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  • 列空间
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    2021-10-03 14:28:37

    对于 A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m\times n} ARm×n,

    • A A A的值域( A A A的列空间)为 A A A的所有列向量张成的空间 V 1 V_1 V1;
    • A T A^{T} AT的值域( A A A的行空间)为 A A A的所有行向量张成的空间 V 2 V_2 V2;
    • A A A的核空间是符合 A x = 0 Ax=0 Ax=0的所有 x ∈ R n x \in \mathbb{R}^{n} xRn 张成的空间 V 3 V_3 V3,可以看出 x x x A A A的所有行向量都是垂直的,也就是 V 3 V_3 V3是与 V 2 V_2 V2垂直的,那么 V 3 V_3 V3 V 2 V_2 V2的维数相加等于n.
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  • 行空间和列空间

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    列空间是m维空间的子空间, 行最简形式的主元列数为矩阵的列秩 列空间的维度,为矩阵的列秩, 主元列所对应原矩阵那些列是列空间的一组基 矩阵的列秩 最后的矩阵第一列 和 第三列为主元列,第二...

    对于一个m行n列的矩阵

    行空间

    行空间是n维空间的子空间,

    行最简形式的非零行个数为矩阵的的行秩;

    行空间的维度,为矩阵的的行秩

    行最简形式的非零行,是行空间的一组基。

    列空间

     列空间是m维空间的子空间,

    行最简形式的主元列数为矩阵的列秩

    列空间的维度,为矩阵的列秩,

    主元列所对应原矩阵那些列是列空间的一组基

    矩阵的列秩 

    \begin{Bmatrix} 2 & -1 &0 \\ 0 & 0& 0\\ 0& 0& 1 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 1 & -5&0 \\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} 1 & -0.5& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0 \end{Bmatrix} 

    最后的矩阵第一列 和 第三列为主元列,第二列为自由列,

    最后的矩阵第一列 和 第三列所对应的原矩阵第一列和第三列 是列空间的一组基。

    这个矩阵有两个主元列所以矩阵的列秩为2

    因为非零行的个数为2所以矩阵的行秩为2.

    既矩阵的行秩 = 矩阵的列秩

    行秩:行最简形式的非零行数

    列秩:行最简形式的主元列数

    对于任意一个矩阵化简为最简行形式后 他们是完全相等的,

    一个矩阵的行空间和列空间维度相等!

    对于一个m*n的矩阵来说,行空间是一个n维空间的子空间,列空间 是一个m维的子空间,这两个空间所嵌套那个最大的空间都不一样,但是他们的维度都是相等的。

    矩阵的秩 = 行秩 = 列秩

    u = (1,1,2), v = (2,2,3), w = (3,3,4)

    对于一个n介方阵 行空间是n维空间的子空间

                                 列空间是n 维空间的子空间

    何时行空间和列空间都是n维空间?

    矩阵的秩 r = n

    此时称为满秩

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  • MIT线性代数笔记六 列空间和零空间

    万次阅读 2019-03-24 11:26:07
    本节继续研究子空间,特别是矩阵的列空间(column space)和零空间(nullspace)。 文章目录 1. 向量空间和子空间(复习) 2. 列空间 Column space 3. 零空间 Nullspace

      本节继续研究子空间,特别是矩阵的列空间(column space)和零空间(nullspace)。

      列空间的符号表示为C(A),零空间的符号表示为N(A)。

    1. 向量空间和子空间(复习)

      向量空间指的是向量的线性运算在该空间中是封闭的。

      向量空间是对于线性运算封闭的向量集合。即对于空间中的任意向量 v v v w w w,其和 v + w v+w v+w 和数乘 c v cv cv 必属于该空间;换而言之对于任何实数 c c c d d d,线性组合 c v + d w cv+dw cv+dw必属于该空间。

       R 1 R^1 R1 R 2 R^2 R2 R 3 R^3 R3……都是重要的向量空间, R n R^n Rn 代表的空间包含所有具有 n 个分量的向量。其中字母 R R R 表明分量均为实数 。

      子空间为包含于向量空间内的一个向量空间。 它是原向量空间的一个子集,而且本身也满足向量空间的要求。 但是“子空间”和“子集”的概念有区别,所有元素都在原空间之内就可称之为子集,但是要满足对线性运算封闭的子集才能成为子空间。

      如果 P P P是平面, L L L是直线,那么可知:

       P ∪ L P \cup L PL(union)通常并不是 R 3 R^3 R3 的子空间。

       P ∩ L P\cap L PL(intersection)是 R 3 R^3 R3子空间的特例——0 空间,只有零向量。

      任意子空间 S S S T T T的交集都是子空间,可以通过 S S S T T T本身对线性组合封闭来证明。、

    2. 列空间 Column space

      矩阵 A A A 的列空间 C ( A ) C(A) C(A)是其列向量的所有线性组合所构成的空间。

      求解 A x = b Ax=b Ax=b 的问题,对于给定的矩阵 A A A,对于任意的 b b b 都能得到解么?

    A = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] A=\left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 3 } \\ { 3 } & { 1 } & { 4 } \\ { 4 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right] A=123411112345

      显然并不是所有的 b b b 都能保证 A x = b Ax=b Ax=b 有解, 因为它有 4 个线性方程而只有3个未知数,矩阵 A A A列向量(3个列向量)的线性组合无法充满 R 4 R^4 R4,因此如果 b b b不能被表示为 A A A 列向量的线性组合时,方程是无解的。只有当 b b b在矩阵 A A A 列空间 C ( A ) C(A) C(A)里时, x x x 才有解。

      列空间是非常重要的概念,它能告诉方程组何时是有解的。

      对于我们所给定的矩阵 A A A,由于列向量不是线性无关的,第三个列向量为前两个列向量之和,所以尽管有 3 个列向量,但是只有 2 个对向量空间有贡献,这两个列向量称为是pivot columns。矩阵 A A A的列空间为 R 4 R^4 R4 内的一个二维子空间。

    3. 零空间 Nullspace

      矩阵 A 的零空间 N(A)是指满足 A x = 0 Ax=0 Ax=0的所有解的集合。对于所给定这个矩阵 A A A,其列向量含有 4 个分量,因此列空间是空间 R 4 R^4 R4 的子空间, x x x 为含有 3 个分量的向量,故矩阵 A A A 的零空间是 R 3 R^3 R3 的子空间。 对于 m ∗ n m*n mn 矩阵,列空间为 R m R^m Rm 的子空间,零空间为 R n R^n Rn空间的子空间。

      本例中矩阵 A 的零空间 N ( A ) N(A) N(A)为包含 [ 1 1 − 1 ] \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right] 111的任何倍数的集合,因为很容易看到第一列向量(1)和第二列向量(1)相加减去第三列向量(-1)为零。此零空间为 R 3 R^3 R3中的一条直线

      为了验证 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解集是一个向量空间, 我们可以检验它是否对线性运算封闭。若 v v v w w w为解集中的元素,则有:

    A ( v + w ) = A v + A w = 0 + 0 = 0 A(v+w)=Av+Aw=0+0=0 A(v+w)=Av+Aw=0+0=0

    A ( c v ) = c A v = 0 A(cv)=cAv=0 A(cv)=cAv=0

      因此可证 N ( A ) N(A) N(A)确实是 R n R^n Rn 空间的一个子空间。

      b 值的影响 Other values of b,若方程变为:
    [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 1 2 3 4 ] \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 3 } \\ { 3 } & { 1 } & { 4 } \\ { 4 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { 3 } \\ { 4 } \end{array} \right] 123411112345x1x2x3=1234

      则其解集不能构成一个子空间。零向量并不在这个集合内。解集是空间 R 3 R^3 R3 内过 [ 1 0 0 ] \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] 100 [ 0 − 1 1 ] \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { -1 } \\ { 1 } \end{array} \right] 011的一个平面,但是并不穿过原点 [ 0 0 0 ] \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] 000

      本讲给出了关于矩阵的两种子空间,同时给出了两种构造子空间的方法。对于列空间,它是由列向量进行线性组合张成的空间;而零空间是从方程组出发,通过让 x x x 满足特定条件而得到的子空间。

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  • 向量空间、列空间和零空间

    千次阅读 2018-11-22 08:45:26
    向量空间 ①所有向量空间都必须包含零向量,即包含原点。 ②向量空间中任意向量的数乘、求和运算得到的向量也在该空间中,即向量空间要满足加法封闭和数乘封闭。 ③向量空间RnR^nRn包含所有的n维向量,分量均为...

    向量空间

    ① ① 所有向量空间都必须包含零向量,即包含原点。

    ② ② 向量空间中任意向量的数乘、求和运算得到的向量也在该空间中,即向量空间要满足加法封闭和数乘封闭。

    ③ ③ 向量空间 R n R^n Rn包含所有的 n n n维向量,分量均为实数。

    子空间

    向量空间的子空间也必须满足加法封闭和数乘封闭,并且也包含零向量。

    R 2 R^2 R2的子空间: ① R 2 ①R^2 R2本身; ② ② 过原点的直线; ③ ③ 零向量(即原点);

    R 3 R^3 R3的子空间: ① R 3 ①R^3 R3本身; ② ② 过原点的平面; ③ ③ 过原点的直线; ④ ④ 零向量。

    列空间

    A = [ 1 3 2 3 4 1 ] A=\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1\end{bmatrix} A=124331,其中各列属于 R 3 R^3 R3,那么所有列的所有线性组合构成 R 3 R^3 R3的一个子空间,在这里为过原点的一个平面,称该子空间为 A A A的列空间,记作 C ( A ) C(A) C(A)。如果 A A A的两列共线,则列空间为一条直线。

    构造矩阵列空间的方法:取出各列,然后线性组合,则所有的线性组合构成列空间。

    假设 P P P为三维空间中过原点的平面, L L L为过原点的直线( L L L不在 P P P内), P 、 L P、L PL都为子空间,而 P ∪ L P∪L PL不是子空间,因为加法不封闭, P ∩ L P∩L PL是子空间,因为只含零向量。一般情况下,若 S 、 T S、T ST均为子空间,则 S ∩ T S∩T ST也为子空间。

    A x = b Ax=b Ax=b并不是对任意的 b b b都有解,只有 b b b属于 A A A的列空间时才有解。例如:
    A x = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] Ax=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{bmatrix} Ax=123411112345x1x2x3=b1b2b3b4
    A A A的三个列向量的线性组合无法充满整个四维空间,所以可能有些 b b b不是这三个列向量的线性组合。

    A A A中,其实第三列可以去掉,是前两列的线性组合,对结果没有影响。

    零空间

    A A A的零空间为 A x = 0 Ax=0 Ax=0中所有的解 x x x组成的集合,记作 N ( A ) N(A) N(A)。不管 A A A是什么矩阵,其零空间必然含有零向量。例如:
    A x = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 0 0 ] Ax=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} Ax=123411112345x1x2x3=0000
    [ 0 0 0 ] 、 [ 1 1 − 1 ] ⋯ [ c c − c ] \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}、\begin{bmatrix}1\\1 \\ -1\end{bmatrix}\cdots\begin{bmatrix}c\\c \\ -c\end{bmatrix} 000111ccc,即 c [ 1 1 − 1 ] c\begin{bmatrix}1\\1 \\ -1\end{bmatrix} c111 A A A的零空间,为三维空间中过原点的直线。

    验证: A A A的零空间为子空间。

    证明如下: ① ① 如果 A x = 0 并 且 A y = 0 Ax=0并且Ay=0 Ax=0Ay=0,那么 A ( a x + b y ) = a A x + b A y = 0 A(ax+by)=aAx+bAy=0 A(ax+by)=aAx+bAy=0,也就是说 v v v w w w都在零空间,那么其和 v v v w w w的线性组合也在零空间内。 ② ② 如果 A v = 0 Av=0 Av=0,那么 A ( a v ) = a A v = 0 A(av)=aAv=0 A(av)=aAv=0,即如果 v v v在零空间,那么其数乘 a v av av也在零空间内。综上所述,零空间满足加法和数乘封闭,并且包含零向量,所以为子空间。

    如果 A x = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 1 2 3 4 ] Ax=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix} Ax=123411112345x1x2x3=1234,其所有的解构成子空间吗?

    答案是否定的,因为解中不包含零向量,这里的解其实为三维空间中不过原点的直线。

    构造子空间的两种方法:

    ① ① 取各列的线性组合;

    ② ② 从方程组中通过让 x x x满足特定条件来得到子空间。

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