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  • 行空间和列空间

    千次阅读 2019-11-14 22:17:31
    列空间是m维空间的子空间, 行最简形式的主元列数为矩阵的列秩 列空间的维度,为矩阵的列秩, 主元列所对应原矩阵那些列是列空间的一组基 矩阵的列秩 最后的矩阵第一列 和 第三列为主元列,第二...

    对于一个m行n列的矩阵

    行空间

    行空间是n维空间的子空间,

    行最简形式的非零行个数为矩阵的的行秩;

    行空间的维度,为矩阵的的行秩

    行最简形式的非零行,是行空间的一组基。

    列空间

     列空间是m维空间的子空间,

    行最简形式的主元列数为矩阵的列秩

    列空间的维度,为矩阵的列秩,

    主元列所对应原矩阵那些列是列空间的一组基

    矩阵的列秩 

    \begin{Bmatrix} 2 & -1 &0 \\ 0 & 0& 0\\ 0& 0& 1 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 1 & -5&0 \\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} 1 & -0.5& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0 \end{Bmatrix} 

    最后的矩阵第一列 和 第三列为主元列,第二列为自由列,

    最后的矩阵第一列 和 第三列所对应的原矩阵第一列和第三列 是列空间的一组基。

    这个矩阵有两个主元列所以矩阵的列秩为2

    因为非零行的个数为2所以矩阵的行秩为2.

    既矩阵的行秩 = 矩阵的列秩

    行秩:行最简形式的非零行数

    列秩:行最简形式的主元列数

    对于任意一个矩阵化简为最简行形式后 他们是完全相等的,

    一个矩阵的行空间和列空间维度相等!

    对于一个m*n的矩阵来说,行空间是一个n维空间的子空间,列空间 是一个m维的子空间,这两个空间所嵌套那个最大的空间都不一样,但是他们的维度都是相等的。

    矩阵的秩 = 行秩 = 列秩

    u = (1,1,2), v = (2,2,3), w = (3,3,4)

    对于一个n介方阵 行空间是n维空间的子空间

                                 列空间是n 维空间的子空间

    何时行空间和列空间都是n维空间?

    矩阵的秩 r = n

    此时称为满秩

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  • 列空间和零空间

    千次阅读 2019-05-19 23:32:45
    定理2 mn矩阵A的零空间是Rn的一个子...定义:mn矩阵的列空间(记为colA)是由A的列的所有线性组合组成的集合,若A=[a1,…,an], 则colA = Span{a1,…,an} 定理3 m*n矩阵A的列空间是Rm的一个子空间。 定义:令H是向...

    定理2 mn矩阵A的零空间是Rn的一个子空间,等价地,m个方程,n个未知数的齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合是Rn的子空间。
    (需要注意的是,这里用的是一个齐次方程组)
    矩阵的列空间
    定义:m
    n矩阵的列空间(记为colA)是由A的列的所有线性组合组成的集合,若A=[a1,…,an], 则colA = Span{a1,…,an}
    定理3 m*n矩阵A的列空间是Rm的一个子空间。
    定义:令H是向量空间V的一个子空间,V中向量的指标集B={b1,…,bp}称为H的一个基,如果
    a B是一线性无关项
    b 由B生成的子空间和H相同,即H=Span{b1,…,bp}
    定理5 (生成集定理)
    令S={v1,…,vp}是V中的向量集,H=Span{v1,…,vp}
    a 若S中某一个向量,比如vk,是S中其余向量的线性组合,则S中去掉vk后形成的集合仍然可以生成H
    b 若H不等于{0},则S的某一个子集是H的一个基。
    定理 6 矩阵A的主元列构成ColA的一个基。
    (对于ColA的基,要慎重使用A本身的主元列,阶梯型B的主元列通常不在A的列空间中)
    坐标系:
    定理7 (唯一表示定理)
    令B={b1,…,bn}是向量空间V的一个基,则对V中每个向量x,存在唯一的一组数c1,…,cn使得 x=c1b1+…+cnbn

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  • 矩阵的列空间、行空间、维数、秩理解

    万次阅读 多人点赞 2019-07-23 12:36:35
    列空间 ColA 对于 m×n 矩阵 A 列空间就是 A的各列的线性组合的集合,记为 ColA,是的 一个子空间,由 矩阵的主元列构成,即Ax=b中,方程的解基本变量。 零空间 NulA 对于 m×n 矩阵 A 零空间就是 齐次方程 Ax=...

    列空间 ColA

    对于 m×n 矩阵 A   列空间就是 A的各列的线性组合的集合,记为 ColA,是\large R^m的 一个子空间,由 矩阵的主元列构成,即Ax=b中,方程的解基本变量。

     

    零空间 NulA

    对于 m×n 矩阵 A   零空间就是 齐次方程 Ax=0 的 所有解得 集合 ,记 NulA,是\large R^n 的一个子空间,由 Ax=0 的解构成,即 Ax=0 的解中的 自由变量

     

    子空间的基

    \large R^n 中 子空间H的一组基是H中的一个线性无关集,它可以生成 H

     

    维数 dimH

    非零子空间H的维数(dimH)是H的任意一个基的向量个数

     

    秩 rankA

    矩阵A的秩(rankA)是A列空间的维数,也就是矩阵A主元列的个数

     

    秩定理

    如果一个矩阵A 有n列,则 rankA+ dimNulA=n

    即列空间的维数和零空间的维数之和为n,也就是 主元列的个数+非主元列的个数为n,也就是 基本变量+自由变量的个数为 n

     

    举例:

    矩阵 A=

    \large \begin{bmatrix} 2&6& -6 & 6 &3 &6 \\ -2&-3 &6 &-3 &0 &-6 \\ 4& 9 &-12 &9 &3 &12 \\ -2&3 &6 &3 &3 &-6 \end{bmatrix}  

    经过化简为

    \large \begin{bmatrix} 2 &6 &-6 &6 &3 &6 \\ 0&3 &0 &3 &3 &0 \\ 0&0 &0 &0 &3 &0 \\ 0& 0 &0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}

    显然主元列 为 第一列、第二列、第五列

    列空间的基为 原来的矩阵的主元列

    \large \begin{bmatrix} 2\\ -2 \\4 \\-2 \end{bmatrix}\large \begin{bmatrix} 6\\ -3\\ 9\\3 \end{bmatrix}\large \begin{bmatrix} 3\\0\\3 \\3 \end{bmatrix}           维数为3

    零 空间 即: Ax=0

    \large \begin{bmatrix} 2 &6 &-6 &6 &3 &6 &0 \\ 0&3 &0 &3 &3 &0&0 \\ 0&0 &0 &0 &3 &0 &0\\ 0& 0 &0 &0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}

    可以得出   \large \begin{bmatrix} x1\\ x2 \\x3 \\x4 \\x5\\x6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3x_3-3x_6 \\ -x_4 \\x_3 \\ x_4 \\x_5 \\x_6\end{bmatrix} = x_3* \begin{bmatrix} 3\\ 0 \\1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4*\begin{bmatrix} 0\\ -1 \\1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_6 *\begin{bmatrix} -3\\ 0\\0 \\ 0 \\0 \\ 1\end{bmatrix}   

    所以零空间为     \large \begin{bmatrix} 3\\ 0 \\1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0\\ -1 \\1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} -3\\ 0\\0 \\ 0 \\0 \\ 1\end{bmatrix}  维数为3

     

    由此可以看出 列空间 就是主元列 、 零空间就是非主元列

    满秩矩阵

    所以可以看出,满秩矩阵就是 rankA=n 的矩阵 ,也就是 全部都是主元列 ,也就是所有列都是 线性无关。

    行满秩矩阵 就是 行向量之间线性无关 ,列满秩矩阵 就是 列向量之间线性无关

    对于方阵 来说  满秩矩阵 可以说明 这是一个 可逆矩阵(非奇异矩阵)

    满秩矩阵是一个很重要的概念, 它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件

    一个方阵A是可逆的当且仅当A的行列式不等于0.

    因为当A的行列式等于0,则A的行是线性相关的,即A的转置是线性相关的,则A的转置不可逆,则A就不可逆了。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • MIT线性代数1806(10) 列空间 零空间 行空间 左零空间

    MIT线性代数1806(10) 列空间 零空间 行空间 左零空间


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  • 矩阵的零空间和列空间

    千次阅读 2018-05-26 09:50:29
    零空间 满足Ax = 0的所有x的集合为矩阵A的零空间 也就是齐次方程Ax = 0的全体解的集合 m * n矩阵A的零空间是Rn的一个子空间 ...与零空间不同,列空间是可以由向量的线性组合显式定义 零空间是由矩...
  • 向量空间 列空间 零空间

    千次阅读 2017-04-09 12:26:42
    向量空间:需要穿过原点 空间表示有好多向量,空间必须满足一定的规则,能进行加法和数乘运算。对数乘和加法两种运算是封闭的。 向量的运算有加、数乘。 R2:二维向量(实向量) R3:所有三维实向量组成的向量...
  • 列向量,列空间,零向量,零空间

    千次阅读 2017-11-26 11:22:37
    有时候对一个事物的理解,关键看怎么用所掌握的知识来解释它,这时候你别说解释就是掩饰,因为此时此刻不是你媳妇发现你衣服上有一根长头发要跟你...列空间关注的是使得Ax=b的成立的b, 零空间关注的是当b为零向量时的
  • 目录: vector space (向量空间) subspace space (子空间) 由Ax=bAx=b理解column space (列空间) 由Ax=0Ax=0理解null space(零空间),求解Ax=0Ax=0的主变量及特解 -矩阵的秩(rank)
  • 列空间与零空间

    千次阅读 2011-06-23 10:39:00
    列空间与零空间还是以经典例子做说明:|1 1 2 ||2 1 3 ||3 1 4 ||4 1 5 |*| x1|| x2|| x2|如果它们的乘积为b,那现在考虑这样两种情况,b的值的可能范围和当b的值为零的时候x1,x2,x3需要满足的关系。b的值的可能范围...
  • 线性代数导论6——列空间和零空间

    万次阅读 2013-08-24 23:58:01
    第六课时:列空间和零空间 特别关注矩阵的列空间和零空间 回忆什么是向量空间:就是一些向量,对一些运算封闭,空间内任何向量相加(加法),结果仍在空间内,或用空间内任意向量乘以常数(数乘),结果仍在...
  • 线性代数(十) : 矩阵的列空间与零空间

    万次阅读 多人点赞 2013-07-16 14:33:49
    列空间和零空间可以用来求解一个线性映射的值域以及讨论线性方程组解的情况以及可逆性 0 本节用到的概念: 线性组合,子空间 线性映射 1 矩阵与列向量 一个矩阵乘一个列向量可以理解为这个矩阵中所有列向量的...
  • MIT_线性代数笔记_06_列空间和零空间

    千次阅读 2017-03-21 19:59:53
    MIT 公开课:Gilbert Strang...课程 6:列空间和零空间子空间(Subspace) 设非空集合 S⊂RnS \subset \mathbb{R}^n,且 SS 中的元素对加法和数乘封闭(即,对任意的 u,v∈S,u+v∈S,λu∈S,λu,v \in S, u+v \in S, \l
  • 向量空间、列空间和零空间

    千次阅读 2018-11-22 08:45:26
    向量空间 ①所有向量空间都必须包含零向量,即包含原点。 ②向量空间中任意向量的数乘、求和运算得到的向量也在该空间中,即向量空间要满足加法封闭和数乘封闭。 ③向量空间RnR^nRn包含所有的n维向量,分量均为...
  • 线性代数笔记12——列空间和零空间

    千次阅读 2018-09-05 11:41:19
    A是m×n矩阵,x是向量,如果存在向量集合N,满足:    则称N是A的零空间。 零空间的意义  从定义看出,零空间是方程Ax = 0的所有解的集合:    A的零空间关心的是方程方程Ax = 0的解,准确地说是解所...
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  • 列空间(column space)和零空间(null space)

    万次阅读 多人点赞 2014-07-01 11:55:54
    上一篇中简单介绍了向量空间(vector space)和子空间(subspace),也知道了R3有4个子空间:R3本身,过原点的平面,过原点的直线以及单独的零向量。现假设过原点的面为P,过原点的直线为L,L不在P上,那么容易理解L...
  • 线性代数(十一) : 列空间与零空间的进一步介绍

    万次阅读 多人点赞 2013-07-16 21:28:45
    矩阵的零空间
  • 有很多全新的认识,特别是对各种子空间的理解。这可以说是我们的教育缺失的地方:相比起为什么,更重视怎么做。知道怎么做当然比知道为什么好考核得多。我们终究是在一个以考核为目的的教育环境里。废话不多说,我...
  • 前面已经介绍了矩阵的零空间和列空间,它们都属于矩阵的四个基本子空间,基本子空间还包括行空间和左零空间。  召唤一个矩阵:  为了找出零空间和列空间,先进行套路运算——转换为行最简阶梯矩阵:    ...
  • dim(O)=0 例子 基础解系的个数=矩阵的维数−矩阵的秩基础解系的个数=矩阵的维数-矩阵的秩基础解系的个数=矩阵的维数−矩阵的秩 ...零空间是找基础解系,列空间是找系数矩阵(列向量构成的极大线性无关组)。 ...
  • 矩阵的四个基本子空间 1、零空间  矩阵A的零空间就Ax=0的解的集合。假设矩阵的秩为r,矩阵为m*n的矩阵,则零空间的维数为n-r。... 矩阵A的列空间就是矩阵A中各列的线性组合。假设矩阵的秩为r,矩阵为m*
  • 一个秩为r,m*n的矩阵A中,其行空间和列空间的维数为r,零空间和左零空间的维数分别为n-r,m-r,并且有行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。 “掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山!”,MIT...
  • 向量空间、维度和四大子空间空间的概念欧几里得空间向量空间广义向量空间子空间欧几里得空间的子空间维度概念子空间和维度行空间和矩阵的秩行空间行秩列空间与列秩行空间和列空间对比 空间的概念 空间是一个集合。 ...
  • 泛函分析简列:度量空间紧集

    千次阅读 2017-10-19 22:24:40
    笔记:
  • 4个基本子空间

    千次阅读 2014-07-04 21:05:38
    前面我们已经介绍过矩阵的两个重要空间:列空间和零空间,今天继续介绍矩阵的另外两个重要空间:行空间和左零空间。A的行空间就是AT的列空间,A的左零空间就是AT的零空间,文字描述起来比较拗口,用数学符号表示一下...
  • MIT_线性代数笔记_10_四个基本子空间

    千次阅读 2017-03-23 11:20:55
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    千次阅读 2020-02-26 16:44:46
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空空如也

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