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  • 插值法

    2020-09-15 22:29:06
    插值的意思就是,通过已有的x和y构造函数,然后求F(x*) 即可得到Y*。 在实际建模过程中,常有多项式插值、分段插值、三角插值。 我们来看插值法的原理:如下...另外牛顿插值法是优化 拉格朗日插值法计算的一种插值方法.
    • 插值的意思就是,通过已有的x和y构造函数,然后求F(x*) 即可得到Y*。
    • 在实际建模过程中,常有多项式插值、分段插值、三角插值。
    • 我们来看插值法的原理:如下图所示,只要n+1个节点互异,满足方程的的多项式是唯一存在的。

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    接下来介绍常用的插值方法,拉克朗日插值法
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    • 具体证明过程单独看一下搜索一下资料看吧,这里主要记录一下。
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    • 但是出现拉格朗日插值法会出现龙格现象(Runge phenomenon)
      在这里插入7描述
    • 所以我们采用常采用的是分段线性插值法
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    • 另外牛顿插值法是优化 拉格朗日插值法计算的一种插值方法
      在这里插入8图片描述
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    • 在许多实际问题中,不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值,它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的导数值。

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    • 所以,我们需要学习埃尔米特插值
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    • 缺点

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    • 在matlab中 埃尔米特插值法有内置函数
    p = pchip(x,y,new_x)
    
    • 这里我们学习一下plot函数的用法
    plot(x,y,'o',new_x,p,'r-')
    线方式: 实线-  点线:  虚点线-.  波折线--
    点方式: 圆点.  加号+  星号*  x形x  小圆o
    颜色:y黄  r红  g绿  k黑  m紫 c青
    
    • 三次样条插值方法
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    • N维数据插值interpn
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    展开全文
  • matlab 牛顿插值法 三次样条插值法
  • 插值法_插值法_源码

    2021-10-03 17:28:49
    介绍插值法的作用,以及应用,对插值法学习非常有用
  • 运用牛顿插值法给空缺数据进行插值,简单编程实现
  • 运用牛顿插值法给空缺数据进行插值,简单编程实现
  • 插值法,插值法计算公式,Python源码
  • 插值法 插值法主要解决的问题就是,用一个多项式函数来逼近原函数,或者用多项式函数来拟合离散数据,在计算机图形的处理中,插值法应用广泛 插值法基本的有两种,拉格朗日插值法和牛顿插值法 还有一种要求更为...

    插值法

    插值法主要解决的问题就是,用一个多项式函数来逼近原函数,或者用多项式函数来拟合离散数据,在计算机图形的处理中,插值法应用广泛

    插值法基本的有两种,拉格朗日插值法和牛顿插值法

    还有一种要求更为严格的差值方法赫米特(Hiemite)插值法

     

    插值法用多项式来逼近原函数,可以证明给定N个插值节点,只能构造唯一的,最高次不高于n的差值多项式

    一般我们可以使用待定系数法,列出若干个方程,来求解系数,得到差值多项式。

     

    拉格朗日插值法则构造一个差值基函数,保证这一部分在X取X0的时候等于1,在其他的时候等于0,不让其他的点干扰

    基本形式为

    插值基函数为

    牛顿插值法则是引入差商的概念

     

    关于差商的计算,我们可以使用递推的方式

    最后牛顿插值法的基本形式为

     

    拉格朗日插值法不具有承袭性,当增加了一个新的插值节点,我们需要全部重新计算

    而牛顿插值法,改进了这一点,以上情况出现时,只需要在后面增加多一项即可。

     

    拉格朗日插值法

    double Lagrange(double *p,int n,double x)
    {//P是插值节点数组,n是插值节点格式,x是自变量的取值
        int i,j,k;
        double numerator,denominator,ans;
        ans=0;//numerator分子,denominator分母
        for(k=0;k<n;k++)
        {
            numerator=1;
            denominator=1;
            for(i=0;i<n;i++)
            {
                if(i!=k)
                {
                    numerator*=(x-(*(p+i*2)));
                    denominator*=( (*(p+k*2)) - (*(p+i*2)) );
                }//求插值基函数值
                else
                    continue;
            }//End for-i
            ans=ans+( (numerator/denominator) * (*(p+k*2+1)) );//插值基函数*函数值Yi
        }//End for-k
        return ans;
    }

    牛顿插值法

    double Newton(double *p,int n,double x)
    {//P是插值节点数组,n是插值节点格式,x是自变量的取值
        int i,j,k;
        double numerator,denominator,ans=0;
        double *np=(double *)malloc(n*sizeof(double));//用以保存差商
        //使用滚动数组保存插值,节约存储空间
        double ny=(x-(*p));//x-x0
        for(i=0;i<n;i++)//差商数组初始化
            *(np+i)= *(p+i*2+1);
        ans=(*(np+n-1));//一阶差商即为函数值
        for(k=1;k<n;k++)
        {
            for(i=n-1;i>=k;i--)
            {//从后往前求差商,保存在np数组内
                numerator=( *(np+i-1) ) - ( *(np+i));
                denominator=( *(p+(i-k)*2)) - ( *(p+i*2) );
                *(np+i)=(numerator/denominator);
            }//End for-i
            ans+=(*(np+n-1))*ny;
            ny*=(x-(*(p+k*2) ));//累乘(x-xi)的结果
        }//End for-k
        return ans;
    }

     

    Hiemite插值法

    赫米特插值法在前两种插值法的基础上,不仅要求在插值节点处函数值相同,而且导数值也相同,比较常见的就是二点三次插值,即给定两个插值节点和函数值和一个点的导数值

    基本形式为

    赫米特插值法

    double Hiemite(double *p,int n,double x)
    {//p表示插值节点,n表示插值节点个数,x是自变量的取值
     //p是一个三维数组,第一维为X,第二维度为y,第三维度为导数值y′
        int i,j,k;
        double ans=0;
        double numerator,denominator;//前者为分子,后者为分母
        double *lx=(double *)malloc(n*sizeof(double));//记录插值基函数的平方
        double *ax=(double *)malloc(n*sizeof(double));//记录系数α
        double *bx=(double *)malloc(n*sizeof(double));//记录系数β
        for(k=0;k<n;k++)
        {
            numerator=1;    denominator=1;
            for(i=0;i<n;i++)
            {
                if(i!=k){
                    numerator*=(x- (*(p+i*3)));
                    denominator*=(*(p+k*3) - *(p+i*3));
                }//End if
            }//End for-i
            *(lx+k)=(numerator)/(denominator);
            *(lx+k)=pow( (*(lx+k)) ,2);//求插值基函数的平方
    
            *(ax+k)=1-2*( (x-(*(p+k*3))) / (*(p+k*3) - *(p+((k+1)%2)*3) ) );
            *(bx+k)=(x-( *(p+k*3) ));
            ans+=(*(p+k*3+1)) * (*(ax+k)) * (*(lx+k));//Yi*αi*Li^2
            ans+=(*(p+k*3+2)) * (*(bx+k)) * (*(lx+k));//Y′i*βi*Li^2
        }//End for-k
        return ans;
    }

     

    最小二乘法

    二乘法是为了在一系列离散点中找到一条曲线,最好地拟合这些点

    为了达到最好的拟合效果,我们使其曲线的残差平方和最小

     

    最小二乘法

    double Fitting(double *p,int n)
    {
        int i,j,k;
        double b,a;
        double ans[4]={0};
        double *m=(double *)malloc(2*3*sizeof(double));
    
        for(i=0;i<n;i++){//用X,Y,x*x,x*y的累加和
            ans[0]+=(*(p+i*2));//保存Xi求和结果
            ans[1]+=(*(p+i*2+1));//保存Yi求和结果
            ans[2]+=( (*(p+i*2)) * (*(p+i*2)) );//保存Xi*Xi求和结果
            ans[3]+=( (*(p+i*2)) * (*(p+i*2+1)) );//保存Xi*Yi求和结果
        }//End for-i
        *(m+0)=n;   *(m+1)=ans[0];   *(m+2)=ans[1];//第一个方程组的系数
        *(m+3)=ans[0];  *(m+4)=ans[2];  *(m+5)=ans[3];//第二个方程组的系数
        //以下过程模拟解方程的过程
        for(i=0;i<3;i++){//i循环两个方程组的三个系数
            *(m+i)/=n;//第一个方程组左右两边除以N
            *(m+i+3)-=( ans[0] * ( *(m+i) ) );//模拟第一个方程组乘以Xi的累加和后消去a的过程
        }
    
        b= ( *(m+5) )/( *(m+4) );//a消去以后直接求b
        a= ( (*(m+2))-( b*(*(m+1))) ) /(*m);//带入第一个方程组中求出a
        printf("b=%lf a=%lf\n",b,a);
        printf("线性拟合的结果为Y=%lfX",b);
        a<0?printf("%lf\n",a):printf("+%lf\n",a);
    }

     

    展开全文
  • 用C语言写了一个牛顿插值法,是用中文写的,因为为了让老师觉得这是我写的
  • 运用拉格朗日插值法给空缺数据进行插值,通过调用scipy中的lagrange实现
  • 牛顿插值法,牛顿插值法例题,Python源码
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  • 拉格朗日插值法 牛顿插值法 txt版本
  • 利用拉格朗日插值法进行数值分析,这是一种新型的方法
  • c++牛顿插值法实现 附带代码注释及实验结果文档,插值结果精度高,并附带代码分块注释 以及插值点个数及几次插值可调。
  • matlab拉格朗日插值法

    2021-03-29 09:43:52
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  • 基于OpenCV实现的RGB图像通道值分离、最邻近插值法、双线性插值法
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    2018-05-15 16:01:17
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    2018-08-08 18:22:24
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  • 数值方法上机实验代码。 牛顿插值法,先行分段;。。
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    2015-05-19 16:00:08
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空空如也

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