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  • 投票算法
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    2020-10-15 18:22:40

    投票算法主要用于解决数组中出现次数最多的元素问题。
    投票算法的理解主要是记住数组里只有两种元素:我和我之外的元素。
    比如:有个数组{0,1,2,1,2,1}
    用temp存储出现次数最多的元素,count计数。
    1.首先用temp存储0,count赋初值为1。
    2.开始从第二个元素遍历,此时1不等于0,那么就给count–,同时当count为0时将当前遍历的元素赋值给temp,将count++。(为什么要如此操作,因为:遍历到1时,1和0都出现了一次,那么我们可以认为0可能没有1出现的次数多,于是我们就可以将1赋值给temp,将1当作出现次数最多的数字,同时将count++变为1。)
    3.继续遍历到2,参照第2步,将2赋值给temp,count继续初始化为1。
    4.遍历到1,将1赋值给temp,count初始化为1。
    5.遍历到2…
    6.遍历到1,将1赋值给temp,count初始化为1。
    到此遍历完毕我们将1输出,count实际上是不同元素出现次数的一个差值,出现次数最多的的元素其最后count必然是大于0的。
    核心代码如下:

    public static int majorityElement(int[] nums){
            //投票算法
            int count = 1;
            int temp = nums[0];
            for(int i = 1;i < nums.length;i++){
                if(temp == nums[i]){
                    count++;
                }else {
                    count--;
                }
                if(count == 0){
                    temp = nums[i];
                    count = 1;
                }
            }
            
    
    
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    摩尔投票算法

    摩尔投票算法也叫多数投票算法

    摩尔投票法,解决的问题是如何在任意多的候选人中,选出票数超过一半的那个人。注意,是超出一半票数的那个人。

    假设投票是这样的,[A, C, A, A, B],ABC 是指三个候选人。
    第一张票与第二张票进行对坑,如果票不同则互相抵消掉;
    接着第三票与第四票进行对坑,如果票相同,则增加这个候选人的可抵消票数;
    这个候选人拿着可抵消票数与第五张票对坑,如果票不同,则互相抵消掉,即候选人的可抵消票数 -1。

    动画演示

    在这里插入图片描述

    应用

    来源:leetcode 剑指offer 39

    题目:求数组中出现次数超过一半的数字
    要求:数组中有一个数字出现的次数超过数组长度的一半,请找出这个数字。你可以假设数组是非空的,并且给定的数组总是存在多数元素。
    示例:
    输入: [1, 2, 3, 2, 2, 2, 5, 4, 2]
    输出: 2

    代码

    //摩尔投票
    int majorityElement(int* nums, int numsSize)
    {
        int count = 0;
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < numsSize; ++i)
        {
            if (count == 0)
            {
                ++count;
                res = nums[i];
            }
            else if (nums[i] == res)
            {
                ++count;
            }
            else
            {
                --count;
            }
        }
    
        return res;
    }
    

    测试截图
    在这里插入图片描述

    摩尔投票算法进阶版

    来源:leetcode.229

    题目:给定一个大小为 n 的整数数组,找出其中所有出现超过 ⌊ n/3 ⌋ 次的元素。
    示例 1
    输入:[3,2,3]
    输出:[3]
    示例 2
    输入:[1,1,1,3,3,2,2,2]
    输出:[1,2]

    超过n/3的数最多只能有两个。先选出两个候选人A,B。 遍历数组,分三种情况:

    1、如果投A(当前元素等于A),则A的票数++;
    2、如果投B(当前元素等于B),B的票数++;
    3、如果A,B都不投(即当前与A,B都不相等),那么检查此时A或B的票数是否减为0:
    3.1、 如果为0,则当前元素成为新的候选人;
    3.2 、如果A,B两个人的票数都不为0,那么A,B两个候选人的票数均减一;

    遍历结束后选出了两个候选人,但是这两个候选人是否满足>n/3,还需要再遍历一遍数组,找出两个候选人的具体票数。

    动画演示

    在这里插入图片描述

    代码

    int* majorityElement(int* nums, int numsSize, int* returnSize)
    {
        int count1 = 0;
        int count2 = 0;
        int res1 = 0; //候选人1
        int res2 = 0; //候选人2
        int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * 2);
        for (int i = 0; i < numsSize; ++i)
        {
            if (res1 == nums[i])
            {
                ++count1;
                continue;
            }
    
            if (res2 == nums[i])
            {
                ++count2;
                continue;
            }
    		
    		// 第1个候选人配对
            if (count1 == 0)
            {
                res1 = nums[i];
                ++count1;
                continue;
            }
            
    		// 第2个候选人配对
            if (count2 == 0)
            {
                res2 = nums[i];
                ++count2;
                continue;
            }
    
            --count1;
            --count2;
        }
    
    	// 找到了两个候选人之后,需要确定票数是否满足大于 N/3
        count1 = count2 = 0;
        for (int i = 0; i < numsSize; ++i)
        {
            if (nums[i] == res1)
                ++count1;
            else if (nums[i] == res2)
                ++count2;
        }
    
        if (count1 > (numsSize / 3) && count2 > (numsSize / 3))
        {
            arr[0] = res1;
            arr[1] = res2;
            *returnSize = 2;
            return arr;
        }
        else if (count1 > (numsSize / 3))
        {
            arr[0] = res1;
            *returnSize = 1;
            return arr;
        }
        else if (count2 > (numsSize / 3))
        {
            arr[0] = res2;
            *returnSize = 1;
            return arr;
        }
        
        *returnSize = 0;
        return arr;
    
    }
    

    测试截图
    在这里插入图片描述

    总结

    如果至多选一个代表,那他的票数至少要超过一半(⌊ 1/2 ⌋)的票数;
    如果至多选两个代表,那他们的票数至少要超过 ⌊ 1/3 ⌋ 的票数;
    如果至多选m个代表,那他们的票数至少要超过 ⌊ 1/(m+1) ⌋ 的票数。

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    问题:

    有一个数组,里面是一些重复的数字。问是否存在一个数,这个数出现的次数超过了数组大小的一半?如果存在的话,这个数是多少?

    例如对于数组[1,1,3,1,3,1,2],数字1的出现的次数超过了数组的一半;
    而对于数组[6,6,6,7,7,7],没有数字超过数组的一半(数字6和7都出现了3次,出现的次数等于数组的一半,而没有超过数组的一半)

    如果题目要求的是数字出现的次数大于等于数组的一半,那多数投票算法就失效了,只能用其他方法来实现。


    解决方式:

    对于这个问题,最佳的算法是多数投票算法,也叫作Boyer-Moore algorithm。
    对这个问题,最大投票算法的时间复杂度是O(n)(总共遍历两次数组),空间复杂度是O(1)(总共维护两个变量)

    算法的思想是,如果一个数存在超过数组的一半,则这个数和其他数相互抵消,最终还是会有自己的同党剩下来。
    例如有一些人来投票,投的票选项分别是[1,3,2,1,1].
    第一个人投1号,第二个人投3号,两个选票不同,相互抵消;
    第三个人投2号,第四个人投1号,两个选票不同,相互抵消;
    最后剩下一个1号投票,1号也是超过半数的投票号。

    再看一个例子:[1,1,3,4,2]
    第1、2个人的投票将选项1的票数累加到2;
    第3、4个人的投票不是1,所以抵消选项1的票数到0;
    最后一个人的投票是2.
    但是很明显,2号不是多数的票号。所以我们需要再遍历一次数组来判断2号票是不是多数票。这个就是多数投票算法的思想


    JAVA实现:

    public int majorityVote(int nums[]) {
    	int candidate=0,count=0;
    	for(Integer num : nums) {
    		if(num==candidate) {
    			count++;
    		}else if(count==0) {
    			candidate=num;
    			count=1;
    		}else {
    			count--;
    		}
    	}
    	
    	count=0;
    	for(Integer num : nums)
    		if(num==candidate)	count++;
    	if(count>Math.ceil(nums.length/2))	return candidate; 
    	return -1;    // 表示没有超过半数的票
    }
    

    传进函数的参数nums数组表示选票的票号,candidate表示可能的多数票号,初始值就设为0,count可以粗略理解为多数票号超过了其他票号的票数有多少。


    拓展:

    leetcode 229中求的就是超过三分之一的选票。

    可以轻易想到,超过数组三分之一长度的数最多有两个,不可能有三个。
    例如[1,1,1,2,2,2,3,3,3]就不存在超过数组三分之一长度的数字
    而数组[1,1,1,2,2,2,3,3]存在两个超过数组三分之一长度的数字1、2

    做法类似.

    展开全文
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    Boyer-Moore majority vote algorithm(摩尔投票算法)是一种线性时间复杂度和常数级空间复杂度的算法,用来查找元素序列中的众数。它是用Robert S. Boyer和J Strother Moore两人的名字命名,是一种典型的流算法。

    该算法的最简单的形式,查找最多出现的元素,也就是找到一个输入中出现一半以上的重复元素。但是,如果该数不存在的话,算法将检测不到真实结果,但是仍将输出输入元素中的一个元素。 但是,我们可以再次遍历输入序列,计算返回元素出现的次数,以确定它是否真的是众数。

    该算法在其局部变量中维护一个临时变量m和一个计数器c,计数器初值为零。 然后我们遍历序列中的每个元素。如果c==0,则m=x;c=1;(其中x表示我们遍历到的元素)。 如果m==x,那么c++,否则c--。 最后返回m即可。

    这可以用伪代码表示为以下步骤:

    • 初始化一个元素m和一个计算器c=0
    • 对于输入序列中的每个元素x
      • 如果i == 0, 那么 m = x 并且 i = 1
      • 如果m == x, 那么c++,否则的话c--
    • 返回m

    举个例子:

    [ 1 1 1 2 2 3 1] m = 0, c = 0
    [*1 1 1 2 2 3 1] m = 1, c = 1
    [1 *1 1 2 2 3 1] m = 1, c = 2
    [1 1 *1 2 2 3 1] m = 1, c = 3
    [1 1 1 *2 2 3 1] m = 1, c = 2
    [1 1 1 2 *2 3 1] m = 1, c = 1
    [1 1 1 2 2 *3 1] m = 1, c = 0
    [1 1 1 2 2 3 *1] m = 1, c = 1
    

    实际上这个过程类似于栈。当我们碰到第一个元素1,我们将他压入栈中

    stack: 1
    

    接着碰到一系列1,持续压栈,就变成了

    stack: 1 1 1
    

    当我们碰到2,此时2和栈顶元素1不同,所以我们需要弹出栈顶元素,同时这个2也不需要压栈。 后面的元素操作同理,最后返回栈顶元素。这样我们只通过mc两个元素模拟了栈操作。

    class Solution 
    {
    public:
        /*
         * @param nums: a list of integers
         * @return: find a  majority number
         */
        int majorityNumber(vector<int> &nums) 
        {
            int c = 0, m = nums[0];
            for (auto num : nums)
            {
                if (c == 0)
                {
                    m = num; ++c;
                }
                else if (m == num) ++c;
                else --c;
            }
            // check if there is a majority
            int counter = 0;
            for (auto num : nums) 
            {
                if (num == m) counter++;
            }
            if (counter < (nums.size() + 1) / 2) return -1;        
            return m;
        }
    };
    

    reference:

    https://en.wikipedia.org/wiki/Boyer–Moore_majority_vote_algorithm

    https://helloacm.com/data-structures-algorithms-series-majority-number-boyer-moore-majority-vote-algorithm/

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