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  • 条件概率密度的有监督参数估计过程。方法有最大似然估计和贝叶斯参数估计法。 最大似然估计 假设参数为确定值,根据似然度最大进行最优估计。 给定数据 D 1 , D 2 . . . D c D_1,D_2...D_c D 1 ​ , D 2 ​ ...

    有监督参数估计是指已知分类器结构或函数形式,从训练样本中估计参数。

    本文主要介绍贝叶斯决策(详见贝叶斯决策的过程)条件概率密度的有监督参数估计过程。方法有最大似然估计和贝叶斯参数估计法。

    最大似然估计

    假设参数为确定值,根据似然度最大进行最优估计。

    给定数据 D 1 , D 2 . . . D c D_1,D_2...D_c D1,D2...Dc表示不同类别的样本。假设每类样本独立同分布(i.i.d. 万年不变的假设),用 D i D_i Di来估计 θ i θ_i θi,即对每个类求一个判别函数,用该类的样本来估计判别函数的参数。
    贝叶斯决策过程
    注意区分特征空间和参数空间。参数估计的任务是得到 p ( x ∣ w i ) p(x|w_i) p(xwi)的形式,是在参数空间进行的。不妨设特征空间为d维,参数空间p维。
    为了估计参数,需要如下几个步骤:

    • 求似然(Likelihood) p ( D ∣ θ ) = ∏ k = 1 n p ( x k ∣ θ ) p(D|θ) =\prod_{k=1}^{n}p(x_k|θ) p(Dθ)=k=1np(xkθ)
      注意,上面这个式子针对的已经是具体的类别 w i w_i wi了,不要问 w w w参数去哪了。另外,这里的n代表样本数目,要和前面的类别数目c区分开。这个式子很好理解,即出现我们当前观测到的样本概率,求使它最大化的参数即可。
    • 最大化似然 max ⁡ θ p ( D ∣ θ ) → ▽ θ p ( D ∣ θ ) = 0 \max_θp(D|θ)→▽_θp(D|θ)=0 θmaxp(Dθ)θp(Dθ)=0
      这个梯度是在p维参数空间求解,即 ▽ θ p = [ ∂ ∂ θ 1 . . . . . . ∂ ∂ θ p ] ▽_θp= \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partialθ_1}\\ ...\\ ...\\ \frac{\partial}{\partialθ_p} \end{bmatrix} θp=θ1......θp
    • 求解梯度。可求解析解或梯度下降。(常用Log-Likelihood,易求解)
      在这里插入图片描述
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    当先验 P ( θ ) P(\theta) P(θ)都相等时等同于最大后验概率(MAP)决策。

    高斯密度最大似然估计

    贝叶斯决策过程里给出的高斯密度假设为例,对它进行最大似然参数估计。首先假设 σ \sigma σ已知,对 μ \mu μ进行估计。

    单点情况:
    在这里插入图片描述

    对于所有样本:
    在这里插入图片描述

    估计值即为观测样本均值。

    再来看 μ \mu μ σ \sigma σ都未知的情况。设数据服从一维高斯分布, θ 1 = μ \theta_1=\mu θ1=μ θ 2 = σ 2 \theta_2=\sigma^2 θ2=σ2:
    在这里插入图片描述
    令梯度等于0可求得:
    μ ^ = 1 n ∑ k = 1 n x k \hat{μ}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k μ^=n1k=1nxk
    σ ^ 2 = 1 n ∑ k = 1 n ( x k − μ ^ ) 2 \hat{σ}^2=\frac1{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\hat{μ})^2 σ^2=n1k=1n(xkμ^)2
    多维情况, θ 2 = Σ \theta_2=\Sigma θ2=Σ
    μ ^ = 1 n ∑ k = 1 n x k \hat{μ}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k μ^=n1k=1nxk
    Σ ^ = 1 n ∑ k = 1 n ( x k − μ ^ ) ( x k − μ ^ ) T \hat{\Sigma}=\frac1{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\hat{μ})(x_k-\hat{μ})^T Σ^=n1k=1n(xkμ^)(xkμ^)T

    估计结果类似无偏估计。

    贝叶斯参数估计

    参数被视为随机变量,估计其后验分布

    我们先来简化一下贝叶斯决策的条件概率密度形式。考虑训练样本对分类决策的影响,后验概率可写作:
    在这里插入图片描述

    首先由于先验概率一般可以事先得到,因此通常不考虑样本对它的影响。其次,我们使用的是有监督学习,训练样本自然都会分到各自所属的类中。基于这两点可简化公式,得到公式一
    在这里插入图片描述

    由此我们需处理的其实是c个独立的问题,那么条件概率密度可简写成c个 P ( x ∣ D ) P(x|D) P(xD),分别对它们进行估计。

    下面引出参数分布估计的过程。假定参数形式已知,即已知 p ( x ∣ θ ) p(x|θ) p(xθ),为求 p ( x ∣ D ) p(x|D) p(xD)
    p ( x ∣ D ) = ∫ p ( x , θ ∣ D ) d θ = ∫ p ( x ∣ θ , D ) p ( θ ∣ D ) d θ p(x|D)=\int{p(x,θ|D)}dθ \\ \qquad\qquad \qquad=\int{p(x|θ,D)p(θ|D)dθ} p(xD)=p(x,θD)dθ=p(xθ,D)p(θD)dθ
    由于测试样本x(观测样本)和训练样本D的选取是独立的,因此可写成公式二
    p ( x ∣ D ) = ∫ p ( x ∣ θ ) p ( θ ∣ D ) d θ \quad p(x|D)=\int{p(x|θ)p(θ|D)dθ} p(xD)=p(xθ)p(θD)dθ样本独立性是《模式分类第二版》里对这步变换做出的解释。对这一部分说一下我的理解。按书里说的x与D相互独立,那p(x|D)其实直接就可以简写成p(x),且 p ( θ ) p(\theta) p(θ)也假定已知(后面会说),直接
    p ( x ) = ∫ p ( x ∣ θ ) p ( θ ) d θ \quad p(x)=\int{p(x|θ)p(θ)dθ} p(x)=p(xθ)p(θ)dθ不就能求了,为什么非要对条件概率密度引入D呢?

    其实这样做的目的就是为了强行引入 p ( θ ∣ D ) p(\theta|D) p(θD)。别忘了 p ( x ∣ D ) p(x|D) p(xD)实际上是 p ( x ∣ ω , D ) p(x|\omega,D) p(xω,D),来自公式一。回顾一下公式一引入D的原因,是尽可能地利用已有的全部信息来估计后验概率 p ( ω ∣ x ) p(\omega|x) p(ωx),对 p ( x ∣ D ) p(x|D) p(xD)也是这样。即便训练样本对观测值x没有影响,但我们希望再引入一个受样本影响的reproducing density p ( θ ∣ D ) p(\theta|D) p(θD),让它影响类条件概率的分布。其实相当于重新构造了一个先验,并希望 p ( θ ∣ D ) p(\theta|D) p(θD) θ \theta θ的真实值附近有显著的尖峰(sharp)。通常可以用这个sharp逼近的 θ ^ \hat\theta θ^来替代真实值,有 p ( x ∣ D ) ≈ p ( x ∣ θ ^ ) p(x|D) ≈ p(x|\hat\theta) p(xD)p(xθ^)。如果估计值的置信度不高(用高斯分布来说即方差较大,sharp不明显。后面会说),也可以按 p ( θ ∣ D ) p(\theta|D) p(θD) θ \theta θ进行采样,带入 p ( x ∣ θ ) p(x|\theta) p(xθ)求平均:
    在这里插入图片描述

    总结一下,公式一公式二是贝叶斯决策和参数估计的两个核心部分。尤其是公式二,我们希望把 p ( x ∣ D ) p(x|D) p(xD) p ( θ ∣ D ) p(θ|D) p(θD)联系起来,那么已有的训练样本就能通过 p ( θ ∣ D ) p(θ|D) p(θD) p ( x ∣ D ) p(x|D) p(xD)施加影响。至此我们已经把有监督学习问题(原始分类问题)转换成了一个无监督的概率密度预测问题(估计 p ( θ ∣ D ) p(θ|D) p(θD)

    高斯密度贝叶斯估计

    对高斯密度假设进行贝叶斯参数估计。

    考虑一维情况。 p ( x ∣ μ ) ∼ N ( μ , σ 2 ) p(x|\mu)\sim N(μ,σ^2) p(xμ)N(μσ2),假设 σ 2 σ^2 σ2已知,为了预测 p ( μ ∣ D ) p(μ|D) p(μD),写成:
    p ( μ ∣ D ) = p ( D ∣ μ ) p ( μ ) ∫ p ( D ∣ μ ) p ( μ ) d μ p(μ|D)=\frac{p(D|μ)p(μ)}{\int{p(D|μ)p(μ)dμ}} p(μD)=p(Dμ)p(μ)dμp(Dμ)p(μ)
    由于 p ( D ∣ μ ) = ∏ k = 1 n p ( x k ∣ μ ) p(D|\mu)=\prod_{k=1}^np(x_k|μ) p(Dμ)=k=1np(xkμ),则
    p ( μ ∣ D ) = α ∏ k = 1 n p ( x k ∣ μ ) p ( μ ) p(μ|D)=\alpha\prod_{k=1}^np(x_k|μ)p(μ) p(μD)=αk=1np(xkμ)p(μ)
    α \alpha α是原式分母,作为常数项。

    假设 p ( μ ) ∼ N ( μ 0 , σ 0 2 ) p(μ)\sim N(μ_0,σ_0^2) p(μ)N(μ0σ02) μ 0 \mu_0 μ0 σ 0 2 \sigma_0^2 σ02已知。可以把 μ 0 \mu_0 μ0看作对 μ \mu μ的先验估计, σ 0 2 \sigma_0^2 σ02看作估计的不确定程度。做正态分布假设只是为了简化后面的数学运算。这一步的重点在于在参数估计过程中我们是已知参数先验概率密度 p ( μ ) p(\mu) p(μ)的。

    公式展开:
    在这里插入图片描述
    与μ无关的因子都被归入 α \alpha α中。可见 p ( μ ∣ D ) p(μ|D) p(μD)仍符合高斯分布,对照标准形式 p ( μ ∣ D ) = 1 2 π σ n e x p ( − 1 2 ( μ − μ n ) 2 σ n 2 ) p(μ|D)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}σ_n}exp(-\frac{1}{2}\frac{(\mu-μ_n)^2}{σ_n^2}) p(μD)=2π σn1exp(21σn2(μμn)2)可得
    在这里插入图片描述
    到目前为止,已经把先验知识 p ( μ ) p(\mu) p(μ)和训练样本信息 μ ^ n \hat\mu_n μ^n结合在一起,估计出了后验概率 p ( μ ∣ D ) p(\mu|D) p(μD)。把结果直观地写在一起:

    在这里插入图片描述
    在这个结果中, μ n \mu_n μn表示在观测到n个样本后,对参数 μ \mu μ真实值的最好估计, σ n 2 \sigma_n^2 σn2则代表这个估计的不确定性(前面对先验假设也是这么解释的,理解一下高斯分布对参数估计的理论意义)。 σ n 2 \sigma_n^2 σn2随着n的增大而减小,即增加训练样本后,对 μ \mu μ真实估计的置信度将逐渐提高,呈现一个sharp。这样的过程称为贝叶斯学习过程。

    p ( μ ∣ D ) p(\mu|D) p(μD)代入
    p ( x ∣ D ) = ∫ p ( x ∣ μ ) p ( μ ∣ D ) d μ p(x|D)=\int{p(x|μ)p(μ|D)dμ} p(xD)=p(xμ)p(μD)dμ
    得出 p ( x ∣ D ) ∼ N ( μ n , σ 2 + σ n 2 ) p(x|D)\sim{N(μ_n,σ^2+σ_n^2)} p(xD)N(μnσ2+σn2)。因此,根据已知的 p ( x ∣ μ ) ∼ N ( μ , σ 2 ) p(x|μ)\sim{N(μ,σ^2)} p(xμ)N(μσ2),只要用 μ n μ_n μn替换μ, σ 2 + σ n 2 σ^2+σ_n^2 σ2+σn2替换 σ 2 σ^2 σ2即可完成参数估计。

    我们观察到,当n趋于无穷时,贝叶斯参数估计与最大似然效果相同。(当然在实际问题当中样本往往是有限的,这里只是形式化地理解)

    总结一下贝叶斯估计的一般过程:
    在这里插入图片描述

    最大似然和贝叶斯估计的比较

    在上面的例子中,用贝叶斯参数估计与ML分别对条件概率密度 p ( x ∣ ω ) p(x|\omega) p(xω)进行估计,得到的虽然都是高斯分布形式,但这个过程中做的假设是完全不同的。 ML直接假定 p ( x ∣ ω ) p(x|\omega) p(xω)符合高斯分布,根据训练样本选取确定的参数 μ ^ \hat\mu μ^ σ ^ 2 \hat\sigma^2 σ^2。而贝叶斯估计方法是通过假设已知 p ( x ∣ θ ) p(x|θ) p(xθ) p ( μ ) p(\mu) p(μ)符合高斯分布,推出 p ( μ ∣ D ) p(\mu|D) p(μD)符合高斯分布, 进而根据公式二推出 p ( x ∣ D ) p(x|D) p(xD)符合高斯分布。这个分布的sharp作为估计的均值,随样本数增加而改变,且确信度逐渐升高。

    高斯分布的例子相对来说有点抽象,《模式分类》里还给了一个简单的例子,比较好理解,尤其是这幅图:
    在这里插入图片描述
    非常有助于理解。贝叶斯估计在样本最大值之外还有一个拖尾,这就是考虑了先验 p ( θ ) p(\theta) p(θ)的结果,告诉我们在x=10附近,条件概率密度仍可能不为0。(详见书中例1 递归的贝叶斯学习)

    总的来说,最大似然估计根据训练样本明确估计出最优参数值,而贝叶斯估计目标是求出参数的分布,类似于“参数为0.5的概率为0.8”。虽然在估计时模糊的结果(即近似正确)往往更有用,但贝叶斯估计计算复杂度较高,可理解性较差,因此最大似然估计应用更广泛。

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  • 条件概率 在原因B发生的条件下,结果A发生的概率: 全概率 假如结果A发生的原因有B1,B2…等多种原因,则全概率公式如下: 先验概率   事情还没有发生,根据以往经验和分析得到的概率,在事情发生之前,得到的...

    注:A表示事情的结果,B={B1,B2…}表示事情发生的原因

    1. 条件概率
      在原因B发生的条件下,结果A发生的概率:
      在这里插入图片描述
    2. 全概率
      假如结果A发生的原因有B1,B2…等多种原因,则全概率公式如下:
      在这里插入图片描述
    3. 先验概率
        事情还没有发生,根据以往经验和分析得到的概率,在事情发生之前,得到的事情(结果)发生的概率。比如,一次抛硬币实验,我们认为正面朝上的概率是0.5,这就是一种先验概率,在抛硬币前,我们只有常识。
    4. 类条件概率
      就是已知一个条件下,结果发生的概率。条件概率实际上把一个完整的问题集合S通过特征进行了划分,划分成S1/S2/S3…。类条件概率中的类指的是把造成结果的所有原因一 一进行列举,分别讨论。
      贝叶斯公式如下:
      在这里插入图片描述
    5. 后验概率
        事情已经发生了,结果的发生的原因有很多,判断结果的发生是由哪个原因引起的概率
      贝叶斯公式如下:
      在这里插入图片描述

    如果我们把事件A看做 “结果”,把诸事件B1,B2…看做导致这个结果的可能的“原因”,则可以形象地把全概率公式看做成为“由原因推结果”。  而贝叶斯公式则恰好相反,其作用于“由结果推原因”:现在有一个“结果”A以发生,在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这结果。
    举个例子:
      桌子上如果有一块肉喝一瓶醋,你如果吃了一块肉,然后你觉得是酸的,那你觉得肉里加了醋的概率有多大?你说:80%可能性加了醋。OK,你已经进行了一次后验概率的猜测。没错,就这么简单。1
    在这里插入图片描述

    1. 进一步思考1
      在这里插入图片描述
         那么这个P(原因1导致结果)和P(结果|原因1)之间到底有什么联系呢?让我们举一个图像识别的例子
         假如给你一些图片,这些图片中有的图上有动物的角,这些图片占了1/10(即先验概率),且已知在有角的条件下是犀牛的概率是0.8(类条件概率1,注意这个概率互补的概率是有角条件下不是犀牛的概率),已知在无角条件下是犀牛概率的是0.05(类条件概率2),现在拿起一张图,发现是一张犀牛的图,那么这张图上带角的概率有多大(求后验概率)
      在这里插入图片描述
         由图中公式可知P(图片上由动物的角|是犀牛) = 0.80.1/(0.80.1+0.05*0.9)=0.64
         可以看到P(图片上由动物的角且是犀牛)=0.08与P(是犀牛|图片上由动物的角)=0.8之间差别非常大

    1. 参考博客https://www.cnblogs.com/yemanxiaozu/p/7680761.html ↩︎ ↩︎

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  • 随机样本的生成和概率密度函数的绘制——模式识别课程作业,希望能有所帮助
  • 类条件概率 一个事件发生后另一个事件发生的概率。一般的形式为P(x|y)表示y发生的条件下x发生的概率。 后验概率 事件发生后求的反向条件概率;或者说,基于先验概率求得的反向条件概率。概率形式与条件概率相同。 ....

    先验概率

    事件发生前的预判概率。可以是基于历史数据的统计,可以由背景常识得出,也可以是人的主观观点给出。一般都是单独事件概率,如P(x),P(y)。

    类条件概率

    一个事件发生后另一个事件发生的概率。一般的形式为P(x|y)表示y发生的条件下x发生的概率。

    后验概率

    事件发生后求的反向条件概率;或者说,基于先验概率求得的反向条件概率。概率形式与条件概率相同。

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  • 概率密度函数估计

    万次阅读 2017-06-03 17:58:39
    最常用的就是比较后验概率的大小,进行类别决策。(也就是基于最小错误率的分类器,还有其他的比如基于最小风险,NP决策等)。  如何理解呢,说一个例子,比如一个班里面的男女比例为2:1,那么也就是说男生占2/3...

            首先来看贝叶斯决策,贝叶斯分类器就是根据如下贝叶斯公式来设计的。最常用的就是比较后验概率的大小,进行类别决策。(也就是基于最小错误率的分类器,还有其他的比如基于最小风险,NP决策等)。


            如何理解呢,说一个例子,比如一个班里面的男女比例为2:1,那么也就是说男生占2/3,女生占1/3。这个呢就叫做类别的先验概率(类别就是男生、女生),对应公式上的p(w)。接着假设这个班上男生翘课的概率为3/4,女生翘课的概率为1/4,那么这个就叫做类条件概率,也就是类别约束(男生或者女生)下,事件(翘课)的概率,对应上面公式的p(x|w)。需要注意:先验概率满足总和为1的约束,类条件概率不满足总和为1的约束。这也很好理解,因为所有的类别都是固定的,那么一个个体总是属于某个类别中的一个,而类条件概率,比如男生缺课和女生缺课是相互独立的事件,则缺课的概率p(x)=2/3 * 3/4 + 1/3*1/4=7/12。因为不存在约束关系,所以也就不满足总和为1的约束。


            上面的例子,现在假设有一个人缺课了,但是不知道是男生还是女生,怎么判断?基于最小错误率的贝叶斯分类器就是利用贝叶斯公式,由先验概率和类条件概率计算后验概率,比较大小,然后进行决策。缺课条件下是男生的概率为(2/3 * 3/4)/ 7/12 = 6/7;缺课条件下是女生的概率为(1/3 * 1/4)/ 7/12 = 1/7。也就是说一个人缺课了,它是男生的概率较大。


            但是在实际问题中并不都是这样幸运的,我们能获得的数据可能只有有限数目的样本数据,而先验概率和类条件概率都是未知的。根据仅有的样本数据进行分类时,一种可行的办法是我们需要先对先验概率和类条件概率进行估计,然后再套用贝叶斯分类器。


            先验概率的估计较简单,1、每个样本所属的自然状态都是已知的(有监督学习);2、依靠经验;3、用训练样本中各类出现的频率估计。

            类条件概率的估计(非常难),原因包括:1、概率密度函数包含了一个随机变量的全部信息;2、概率密度函数可以是满足下面条件的任何函数;3、在很多情况下,已有的训练样本数总是太少;4、当用于表示特征的向量x的维数较大时,就会产生严重的计算复杂度问题(算法的执行时间,系统资源开销等)。总之要直接估计类条件概率的密度函数很难。


            于是就出现了概率密度函数的估计问题,这了讨论的主要是对类条件概率的估计。估计的方法分为两大类:

            参数估计(parametric):

            参数估计法,样本所属的类别和类条件概率密度函数形式已知,而表征概率密度函数的某些参数是未知的。要求由已知类别的训练数据样本集,对概率密度的某些参数进行统计估计。如:

            最大似然估计

            Bayesian估计


            非参数估计(non-parametric):

            已知样本所属类别,但未知概率密度函数的形式,要求不用模型,而只利用训练数据本身对概率密度做估计。              Parzen窗方法

             Kn近邻估计



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    万次阅读 2017-01-10 21:16:23
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  • parzen窗的matlab实现 本文档实现的是用简单的matlab程序实现parzen窗的设计
  • matlab下有用的函数
  • 条件概率密度与条件均值

    万次阅读 2016-08-16 13:20:11
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    在贝叶斯分类(这里有个简介:...但是,在实际应用中,类条件概率密度通常是未知的。那么,当先验概率和类条件概率密度都未知或者其中之一未知的情况下,该如何来进行类别判断呢?其实,只要我们能收集
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  • 机器学习_概率密度函数和似然函数

    千次阅读 2017-10-30 19:50:32
    所以我们引入概率密度函数,一目了然看出落在x的某一值附近的概率大小(两方面理解:1.连续不说某一值的概率,而是区间。2.概率的大小是积分,而当积分区域无限小,就可以看成一条直线,即y值)
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空空如也

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类条件概率密度