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  • 共轭对称
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    2022-03-14 19:20:35


    x ( n ) x(n) x(n)傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) ,

    x ( n ) x(n) x(n) 存在 共轭对称 x e ( n ) x_e(n) xe(n)共轭反对称 x o ( n ) x_o(n) xo(n) ,

    X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也存在着 共轭对称 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe(ejω)共轭反对称 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo(ejω) ;





    一、频域函数 ( 傅里叶变换 ) 的共轭对称分解



    频域函数的共轭对称分解 :

    任意函数

    X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)

    都可以分解成 共轭对称分量

    X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe(ejω)

    和 共轭反对称分量

    X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo(ejω)

    之和 , 表示为 :

    X ( e j ω ) = X e ( e j ω ) + X o ( e j ω ) X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega}) X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)





    二、序列对称分解定理



    序列对称分解定理 :

    任意一个 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n) 之和来表示 ;

    x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe(n)+xo(n)


    共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

    x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe(n)=0.5[x(n)+x(n)]


    共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n)原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

    x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo(n)=0.5[x(n)x(n)]


    x ( n ) x(n) x(n)傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) ,

    x ( n ) x(n) x(n) 存在 共轭对称 x e ( n ) x_e(n) xe(n)共轭反对称 x o ( n ) x_o(n) xo(n) ,

    X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也存在着 共轭对称 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe(ejω)共轭反对称 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo(ejω) ;





    三、傅里叶变换的共轭对称与共轭反对称



    X ( e j ω ) = X e ( e j ω ) + X o ( e j ω ) X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega}) X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

    式子中 , 根据 序列对称分解定理 ,

    X e ( e j ω ) = 0.5 × [ X ( e j ω ) + X ∗ ( e − j ω ) ] X_e(e^{j\omega}) = 0.5 \times [ X(e^{j\omega}) + X^*(e^{-j\omega}) ] Xe(ejω)=0.5×[X(ejω)+X(ejω)]

    X o ( e j ω ) = 0.5 × [ X ( e j ω ) − X ∗ ( e − j ω ) ] X_o(e^{j\omega}) = 0.5 \times [ X(e^{j\omega}) - X^*(e^{-j\omega}) ] Xo(ejω)=0.5×[X(ejω)X(ejω)]


    其中 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe(ejω) 是共轭对称的 , 对应实数的 偶对称 , 有如下特性 :

    X e ( e j ω ) = X e ∗ ( e − j ω ) X_e(e^{j\omega}) = X_e^*(e^{-j\omega}) Xe(ejω)=Xe(ejω)

    其中 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo(ejω) 是共轭反对称的 , 对应实数的 奇对称 , 有如下特性 :

    X o ( e j ω ) = − X o ∗ ( e − j ω ) X_o(e^{j\omega}) = -X_o^*(e^{-j\omega}) Xo(ejω)=Xo(ejω)

    更多相关内容
  • X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )、 2、序列对称分解定理、 3、傅里叶变换定义、 二、证明共轭对称序列的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部、 1、共轭对称序列分解、 2、...





    一、前置公式定理




    1、相关元素说明


    x(n) 分解为实部序列与虚部序列

    x ( n ) x(n) x(n) 可以分解为 实部序列 x R ( n ) x_R(n) xR(n)虚部序列 j x I ( n ) j x_I(n) jxI(n) :

    x ( n ) = x R ( n ) + j x I ( n ) x(n) = x_R(n) + j x_I(n) x(n)=xR(n)+jxI(n)

    x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

    根据序列对称分解定理 , x ( n ) x(n) x(n) 还可以由序列的 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n) 之和表示 ;

    x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe(n)+xo(n)


    X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列

    x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 也可以分解为 实部序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j\omega}) XR(ejω)虚部序列 j X I ( e j ω ) j X_I(e^{j\omega}) jXI(ejω) :

    X ( e j ω ) = X R ( e j ω ) + j X I ( e j ω ) X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega}) X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

    X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

    根据 傅里叶变换的共轭对称分解 , x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 , 可以由 x ( n ) x(n) x(n)共轭对称序列 的傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe(ejω) x ( n ) x(n) x(n)共轭反对称序列 的傅里叶变换 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo(ejω) 之和表示 ;

    X ( e j ω ) = X e ( e j ω ) + X o ( e j ω ) X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega}) X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)


    2、序列对称分解定理


    任意一个 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n) 之和来表示 ;

    x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe(n)+xo(n)


    共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

    x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe(n)=0.5[x(n)+x(n)]


    共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n)原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

    x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo(n)=0.5[x(n)x(n)]


    3、傅里叶变换定义


    序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;


    x ( n ) x(n) x(n) 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;

    x ( n ) x(n) x(n) 是绝对可和的 , 满足如下条件 :

    ∑ n = − ∞ + ∞ ∣ x ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|< \infty n=+x(n)<

    连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合无穷级数和 :

    X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=+x(n)ejωn

    就是 x ( n ) x(n) x(n)序列傅里叶变换 SFT ;



    ω \omega ω数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;

    X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω)实的连续的 变量 ω \omega ω 的 复函数 , 其可以表示成 实部 虚部 ;

    X ( e j ω ) = X g ( e j ω ) + j X l ( e j ω ) = ∣ X ( e j ω ) ∣ e j θ ( ω ) X(e^{j\omega}) = X_g(e^{j\omega}) + jX_l(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)} X(ejω)=Xg(ejω)+jXl(ejω)=X(ejω)ejθ(ω)

    ∣ X ( e j ω ) ∣ |X(e^{j\omega})| X(ejω) 模 是其 " 幅频特性 " ,

    e j θ ( ω ) e^{j\theta(\omega)} ejθ(ω) 相角 是其 " 相频特性 " ,

    其中

    θ ( ω ) = arg ⁡ ( X ( e j ω ) ) \theta(\omega) = \arg(X(e^{j\omega})) θ(ω)=arg(X(ejω))






    二、证明共轭对称序列的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部



    证明下面的公式 :

    x ( n ) x(n) x(n)共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR(ejω)

    x e ( n ) ⟷ S F T X R ( e j ω ) x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega}) xe(n)SFTXR(ejω)


    1、共轭对称序列分解


    根据 序列对称分解定理 , 可得

    x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe(n)=0.5[x(n)+x(n)]

    x e ( n ) x_e(n) xe(n) 求傅里叶变换 , 也就是对 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] 0.5[x(n) + x^*(-n)] 0.5[x(n)+x(n)] 求傅里叶变换 ;


    2、求 x^*(-n) 的傅里叶变换


    根据傅里叶变换定义 :

    X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=+x(n)ejωn

    可得 x ∗ ( − n ) x^*(-n) x(n) 的傅里叶变换

    ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( − n ) e − j ω n      ① \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(-n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ① n=+x(n)ejωn    

    − n = n ′ -n = n' n=n , 则 上式 ① 可以写成 :

    ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( − n ) e − j ω n = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ′ ) e j ω n ′      ② \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(-n) e^{-j \omega n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n') e^{j \omega n'} \ \ \ \ ② n=+x(n)ejωn=n=+x(n)ejωn    

    n ′ n' n 写成 n n n , 可以得到下面的式子 :

    ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) e j ω n      ③ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{j \omega n} \ \ \ \ ③ n=+x(n)ejωn    

    根据

    ( a + b ) ∗ = a ∗ + b ∗ ( a + b )^* = a^* + b^* (a+b)=a+b

    公式 , 将上式 ③ 中的 共轭 ∗ ^* 提取到外面 :

    [ ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e j ω n ] ∗      ③ [ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega n} ] ^* \ \ \ \ ③ [n=+x(n)ejωn]    

    可以得到上面的 ③ 式就是 X ∗ ( e j ω ) X^*(e^{j\omega}) X(ejω) ;


    3、求 x_e(n) 的傅里叶变换


    x e ( n ) x_e(n) xe(n) 求傅里叶变换 , 也就是对 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] 0.5[x(n) + x^*(-n)] 0.5[x(n)+x(n)] 求傅里叶变换 ;

    其中 x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换是 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) , x ∗ ( − n ) x^*(-n) x(n) 的傅里叶变换是 X ∗ ( e j ω ) X^*(e^{j\omega}) X(ejω) ;

    综合上述 , 可得 :

    S F T [ x e ( n ) ] = 0.5 X ( e j ω ) + 0.5 X ∗ ( e j ω ) SFT[ x_e(n) ] = 0.5 X(e^{j\omega}) + 0.5 X^*(e^{j\omega}) SFT[xe(n)]=0.5X(ejω)+0.5X(ejω)

    X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 的虚部是正的 , X ∗ ( e j ω ) X^*(e^{j\omega}) X(ejω) 的虚部是负的 , 这两个虚部正好抵消 , 只剩下了实部 ,

    X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 可以分解为实部 X R ( e j ω ) X_R(e^{j\omega}) XR(ejω) 和 虚部 j X I ( e j ω ) j X_I(e^{j\omega}) jXI(ejω) , 虚部抵消 , 只剩下实部 ,

    X ( e j ω ) = X R ( e j ω ) + j X I ( e j ω ) X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega}) X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

    因此得到 :

    S F T [ x e ( n ) ] = 0.5 X ( e j ω ) + 0.5 X ∗ ( e j ω ) = X R ( e j ω ) SFT[ x_e(n) ] = 0.5 X(e^{j\omega}) + 0.5 X^*(e^{j\omega}) = X_R(e^{j \omega}) SFT[xe(n)]=0.5X(ejω)+0.5X(ejω)=XR(ejω)

    最终得到 :

    x ( n ) x(n) x(n)共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR(ejω)

    x e ( n ) ⟷ S F T X R ( e j ω ) x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega}) xe(n)SFTXR(ejω)

    展开全文
  • 一、序列傅里叶变换共轭对称性质示例、 1、序列傅里叶变换共轭对称性质、 1、序列实部傅里叶变换、 2、序列虚部傅里叶变换、 3、共轭对称序列傅里叶变换、 4、共轭反对称序列傅里叶变换、 2、求 a^n u(n) 的傅里叶...





    一、序列傅里叶变换共轭对称性质示例



    x ( n ) = a n u ( n ) x(n) = a^n u(n) x(n)=anu(n) , 且 ∣ a ∣ < 1 |a|<1 a<1


    1、序列傅里叶变换共轭对称性质



    1、序列实部傅里叶变换


    x ( n ) x(n) x(n) 序列的 实部 x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n)傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω)共轭对称序列 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω);

    x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω) 具备 共轭对称性 ;

    x R ( n ) ⟷ S F T X e ( e j ω ) x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega}) xR(n)SFTXe(ejω)


    2、序列虚部傅里叶变换


    x ( n ) x(n) x(n) 序列的 虚部 x I ( n ) x_I(n) xI(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n)傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω)共轭反对称序列 X o ( e j ω ) X_o(e^{j \omega}) Xo(ejω);

    j x I ( n ) jx_I(n) jxI(n) 的 傅里叶变换 X o ( e j ω ) X_o(e^{j \omega}) Xo(ejω) 具备 共轭反对称性 :

    j x I ( n ) ⟷ S F T X o ( e j ω ) jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega}) jxI(n)SFTXo(ejω)


    3、共轭对称序列傅里叶变换


    x ( n ) x(n) x(n)共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR(ejω)

    x e ( n ) ⟷ S F T X R ( e j ω ) x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega}) xe(n)SFTXR(ejω)


    4、共轭反对称序列傅里叶变换


    x ( n ) x(n) x(n)共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n)傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR(ejω)

    x o ( n ) ⟷ S F T j X I ( e j ω ) x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega}) xo(n)SFTjXI(ejω)


    2、求 a^n u(n) 的傅里叶变换


    根据 傅里叶变换公式 计算 x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 , 公式如下 :

    X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=+x(n)ejωn

    a n u ( n ) a^nu(n) anu(n)

    序列 , 直接带入到

    X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=+x(n)ejωn

    傅里叶变换公式中 , 可得到 :

    X ( e j ω ) = ∑ n = 0 + ∞ a n e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n e^{-j \omega n} X(ejω)=n=0+anejωn

    根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到

    X ( e j ω ) = 1 1 − a e − j ω X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}} X(ejω)=1aejω1


    3、序列分析


    该信号 x ( n ) x(n) x(n) 是实信号 , 该信号既不是偶对称的 , 也不是奇对称的 ;

    • 只有序列是偶对称时 , 才有 x e ( n ) ⟷ S F T X R ( e j ω ) x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega}) xe(n)SFTXR(ejω) 性质 ,

    • 只有序列是奇对称时 , 才有 x o ( n ) ⟷ S F T j X I ( e j ω ) x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega}) xo(n)SFTjXI(ejω) 性质 ;

    因此 , 这里 x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 , 既不是实数 , 也不是虚数 , 那么就一定是复数 ;


    分析 x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 复数序列的 实部 和 虚部 :

    由于 x ( n ) = a n u ( n ) x(n) = a^n u(n) x(n)=anu(n) 序列是实数 ,

    其 傅里叶变换

    S F T [ x ( n ) ] = X ( e j ω ) = 1 1 − a e − j ω SFT[x(n)] =X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}} SFT[x(n)]=X(ejω)=1aejω1

    一定是共轭对称的 ;

    分解 S F T [ x ( n ) ] SFT[x(n)] SFT[x(n)] 的实部和虚部 :

    X ( e j ω ) = 1 − a cos ⁡ ω 1 + a 2 − 2 a cos ⁡ ω − j a sin ⁡ ω 1 + a 2 − 2 a cos ⁡ ω X(e^{j\omega}) = \cfrac{1 - a\cos \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega } - j\cfrac{a\sin \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega } X(ejω)=1+a22acosω1acosωj1+a22acosωasinω

    共轭对称 的 傅里叶变换 , 实部是 偶对称的 , 虚部是 奇对称 的 ;


    傅里叶变换的 模 , 即 傅里叶变换 取绝对值 ∣ X ( e j ω ) ∣ |X(e^{j\omega})| X(ejω) , 是偶对称的 ;

    ∣ X ( e j ω ) ∣ = 1 ( 1 + a 2 − 2 a cos ⁡ ω ) 1 2 |X(e^{j\omega})| = \cfrac{1}{ ( 1 + a^2 - 2a\cos \omega )^{\frac{1}{2}} } X(ejω)=(1+a22acosω)211


    根据如下定理 : x ( n ) x(n) x(n)共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR(ejω)

    x e ( n ) ⟷ S F T X R ( e j ω ) x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega}) xe(n)SFTXR(ejω)

    可得 : 傅里叶变换的 实部 1 − a cos ⁡ ω 1 + a 2 − 2 a cos ⁡ ω \cfrac{1 - a\cos \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega } 1+a22acosω1acosω 的 傅里叶反变换 , 对应的是 x ( n ) x(n) x(n) 的共轭对称分量 ;

    傅里叶变换的 虚部 − j a sin ⁡ ω 1 + a 2 − 2 a cos ⁡ ω - j\cfrac{a\sin \omega}{1 + a^2 - 2a\cos \omega } j1+a22acosωasinω 的 傅里叶反变换 , 对应的是 x ( n ) x(n) x(n) 的共轭反对称分量 ;


    【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 ) 博客中 , 推导了 共轭对称序列 与原序列的关系 , 这里当做一个先决的条件 , 之后需要使用 ;

    实因果序列的对称序列与原序列关系 : 先将结果放在这里 , 之后需要使用 ;

    h e ( n ) h_e(n) he(n) h ( n ) h(n) h(n) 关系 :

    h e ( n ) = { h ( 0 ) n = 0 h ( n ) 2 n > 0 h ( − n ) 2 n < 0 h_e(n) =\begin{cases} h(0) & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases} he(n)=h(0)2h(n)2h(n)n=0n>0n<0

    h o ( n ) h_o(n) ho(n) h ( n ) h(n) h(n) 关系 :

    h o ( n ) = { 0 n = 0 h ( n ) 2 n > 0 − h ( − n ) 2 n < 0 h_o(n) =\begin{cases} 0 & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{-h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases} ho(n)=02h(n)2h(n)n=0n>0n<0


    下面继续分析上述序列 :

    下面的序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n) 为实偶 ,

    x e ( n ) = { 1 n = 0 a n 2 n > 0 a − n 2 n < 0 x_e(n) =\begin{cases} 1 & n = 0 \\\\ \cfrac{a^n}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{a^{-n}}{2} & n < 0 \end{cases} xe(n)=12an2ann=0n>0n<0

    根据如下定理 :

    如果 x ( n ) x(n) x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;

    x e ( n ) x_e(n) xe(n) 的 傅里叶变换 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR(ejω) 也是 实偶 的 ;


    下面的序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n) 为实奇 ,

    x o ( n ) = { 0 n = 0 a n 2 n > 0 − a − n 2 n < 0 x_o(n) =\begin{cases} 0 & n = 0 \\\\ \cfrac{a^n}{2} & n > 0 \\\\ -\cfrac{a^{-n}}{2} & n < 0 \end{cases} xo(n)=02an2ann=0n>0n<0

    根据如下定理 :

    如果 x ( n ) x(n) x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;

    x o ( n ) x_o(n) xo(n) 的 傅里叶变换 j X I ( e j ω ) jX_I(e^{j \omega}) jXI(ejω) 也是 虚奇 的 ;


    原序列 x ( n ) x(n) x(n) 图像如下 :

    在这里插入图片描述

    x ( − n ) x(-n) x(n) 图像 , 就是将 x ( n ) x(n) x(n) 图像 , 以 y y y 轴为中心进行镜像 :

    在这里插入图片描述

    x ( n ) x(n) x(n) 序列的 共轭对称分量 x e ( n ) x_e(n) xe(n) 就是 x ( n ) x(n) x(n) x ( − n ) x(-n) x(n) 相加 , 除以 2 2 2 :

    x e ( n ) = x ( n ) + x ( − n ) 2 x_e(n) = \cfrac{x(n) + x(-n)}{2} xe(n)=2x(n)+x(n)

    在这里插入图片描述

    x ( n ) x(n) x(n) 序列的 共轭反对称分量 x o ( n ) x_o(n) xo(n) 就是 x ( n ) x(n) x(n) x ( − n ) x(-n) x(n) 相减 , 除以 2 2 2 :

    x o ( n ) = x ( n ) − x ( − n ) 2 x_o(n) = \cfrac{x(n) - x(-n)}{2} xo(n)=2x(n)x(n)

    在这里插入图片描述

    x ( n ) x(n) x(n) 的模 图像如下 , 是偶对称的 ;

    在这里插入图片描述

    x ( n ) x(n) x(n) 的 实部 图像如下 , 是偶对称的 ;

    在这里插入图片描述

    x ( n ) x(n) x(n) 的 虚部 图像如下 , 是奇对称的 ;

    在这里插入图片描述

    x ( n ) x(n) x(n) 的 相位 图像如下 , 是奇对称的 ;
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 一、共轭对称与共轭反对称图像示例、 1、共轭对称序列图示、 2、共轭反对称序列图示、 3、总结、





    一、共轭对称与共轭反对称图像示例



    序列 x ( n ) = 0. 8 n u ( n ) x(n) = 0.8^n u(n) x(n)=0.8nu(n) , 取 0 0 0 ~ 10 10 10 之间的 11 个点 , 绘制后样式如下 :

    在这里插入图片描述


    1、共轭对称序列图示


    共轭对称序列概念 :

    对于 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 如果 x ( n ) x(n) x(n) 共轭 x ( − n ) x(-n) x(n) ,

    x ( n ) = x ∗ ( − n ) x(n) = x^*(-n) x(n)=x(n)

    则称 x ( n ) x(n) x(n)关于原点共轭对称序列 , 记做

    x e ( n ) x_e(n) xe(n)

    其中 , − ∞ < n < + ∞ -\infty < n < +\infty <n<+ ;


    x ( n ) x(n) x(n) 的共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n) 图像如下 : 对于 实序列 来说 , 共轭对称 就是 偶对称 ;

    原序列有 n = 11 n= 11 n=11 个点 , 其共轭对称序列 ( 偶对称序列 ) 有 2 n − 1 = 21 2n - 1 = 21 2n1=21 个点 ;

    在这里插入图片描述

    2、共轭反对称序列图示


    共轭反对称序列概念 :

    对于 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 如果 ,

    x ( n ) = − x ∗ ( − n ) x(n) = -x^*(-n) x(n)=x(n)

    成立 , 则称 x ( n ) x(n) x(n)关于原点共轭反对称序列 , 记做

    x o ( n ) x_o(n) xo(n)

    其中 , − ∞ < n < + ∞ -\infty < n < +\infty <n<+ ;


    x ( n ) x(n) x(n) 的共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n) 图像如下 : 对于 实序列 来说 , 共轭反对称 就是 奇对称 ;

    原序列有 n = 11 n= 11 n=11 个点 , 其共轭反对称序列 ( 奇对称序列 ) 有 2 n − 1 = 21 2n - 1 = 21 2n1=21 个点 ;

    在这里插入图片描述


    3、总结


    实序列 :

    • 偶对称 : x ( n ) = x ( − n ) x(n) = x(-n) x(n)=x(n)
    • 奇对称 : x ( n ) = − x ( − n ) x(n) = -x(-n) x(n)=x(n)

    复序列 :

    • 共轭对称 : x ( n ) = x ∗ ( − n ) x(n) = x^*(-n) x(n)=x(n)
    • 共轭反对称 : x ( n ) = − x ∗ ( − n ) x(n) = -x^*(-n) x(n)=x(n)

    对于 实序列 来说 , 共轭对称 就是 偶对称 ;

    对于 实序列 来说 , 共轭反对称 就是 奇对称 ;

    展开全文
  • 一、共轭对称序列性质、 二、共轭反对称序列性质、 三、模偶对称、 四、相角奇对称
  • 一、相关函数共轭对称性质、 1、实信号自相关函数偶对称、 2、复信号自相关函数共轭对称、 3、复信号互相关函数共轭对称
  • 一、共轭对称序列、 二、共轭反对称序列
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  • X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )、 2、序列对称分解定理、 3、傅里叶变换定义 二、证明 原序列实部 x_R(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的 共轭对称序列、 1、共轭...
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