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  • 重积分
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    2021-04-22 06:29:03

    matlab求三重积分Tag内容描述:

    1、三重积分1将I=分别表示成直角坐标,柱面坐标和球面坐标下的三次积分,并选择其中一种计算出结果其中是由曲面z=及z=x+y所围成的闭区域.分析为计算该三重积分,我们先把积分区域投影到某坐标平面上,由于是由两张曲面及,而由这两个方程所组成的方程组 极易消去z,我们把它投影到xoy面上然后,为在指定的坐标系下计算之,还应该先把的边界曲面用相应的坐标表示,并找出各种坐标系下各个变量。

    2、重积分小结:,2、二重积分.,3、三重积分.,1、定积分.,一、概念:,二、性质:(1)-(6),三、重积分的计算,1、直角坐标系,(一)二重积分计算,2、极坐标,(二)三重积分的计算,1、三次积分法,(适应于:D是多边形域),2、柱面积分法:,四、重积分的应用,1、计算面积,2、计算体积,【注】(曲顶柱体),3、计算表面积,一曲、二投、三积分,4、几何体的质量。

    3、此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 三重积分 1 将I 分别表示成直角坐标 柱面坐标和球面坐标下的三次积分 并选择其中一种计算出结果 其中是由曲面z 及z x y所围成的闭区域 分析 为计算该三重积分 我们先把积分区域投影到某坐标平面上 由于是由两张曲面及 而由这两个方程所组成的方程组 极易消去z 我们把它投影到xoy面上 然后 为在指定的坐标系下计算之 还应该先把的边界曲面。

    4、1.化三重积分为三次积分,其中积分区域分别是:(1) 由,所围成的闭区域;(2) 由六个平面,所围成的闭区域;(3) 由曲面及所围成的闭区域。2.设有一物体,占有空间闭区域:,在点处的密度为,计算该物体的质量。4.计算,其中是由曲面。

    5、第三节三重积分,一、三重积分的概念与性质,二、三重积分的计算,1、直角坐标(投影法、截面法),2、柱面坐标,3、球面坐标,一、三重积分的概念与性质,讨论密度分布不均匀的物体的质量:,(1)一根细棒:,密度为,(2)平面。

    6、5.三重积分数学分析中常用的曲面和它对应的方程(温馨提示:请大家务必记住常用结论!)1.球面:表示以原点为球心,半径为的球面。2.柱面:平行于定直线L并沿定曲线C移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线,动直线叫做柱面的母线。一般地,方程表示以曲线为准线,母线平行于z轴的柱面。类似可以写出方程表示的曲面。注:当准线是直线时,柱面退化为平面。几种常用的柱面。

    7、三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法,5 三重积分,问题的提出,设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z ),求立体 V 的质量 M,为了求 V 的质量,仍采用:分割、近似代替、,求和、取极限四个步骤.,首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积,记为,一、三重积分的概念,其次在每个小块 Vi 上任取一点,则 Vi 的质量,然后对每个小块 Vi 的质量求和:,最后,取极限,其中,定义 1,设 f ( x, y, z ) 为定义在三维空间可求体积,区域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积记为,的有界区域 V 上的有界函数, 把 V 任意地分成 。

    8、重积分,第三节 三重积分的计算方法,第三节 三重积分的计算法,一.在直角坐标系中的计算法,化成三次积分,仿照二重积分研究其计算方法:,在直角坐标系中,用平行于坐标面的平面将积分区域 分成 n 份(大部分是小长方体),可知:,体积元素,1.设积分区域 的边界曲面与平行于 坐标轴的直线相交不多于两点.,例如,与平行于 z 轴的直线相交不多于两点.,D为 在 xoy 面上的投影域.,上下曲面为:,若D是X型域,先对z后对y再对x的三次积分,同理,可将 投影到 yoz 面或 zox 面上,使三重积分化成其他顺 序的三次积分:,2.设积分区域 的边界曲面与平行于坐标轴的直线。

    9、二重积分、三重积分 、曲线积分、曲面积分的题型和分值分布,第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,二、二重积分的性质,第一节,一、二重积分的定义与可积性,三、二重积分的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的概念与性质,第九章,曲顶柱体体积:,平面薄板的质量:,一定义 如果 在D上可积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.(二。

    10、常见的二次曲面,1. 柱面,2. 锥面,3. 椭球面,4. 双曲面,5. 抛物面,1,x+ y=1,1,z=xy,.,习题10-3 第1(1)题,1,x+ y=1,1,z=xy,.,习题10-3 第1(1)题,1,1,x+ y=1,。,。,z=xy,.,习题10-3 第1(1)题,习题10-3 第1(2)题,习题10-3 第1(3)题。

    11、第一节 多元数量函数积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算 第三节 三重积分的计算 第四节 第一型曲线积分的计算 第五节 第一型曲面积分的计算 第六节 数量函数积分的应用,第六章 多元数量函数的积分学及其应用,(一)坐标面投影法,3.1 直角坐标系中三重积分的计算,(二)坐标轴投影法 (截面法),(先二后一法),(轮换对称性),32 三重积分的一般换元法则,32 柱面。

    12、9-31. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域W分别是: (1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为W=(x, y, z)| 0zxy, 0y1-x, 0x1, 于是 . (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域;解 积分区域可表示为。

    13、三重积分的应用教学目的:掌握三重重积分在体积,质量,重心、转动惯量等方面的应用。 教学重点:空间物体的质量,重心、转动惯量的求法。教学难点:三重积分的应用。教学内容:一、 立体的体积由三重积分的几何意义知 例1 求曲面与所围 成的立体体积.解 由锥面和球面围成,采用球面坐标,由 由三重积。

    14、作业:229页:8,9,18期中考试地点:三教2101:精仪系2102:土木、建管、机械2301:汽车、工业工程2302:热能,其他xyzoD1S2Svzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxdd“先一后二”的累次积分.vzyxfd),(.d),sin,cos(dd),(),(21rzrzDzzrrfrroxyz例7解hhrz42dhrrhrr2022d)4(12hrrr202d120dzyx422)0(hh所围成.与平面其中由抛物面zrrVdddd原式=计算三重积分在柱面坐标系下三重积分中的“先一后二”和“先二后一”abxyzzzD,假设对于每一个,baz的与平面空间区域zZ.是一个比较简单的图形交集zD可以化为则三重积分Vzyxfd),(bazd上做二重积分得到函。

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    2020-06-21 12:36:09
    积分的相关知识和解题方法以思维导图的形式进行了总结,是自己在进行了一定的学习和一定的题量后总结得到的,希望可以对大家有所帮助。
  • 今天小编就为大家分享一篇用python求一重积分和二重积分的例子,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
  • 三重积分

    千次阅读 2021-05-15 10:04:50
    文章目录一、问题引入二、直角坐标系下的累次积分2.1投影法2.2 截面法 一、问题引入 三维空间中有一物体U,密度不均(p=f(x,y,z)),求其质量 极限逼近可得 m=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz 二、直角坐标系下的累次积分 2.1...

    一、问题引入

    三维空间中有一物体U,密度不均(p=f(x,y,z)),求其质量
    极限逼近可得
    m=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz

    二、直角坐标系下的累次积分

    2.1投影法

    设柱面 φ=(x,y)=0
    上曲面z=z2(x,y)
    下曲面z=z1(x,y)
    围成连通区域
    平行于z轴的且穿过物体内部的直线和物体的上下曲面交点不多于两点,则把整个物体向xOy做投影得到D区域

    此时U={(x,y,z)|z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}
    然后我们取D上任意一点(x,y)做平行于z轴的直线,交z1,z2于两点

    在这里插入图片描述

    然后对这条线积分即对线段23积分,得到每一条线的质量
    然后再对平面D积分,面内无数的线就组成了整个物体,每一条线的质量就组成了整个物体质量,(很多人觉得一条线是没有质量的)

    在这里插入图片描述

    同样的,如果满足条件(对应直线交边界曲面不多于两点),我们可以向yoz或者xoz做投影,步骤完全一致
    如果多于两点,则拆分后求解即可

    例:在这里插入图片描述

    2.2 截面法

    如果函数比较特殊,可以把求解三重积分过程转换为先求一个二重积分,再求一重积分
    取z=c,得到截面,先进行二重积分得到面的质量,在进行一重积分的得到物体质量

    • 只有当被积函数只关于z时候,界面能用z表示的情况下才可用截面法求解

    在这里插入图片描述

    • 同理可以在适当条件下,做x=c的截面,做y=c的平截面

    三、柱面坐标系下的三重积分

    柱面坐标系就是把xoy平面坐标表示为极坐标形式
    即空间中坐标的形式为(r,θ,z)
    还是要把柱坐标转换为直角坐标
    x=rcosθ,y=rsinθ,z=z
    柱面坐标的体积元素dZ=rdrdθdz,如图

    在这里插入图片描述

    所以∫∫∫f(x,y,z)dV=∫∫∫f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz
    步骤
    ①向极坐标系做投影,表示出D
    ②过D内任意一点做平行于z的直线,交于z1=(r,θ)和z2=(r,θ)则积分区域表示为
    U={(r,θ,z)|z1(r,θ)≤z≤z2(r,θ),r1(θ)≤r2θ,α≤θ≤β}

    在这里插入图片描述

    • 求解三重积分的时候要注意有没有可能化简,利用函数奇偶性和图形的对称性,有时能简化计算

    四、球面坐标系的三重积分

    类比地球,用经度纬度和海拔高度表示物体坐标,我们在数学上也可采用类似方法表示空间点的位置
    (r,Φ,θ)表示位置,其中,Φ是点和原点连线l和z轴夹角,θ是线l在xoy投影和x轴正方向夹角

    • 与直角坐标系关系

    在这里插入图片描述
    把红框看作长方体,这时体积微元:

    dV=rdφ·rsinφdθ·dr=r2sinφdrdφdθ
    ∫∫∫f(x,y,z)dV
    =∫∫∫f(rsinφcosθ ,rsinφsinθ ,rcosφ)r2sinφdrdφdθ

    例如
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    五、总结

    • 一般来说,积分区域是长方体、四面体用直角坐标系计算
    • 积分区域是柱体,锥体,锥面,旋转抛物面或其他曲面围成
      被积函数形如zf(x2+y2)、xf(x2+y2)、y(x2+y2)用柱面坐标系
    • 区域为球体、锥体或球的一部分,被积函数的形式为f(x2+y2+z2)等,用球面坐标系计算

    六、参考:

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/72994664
    https://www.icourse163.org/learn/SDU-192001?tid=1463046447#/learn/content? type=detail&id=1240202142&cid=1261552305&replay=true

    展开全文
  • 精通matlab多重积分和正交积分
  • 三重积分积分限的确定一直是...针对学生空间想像力及作图能力欠缺的现状,结合教学实践,提出了用平面图形代替立体图形的方法,给出了积分域的投影区域及积分限确定的几种方法,以有效解决三重积分积分限的确定问题。
  • 多重积分的MATLAB实现
  • 一、二重积分 1、二重积分的定义 设是定义在平面有界闭区域D上的有界函数,则 2、二重积分的几何意义 设 ,则曲顶柱体的体积 3、二重积分的物理意义 4、二重积分的对称性 ① 奇偶性 ② ...

    零、总结

    问题集锦:

    1、什么时候可以带入边界方程?

    二重积分、三重积分不可以用代入法;曲线积分,曲面积分是可以用的.
    一般来讲,重积分(无论是二重/三重的)都不能把区域方程代入被积函数;
    曲线/曲面积分(无论是第一类/第二类)都能把曲线/曲面方程代入被积函数.
    所以说,当你利用格林公式或斯托克斯公式以后,要注意,这时候就不能用代入法

    二重积分三重积分是对一个区域积分,其方程是指这个区域的边界而不是表达式。线积分和面积分是对一个线或面积分,给出的方程,积分里的每一个点都符合该方程,所以可以代入。

    2、

    奇偶对称性的使用:①看积分区域   ②看被积函数替换后奇偶性

    五个 —— 偶倍奇零:定积分、二重、三重、一线、一面

    轮换对称性的使用:指坐标的轮换对称性,简单的说就是将坐标轴重新命名。

    如果积分区间的函数表达不变,则被积函数中的x,y,z也同样作变化后,积分值保持不变。

    但第二类平面上的曲线积分不同∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy

    3、上下限问题

    定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲线积分的下限永远小于上限。

    1、各类积分起源

    定积分的概念从计算“曲边梯形的面积”等问题引入
    二重积分从计算“曲顶柱体体积”引入
    三重积分则是从求“三维空间中的有界物体的质量”引入的
    第一类曲线积分从求“物质曲线的质量”中引入
    第二类曲线积分从计算“力场做功问题”引入
    第一类曲面积分从求“物质曲面质量问题”引入
    第二类曲面积分则是从“讨论流量问题”引入

    2、各类积分之间的关系

     定积分、重积分、线积分、面积分之间的关系

     牛顿莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的关系


    一、二重积分(曲顶柱体体积,平面薄片质量)

    1、二重积分的定义

    z = f\left ( x ,y\right )是定义在平面有界闭区域D上的有界函数,则

     

    定积分二重积分
    区间内一点函数值乘小区间长度区域内一点函数值乘小区域面积
    定积分是一个和式的极限二重积分是一个和式的极限
    用定积分定义求和式的极限会考用二重积分定义求和式极限不会考

    2、二重积分的几何意义

    z = f\left ( x ,y\right ) \geqslant 0,\left ( x ,y\right )\in D,则曲顶柱体的体积

    3、二重积分的物理意义

     

    4、性质

    5、对称性

    ① 奇偶性

     ② 轮换对称性

    6、计算

    ①直角坐标系下

     

    ② 二重积分的换元法

    ③极坐标系


    二、三重积分(几何体质量)

    1、定义

    2、物理含义

     

    3、对称性

     ①奇偶对称性

    ②轮换对称性

    4、性质

    5、计算

    ①投影法(先一后二)—— 无侧面或侧面为柱面

    ②切片法(先二后一)—— 旋转体

    ③三重积分的换元法(大纲不做要求)

    ④柱面坐标法

    ⑤球面坐标法

    6、应用(体积、质心坐标、转动惯量)

     


     三、第一类曲线积分(光滑曲线的质量,对弧长的积分)

    1、定义

    2、物理含义

    3、对称性

    4、性质

    5、计算

    6、应用(弧长、曲线质心坐标、转动惯量)


    四、第一类曲面积分(曲面质量、可求曲面面积)

    1、定义

    2、物理含义

     dS是什么?

    3、几何含义

    4、性质

    5、对称性

    ①奇偶对称性

    ② 轮换对称性

    6、计算 (投影算二重积分)

     

    7、应用(曲面面积、曲面质心坐标、转动惯量)


    五、第二类曲线积分(做功)

     1、变力沿曲线做功

    2、定义

     

    3、性质

     

     4、两类曲线积分的关系

     

     

     5、对称性

    ① 奇偶对称性

     

     

    个人认为实际上就是看做功方向与大小正负是否抵消。

     6、第二类曲线积分的计算公式(参数化,起对起 终对终)

     7、格林公式 ※※※❤(沿有向闭曲线积分)

    ①区域

     ②公式(对单连通和复连通均成立)

     

     8、平面上曲线积分与路径无关的条件(单连通)

    9、全微分方程

     

     

    10、平面第二类曲线积分问题总结


     六、第二类曲面积分(流量)

    1、定义

     2、性质

    3、 两类曲面的关系

     

     

    4、对称性

    5、计算

    ①投影法(算二重,注意正负号)

     【说明】第二类曲面积分的计算与第一类曲面积分相比,有相同点,也有不同点:

    ②转换公式法

     

    ③高斯公式法(单连通、复连通均成立)

     

    6、斯托克斯公式


    七、场论

    1、向量场的散度

    ①通量

     ②散度

    ③散度在直角坐标系下的的计算

     ④散度的运算法则

     2、向量场的旋度

    ①环量

     ②环量密度

     ③环量密度的计算

     

     ④旋度

    ⑤旋度的运算法则

     

     3、几种特殊的场

     


    参考来源

    李林高数讲义 b站心一学长

    多元微积分——曲线、曲面积分的几何、物理意义,以及积分间的联系 - 知乎

    展开全文
  • 二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用.doc
  • 本文研究了积分区域在极坐标变换下的变化规律,进而对直角坐标系下的重积分化成极坐标下的重积分后其累次积分限的确定给出了一种方法。
  • 高数第十章重积分.pdf

    2021-03-11 16:03:07
    同济版考研高数第10章
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  • 中立神经网络混合时滞相关性的多重积分Lyapunov方法
  • 重积分高等数学PPT课件.pptx
  • 多重积分的数值方法及MATLAB实现-多重数值积分的MATLAB实现.pdf 以实例的方式阐述多重积分的Gauss数值积分方法,并给出MATLAB代码。
  • MATLAB教学视频,数学建模与数值计算类:本期视频时长约60分钟,通过具体的案例,详细讲解了MATLAB的一重积分函数 int / vpaintegral / integral / trapz 用于求解不定积分、定积分、反常积分的解析解或数值解;...
  • 本文指出了现行数学分析教本中有关重积分换元公式证明所普遍忽冲的一个漏洞,同时给出了该公式的一个新的初等证明。
  • 积分类型 包括多重积分 蒙塔卡洛方法积分以及二重三重积分
  • 文章目录 本博客对应我博客中的多变量微积分目录下的第四章,多重积分之三重积分


    本博客对应我博客中的 多变量微积分目录下的第四章,多重积分之三重积分。

    最近选了数学物理方法这门课,不得不重新复习微积分,尤其是多元微积分。

    4. 多重积分之三重积分

    前一章的二重积分只是三重积分的一种简化。在物理学中用的最多的还是三重积分。这一章的思路是先介绍三种正交坐标系下的微分形式该如何表达,再介绍三维空间中的矢量场(其中包括三维空间下的旋度,散度,格林定理和stokes定理等),最后介绍麦克斯韦方程组。

    4.1 三种正交坐标系下的三重积分

    坐标系可以分为直角坐标系和曲线坐标系(典型的有柱坐标和球坐标),它们之间可以相互变换,可以参考我这篇博客《R3空间曲线坐标系变换及向量分析》

    回归正题,三重积分的表达式是:
    ∭ R f d V \iiint_RfdV RfdV
    公式中 d V dV dV的表达方式可以有不同种选择。直角坐标系,柱坐标和球坐标系都是正交坐标系,即坐标系的三个基向量都是互相垂直的,直角坐标系最为特殊,它的三个维度方向是固定的;柱坐标系的z轴是固定的;而球坐标系的三个维度的方向都是随半径的变化而变化的。

    4.1.1 直角坐标系下三重积分

    直角坐标系下的三重积分形式如下:
    ∭ R f d z d y d x \iiint_Rfdzdydx Rfdzdydx
    上述公式可以算是通用的表达形式了,如果只是单纯求体积的话,令 f = 1 f=1 f=1,公式就变成了:
    V = ∭ d V = ∭ d z d y d x V=\iiint dV = \iiint dzdydx V=dV=dzdydx
    (注意,以上只是表达形式,如果具体要求某个物体的体积或者通量之类的,需要选取积分上下限,这部分内容我放到了4.1.4)

    其按z方向的投影是: d S = d x d y dS=dxdy dS=dxdy

    4.1.2 柱坐标系下三重积分

    柱坐标系是在极坐标的基础上加上了竖直方向的z轴
    其一般的三重积分形式就是:
    ∭ R f ⋅ d z   r   d r   d θ \iiint_Rf \cdot dz\ r\ dr\ d\theta Rfdz r dr dθ

    只求体积的话就是:
    ∭ R d z   r   d r   d θ \iiint_Rdz\ r\ dr\ d\theta Rdz r dr dθ
    牢记极坐标与直角坐标系的转化:
    { x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ x 2 + y 2 = r 2 \begin{cases}x=r\cos \theta \\ y=r\sin\theta \\x^2+y^2=r^2 \end{cases} x=rcosθy=rsinθx2+y2=r2

    按z轴进行投影的面积元公式为:
    d S = r d r d θ dS=rdrd\theta dS=rdrdθ

    4.1.3 球坐标系下三重积分

    球坐标系是将直角坐标系的三个方向都换成了极坐标。
    球坐标和柱坐标转换关系如下:
    { z = ρ cos ⁡ ϕ r = ρ sin ⁡ ϕ \begin{cases}z=\rho\cos \phi \\ r=\rho\sin\phi \end{cases} {z=ρcosϕr=ρsinϕ
    球坐标和直角坐标转换关系如下:
    { x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ r = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ ρ = x 2 + y 2 + z 2 = r 2 + z 2 \begin{cases}x=\rho\sin \phi\cos\theta \\ r=\rho\sin\phi \sin\theta\\z=\rho\cos\phi\\\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{r^2+z^2} \end{cases} x=ρsinϕcosθr=ρsinϕsinθz=ρcosϕρ=x2+y2+z2 =r2+z2
    球坐标下三重积分的形式:
    ∭ R f ⋅ ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ   d ϕ   d θ \iiint_Rf\cdot\rho^2\sin\phi \ d \rho \ d\phi\ d\theta Rfρ2sinϕ dρ dϕ dθ
    其体积元的形式是:
    d V = ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ρ   d ϕ   d θ dV=\rho^2\sin\phi \ d \rho \ d\phi\ d\theta dV=ρ2sinϕ dρ dϕ dθ
    ρ \rho ρ方向上的面积元形式是:
    d S = ρ d ϕ ⎵ height ⋅ ρ sin ⁡ ϕ d θ ⎵ length = ρ 2 sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ dS=\underbrace{\rho d\phi}_\text{height}\cdot\underbrace{\rho\sin\phi d\theta}_\text{length}=\rho^2\sin\phi \ d\phi d\theta dS=height ρdϕlength ρsinϕdθ=ρ2sinϕ dϕdθ

    注意:

    4.1.4 积分上下限的选择

    以上的三节重点是关注三重积分的形式,如果要具体计算某个三重积分,需要我们谨慎地选择坐标系形式和积分的上下限。本节就以涉及直角坐标和柱坐标的例题来介绍如何选取上下限。
    例题
    求曲线 z = 4 − x 2 − y 2 z=4-x^2-y^2 z=4x2y2 z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2+y2围成的立体区域的体积。

    解题步骤:

    1. 选取第一个投影方向,本题中选择竖直方向z方向进行投影,其积分上下限为:
      x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2 4 − x 2 − y 2 4-x^2-y^2 4x2y2

    2. 画出两曲线相交的平面,并将其投影到x-y平面,本例中的相交平面是:
      x 2 + y 2 = 2 x^2+y^2=2 x2+y2=2,是一个圆,如果选择直角坐标系会使问题变复杂。

    3. 观察该平面的形状,选择相应的坐标系。(这里选取极坐标,整体来说就是柱坐标),其相应的坐标上下限是:
      V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 − r 2 d z   r d r   d θ V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{2}}\int_{r^2}^{4-r^2}dz\ rdr\ d\theta V=02π02 r24r2dz rdr dθ

    4.1.5 任意曲面的面积元

    方法一

    如果某个曲面的表达形式是 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y),如果选择的是直角坐标系的话且投影到水平面的话,面积元 n d S = ± &lt; − f x , − f y , 1 &gt; d x d y \bold ndS=\pm&lt;-f_x,-f_y,1&gt;dxdy ndS=±<fx,fy,1>dxdy
    证明过程:

    假设任意两个不共线的向量 u , v \bold u,\bold v u,v,则它们就能够构成面积元: n Δ S = ± u × v \bold n\Delta S=\pm\bold u \times \bold v nΔS=±u×v
    上述式子满足叉乘的基本性质,即叉乘的结果是有着面积元的大小 Δ S \Delta S ΔS的法向量。如下图,假设 u \bold u u的方向是沿着 x x x的方向, v \bold v v的方向是沿着 y y y的方向,那么:
    u = ( x + Δ x , y , f ( x + Δ x , y ) ) − ( x , y , f ( x , y ) ) \bold u=(x+\Delta x,y,f(x+\Delta x,y))-(x,y,f(x,y)) u=(x+Δx,y,f(x+Δx,y))(x,y,f(x,y))
    又因为:
    f ( x + Δ x , y ) ≈ f ( x , y ) + f x Δ x f(x+\Delta x,y)\approx f(x,y)+f_x\Delta x f(x+Δx,y)f(x,y)+fxΔx
    所以,
    u = ( x + Δ x , y , f ( x , y ) + f x Δ x ) − ( x , y , f ( x , y ) ) = &lt; Δ x , 0 , f x Δ = Δ x &lt; 1 , 0 , f x &gt; \bold u=(x+\Delta x,y,f(x,y)+f_x\Delta x)-(x,y,f(x,y))=&lt;\Delta x,0,f_x\Delta =\Delta x&lt;1,0,f_x&gt; u=(x+Δx,y,f(x,y)+fxΔx)(x,y,f(x,y))=<Δx,0,fxΔ=Δx<1,0,fx>

    在这里插入图片描述
    同理,
    v = Δ y &lt; 0 , 1 , f y &gt; \bold v=\Delta y&lt;0,1,f_y&gt; v=Δy<0,1,fy>
    两者的叉乘结果是: u × v = &lt; − f x , − f y , 1 &gt; Δ x Δ y \bold u\times \bold v=&lt;-f_x,-f_y,1&gt;\Delta x\Delta y u×v=<fx,fy,1>ΔxΔy
    也就得出:
    n d σ = &lt; − f x , f y , 1 &gt; d x d y \bold n d\sigma=&lt;-f_x,f_y,1&gt;dxdy ndσ=<fx,fy,1>dxdy

    方法二

    当某一曲线的表达式为: f ( x , y , z ) = C f(x,y,z)=C f(x,y,z)=C的时候,也就是曲线被表达成了等值面的时候可以用以下方法,因为梯度向量与等值面垂直,所以推导过程如下图:
    在这里插入图片描述
    图中面积元 Δ S \Delta S ΔS与它的投影 Δ A \Delta A ΔA之间存在一个余弦值的关系。该余弦值可以通过两面积元的法向量的夹角计算得出,也就是 d σ = ∇ f f z d A d\bold \sigma=\frac{\nabla f }{f_z}dA dσ=fzfdA
    其中, ∇ f = &lt; f x , f y , f z &gt; \nabla f=&lt;f_x,f_y,f_z&gt; f=<fx,fy,fz>

    因为最近修的课程数学物理方法中涉及了正交曲线坐标系的变换方法,所以这一部分我会最近单独写一篇。

    4.2 矢量场中的多重积分(重点)

    4.2.1 三维矢量场

    上一章中提到了平面内的向量场,这一章讲三维平面内的矢量场。
    三维矢量场的形式如下:
    F ( x , y , z ) = M ( x , y , z ) i + N ( x , y , z ) j + P ( x , y , z ) k \bold F(x,y,z)=M(x,y,z)\bold i +N(x,y,z)\bold j+P(x,y,z)\bold k F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k
    如果 , M x , M y , M z , N x , N y , N z , P x , P y , P z ,M_x,M_y,M_z,N_x,N_y,N_z,P_x,P_y,P_z ,Mx,My,Mz,Nx,Ny,Nz,Px,Py,Pz都存在并且是连续的,则 F \bold F F就是连续可微的。

    三维矢量场的实例:
    场的本意就是尽管它与物体不接触,但它会对物体产生作用力。

    1. 力场
      力场的例子可以是重力场,静电场,电磁场等。
    2. 流体或速度场
      例如描述空间中流体的运动的速度场。

    4.2.2 三维空间中的通量及环量

    通量Flux

    三维矢量场穿过一个平面S的通量是:
    Flux = ∬ S F ⋅ n d σ \text{Flux}=\iint_S\bold F\cdot\bold nd\sigma Flux=SFndσ
    4.1.5中介绍了 n d σ \bold nd\sigma ndσ的两种计算方法,这里假设我们使用第二种,上述公式就变成了:
    Flux = ∬ S F ⋅ n d σ = ∬ S F ⋅ ∇ g ∣ ∇ g z ∣ d A \text{Flux}=\iint_S\bold F\cdot\bold nd\sigma=\iint_S\bold F\cdot\frac{\nabla g}{|\nabla g_z|}dA Flux=SFndσ=SFgzgdA

    环量Circulation

    三维矢量场流经一条闭合曲线C的环量是:
    Circulation = ∮ C F ⋅ d r \text{Circulation}=\oint_C\bold F\cdot d\bold r Circulation=CFdr
    这里环量的表达形式虽然和平面环量没有不同,但是维度已经变成了三维。

    4.2.3 三维空间中的散度和旋度

    散度

    数学表达式
    一个向量场 F = M i + N j + P k \bold F=M\bold i+N\bold j+P\bold k F=Mi+Nj+Pk的散度为:
    div F = ∇ ⋅ F = ∂ M ∂ x + ∂ M ∂ y + ∂ P ∂ z \text{div}\bold F=\nabla \cdot \bold F=\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial M}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z} divF=F=xM+yM+zP

    物理解释
    散度描述的是单位体积内由源产生的通量。
    比如电场的散度定义为:
    div E = lim ⁡ Δ V → 0 1 Δ V ∮ E ⋅ n d σ \text{div}\bold E=\lim_{\Delta V\to0}\frac{1}{\Delta V}\oint\bold E\cdot \bold nd\sigma divE=ΔV0limΔV1Endσ

    旋度

    数学表达式
    三维矢量场的旋度定义为:
    curl F = ∇ × F = ∣ i j k ∂ x ∂ y ∂ z M N P ∣ \text{curl}\bold F=\nabla\times\bold F=\begin{vmatrix}\bold i&amp;\bold j&amp;\bold k\\ \partial_x &amp;\partial_y&amp;\partial_z\\ M&amp;N&amp;P\end{vmatrix} curlF=×F=ixMjyNkzP
    curl F = ∇ × F = ( P y − N z ) i + ( M z − P x ) j + ( N x − M y ) k \text{curl}\bold F=\nabla\times\bold F=(P_y-N_z)\bold i+(M_z-P_x)\bold j+(N_x-M_y)\bold k curlF=×F=(PyNz)i+(MzPx)j+(NxMy)k
    需要注意的是,二维平面中的旋度是三维旋度的 z z z轴分量。

    物理解释
    旋度可以是速度场某个方向的角速度。

    特殊情况
    梯度的旋度为0:
    ∇ × ∇ f = 0 \nabla\times\nabla f=0 ×f=0

    4.2.4 三维空间中的散度定理和Stokes定理

    A.散度定理 (Divergence Theorem)

    三维向量场 F \bold F F穿过一个闭合曲面 S S S的通量(S的外法向量)等于散度在封闭曲面S包围下的体积D的积分,其数学表达为:
    ∯ S F ⋅ n d σ = ∭ D ∇ ⋅ F d V \oiint_S \bold F\cdot \bold n d\sigma=\iiint_D\nabla\cdot\bold FdV SFndσ=DFdV

    从量纲的角度理解这个公式我们可以发现,右边的 ∇ \nabla 算子对向量场 F \bold F F进行了降维,但为了保证通量的量纲一致,右边方程必须要对封闭曲面S包围的体积D进行积分。这与散度的定义是一致的,散度是与面积无关的量。

    B.Stokes定理

    三维向量场 F \bold F F流经一个闭合曲线 C C C的环量等于旋度在曲面包围下的面积S的积分,其数学表达为:
    ∮ C F ⋅ d r ⎵ C o u n t e r c l o c k w i s e   R o t a t i o n = ∬ S ∇ × F ⋅ n d σ \underbrace{\oint_C \bold F\cdot d\bold r}_{Counterclockwise \ Rotation}=\iint_S\nabla\times F\cdot\bold nd\sigma Counterclockwise Rotation CFdr=S×Fndσ
    在这里插入图片描述

    4.3 三重积分的应用

    三重积分的应用与二重积分的应用其实没有本质性的差别,重点还是在求三维物体的质量,质心,转动惯量等。
    在这里插入图片描述

    4.4 三重积分的实例——麦克斯韦方程组

    麦克斯韦方程组是三重积分,通量环量和相关的散度定理stokes定理的一个非常重要的应用。我推荐以下三篇长尾科技的文章,尽管稍微有点长,但是写的非常通俗易懂,我觉得非常管用。我过几天再看一遍然后总结成单独的文章好了。
    积分形式
    微分形式
    电磁波方程推导

    参考

    1. 《托马斯微积分》
    2. 长尾科技公众号
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空空如也

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