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  • Content1 尺度函数1.1 Harr尺度函数1.2 尺度函数的重要性质1.2.1 VjV_jVj​空间的正交基1.2.2 嵌套子空间1.2.3 交空间和并空间1.2.4 尺度函数递归等式2 小波函数2.1 Harr小波函数参考文献 前文Why wavelet?介绍了FT...

    小波变换系列
    小波变换第1讲:Why wavelet?
    小波变换第2讲:尺度函数与小波函数

    前文小波变换第1讲:Why wavelet?介绍了FT以及STFT在时频分析方面的缺陷,本文将介绍小波变换的主体部分。

    小波变换(WT)方面的不同书籍,涉及到的一些定义不尽相同,对理解小波造成了一些困扰。本文主要参考的是冈萨雷斯 数字图像处理 第3版第7章的有关内容。

    本文中的尺度函数选取Haar函数。

    1 尺度函数

    尺度函数(scaling function),通常记作 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t),又称为father wavelet

    1.1 Harr尺度函数

    Harr尺度函数及图示如下:
    ϕ ( t ) = { 1 , 0 ≤ t < 1 0 , o t h e r w i s e \phi_(t)=\left\{ \begin{aligned} 1&,0\le t<1 \\ 0&, otherwise \end{aligned} \right. ϕ(t)={10,0t<1,otherwise
    在这里插入图片描述
    对该函数进行缩放或平移:
    在这里插入图片描述
    该函数在不同的尺度 j , k ( j = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) j,k(j=0,\pm1,\pm2,...;k=0,\pm1,\pm2,...) j,k(j=0,±1,±2,...;k=0,±1,±2,...)缩放( 2 j 2^j 2j)及平移( 2 − j k 2^{-j}k 2jk),形成了一个集合 { ϕ j , k ( t ) } \{\phi_{j,k}(t)\} {ϕj,k(t)}:

    ϕ j , k ( t ) = 2 j 2 ϕ ( 2 j t − k ) \phi_{j,k}(t)=2^{\frac{j}{2}}\phi(2^jt-k) ϕj,k(t)=22jϕ(2jtk)

    这里 j 2 \cfrac{j}{2} 2j的作用是为了保持 ∫ a b ∣ f ( t ) ∣ 2 d t \int_a^b|f(t)|^2dt abf(t)2dt不变,即能量不变。

    1.2 尺度函数构成的空间

    尺度函数形成的子空间应该来说是小波变换中一个非常重要的性质。

    设空间 V j V_j Vj是由 ϕ j , k ( t ) , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . \phi_{j,k}(t),k=0,\pm1,\pm2,... ϕj,k(t),k=0,±1,±2,...在实数域内张成的空间,即:

    V j V_j Vj空间中的任一函数 f ( t ) f(t) f(t)可表示为:

    f ( t ) = ∑ k ∈ Z a k ϕ j , k ( t ) f(t)=\sum\limits_{k\in Z}a_k\phi_{j,k}(t) f(t)=kZakϕj,k(t)

    1.3 尺度函数的性质

    1.3.1 V j V_j Vj空间的正交基

    对于 V j V_j Vj空间的任一基函数,均满足:
    ⟨ ϕ j , m ( t ) , ϕ j , n ( t ) ⟩ = { 0 , m ! = n 1 , m = n \langle\phi_{j,m}(t),\phi_{j,n}(t)\rangle= \left\{ \begin{aligned} 0&,m!=n \\ 1&, m=n \end{aligned} \right. ϕj,m(t),ϕj,n(t)={01,m!=n,m=n
    可以看下1.1节Harr函数 ϕ ( 2 t ) \phi(2t) ϕ(2t) ϕ ( 2 t − 1 ) \phi(2t-1) ϕ(2t1),即 ϕ 1 , 0 ( t ) \phi_{1,0}(t) ϕ1,0(t) ϕ 1 , 1 ( t ) \phi_{1,1}(t) ϕ1,1(t),二者积分为0,正交。

    1.3.2 嵌套子空间

    子空间在小波变换中非常重要。1.3.1正交基是定义在相同的尺度 j j j,而本小节子空间是定义在不同的尺度 j j j

    不同尺度j形成的空间之间的关系如图所示:
    V − ∞ ⊂ ⋯ ⊂ V − 1 ⊂ V 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ ⋯ ⊂ V ∞ V_{-\infin} \subset \cdots \subset V_{-1} \subset V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2} \subset \cdots \subset V_{\infin} VV1V0V1V2V

    在这里插入图片描述
    举例说明, V 0 V_0 V0 V 1 V_1 V1的一个子空间,即 V 0 ⊂ V 1 V_0 \subset V_1 V0V1,则 V 0 V_0 V0中的任一函数可由 V 1 V_1 V1中的基线性表示:
    在这里插入图片描述
    这样,对于任一函数 f ( t ) f(t) f(t),总能用尺度趋向于无限大的空间 V ∞ V_\infty V中的基函数线性表示,即若 f ( t ) ∈ V j f(t) \in V_j f(t)Vj
    又因为 V j ⊂ V ∞ V_j \subset V_\infty VjV,则 f ( t ) f(t) f(t)也必然 ∈ V ∞ \in V_\infty V

    当然,我们不可能用 V ∞ V_\infty V中的基函数表示,这涉及到效率和资源的问题。

    有点类似AD转换中的逐次逼近法,先确定最高位,然后除2,不断确定次低位~

    1.3.3 交空间和并空间

    由1.2.2节嵌套子空间,可以得到下列性质:

    • 交空间
      ⋂ j V j = V − ∞ = { 0 } \bigcap_jV_j=V_{-\infin}=\{0\} jVj=V={0}
    • 并空间
      ⋃ j V j = V ∞ = { L 2 ( R ) } \bigcup_jV_j=V_{\infin}=\{L^2(R)\} jVj=V={L2(R)}
      L 2 ( R ) : L^2(R): L2(R):平方可积函数空间,是指函数 f ( x ) ∈ R f(x)\in R f(x)R,且 ∣ f ( x ) ∣ 2 |f(x)|^2 f(x)2 R R R内可积,这样的函数构成的集合。

    1.3.4 尺度函数递归等式

    由1.3.2节, V j ⊂ V j + 1 V_{j} \subset V_{j+1} VjVj+1,则:
    ϕ j , k ( t ) = ∑ n a n ⋅ ϕ j + 1 , n ( t ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\phi_{j,k}(t)=\sum_na_n\cdot\phi_{j+1,n}(t) ϕj,k(t)=nanϕj+1,n(t)
    又根据1.1节,
    ϕ j , k ( t ) = 2 j 2 ϕ ( 2 j t − k ) ϕ j + 1 , n ( t ) = 2 j + 1 2 ϕ ( 2 j + 1 t − n ) \phi_{j,k}(t)=2^{\frac{j}{2}}\phi(2^jt-k)\\ \phi_{j+1,n}(t)=2^{\frac{j+1}{2}}\phi(2^{j+1}t-n) ϕj,k(t)=22jϕ(2jtk)ϕj+1,n(t)=22j+1ϕ(2j+1tn)
    j = 0 , k = 0 j=0,k=0 j=0,k=0,并用 h ϕ ( n ) h_{\phi}{(n)} hϕ(n)替代 a n a_n an,有:

    ϕ ( t ) = ∑ n h ϕ ( n ) 2 ϕ ( 2 t − n ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\phi(t)=\sum_nh_{\phi}{(n)}\sqrt{2}\phi(2t-n) ϕ(t)=nhϕ(n)2 ϕ(2tn)

    对于Haar小波尺度函数之间存在如下关系,详见下图:
    ϕ ( t ) = 2 [ 1 2 ϕ ( 2 t ) + 1 2 ϕ ( 2 t − 1 ) ] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\phi(t)=\sqrt{2}\lbrack\cfrac{1}{\sqrt2}\phi(2t)+\cfrac{1}{\sqrt2}\phi(2t-1)\rbrack ϕ(t)=2 [2 1ϕ(2t)+2 1ϕ(2t1)]
    在这里插入图片描述
    哈工大冉启文老师《小波变换与分数傅里叶变换理论及应用》将上述关系归纳为:

    • 嵌套关系/单调性: V j ⊂ V j + 1 V_{j} \subset V_{j+1} VjVj+1
    • 唯一关系: ⋂ j V j = { 0 } \bigcap_jV_j=\{0\} jVj={0}
    • 稠密关系: ⋃ j V j = { L 2 ( R ) } \bigcup_jV_j=\{L^2(R)\} jVj={L2(R)}
    • 伸缩关系: f ( x ) ∈ V j , 则 f ( 2 x ) ∈ V j + 1 f(x)\in V_j,则f(2x)\in V_{j+1} f(x)Vjf(2x)Vj+1

    2 小波函数

    小波函数(wavelet function),通常记作 ψ ( t ) \psi(t) ψ(t),又称为mother wavelet

    小波函数与尺度函数有联系也有区别。

    2.1 Harr小波函数

    Harr小波函数及图示如下:
    ψ ( t ) = { 1 0 ≤ t < 1 2 , − 1 1 2 ≤ t < 1 , 0   o t h e r w i s e . \psi_(t)=\left\{ \begin{aligned} 1&\qquad0\le t<\cfrac{1}{2}, \\ -1&\qquad\cfrac{1}{2}\le t<1, \\ 0&\qquad\ otherwise. \end{aligned} \right. ψ(t)=1100t<21,21t<1, otherwise.
    在这里插入图片描述

    类似于尺度函数,小波函数在不同的尺度 j , k ( j = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) j,k(j=0,\pm1,\pm2,...;k=0,\pm1,\pm2,...) j,k(j=0,±1,±2,...;k=0,±1,±2,...)缩放( 2 j 2^j 2j)及平移( 2 − j k 2^{-j}k 2jk),形成了一个集合 { ψ j , k ( t ) } \{\psi_{j,k}(t)\} {ψj,k(t)}:
    ψ j , k ( t ) = 2 j 2 ψ ( 2 j t − k ) \psi_{j,k}(t)=2^{\frac{j}{2}}\psi(2^jt-k) ψj,k(t)=22jψ(2jtk)

    小波函数也可以进行缩放和平移:
    在这里插入图片描述

    2.2 小波函数构成的空间

    设空间 W j W_j Wj是由 ψ j , k ( t ) , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . \psi_{j,k}(t),k=0,\pm1,\pm2,... ψj,k(t),k=0,±1,±2,...在实数域内张成的空间,即:

    W j W_j Wj空间中的任一函数 g ( t ) g(t) g(t)可表示为:

    g ( t ) = ∑ k ∈ Z b k ψ j , k ( t ) g(t)=\sum\limits_{k\in Z}b_k\psi_{j,k}(t) g(t)=kZbkψj,k(t)

    2.3 小波函数的性质

    2.3.1 小波函数子空间之间的正交性

    尺度函数子空间只针对同一尺度 j j j、不同的平移系数 k k k成立。

    而小波函数子空间的正交性,则是针对所有尺度 j j j(相同或不相同)、及不同平移系数 k k k的小波函数。即:

    ⟨ ψ j , k ( t ) , ψ j ′ , k ′ ( t ) ⟩ = 0 , 当 { j = j ′ , k ≠ k ′ j ≠ j ′ \qquad\qquad\qquad\langle\psi_{j,k}(t),\psi_{j',k'}(t)\rangle=0 ,当\left\{ \begin{aligned} & j=j',k \neq k' \\ & j\ne j' \end{aligned} \right. ψj,k(t),ψj,k(t)=0{j=j,k=kj=j
    下图展示了 ψ 1 , 0 ( t ) \psi_{1,0}(t) ψ1,0(t),与 ψ 0 , 0 ( t ) \psi_{0,0}(t) ψ0,0(t) ψ ( t ) \psi(t) ψ(t)的正交关系。

    在这里插入图片描述

    2.3.2 小波函数与尺度函数空间的关系

    2.3.2.1 正交补空间

    尺度函数子空间 V j V_j Vj、小波函数子空间 W j W_j Wj与尺度函数 V j + 1 V_{j+1} Vj+1满足:

    V j + 1 = V j ⊕ W j \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad V_{j+1}=V_{j}\oplus W_{j} Vj+1=VjWj
    V j V_j Vj W j W_j Wj空间正交,即:

    ⟨ ϕ j , k ( t ) , ψ j , l ( t ) ⟩ = 0 \qquad\qquad\qquad\langle\phi_{j,k}(t),\psi_{j,l}(t)\rangle=0 ϕj,k(t),ψj,l(t)=0,对所有 j , k , l j,k,l j,k,l均成立。

    2.3.2.2 子空间之间的关系

    由于小波函数子空间及尺度函数子空间之间存在的正交关系,尺度函数空间 V j V_j Vj,可由起始尺度空间如 V 0 V_0 V0,与一系列低尺度的小波函数空间 W j − 1 , W j − 2 , . . . , W 1 , W 0 W_{j-1},W_{j-2},...,W_1,W_0 Wj1Wj2...W1W0的合成:

    V 2 = V 1 ⊕ W 1 = V 0 ⊕ W 0 ⊕ W 1 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad V_2=V_1\oplus W_1=V_0 \oplus W_0\oplus W_1 V2=V1W1=V0W0W1
    在这里插入图片描述
    推广之,
    V n = V n − 1 ⊕ W n − 1 = V n − 2 ⊕ W n − 2 ⊕ W n − 1 = V 0 ⊕ W 0 ⊕ W 1 ⊕ . . . ⊕ W n − 1 = V − ∞ ⊕ W − ∞ ⊕ . . . ⊕ W − 1 ⊕ W 0 ⊕ W 1 ⊕ . . . ⊕ W n − 1 \begin{aligned} V_n&=V_{n-1}\oplus W_{n-1}\\&=V_{n-2} \oplus W_{n-2}\oplus W_{n-1}\\ &=V_0 \oplus W_{0}\oplus W_{1}\oplus ... \oplus W_{n-1}\\ &=V_{-\infin} \oplus W_{-\infin} \oplus ...\oplus W_{-1}\oplus W_{0}\oplus W_{1}\oplus ... \oplus W_{n-1} \end{aligned} Vn=Vn1Wn1=Vn2Wn2Wn1=V0W0W1...Wn1=VW...W1W0W1...Wn1

    当然我们不可能从 − ∞ -\infin 尺度开始,而往往选择从尺度为0的分辨率开始。

    又由1.3.3节, V − ∞ = { 0 } V_{-\infin}=\{0\} V={0},因此:
    V n = ⨁ j = − ∞ n − 1 W k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad V_n=\bigoplus \limits_{j=-\infin}^{n-1}W_k Vn=j=n1Wk

    n → ∞ n\rightarrow \infin n时,由1.3.3节并空间的性质, V ∞ = { L 2 ( R ) } V_{\infin}=\{L^2(R)\} V={L2(R)},故对于任意 f ( x ) ∈ L 2 ( R ) f(x)\in L^2(R) f(x)L2(R),均有:

    f ( x ) = v 0 + ∑ j = 0 ∞ w j \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)=v_0+\sum\limits_{j=0}^{\infin}w_j f(x)=v0+j=0wj,其中 v 0 ∈ V 0 v_0\in V_0 v0V0 w j ∈ W j w_j\in W_j wjWj

    L 2 ( R ) {L^2(R)} L2(R)中的任意函数均可由小波正交空间中的函数线性表示。

    2.3.3 小波函数递归等式

    V j + 1 = V j ⊕ W j V_{j+1}=V_{j}\oplus W_{j} Vj+1=VjWj,则 W j W_{j} Wj V j V_{j} Vj都是 V j + 1 V_{j+1} Vj+1的子空间。因此与1.3.4类似,小波函数也可由相邻的较高分辨率的尺度函数来线性表示:

    ψ ( t ) = ∑ n h ψ ( n ) 2 ϕ ( 2 t − n ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \psi(t)=\sum_nh_{\psi}{(n)}\sqrt{2}\phi(2t-n) ψ(t)=nhψ(n)2 ϕ(2tn)

    在这里插入图片描述

    ps: 为了博客更生动形象,使用了不少来自参考文献的图片,在此感谢。若有侵犯,请联系删除。

    参考文献

    [1] Why wavelet?
    [2] 冈萨雷斯 数字图像处理 第3版
    [3] http://math.bu.edu/people/mkon/ma717/L12HaarWavelet.pdf
    [4] http://www.ws.binghamton.edu/fowler/EECE523/Ch_15_2%20Wavelet%20Example.pdf
    [5] https://slideplayer.com/slide/7537671/
    [6] https://mathworld.wolfram.com/HaarFunction.html
    [7] 知乎:通过Haar小波认识离散小波变换
    [8] 哈工大,冉启文,小波变换与分数傅里叶变换理论及应用

    展开全文
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    结果:

    Haar小波尺度函数和小波函数 :

    Morlet小波函数:

     Meyer小波尺度函数和小波函数:

     db4小波尺度函数与小波函数:

     

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  • 小波函数

    千次阅读 2015-10-27 21:37:06
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    母小波

      简单来说(技术上有错),母小波函数\psi\ (t)必须满足下列条件: :\int_^ |\psi (t)|\ ^2\, dt = 1, 也即 \psi\in L^2(\R) 并单位化 :\int_^ |\psi\ (t)|\, dt <\infty, 也即 \psi\in L^1(\R) :\int_^ \psi\ (t)\, dt = 0 多数情况下,需要要求\psi连续且有一个矩为0的大整数M,也即寠所有整数m\int_^ t^m\,\psi\ (t)\, dt = 0 这表示母小波必须非0且均值为0。技 ??上来讲,母小波必须满足可采纳性条 ??以使某个分辨率的恒等成立。 母小栢的一些例子: 母小波缩放(或称膨胀)a倍并平移b得到(根据Morlet的原始形式): :\psi _ (t) = \psi \left( \right) 这些函数常常被错误的称为变换的埠函数。实际上,没有基函数存在。时埠频域解释要用一个稍有区别的表述(由D lprat给出)。

    和傅立叶变换比较

      小波变换经常和 傅立叶变换 做比较,在那里信号用正弦函数的和栥表示。主要的区别是小波在时域和频堟都是局部的而标准的 傅立叶变换只在频域 上是局部的。 短时间傅立叶变换 (Short-time Fourier transform)(STFT)也是时域和频域都局部化 ??但有些频率和时间的分辨率问题,而 ??波通常通过 多分辨率分析给出信号更好的表示。 小波变换计箠复杂度上也更小,只需要O(N)时间,而不是 快速傅立叶变换 的 O(N log N),N代表数据大小。

     

    小波的定义

     

    缩放滤波器

      小波完全通过缩放滤波器g - 一个低通 有限脉冲响应 (FIR)长度为2N和为1的滤波器 - 来定义。在双正交小波的情况,分解堌重建的滤波器分别定义。高通滤波哒的分析作为低通的QMF来计算,而重建滠波器为分解的时间反转。例如Daubechie 和Symlet小波。

    缩放函数

      小波有时域中的小波函数\psi (t) (即母小波)和缩放函数\phi (t) (也称为父小波)来定义。小波函数实际上是带通滤波器,每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题,如果要覆盖一个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉小波变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。对于有紧支撑的小波,\phi (t)可以视为有限长,并等价于缩放滤波堨g. 例如Meyer小波

    小波函数

      小波只有时域表示,作为小波函数\psi (t). 例如墨西哥帽小波。

     

    编辑本段应用

     

      通常来讲,DWT用于 信号编码 而CWT用于信号分析。所以,DWT通常用于工程和计算机科堦而CWT经常用于科学研究。小波变换现堨被大量不同的应用领域所采纳,经常堖代了傅立叶变换的位置。很多物理学的领域经历了这䠪范式的转变,包括 分子动力学 , 重新计算 (ab initio calculations), 天文物理学 , 密度矩阵 局部化,地震地质物理学, 光学 , 湍流 ,和 量子力学。其他经历了这种变化的学科有 图像处理,血压,心率和 心电图 分析, DNA 分析, 蛋白质 分析, 气象学 ,通用 信号处理 ,语言识别 , 计算机图形学 ,和多分形分析 。小波的一个用途是数据压缩。和兠他变换一样,小波变换可以用于原始敠据(例如图像),然后将变换后的数据编 ??,得到有效的压缩。 JPEG 2000 是采用小波的图像标准。细节请参看 小波压缩 。

     

    编辑本段历史

     

      小波的发展和几条不同的思路相关@最早的是 Alfred Haar 在20世纪早期的工作。对小波理论有窠出贡献的有 Pierre Goupillaud , Alex Grossman 和 Jean Morlet 的表述,现在称为CWT (1982), Jan-Olov Str&ouml;mberg 在离散小波上的早期工作(1983), 英格丽·多贝西 ( Ingrid Daubechies )的紧支撑正交小波(1988), Stephane Mallat 的多分辨率框架(1989), Nathalie Delprat CWT的时域频域解释 (1991), David E. Newland 的调和小波变换和之后的很多其他人㠂   时间线   - 第一个小波( Haar小波 )由 Alfred Haar 给出 (1909年)   - 1950年代以来: Jean Morlet 和 Alex Grossman   - 1980年代以来: Yves Meyer , Stéphane Mallat , 英格丽·多贝西 ( Ingrid Daubechies ), Ronald Coifman , Victor Wickerhauser   小波变换   存在着大量的小波变换,每个适合丠同的应用。完整的列表参看 小波相关的变换列表,常见的如下:   - 连续小波变换 (CWT)   - 离散小波变换 (DWT)   - 快速小波变换 (FWT)   - 小波包分解 (Wavelet packet decomposition) (WPD)

     

    编辑本段小波函数

     

      函数名 含 义   Allnodes 计算树结点   appcoef 提取一维小波变换低频系数   appcoef2 提取二 维小波分解低频系数   bestlevt 计算完整最佳小波包树   besttree 计算最佳(优)树   biorfill 双正交样条小波滤波器组   biorwavf 双正交样条小波滤波器   centfrq 求小波中心频率   cgauwavf Complex Gaussian小波   cmorwavf coiflets小波滤波器   cwt 一维连续小波变换   dbaux Daubechies小波滤波器计算   dbwavf Daubechies小波滤波器 dbwavf(W) W='dbN' N=1,2,3,...,50   ddencmp 获取默认值阈值(软或硬)熵标准   depo2ind 将深度-位置结点形式转化成索引结点形式   detcoef 提取一维小波变换高频系数   detcoef2 提取二维小波分解高频系数  disp 显示文本或矩阵   drawtree 画小波包分解树(GUI)   dtree 构造DTREE类   dwt 单尺度一维离散小波变换   dwt2 单尺度二维离散小波变换   dwtmode 离散小波变换拓展模式   dyaddown 二元取样  dyadup 二元插值   entrupd 更新小波包的熵值   fbspwavf B样条小波   gauswavf Gaussian小波   idwt 单尺度一维离散小波逆变换   idwt2 单尺度二维离散小波逆变换   ind2depo 将索引结点形式转化成深度—位置结点形式   intwave 积分小波数   isnode 判断结点是否存在   istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值   iswt 一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换  iswt2 二维逆SWT变换   leaves 寻找终端结点   noleaves 寻找非终端结点   mexihat 墨西哥帽小波   meyer Meyer小波   meyeraux Meyer小波辅助函数   morlet Morlet小波  nodease 计算上溯结点   nodedesc 计算下溯结点(子结点)   nodejoin 重组结点   nodepar 寻找父结点   nodesplt 分割(分解)结点   ntnode 返回终端结点个数   ntree 构造树结构对象  orthfill 正交小波滤波器组   plot 绘制向量或矩阵的图形   qmf 镜像二次滤波器   rbiowavf 通过设定双正交样条小波滤波器得到分解和重构的滤波器   read 读取二进制数据   readtree 读取小波包分解树  scal2frq 返回伪频率   shanwavf Shannon小波   swt 一维SWT(Stationary Wavelet Transform)变换   swt2 二维SWT变换   symwavf Symlets小波滤波器  thselect 信号消噪的阈值选择   treedpth 求树的深度   treeord 求树结构的叉数   upcoef 一维小波分解系数的直接重构   upcoef2 二维小波分解系数的直接重构   upwlev 单尺度一维小波分解的重构  upwlev2 单尺度二维小波分解的重构   wavedec 单尺度一维小波分解   wavedec2 多尺度二维小波分解  wavedemo 小波工具箱函数demo   wavefun 小波函数和尺度函数   wavefun2 二维小波函数和尺度函数  wavemenu 小波工具箱函数menu图形界面调用函数   wavemngr 小波管理函数   waverec 多尺度一维小波重构   waverec2 多尺度二维小波重构   wbmpen 返回1-D或2-D小波降噪的全局阈值  wcodemat 对矩阵进行量化编码   wdcbm 返回阈值和系数个数(1-D小波降噪Birge-Massart策略 )   wdcbm2 返回阈值和系数个数(2-D小波降噪Birge-Massart策略 )   wden 用小波进行一维信号的消噪或压缩  wdencmp 小波消噪或压缩   wentropy 计算小波包的熵   wfilters 小波滤波器   wkeep 提取向量或矩阵中的一部分   wmaxlev 计算小波分解的最大尺度   wnoise 产生含噪声的测试函数数据   wnoisest 估计一维小波的系数的标准偏差   wp2wtree 从小波包树中提取小波树   wpcoef 计算小波包系数   wpcutree 剪切小波包分解树   wpdec 一维小波包的分解   wpdec2 二维小波包的分解   wpdencmp 用小波包进行信号的消噪或压缩   wpfun 小波包函数   wpjoin 小波包重构   wprcoef 小波包分解系数的重构  wprec 一维小波包分解的重构   wprec2 二维小波包分解的重构   wpsplt 分割(分解)小波包  wpthcoef 进行小波包分解系数的阈值处理   wpviewcf 绘制小波包的颜色系数   wrcoef 对一维小波系数进行单支重构   wrcoef2 对二维小波系数进行单支重构   wrev 向量逆序   write 向缓冲区内存写进数据   wthcoef 一维信号的小波系数阈值处理   wthcoef2 二维信号的小波系数阈值处理  wthresh 进行软阈值或硬阈值处理   wthrmngr 阈值设置管理   wtreemgr 管理树结构

     

    展开全文
  • 直到详细理解时,发现有尺度函数和小波函数两种。从上图可以发现尺度函数振幅为正,小波函数振幅有正有负,但两者周期(横坐标是波长?单位km识别的最小尺度距离长度?)一致。通过不同尺度的分解,获得不同分辨率的...
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  • 几种小波的尺度和小波函数绘制程序
  • 本文描述了基于正交小波函数族的多址通信原理,并提出了一种多速率正交小波调制方法.用具有不同伸缩尺度的小波函数对不同信道中的码流进行编码,可以达到扩展信息序列频谱的目的,因此这一多址技术具有很好的抗干扰...
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小波函数

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