一、前置公式定理

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1、相关元素说明

x(n) 分解为实部序列与虚部序列

$x(n)$ 可以分解为 实部序列 $x_R(n)$ 和 虚部序列 $j{x}_I(n)$ :

$$x(n)=x_R(n)+j{x}_I(n)$$

x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

根据序列对称分解定理 , $x(n)$ 还可以由序列的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 和 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 之和表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列

$x(n)$ 的傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 也可以分解为 实部序列 $X_R(e^{j\omega })$ 和 虚部序列 $j{X}_I(e^{j\omega })$ :

$$X(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })+j{X}_I(e^{j\omega })$$

X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

根据 傅里叶变换的共轭对称分解 , $x(n)$ 的傅里叶变换 , 可以由 $x(n)$ 的 共轭对称序列 的傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 与 $x(n)$ 的 共轭反对称序列 的傅里叶变换 $X_o(e^{j\omega })$ 之和表示 ;

$$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$

2、序列对称分解定理

任意一个 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 之和来表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

共轭反对称序列 $x_o(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)-x^{\ast }(-n)]$$

3、傅里叶变换定义

序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;

$x(n)$ 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;

$x(n)$ 是绝对可和的 , 满足如下条件 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

就是 $x(n)$ 的 序列傅里叶变换 SFT ;

$\omega$ 是 数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;

$X(e^{j\omega })$ 是 实的连续的 变量 $\omega$ 的 复函数 , 其可以表示成 实部 和 虚部 ;

$$X(e^{j\omega })=X_g(e^{j\omega })+j{X}_l(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega })|e^{j\theta (\omega )}$$

$|X(e^{j\omega })|$ 模 是其 " 幅频特性 " ,

$e^{j\theta (\omega )}$ 相角 是其 " 相频特性 " ,

其中

$$\theta (\omega )=\arg (X(e^{j\omega }))$$

二、证明共轭对称序列的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部

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证明下面的公式 :

$x(n)$ 的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$$

1、共轭对称序列分解

根据 序列对称分解定理 , 可得

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

对 $x_e(n)$ 求傅里叶变换 , 也就是对 $0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$ 求傅里叶变换 ;

2、求 x^*(-n) 的傅里叶变换

根据傅里叶变换定义 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

可得 $x^{\ast }(-n)$ 的傅里叶变换 是

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(-n)e^{-j\omega n}①$$

令 $-n=n^{\prime }$ , 则 上式 ① 可以写成 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(-n)e^{-j\omega n}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n^{\prime })e^{j\omega n^{\prime }}②$$

将 $n^{\prime }$ 写成 $n$ , 可以得到下面的式子 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)e^{j\omega n}③$$

根据

$$(a+b{)}^{\ast }=a^{\ast }+b^{\ast }$$

公式 , 将上式 ③ 中的 共轭 ${}^{\ast }$ 提取到外面 :

$$[\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{j\omega n}{]}^{\ast }③$$

可以得到上面的 ③ 式就是 $X^{\ast }(e^{j\omega })$ ;

3、求 x_e(n) 的傅里叶变换

对 $x_e(n)$ 求傅里叶变换 , 也就是对 $0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$ 求傅里叶变换 ;

其中 $x(n)$ 的傅里叶变换是 $X(e^{j\omega })$ , $x^{\ast }(-n)$ 的傅里叶变换是 $X^{\ast }(e^{j\omega })$ ;

综合上述 , 可得 :

$$SFT[x_e(n)]=0.5X(e^{j\omega })+0.5X^{\ast }(e^{j\omega })$$

$X(e^{j\omega })$ 的虚部是正的 , $X^{\ast }(e^{j\omega })$ 的虚部是负的 , 这两个虚部正好抵消 , 只剩下了实部 ,

而 $X(e^{j\omega })$ 可以分解为实部 $X_R(e^{j\omega })$ 和 虚部 $j{X}_I(e^{j\omega })$ , 虚部抵消 , 只剩下实部 ,

$$X(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })+j{X}_I(e^{j\omega })$$

因此得到 :

$$SFT[x_e(n)]=0.5X(e^{j\omega })+0.5X^{\ast }(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })$$

最终得到 :

$x(n)$ 的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$$

一、序列傅里叶变换共轭对称性质示例

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$x(n)=a^{n}u(n)$ , 且 $|a|<1$

1、序列傅里叶变换共轭对称性质

1、序列实部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 实部 $x_R(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭对称序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 具备 共轭对称性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_e(e^{j\omega })$$

2、序列虚部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 虚部 $x_I(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭反对称序列 $X_o(e^{j\omega })$;

$j{x}_I(n)$ 的 傅里叶变换 $X_o(e^{j\omega })$ 具备 共轭反对称性 :

$$j{x}_I(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_o(e^{j\omega })$$

3、共轭对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$$

4、共轭反对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_o(n)\stackrel{SFT}{⟷}j{X}_I(e^{j\omega })$$

2、求 a^n u(n) 的傅里叶变换

根据 傅里叶变换公式 计算 $x(n)$ 的傅里叶变换 , 公式如下 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

将

$$a^{n}u(n)$$

序列 , 直接带入到

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

傅里叶变换公式中 , 可得到 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}^n{e}^{-j\omega n}$$

根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到

$$X(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$

3、序列分析

该信号 $x(n)$ 是实信号 , 该信号既不是偶对称的 , 也不是奇对称的 ;

• 只有序列是偶对称时 , 才有 $x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$ 性质 ,

• 只有序列是奇对称时 , 才有 $x_o(n)\stackrel{SFT}{⟷}j{X}_I(e^{j\omega })$ 性质 ;

因此 , 这里 $x(n)$ 的傅里叶变换 , 既不是实数 , 也不是虚数 , 那么就一定是复数 ;

分析 $x(n)$ 的傅里叶变换 复数序列的 实部 和 虚部 :

由于 $x(n)=a^{n}u(n)$ 序列是实数 ,

其 傅里叶变换

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$

一定是共轭对称的 ;

分解 $SFT[x(n)]$ 的实部和虚部 :

$$X(e^{j\omega })=\frac{1-a\cos \omega }{1+a^2-2a\cos \omega }-j\frac{a\sin \omega }{1+a^2-2a\cos \omega }$$

共轭对称 的 傅里叶变换 , 实部是 偶对称的 , 虚部是 奇对称 的 ;

傅里叶变换的 模 , 即 傅里叶变换 取绝对值 $|X(e^{j\omega })|$ , 是偶对称的 ;

$$|X(e^{j\omega })|=\frac{1}{(1+a^2-2a\cos \omega {)}^{\frac{1}{2}}}$$

根据如下定理 : $x(n)$ 的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$$

可得 : 傅里叶变换的 实部 $\frac{1-a\cos \omega }{1+a^2-2a\cos \omega }$ 的 傅里叶反变换 , 对应的是 $x(n)$ 的共轭对称分量 ;

傅里叶变换的 虚部 $-j\frac{a\sin \omega }{1+a^2-2a\cos \omega }$ 的 傅里叶反变换 , 对应的是 $x(n)$ 的共轭反对称分量 ;

在 【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 ) 博客中 , 推导了 共轭对称序列 与原序列的关系 , 这里当做一个先决的条件 , 之后需要使用 ;

实因果序列的对称序列与原序列关系 : 先将结果放在这里 , 之后需要使用 ;

$h_e(n)$ 与 $h(n)$ 关系 :

$$h_e(n)=\{\begin{array}{ll}h(0)& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{h(-n)}{2}& n<0\end{array}$$

$h_o(n)$ 与 $h(n)$ 关系 :

$$h_o(n)=\{\begin{array}{ll}0& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{-h(-n)}{2}& n<0\end{array}$$

下面继续分析上述序列 :

下面的序列 $x_e(n)$ 为实偶 ,

$$x_e(n)=\{\begin{array}{ll}1& n=0\\ & \\ \frac{a^n}{2}& n>0\\ & \\ \frac{a^{-n}}{2}& n<0\end{array}$$

根据如下定理 :

如果 $x(n)$ 序列 是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;

则 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 $X_R(e^{j\omega })$ 也是 实偶 的 ;

下面的序列 $x_o(n)$ 为实奇 ,

$$x_o(n)=\{\begin{array}{ll}0& n=0\\ & \\ \frac{a^n}{2}& n>0\\ & \\ -\frac{a^{-n}}{2}& n<0\end{array}$$

根据如下定理 :

如果 $x(n)$ 序列 是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;

则 $x_o(n)$ 的 傅里叶变换 $j{X}_I(e^{j\omega })$ 也是 虚奇 的 ;

原序列 $x(n)$ 图像如下 :

$x(-n)$ 图像 , 就是将 $x(n)$ 图像 , 以 $y$ 轴为中心进行镜像 :

$x(n)$ 序列的 共轭对称分量 $x_e(n)$ 就是 $x(n)$ 与 $x(-n)$ 相加 , 除以 $2$ :

$$x_e(n)=\frac{x(n)+x(-n)}{2}$$

$x(n)$ 序列的 共轭反对称分量 $x_o(n)$ 就是 $x(n)$ 与 $x(-n)$ 相减 , 除以 $2$ :

$$x_o(n)=\frac{x(n)-x(-n)}{2}$$

$x(n)$ 的模 图像如下 , 是偶对称的 ;

$x(n)$ 的 实部 图像如下 , 是偶对称的 ;

$x(n)$ 的 虚部 图像如下 , 是奇对称的 ;

$x(n)$ 的 相位 图像如下 , 是奇对称的 ;

一、共轭对称与共轭反对称图像示例

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序列 $x(n)=0.8^{n}u(n)$ , 取 $0$ ~ $10$ 之间的 11 个点 , 绘制后样式如下 :

1、共轭对称序列图示

共轭对称序列概念 :

对于 序列 $x(n)$ , 如果 $x(n)$ 共轭 $x(-n)$ ,

$$x(n)=x^{\ast }(-n)$$

则称 $x(n)$ 是 关于原点 的 共轭对称序列 , 记做

$$x_e(n)$$

其中 , $-\infty <n<+\infty$ ;

$x(n)$ 的共轭对称序列 $x_e(n)$ 图像如下 : 对于 实序列 来说 , 共轭对称 就是 偶对称 ;

原序列有 $n=11$ 个点 , 其共轭对称序列 ( 偶对称序列 ) 有 $2n-1=21$ 个点 ;

2、共轭反对称序列图示

共轭反对称序列概念 :

对于 序列 $x(n)$ , 如果 ,

$$x(n)=-x^{\ast }(-n)$$

成立 , 则称 $x(n)$ 是 关于原点 的 共轭反对称序列 , 记做

$$x_o(n)$$

其中 , $-\infty <n<+\infty$ ;

$x(n)$ 的共轭反对称序列 $x_o(n)$ 图像如下 : 对于 实序列 来说 , 共轭反对称 就是 奇对称 ;

原序列有 $n=11$ 个点 , 其共轭反对称序列 ( 奇对称序列 ) 有 $2n-1=21$ 个点 ;

3、总结

实序列 :

• 偶对称 : $x(n)=x(-n)$
• 奇对称 : $x(n)=-x(-n)$

复序列 :

• 共轭对称 : $x(n)=x^{\ast }(-n)$
• 共轭反对称 : $x(n)=-x^{\ast }(-n)$

对于 实序列 来说 , 共轭对称 就是 偶对称 ;

对于 实序列 来说 , 共轭反对称 就是 奇对称 ;