

    F=MSA/MSE ~F(k-1,n-k)

    分散分析表/方差分析表

    方差来源

    平方和

    自由度

    均方

    F值

    因素A

    SSA

    s-1

    MSA=SSA/(s-1)

    F=MSA/MSE

    误差

    SSE

    n-s

    MSE=SSE/(n-1)

    总和

    SST

    n-1

    离差平方和与其自由度的壁纸,称为该离差平方和的均方,记为MS.

    组内均方(组内方差):MSE=SSE/(n-s)

    组间均方(组间方差):MSA=SSA/(s-1)

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  • ANOVA方差分析

    千次阅读 2022-01-06 22:05:28
    关于多个样本的均值检验可以另开一篇ANOVA方差分析(Analysis of Variance)来讲。新的一年从扶起去年的flag开始,所以我来填坑啦! 开始之前先思考一个问题:已经有了万能又好用的AB test,为什么还需要方差分析呢?...

    1 前言

    上回书说到最小样本量的选择更侧重单样本或两样本均值和比率的检验。关于多个样本的均值检验可以另开一篇ANOVA方差分析(Analysis of Variance)来讲。新的一年从扶起去年的flag开始,所以我来填坑啦!

    开始之前先思考一个问题:已经有了万能又好用的AB test,为什么还需要方差分析呢?答案很简单,在生产环境中,我们感兴趣的因变量通常会受到众多因素的影响。比如新药的有效性受到适应症、剂量、给药途径和方法、每日给药次数等条件的影响,比如商品销量受到广告投放,商品价格,淡旺季等等条件的影响。此外,每个影响因素可能有多个观测水平。比如网页的UI设计可能有ABCDEFG多个版本(毕竟听说同样是黑,也可能有五彩斑斓的黑)。当老板问你,这些因素对因变量是否有影响,以及因素的每一个水平的观测值是否有显著不同时,此时只侧重单因素两水平的AB test略显捉急,除非我们两两排列组合,测到天荒地老,然而多次检验会使得犯第一类错误的概率大大增加,且无法同时考虑所有的样本。这时候就需要ANOVA前来救场了。

    2 原理介绍

    在单因素的情况下,ANOVA方差分析实际上还是用来比较多个样本的均值是否相同/多个样本是否同分布,那为什么要叫方差分析呢?简单来说,它来源于对误差的分解。我们用样本的离差平方和来衡量总体的误差,总体误差SST(Sum of Square for Total)= 组内随机误差SSE(Sum of Square for Error)+ 组间误差SSA(Sum of Square for factor A)。统计量如下。SSE除以其自由度相当于每组内自身的方差,SSA除以其自由度相当于每组相对于总体的方差。当样本服从正态分布的时候,离差平方和服从卡方分布,因此该统计量相当于两个卡方分布之比,即为服从F分布。当F统计量越大时,说明分母小,组内方差小,都很集中;分子大,组间方差大,每组分隔较远,越趋向于拒绝多样本均值相同/同分布的原假设。

    F统计量公式

    ANOVA方差分析有非常多的变化,可以根据因子数量分为单因素方差分析和多因素方差分析。当与实验设计DOE(Design of Experiment)联系起来时,则有完全随机设计,随机区组设计,拉丁方设计,正交设计等等多种形式。但大道至简,殊途同归。只要掌握了方差分析的基本逻辑,各种变化都可以信手拈来。这里主要按因子数量分类。

    2.1 单因素方差分析(One Way ANOVA)

    单因素方差分析只关心一个影响因素,但可能有多个观测水平。比如上面说到的UI设计的ABC三种版本对流量的影响,UI设计为一个因素,ABC三个版本为这个因素的三个观测水平。具体检验过程如下。

    • 确立检验的原假设与备择假设:通常原假设为各组均值相同,备择假设为至少有一个不同。

    • 计算F统计量:计算组内样本均值,总均值,各误差平方和及自由度,从而算出F统计量的值。

    • 得到检验结论:将F统计量与查表得到的临界值相比,若统计量大于临界值,则可以拒绝原假设,认为总体均值存在差异。也可以计算出检验的P值,与事先设立的显著性水平α对比。若P值小于α,则可以拒绝原假设。

    • 事后分析:即两两比较分析。当上一步中拒绝原假设后,说明各组均值至少有一个不同。此时再做Tukey's test或Bonferroni test两两比较,可知哪两组间存在显著差异。

    举例如下,没有实验数据就随机生成模拟数据。

    import numpy as np
    #模拟一个单因素三水平的数据集,三水平分别为对照组和两个不同的实验组
    #其中treat1和对照组均值非常接近,treat2则相差很大
    df = {'control':list(np.random.normal(10,5,100)),
          'treat1':list(np.random.normal(11,5,100)),
          'treat2':list(np.random.normal(20,5,100))}
    import pandas as pd
    df = pd.DataFrame(df)
    df.head()
    
    #转换数据格式
    df_melt = df.melt()
    df_melt.head()
    df_melt.columns = ['Treat','Value']
    df_melt.head()
    
    #箱线图可视化
    import seaborn as sns
    sns.boxplot(x='Treat',y='Value',data = df_melt)
    
    from statsmodels.formula.api import ols
    from statsmodels.stats.anova import anova_lm
    # 此处举例为单因素方差分析,若为多因素,则Value~C(factor1)+C(factor2)...
    # 若多因素之间有相互影响,则再加上交互项如C(factor1):C(factor2)
    model = ols('Value~C(Treat)',data=df_melt).fit()
    anova_table = anova_lm(model, typ = 2)
    print(anova_table)
    
    #各组样本数量相同,可用tukey test做两两比较分析
    from statsmodels.stats.multicomp import MultiComparison
    mc = MultiComparison(df_melt['Value'],df_melt['Treat'])
    tukey_result = mc.tukeyhsd(alpha = 0.5)
    print(tukey_result)
    

    模拟结果如下。可知该因素的P值趋于0,F统计量值很大,可以显著拒绝原假设。通过事后两两比较分析可知,对照组和treat1无显著差异,treat2和余下两组的差距都非常显著。

    单因素ANOVA结果

    2.2 多因素方差分析(MANOVA)

    多因素方差分析关心两个及以上影响因素,如上面说的商品销量受到价格和广告投放的影响。价格和广告为两个因素,每个因素各有若干个水平。我们想知道商品销量是否受其影响。

    import numpy as np
    #模拟一个两因素的数据集,其中一个为3水平,一个为5水平。
    data = np.array([
        [276, 352, 178, 295, 273],
        [114, 176, 102, 155, 128],
        [364, 547, 288, 392, 378]
    ])
    df = pd.DataFrame(data)
    df.index=pd.Index(['A1','A2','A3'],name='ad') 
    df.columns=pd.Index(['B1','B2','B3','B4','B5'], name='price')
    print(df)
    #转换数据格式
    df1 = df.stack().reset_index().rename(columns={0:'value'})
    print(df1)
    
    from statsmodels.formula.api import ols
    from statsmodels.stats.anova import anova_lm
    # 两因素方差分析
    # 若多因素之间有相互影响,则再加上交互项如C(factor1):C(factor2)
    model = ols('value~C(ad) + C(price)', df1).fit()
    anova_table = anova_lm(model)
    print(anova_table)
    
    #各组样本数量相同,可用tukey test做两两比较分析
    from statsmodels.stats.multicomp import MultiComparison
    mc = MultiComparison(df1['value'],df1['price'])
    tukey_result = mc.tukeyhsd(alpha = 0.5)
    print(tukey_result)
    
    mc2 = MultiComparison(df1['value'],df1['ad'])
    tukey_result2 = mc2.tukeyhsd(alpha = 0.5)
    print(tukey_result2)
    

    模拟结果如下。可知价格和广告因素的P值都很小,F统计量值很大,都可以显著拒绝原假设,说明对商品销量影响都显著。通过事后两两比较分析可知,价格之间无显著差异,广告之间差异显著。

    两因素ANOVA结果

    2.3 使用条件

    方差分析的使用条件为:

    • 方差齐性:可用Barlett检验先检验方差齐性,在无法拒绝方差齐性的前提下,再做方差分析。若检验发现方差非齐性,可用Welch等方法校正后再做方差分析。

    • 观测值独立同分布

    • 观测值服从正态分布:若不正态,可以用非参数检验。

    3 总结

    对方差分析来说,只要明确了研究对象和试验设计方法,接下来的步骤就顺理成章非常顺滑。核心还是用F检验做组间方差和组内方差的比较。你学会了吗?

    展开全文
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    python anova

    In an earlier post I showed four different techniques that enables two-way analysis of variance (ANOVA) using Python.  In this post we are going to learn how to do two-way ANOVA for independent measures using Python.

    在较早的文章中,我展示了四种不同的技术,这些技术可以使用Python进行双向方差分析(ANOVA)。 在本文中,我们将学习如何使用Python对独立的度量进行双向ANOVA。

    An important advantage of the two-way ANOVA is that it is more efficient compared to the one-way. There are two assignable sources of variation – supp and dose in our example – and this helps to reduce error variation thereby making this design more efficient. Two-way ANOVA (factorial) can be used to, for instance, compare the means of populations that are different in two ways. It can also be used to analyse the mean responses in an experiment with two factors. Unlike One-Way ANOVA, it enables us to test the effect of two factors at the same time. One can also test for independence of the factors provided there are more than one observation in each cell. The only restriction is that the number of observations in each cell has to be equal (there is no such restriction in case of one-way ANOVA).

    双向ANOVA的一个重要优点是,与单向ANOVA相比,效率更高。 有两个可指定的变化源-在我们的示例中为supp和剂量-这有助于减少误差变化,从而使这种设计更加有效。 例如,可以使用双向方差分析(阶乘)来比较以两种方式不同的总体均值。 它还可以用于分析具有两个因素的实验中的平均响应。 与单向方差分析不同,它使我们能够同时测试两个因素的影响。 如果每个单元中有多个观察结果,则还可以测试因素的独立性。 唯一的限制是每个像元中的观察次数必须相等(单向方差分析没有这种限制)。

    We discussed linear models earlier – and ANOVA is indeed a kind of linear model – the difference being that ANOVA is where you have discrete factors whose effect on a continuous (variable) result you want to understand.

    我们之前讨论过线性模型,而ANOVA确实是一种线性模型,不同之处在于,ANOVA是您具有离散因子的地方,这些因素对您想要了解的连续(可变)结果的影响。

    Python 2路方差分析 (Python 2-way ANOVA)

    import pandas as pd
    from statsmodels.formula.api import ols
    from statsmodels.stats.anova import anova_lm
    from statsmodels.graphics.factorplots import interaction_plot
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy import stats
    import pandas as pd
    from statsmodels.formula.api import ols
    from statsmodels.stats.anova import anova_lm
    from statsmodels.graphics.factorplots import interaction_plot
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy import stats
     

    In the code above we import all the needed Python libraries and methods for doing the two first methods using Python (calculation with Python and using Statsmodels). In the last, and third, method for doing python ANOVA we are going to use Pyvttbl. As in the previous post on one-way ANOVA using Python we will use a set of data that is available in R but can be downloaded here: TootGrowth Data. Pandas is used to create a dataframe that is easy to manipulate.

    在上面的代码中,我们导入了使用Python(使用Python和Statsmodels进行计算)来完成前两种方法所需的所有Python库和方法。 在第三个方法中,我们将使用Pyvttbl。 就像上一篇使用Python进行单向方差分析的文章一样,我们将使用R中可用的一组数据,但可以在此处下载: TootGrowth Data 。 熊猫用于创建易于操作的数据框。

    It can be good to explore data before continuing with the inferential statistics. statsmodels has methods for visualising factorial data. We are going to use the method interaction_plot.

    在继续推论统计之前先探索数据可能会很好。 statsmodels具有可视化阶乘数据的方法。 我们将使用方法interact_plot。

    fig = interaction_plot(data.dose, data.supp, data.len,
                 colors=['red','blue'], markers=['D','^'], ms=10)
    fig = interaction_plot(data.dose, data.supp, data.len,
                 colors=['red','blue'], markers=['D','^'], ms=10)
     
    Python方差分析交互作用图
    Interaction plot using Statsmodels
    使用Statsmodels的交互图

    平方和的计算 (Calculation of Sum of Squares)

    The calculations of the sum of squares (the variance in the data) is quite simple using Python. First we start with getting the sample size (N) and the degree of freedoms needed. We will use them later to calculate the mean square. After we have the degree of freedom we continue with calculation of the sum of squares.

    使用Python,平方和(数据的方差)的计算非常简单。 首先,我们首先获得样本大小(N)和所需的自由度。 稍后我们将使用它们来计算均方。 有了自由度后,我们继续计算平方和。

    自由程度 (Degrees of Freedom)

    平方和 (Sum of Squares)

    Python ANOVA - partitioning of the Sum of Squares for a 2-way ANOVA
    partitioning of the Sum of Squares (SS)
    平方和(SS)的划分

    For the calculation of the sum of squares A, B and Total we will need to have the grand mean. Using Pandas DataFrame method mean on the dependent variable only will give us the grand mean:

    为了计算A,B和Total的平方和,我们需要取大平均值。 仅对因变量使用Pandas DataFrame方法均值会给我们带来较大的均值:

    grand_mean = data['len'].mean()grand_mean = data['len'].mean() 

    The grand mean is simply the mean of all scores of len.

    大均值只是len所有分数的均值。

    平方和A –补充 (Sum of Squares A – supp)

    We start with calculation of Sum of Squares for the factor A (supp).

    我们首先计算因子A(补充)的平方和。

    平方和B –剂量 (Sum of Squares B – dose)

    Calculation of the second Sum of Square, B (dose), is pretty much the same but over the levels of that factor.

    第二个平方和B的计算(剂量)几乎相同,但超出了该因子的水平。

    ssq_b = sum([(data[data.dose ==l].len.mean()-grand_mean)**2 for l in data.dose])
    ssq_b = sum([(data[data.dose ==l].len.mean()-grand_mean)**2 for l in data.dose])
     
    平方总数 (Sum of Squares Total)
    内平方和(误差/残差) (Sum of Squares Within (error/residual))

    Finally, we need to calculate the Sum of Squares Within which is sometimes referred to as error or residual.

    最后,我们需要计算平方和,该平方和有时称为误差或残差。

    vc = data[data.supp == 'VC']
    oj = data[data.supp == 'OJ']
    vc_dose_means = [vc[vc.dose == d].len.mean() for d in vc.dose]
    oj_dose_means = [oj[oj.dose == d].len.mean() for d in oj.dose]
    ssq_w = sum((oj.len - oj_dose_means)**2) +sum((vc.len - vc_dose_means)**2)
    vc = data[data.supp == 'VC']
    oj = data[data.supp == 'OJ']
    vc_dose_means = [vc[vc.dose == d].len.mean() for d in vc.dose]
    oj_dose_means = [oj[oj.dose == d].len.mean() for d in oj.dose]
    ssq_w = sum((oj.len - oj_dose_means)**2) +sum((vc.len - vc_dose_means)**2)
     
    平方和互动 (Sum of Squares interaction)

    Since we have a two-way design we need to calculate the Sum of Squares for the interaction of A and B.

    由于我们采用双向设计,因此我们需要计算A和B相互作用的平方和。

    均方 (Mean Squares)

    We continue with the calculation of the mean square for each factor, the interaction of the factors, and within.

    我们继续计算每个因子的均方根,因子之间以及内部的相互作用。

    均方B (Mean Square B)
    ms_a = ssq_a/df_a
    ms_a = ssq_a/df_a
     
    均方B (Mean Square B)
    均方根AxB (Mean Square AxB)
    ms_axb = ssq_axb/df_axb
    ms_axb = ssq_axb/df_axb
     
    内均方/误差/残差 (Mean Square Within/Error/Residual)

    ˚F-ratio (F-ratio)

    The F-statistic is simply the mean square for each effect and the interaction divided by the mean square for within (error/residual).

    F统计量只是每种效应的均方值,以及交互作用除以内部(误差/残差)的均方值。

    f_a = ms_a/ms_w
    f_b = ms_b/ms_w
    f_axb = ms_axb/ms_w
    f_a = ms_a/ms_w
    f_b = ms_b/ms_w
    f_axb = ms_axb/ms_w
     

    获得p值 (Obtaining p-values)

    We can use the scipy.stats method f.sf to check if our obtained F-ratios is above the critical value. Doing that we need to use our F-value for each effect and interaction as well as the degrees of freedom for them, and the degree of freedom within.

    我们可以使用scipy.stats方法f.sf来检查获得的F比率是否高于临界值。 为此,我们需要将F值用于每个效果和交互以及它们的自由度以及其中的自由度。

    The results are, right now, stored in a lot of variables. To obtain a  morereadable result we can create a DataFrame that will contain our ANOVA table.

    现在,结果存储在许多变量中。 为了获得更可读的结果,我们可以创建一个包含ANOVA表的DataFrame。

    results = {'sum_sq':[ssq_a, ssq_b, ssq_axb, ssq_w],
               'df':[df_a, df_b, df_axb, df_w],
               'F':[f_a, f_b, f_axb, 'NaN'],
                'PR(>F)':[p_a, p_b, p_axb, 'NaN']}
    columns=['sum_sq', 'df', 'F', 'PR(>F)']
    
    aov_table1 = pd.DataFrame(results, columns=columns,
                              index=['supp', 'dose', 
                              'supp:dose', 'Residual'])
    results = {'sum_sq':[ssq_a, ssq_b, ssq_axb, ssq_w],
               'df':[df_a, df_b, df_axb, df_w],
               'F':[f_a, f_b, f_axb, 'NaN'],
                'PR(>F)':[p_a, p_b, p_axb, 'NaN']}
    columns=['sum_sq', 'df', 'F', 'PR(>F)']
    
    aov_table1 = pd.DataFrame(results, columns=columns,
                              index=['supp', 'dose', 
                              'supp:dose', 'Residual'])
     

    As a Psychologist most of the journals we publish in requires to report effect sizes. Common software, such as, SPSS have eta squared as output. However, eta squared is an overestimation of the effect. To get a less biased effect size measure we can use omega squared. The following two functions adds eta squared and omega squared to the above DataFrame that contains the  ANOVA table.

    作为心理学家,我们出版的大多数期刊都要求报告效应大小。 诸如SPSS之类的通用软件已将eta平方输出。 但是,eta平方是对效果的高估。 为了获得较小的偏倚效果量度,我们可以使用Ω平方。 以下两个函数将eta平方和omega平方添加到包含ANOVA表的上述DataFrame中。

    输出方差分析表 (Output ANOVA table)

    sum_sq sum_sq df df F F PR(>F) PR(> F) eta_sq eta_sq omega_sq omega_sq
    supp 支持 205.350000 205.350000 1 1个 15.572 15.572 0.000231183 0.000231183 0.059484 0.059484 0.055452 0.055452
    dose 剂量 2426.434333 2426.434333 2 2 92 92 0.000231183 0.000231183 0.702864 0.702864 0.692579 0.692579
    supp:dose supp:剂量 108.319000 108.319000 2 2 4.10699 4.10699 0.0218603 0.0218603 0.031377 0.031377 0.023647 0.023647
    Residual 剩余的 712.106000 712.106000 54 54

    使用Statsmodels的双向ANOVA (Two-way ANOVA using Statsmodels)

    There is, of course, a much easier way to do Two-way ANOVA with Python. We can use Statsmodels which have a similar model notation as many R-packages (e.g., lm). We start with formulation of the model:

    当然,使用Python进行双向ANOVA的方法要简单得多。 我们可以使用与许多R包(例如lm)具有相似模型表示法的Statsmodels。 我们从模型的模型开始:

    formula = 'len ~ C(supp) + C(dose) + C(supp):C(dose)'
    model = ols(formula, data).fit()
    aov_table = anova_lm(model, typ=2)
    formula = 'len ~ C(supp) + C(dose) + C(supp):C(dose)'
    model = ols(formula, data).fit()
    aov_table = anova_lm(model, typ=2)
     

    Statsmodels does not calculate effect sizes for us. My functions above can, again, be used and will add omega and eta squared effect sizes to the ANOVA table. Actually, I created these two functions to enable calculation of omega and eta squared effect sizes on the output of Statsmodels anova_lm method.

    Statsmodels不会为我们计算效果大小。 我上面的函数可以再次使用,并将omega和eta平方效应大小添加到ANOVA表中。 实际上,我创建了这两个函数,以便能够在Statsmodels anova_lm方法的输出上计算omega和eta平方效应大小。

    输出方差分析表 (Output ANOVA table)

    sum_sq sum_sq df df F F PR(>F) PR(> F) eta_sq eta_sq omega_sq omega_sq
    C(supp) C(供应) 205.350000 205.350000 1 1个 15.571979 15.571979 2.311828e-04 2.311828e-04 0.059484 0.059484 0.055452 0.055452
    C(dose) C(剂量) 2426.434333 2426.434333 2 2 91.999965 91.999965 4.046291e-18 4.046291e-18 0.702864 0.702864 0.692579 0.692579
    C(supp):C(dose) C(补充):C(剂量) 108.319000 108.319000 2 2 4.106991 4.106991 2.186027e-02 2.186027e-02 0.031377 0.031377 0.023647 0.023647
    Residual 剩余的 712.106000 712.106000 54 54

    What is neat with using statsmodels is that we can also do some diagnostics. It is, for instance, very easy to take our model fit (the linear model fitted with the OLS method) and get a Quantile-Quantile (QQplot):

    使用statsmodels的好处是,我们还可以进行一些诊断。 例如,很容易采用我们的模型拟合(符合OLS方法的线性模型)并获得分位数-分位数(QQplot):

    res = model.resid 
    fig = sm.qqplot(res, line='s')
    plt.show()
    res = model.resid 
    fig = sm.qqplot(res, line='s')
    plt.show()
     
    Python ANOVA QQplot统计模型
    QQplot using Statsmodels
    使用Statsmodels的QQplot

    使用pyvttbl在Python中进行双向ANOVA (Two-way ANOVA in Python using pyvttbl)

    The third way to do Python ANOVA is using the library pyvttbl.  Pyvttbl has its own method (also called DataFrame) to create data frames.

    执行Python ANOVA的第三种方法是使用库pyvttbl。 Pyvttbl具有自己的方法(也称为DataFrame)来创建数据帧。

    The ANOVA tables of Pyvttbl contains a lot of more information compared to that of statsmodels. Actually, Pyvttbl output contains an effect size measure; the generalized omega squared.

    与statsmodels模型相比,Pyvttbl的ANOVA表包含更多信息。 实际上,Pyvttbl输出包含一个效果大小量度。 广义欧米茄平方。

    措施:len (Measure: len)

    Source 资源 Type III Sum of Squares III型平方和 df df MS 多发性硬化症 F F Sig. 签名 η2G η2 G Obs. 观察 SE of x̄ x̄的SE ±95% CI ±95%CI λ λ Obs. Power 观察 功率
    supp 支持 205.350 205.350 1.000 1.000 205.350 205.350 15.572 15.572 0.000 0.000 0.224 0.224 30.000 30.000 0.678 0.678 1.329 1.329 8.651 8.651 0.823 0.823
    dose 剂量 2426.434 2426.434 2.000 2.000 1213.217 1213.217 92.000 92.000 0.000 0.000 0.773 0.773 20.000 20.000 0.831 0.831 1.628 1.628 68.148 68.148 1.000 1.000
    supp * dose 补充*剂量 108.319 108.319 2.000 2.000 54.159 54.159 4.107 4.107 0.022 0.022 0.132 0.132 10.000 10.000 1.175 1.175 2.302 2.302 1.521 1.521 0.173 0.173
    Error 错误 712.106 712.106 54.000 54.000 13.187 13.187                 
    Total3452.209 3452.209 59.000 59.000                   

    翻译自: https://www.pybloggers.com/2016/03/three-ways-to-do-a-two-way-anova-with-python/

    python anova

    展开全文
  • Beyond_ANOVA__Basics_of_Applied_Statistics, statistic book
  • 方差分析(ANOVA)分类、应用举例及matlab代码

    目录

    一、介绍

    1.1、定义

    1.2、为什么使用方差分析?

    1.3、方差分析的分类

    1.3.1、按影响分析指标的因素个数

    1.3.2、按分析指标的个数

    1.3.3、多因素多分析指标

    二、单因素一元方差分析(anova1)

    2.1、问题

    2.2 步骤

    2.3 MATLAB代码

    2.4 单因素方差分析的MATLAB全部代码

    三、双因素一元方差分析(anova2)

    3.1、问题

    3.2 步骤

    3.3 MATLAB代码

    四、多因素一元方差分析(anovan)

    4.1、问题

    4.2 MATLAB代码


    一、介绍

    1.1、定义

    方差分析是英国统计学家R.A.Fisher在20世纪20年代提出的一种统计方法,它有着非常广泛的应用。
    方差分析(analysis of variance, ANOVA)是一种统计检验,用于检验两组或更多组样本的均值是否相同

    1.2、为什么使用方差分析?

    t检验涉及一组或者两组样本的均值检验,而在三个或者更多组的均值比较中(例:检验脑电信号功率的平均值是否会因为记录时间(早上,上午和晚上)不同而不同),t检验并不是一种有效的统计检验工具,而且也可能导致结果出现偏差(如果反复使用t-检验,两两之间t检验,则会导致严重的第一类错误)。
    方差分析能够在不增加第一类错误发生率的情况下测试几组样本均值之间是否存在差异

    1.3、方差分析的分类

    1.3.1、按影响分析指标的因素个数

    方差分析按影响分析指标的因素(也可简单成为 自变量)个数的多少,分为单因素方差分析(one-way ANOVA)双因素方差分析、三因素方差分析 (两个或多个因素,称为多因素方差分析,multi-way ANOVA)。
    多因素方差分析中,把单个因素在不同水平下产生的不同实验结果成为主效应(main effect);把多个因素间在不同水平共同产生的实验结果差别称为交互效应(interaction effect)。
    与配对样本t检验(paired-samples t-test)类似(例,睁眼条件下静息态脑电信号功率的均值与闭眼条件下脑电信号功率的均值是否有显著差异),如果方差分析中某一因素的不同水平的测量来自同一组被试,则检验称为重复测量的方差分析(repeated measures ANOVA),该因素(闭眼 or 睁眼)称为重复测量因素(repeated meausres factor)或者被试内因素(within-subjects factor)。
    类似于独立双样本t检验(independent two-samples t-test)(例:检验男性被试女性被试在睁眼条件下静息态脑电信号功率的均值是否有显著差异),在方差分析中如果某个因素在不同水平的测试来自不同组的被试,则称该因素(男性 or 女性)为被试间因素(between-subjects factor)。

    1.3.2、按分析指标的个数

    方差分析按分析指标(也可简单称为 因变量)的个数多少,分为一元方差分析(即ANOVOA)、多元方差分析(即,MANOVOA)。

    1.3.3、多因素多分析指标

    多自变量多因变量的方差分析,可以简单称为多元方差分析,当然更精确的称为“X因素Y元方差分析”,如二因素二元方差分析。

    二、单因素一元方差分析(anova1)

    p = anova1(x)

    研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。

    2.1、问题

    检验不同时间记录(早晨,下午和晚上)的睁眼状态下的静息脑电信号平均功率的均值是否相同。

     样本X满足方差分析的几个基本假定:所有样本均来自正态总体;这些正态总体具有相同的方差。

    2.2 步骤

    • 正态性检验

    H0:不同时间所记录的睁眼状态下的静息脑电信号平均功率值服从正态分布;H1:不服从正态分布

    • 方差齐次性检验

    H0:不同时间所记录的睁眼状态下的静息脑电信号平均功率值服从方差相同的正态分布;H1:不服从方差相同的正态分布

    • 方差分析
      • 建立假设检验
        •     H0:不同时间所记录的睁眼状态下的静息脑电信号平均功率的均值是相同的。
              H1:不同时间所记录的睁眼状态下的静息脑电信号平均功率的均值是不相同的,三个之中至少有两个不等。
      • 统计F值
        • 首先计算均值:第i个总体的样本均值和总均值,ni为第i个总体的样本观察值个数;然后计算误差平方和。
              组间平方和SSA,各组平均值与总平均值的误差平方和,反映了各水平总体的样本均值之间的差异程度,表示因素A的各个水平理论平均值的不同带来的影响,记为“因素A的平方和”或“组间差异”;
              组内平方和SSE,它是各组的各样本数据与其组平均值误差的平方和,反映了每个样本各观察值的离散状况,表示随机误差的影响,记为“误差平方和”或“组内差异”;
              总误差平方和SST,它是全部观察值与总平均值的误差平方和,反映全部观察值的离散程度。
              组间均方组内均方分别由误差平方和除以各自的自由度得到。
          MSA/MSE比值构成F分布
      • 确定p值并做出统计决策
        • 计算出统计量F的值后,根据给定的显著性水平α, 在F分布表中查找分子自由度为(k-1)、分母自由度为n-k的相应临界值Fα。
    • 多重比较
      • 若不同时间水平下的具有显著差异,但是也并不意味着任意两个时间水平下的脑电信号功率具有显著差异,因此还需要进行两两之间的比较检验,即多重比较,找出脑电信号功率存在显著差异的时间。
      • 即便不同时间的脑电信号功率之间不具有显著差异,但在实际应用中,有两点还可以再考察以下:

        • 各个水平理论平均值的点估计之间的差异如何,若这个差异没有大到有实际意义的程度,则加强了上述结论,即各个水平之间的差异即使存在,其实际意义也有限。

        • 若不同水平之间均值的差异,从应用观点看,达到了比较重要的程度,则原假设H0之所以被接受,是由于随机误差的影响太大。误差方差𝜎2的一个无偏估计量是𝑀𝑆𝑒,可以考察一下\sqrt{MSe}的值。若从应用的角度看这个值太大,则看来本试验在精度上欠理想。如条件允许,应考虑增大试验规模,以及改进试验,以图尽量虽小随机误差的影响。

    2.3 MATLAB代码

    • 正态性检验
      • clc;clear;close all;
        [num,txt,raw] = xlsread('Resting State.xlsx');
        %% one-way ANOVA
        x=num(:,1);
        group=num(:,4);
        %正态性检验
        for i=1:3
            x_i=x(group==i); %提取第i个group的睁眼状态下的脑电信号功率值
            [h,p]=lillietest(x_i); %正态性检验
            result(i,:)=p; 
        end
        result %检验正态检验的p值
      • result =
        
            0.5000
            0.5000
            0.5000
      • p值均大于0.05,说明在显著性水平0.05下均接受原假设,即服从正态分布

    • 方差齐次性检验
      • %方差齐性检验
        [p,stats]=vartestn(x,group); %调用vartestn函数进行方差齐次性检验
      • 检验的p值=0.17564>0.05,说明在显著性水平0.05下接受原假设,认为3个时间段的脑电信号功率值服从方差相同的正态分布,满足方差分析的基本假定
    • 方差分析
      • %方差分析
        [p,tbl,stats] = anova1(x,group);%单因素一元方差分析
    • 多重比较
      • %多重比较
        [c,m,h,gnames]=multcompare(stats); %多重比较
      • multcompare函数还生成一个交互式图形,可以通过鼠标单击的方式进行两两比较检验。该交互式图形上用一个符号(圆圈)标出了每一组的组均值,用一条之间段标出了每个组的组均值的置信区间。如果某两条线段不相交,即没有重叠的部分,则说明这两个组的组均值之间的差异是显著的。如果某两条直线段有重叠部分,则说明这两个组的组均值之间的差异是不显著的。可以用鼠标在图上任意选一个组,选中的组以及与选中的组差异显著的其他组均用高亮显示,选中的组用蓝色显示,与选中的组差异显著的其他组用红色显示。
      • head={'组序号','组序号','置信下限','置信上限','组均值差','p-value'};
        [head;num2cell(c)]  %将矩阵c转为元胞数组,并与head一起显示
        
        ans =
        
          4×6 cell 数组
        
            {'组序号'}    {'组序号'}    {'置信下限'}    {'置信上限'}    {'组均值差'}    {'p-value'}
            {[    1]}    {[    2]}    {[-5.7240]}    {[ 0.0913]}    {[ 5.9066]}    {[ 0.9992]}
            {[    1]}    {[    3]}    {[-5.7255]}    {[ 0.4813]}    {[ 6.6881]}    {[ 0.9814]}
            {[    2]}    {[    3]}    {[-5.6494]}    {[ 0.3900]}    {[ 6.4295]}    {[ 0.9870]}
      • head={'组序号','均值的估计值','标准误差'};
        [head;gnames num2cell(m)]  %将m转为元胞数组,和gnames一起显示
        
        ans =
        
          4×3 cell 数组
        
            {'组序号'}    {'均值的估计值'}    {'标准误差'}
            {'1'    }    {[   -2.1180]}    {[ 1.7770]}
            {'2'    }    {[   -2.2093]}    {[ 1.6724]}
            {'3'    }    {[   -2.5993]}    {[ 1.9041]}
      • 多重比较分析结果显示:p值均大于0.05,任意两组之间不存在显著差异

    2.4 单因素方差分析的MATLAB全部代码

    clc;clear;close all;
    [num,txt,raw] = xlsread('Resting State.xlsx');
    %% one-way ANOVA
    x=num(:,1);
    group=num(:,4);
    %正态性检验
    for i=1:3
        x_i=x(group==i); %提取第i个group的睁眼状态下的脑电信号功率值
        [h,p]=lillietest(x_i); %正态性检验
        result(i,:)=p; 
    end
    result %检验正态检验的p值
     
    %方差齐性检验
    [p,stats]=vartestn(x,group); %调用vartestn函数进行方差齐次性检验
     
    %方差分析
    [p,tbl,stats] = anova1(x,group);%单因素一元方差分析
    %多重比较
    [c,m,h,gnames]=multcompare(stats); %多重比较
    head={'组序号','组序号','置信下限','置信上限','组均值差','p-value'};
    [head;num2cell(c)]  %将矩阵c转为元胞数组,并与head一起显示
    head={'组序号','均值的估计值','标准误差'};
    [head;gnames num2cell(m)]  %将m转为元胞数组,和gnames一起显示

    三、双因素一元方差分析(anova2)

    p=anova2(X,reps)
    
    根据样本观测值矩阵X进行均衡实验的双因素一元方差分析。X的每一列对应因素A的一个水平,每行对应因素B的一个水平,X还应满足方差分析的基本假定。
    
    reps表示因素A和B下的每一个水平组合下重复实验的次数。

    3.1、问题

    研究两个因素(行因素row和列因素column)是否对观测变量产生了显著影响。

    分类: 无交互作用/有交互作用 的双因素方差分析,对于有交互作用的双因素方差分析,则需要做重复实验

    3.2 步骤

    • 分别对列因素和行因素提出假设
      • H0A:X的各列具有相同的均值(或因素A对实验指标的影响不显著)

      • H0B:X的各行有相同的均值(或因素B对实验指标的影响不显著)

      • A和B的交互作用不显著(注:若参数reps的取值大于1(默认值为1),anova2函数还检验因素A和因素B的交互作用是否显著)

    • 统计量F值
      • 跟单因素差不多,只是行因素和列因素分别计算,可以得到两个F值
      • 无交互作用的双因素方差分析表

    • 确定p值并做出统计决策
      • 根据给定的显著性水平α, 在F分布表中查找两个F值对应的相应临界值Fα,判定所检验的行因素和列因素对观察值是否有显著性差异

    3.3 MATLAB代码

    • 问题
      • 为了研究肥料使用量对水稻产量的影响,某研究所做了氮(因素A)、磷(因素B)两种肥料施用量的二因素试验。氮肥用量设低、中、高三个水平,分布使用N1,N2和N3表示;磷肥用量设低、高2个水平,分别用P1,P2表示。供3x2=6个处理,重复4次,随机区组设计,测得水稻产量如下表

      •  根据上表中的数据,不考虑区组因素,分析氮、磷两种肥料的施用量对水稻产量是否有显著性影响,并分析交互作用是否显著。取显著性水平=0.05;

      • 注意:这里不需要进行正态性和方差性齐次性检验,因素数据少,在数据比较少的情况下正态检验的结果是不可靠的即使不满足方差分析的假定,方差分析的结果通常也是比较稳定的。但是,一般情况下是必须做正态性和方差齐性检验的

    • 分析
      • 首先要把数据矩阵处理一下,要把矩阵装换成每一列对应因素A的一个水平,每行对应因素B的一个水平。本例中,每一列对应一个A因素(氮)水平,每一行对应一个B因素(磷)水平;反过来也可以。

    • matlab代码
      • 双因素一元方差分析
        • % 定义一个矩阵,输入原始数据
          yield=[38 29 36 40
              45 42 37 43
              58 46 52 51
              67 70 65 71
              62 64 61 70
              58 63 71 69];
          yield=yield';  %矩阵转置
          % 将数据矩阵yield转换成8行3列的矩阵,列对应因素A(氮),行对应因素B(磷)
          yield=[yield(:,[1,3,5]);yield(:,[2,4,6])];
           
          % 定义元胞数组,以元胞数组形式显示转换后的数据
          top={'因素','N1','N2','N3'};
          left={'P1';'P1';'P1';'P1';'P2';'P2';'P2';'P2'};
           
          % 显示数据
          [top;left,num2cell(yield)];
           
          % reps表示因素A和B下的每一个水平组合下重复实验的次数
          reps=4;
           
          % 调用anova2函数作双因素方差分析,返回检验的p值向量,方差分析表,结构体标量stats
          [p,table,stats]=anova2(yield,reps)
        • 因素A、因素B以及他们的交互作用对应的检验p值均小于给定的显著性水平0.05,所以可以认为氮、磷两种肥料的施用量对水稻的产量均有显著性影响,并且他们之间的交互作用也是非常显著的。由于氮、磷两种肥料的用量对水稻的产量均有非常显著的影响,可以作进一步分析,例如进行多重分析,找出因素A、B在哪种水平的组合下水稻的平均产量最高。

      • 多重比较

        • %对列(因素A)进行多重比较
          [c_A,m_A,h,gnames]=multcompare(stats,'estimate','column');
          head={'组序号','组序号','置信下限','置信上限','组均值差','p-value'};
          [head;num2cell(c_A)]  %将矩阵c转为元胞数组,并与head一起显示
          head={'组序号','均值的估计值','标准误差'};
          [head;cellstr(gnames),num2cell(m_A)]  %将m转为元胞数组,和gnames一起显示
        • 注意: 您的模型中包含一个交互效应项,它在您指定的水平非常明显。在这些条件下检验主效应是不可靠的。
          
          ans =
            4×6 cell 数组
              {'组序号'}    {'组序号'}    {'置信下限' }    {'置信上限' }    {'组均值差' }    {'p-value'   }
              {[    1]}    {[    2]}    {[-26.8971]}    {[-21.2500]}    {[-15.6029]}    {[4.9194e-08]}
              {[    1]}    {[    3]}    {[-31.6471]}    {[     -26]}    {[-20.3529]}    {[3.1051e-09]}
              {[    2]}    {[    3]}    {[-10.3971]}    {[ -4.7500]}    {[  0.8971]}    {[    0.1084]}
          
          ans =
            4×3 cell 数组
              {'组序号'}    {'均值的估计值'}    {'标准误差'}
              {'1'    }    {[   38.7500]}    {[ 1.5646]}
              {'2'    }    {[        60]}    {[ 1.5646]}
              {'3'    }    {[   64.7500]}    {[ 1.5646]}
        • %对行(因素B)进行多重比较
          [c_B,m_B,h,gnames]=multcompare(stats,'estimate','row')
          head={'组序号','组序号','置信下限','置信上限','组均值差','p-value'};
          [head;num2cell(c_B)]  %将矩阵c转为元胞数组,并与head一起显示
          head={'组序号','均值的估计值','标准误差'};
          [head;cellstr(gnames) num2cell(m_B)]  %将m转为元胞数组,和gnames一起显示
        • 注意: 您的模型中包含一个交互效应项,它在您指定的水平非常明显。在这些条件下检验主效应是不可靠的。
          
          ans =
            2×6 cell 数组
              {'组序号'}    {'组序号'}    {'置信下限' }    {'置信上限'}    {'组均值差'}    {'p-value'   }
              {[    1]}    {[    2]}    {[-11.6289]}    {[-7.8333]}    {[-4.0378]}    {[3.9813e-04]}
          
          ans =
            3×3 cell 数组
              {'组序号'}    {'均值的估计值'}    {'标准误差'}
              {'1'    }    {[   50.5833]}    {[ 1.2775]}
              {'2'    }    {[   58.4167]}    {[ 1.2775]}

    四、多因素一元方差分析(anovan)

    p=anovan(y,group)

    4.1、问题

    • 为了研究肥料使用量对水稻产量的影响,某研究所做了氮(因素A)、磷(因素B)两种肥料施用量的二因素试验。氮肥用量设低、中、高三个水平,分布使用N1,N2和N3表示;磷肥用量设低、高2个水平,分别用P1,P2表示。供3x2=6个处理,重复4次,随机区组设计,测得水稻产量如下表
    • 根据上表中的数据,分析氮、磷哪种组合对水稻产量是否有显著性影响。取显著性水平=0.05;

    4.2 MATLAB代码

    • 多因素一元方差分析

      • % 定义一个矩阵,输入原始数据
        yield=[38 29 36 40
            45 42 37 43
            58 46 52 51
            67 70 65 71
            62 64 61 70
            58 63 71 69];
        yield=yield'  % 矩阵转置
        % 将数据矩阵yield按列拉长成24行1列的向量
        yield=yield(:);
        % 定义因素A(氮)的水平列表向量
        A=strcat({'N'},num2str([ones(8,1);2*ones(8,1);3*ones(8,1)]));
         
        % 定义因素B(磷)的水平列表向量
        B=strcat({'P'},num2str([ones(4,1);2*ones(4,1)]));
        B=[B;B;B];
         
        % 将因素A、B的水平列表向量与yield向量放在一起构成一个元胞数组,以元胞数组形式显示出来
        [A,B,num2cell(yield)]
         
        % 指定因素名称,A表示氮肥施用量,B表示磷肥施用量
        varnames={'A','B'};
         
        % 调用anovan函数作双因素一元方差分析,返回主效应A、B和交互效应AB所对应的p值向量
        % 还返回方差分析表table,结构体变量stats,标识模型效应项的矩阵term
        [p,table,stats,term]=anovan(yield,{A,B},'model','full','varnames',varnames)
    • 多重比较
      • %多重比较
        [c,m,h,gnames]=multcompare(stats,'dimension',[1 2])
         
        %查看各处理的均值
        [gnames,num2cell(m)]
      • ans =
          16×6 cell 数组
            {'组序号'}    {'组序号'}    {'置信下限' }    {'置信上限' }    {'组均值差' }    {'p-value'   }
            {[    1]}    {[    2]}    {[-25.9446]}    {[-16.0000]}    {[ -6.0554]}    {[8.7776e-04]}
            {[    1]}    {[    3]}    {[-38.4446]}    {[-28.5000]}    {[-18.5554]}    {[5.1236e-07]}
            {[    1]}    {[    4]}    {[-15.9446]}    {[      -6]}    {[  3.9446]}    {[    0.4236]}
            {[    1]}    {[    5]}    {[-42.4446]}    {[-32.5000]}    {[-22.5554]}    {[8.7653e-08]}
            {[    1]}    {[    6]}    {[-39.4446]}    {[-29.5000]}    {[-19.5554]}    {[3.1431e-07]}
            {[    2]}    {[    3]}    {[-22.4446]}    {[-12.5000]}    {[ -2.5554]}    {[    0.0093]}
            {[    2]}    {[    4]}    {[  0.0554]}    {[ 10.0000]}    {[ 19.9446]}    {[    0.0483]}
            {[    2]}    {[    5]}    {[-26.4446]}    {[-16.5000]}    {[ -6.5554]}    {[6.2868e-04]}
            {[    2]}    {[    6]}    {[-23.4446]}    {[-13.5000]}    {[ -3.5554]}    {[    0.0047]}
            {[    3]}    {[    4]}    {[ 12.5554]}    {[ 22.5000]}    {[ 32.4446]}    {[1.4062e-05]}
            {[    3]}    {[    5]}    {[-13.9446]}    {[ -4.0000]}    {[  5.9446]}    {[    0.7926]}
            {[    3]}    {[    6]}    {[-10.9446]}    {[      -1]}    {[  8.9446]}    {[    0.9995]}
            {[    4]}    {[    5]}    {[-36.4446]}    {[-26.5000]}    {[-16.5554]}    {[1.4498e-06]}
            {[    4]}    {[    6]}    {[-33.4446]}    {[-23.5000]}    {[-13.5554]}    {[7.8003e-06]}
            {[    5]}    {[    6]}    {[ -6.9446]}    {[  3.0000]}    {[ 12.9446]}    {[    0.9251]}
        
        ans =
          7×3 cell 数组
            {'组序号'    }    {'均值的估计值'}    {'标准误差'}
            {'A=N1,B=P1'}    {[   35.7500]}    {[ 2.2127]}
            {'A=N2,B=P1'}    {[   51.7500]}    {[ 2.2127]}
            {'A=N3,B=P1'}    {[   64.2500]}    {[ 2.2127]}
            {'A=N1,B=P2'}    {[   41.7500]}    {[ 2.2127]}
            {'A=N2,B=P2'}    {[   68.2500]}    {[ 2.2127]}
            {'A=N3,B=P2'}    {[   65.2500]}    {[ 2.2127]}
      • 返回的矩阵c是6种处理(N1P1,N2P1,N3P1,N1P2,N2P2,N3P2)间多重比较的结果矩阵,每一行的前两列是进行比较的两个处理的编号,第4列是两个处理的均值之差,第3列是两个处理均值差的95%置信下限,第5列是两个处理均值差的95%置信下限,当两个处理均值差的95%置信区间不包含0时,说明在显著性水平0.05下,这两个处理均值间差异是显著的。m矩阵列出了6种处理的平均值,很明显第5个处理(即N2P2)的平均值最大,由矩阵c或交互式多重比较的图中可以得到,处理5与处理3,6差异不显著,所以可以认为第3个和第6个处理也是可以的,所以,综上,可以在处理3,5,6中做出选择,即N3P1,N2P2,N3P2。

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