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  • PHP立方根
    2021-04-14 02:40:55

    如果你需要100個%可靠的結果,你應該使用GMP library任意精度計算。

    gmp_root函數應該做你需要的。在啓用GMP擴展的情況下,您將需要PHP版本5.6或更高版本。

    $num = gmp_init(10648);

    $third_root = gmp_root($num, 3);

    var_dump(gmp_strval($third_root)); // string(2) "22"

    如果GMP庫不方便對你和你保證,你的數量的整數根,那麼你可以嘗試以下方法:

    function getLevel($base, $root = 3.0) {

    $exact = pow($base, 1.0/$root);

    $ceil = ceil($exact);

    $floor = floor($exact);

    if (pow($exact, $root) == $base) { return $exact; }

    if (pow($ceil, $root) == $base) { return $ceil; }

    if (pow($floor, $root) == $base) { return $floor; }

    // Default: no integer root

    return FALSE;

    }

    它檢查的準確,floor和ceil結果的值找出哪個是正確的答案。如果它不是三者中的一個,那麼該數字沒有整數根,並且默認爲FALSE。

    var_dump(getLevel(10648, 3)); // 22^3 => float(22)

    var_dump(getLevel(16807, 5)); // 7^5 => float(7)

    var_dump(getLevel(1, 3)); // Should always return 1 => float(1)

    var_dump(getLevel(1, 99)); // Should always return 1 => float(1)

    var_dump(getLevel(7)); // Has no integer 3rd root => bool(false)

    當然,你可以使功能return $floor;或return $ceil;作爲默認的情況下,但是這取決於你。

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    设f(x)=x3-y, 求f(x)=0时的解x,即为y的立方根。根据牛顿迭代思想,xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)即x=x-(x3-y)/(3*x2)=(2*x+y/x/x)/3;#include inline double abs(double x){return (x>0?x:-x);}double cubert(const ...

    99

    牛顿迭代法。设f(x)=x3-y, 求f(x)=0时的解x,即为y的立方根。

    根据牛顿迭代思想,xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)即x=x-(x3-y)/(3*x2)=(2*x+y/x/x)/3;

    #include

    inline double abs(double x){return (x>0?x:-x);}

    double cubert(const double y){

    double x;

    for(x=1.0;abs(x*x*x-y)>1e-7;x=(2*x+y/x/x)/3);

    return x;

    }

    int main(){

    for(double y;~scanf("%lf",&y);printf("%.1lf\n",cubert(y)));

    return 0;

    }

    编辑于 2016-08-12 13:43:08

    回复(25)

    29

    import java.util.*;

    public class Main

    {

    // 使用二分查找算法

    public static double getCubeRoot(double input)

    {

    double min = 0;

    double max = input;

    double mid = 0;

    // 注意,这里的精度要提高一点,否则某些测试用例无法通过

    while ((max - min) > 0.001)

    {

    mid = (max + min) / 2;

    if (mid * mid * mid > input)

    max = mid;

    else if (mid * mid * mid < input)

    min = mid;

    else

    return mid;

    }

    return max;

    }

    public static void main(String[] args)

    {

    Scanner sc = new Scanner(System.in);

    while (sc.hasNext())

    {

    double input = sc.nextDouble();

    double result = getCubeRoot(input);

    System.out.printf("%.1f\n", result);

    }

    sc.close();

    }

    }

    发表于 2016-08-12 15:20:51

    回复(17)

    21

    命f(x) = x^3 - a,求解f(x) = x^3 - a = 0。

    利用泰勒公式展开,即f(x)在xo处的函数值为:

    f(x) = f(xo) +f'(xo)(x-xo) = xo^3-a+3xo^2(x-x0) = 0,

    解之得:x = xo - (xo^3 - a) / (3xo^2)。 #include

    #include

    double fun(double n) {

    double x = 1.0;

    while(fabs(x*x*x - n) > 1e-9)

    x = x - ((x*x*x - n) / (3*x*x));

    return x;

    }

    int main() {

    int number;

    scanf("%d", &number);

    double ans = fun(number*1.0);

    printf("%.1f", ans);

    return 0;

    }

    求平方根用一个套路@_@:

    命f(x) = x^2 - a,求解f(x) = x^2 - a = 0。

    利用泰勒公式展开,即f(x)在xo处的函数值为:

    f(x) = f(xo) +f'(xo)(x-xo) = xo^2-a+2xo(x-x0) = 0,

    解之得:x = (x+a/xo) / 2。

    编辑于 2019-03-07 21:48:46

    回复(8)

    8

    采用二分l=1,r=输入数,结束条件是l-r<0.001即可。 #include

    using namespace std;

    int main(){

    int a;

    cin>>a;

    double l=1,r=a;

    double temp;

    while((r-l)>0.001){

    temp=(l+r)/2;

    if(temp*temp*temp>a)r=temp;

    else l=temp;

    }

    printf("%.1lf",temp);

    return 0;

    }

    编辑于 2020-03-20 23:45:29

    回复(5)

    17

    # 牛顿迭代

    a = float(raw_input())

    e = 0.0001

    t = a

    while abs(t*t*t - a) > e:

    # x(i+1) = x(i) - f(xi)/f(xi)'

    t = t - ( t*t*t - a )* 1.0 / (3 * t*t)

    print "%.1f" %t

    发表于 2016-08-05 23:44:14

    回复(1)

    4

    感觉这个小题确实不需要牛顿出山吧。用查找方式

    #include  using namespace std;

    //查找方式

    int main()

    {

    double dv;

    while(cin>>dv){

    for(double i=0; i!=dv; i+=1) {

    if(i*i*i == dv) {

    printf("%0.1f\n", i);

    break;

    } else if(i*i*i > dv) {

    for(double j=i-1; j

    if(j*j*j > dv) {

    if((j-0.05)*(j-0.05)*(j-0.05) > dv)

    printf("%0.1f\n", j-0.1);

    else

    printf("%0.1f\n", j);

    goto _END;

    }

    }

    }

    }

    _END:

    dv=0;

    }

    }

    编辑于 2019-08-09 22:32:17

    回复(1)

    3

    #include

    #include

    using namespace std;

    double gCR(double num);

    int main()

    {

    double num;

    cin>>num;

    cout<

    return 0;

    }

    double gCR(double num)

    {

    double x=0; //定义最终要返回的结果

    double step = 1; //步长

    while(1)

    {

    //如果将要大于输入值,改变步长

    if((x+step)*(x+step)*(x+step)>num)

    {

    step /= 10;

    //不知道为什么至少要有三位小数才能正确四舍五入到一位

    //所以这里循环多了一点

    if(step == 0.0001)

    {

    break;

    }

    continue;

    }

    x += step;

    }

    return x;

    } 3ms还可以

    编辑于 2020-07-16 12:59:41

    回复(2)

    3

    #include

    #include

    //牛顿法

    using namespace std;

    double newton(double a){

    double x = 1;

    while (((x*x*x - a) >= 1e-7) || ((a - x*x*x) >= 1e-7)){

    x = (x - x / 3 + a / (3 * x*x));

    }

    return x;

    }

    int main(){

    double num;

    while (cin >> num){

    cout << setprecision(1) << fixed << newton(num) << endl;

    }

    return 0;

    }

    发表于 2017-06-05 09:37:03

    回复(0)

    4

    #include

    #include

    #include

    using namespace std;

    int main()

    {

    double input;

    cout << fixed; //小数点后一位

    cout.precision(1);

    while (cin >> input) //只考虑正数的情况

    cout << (double)exp(1.0 / 3 * log(input)) << endl; //利用指数和对数相结合的思想

    return 0;

    }

    发表于 2016-08-22 22:09:42

    回复(3)

    2

    //二分法

    #include

    #include

    using namespace std;

    double getCubeRoot(double start, double end, double input){

    double mid = (end+start)/2;

    if(mid*mid*mid-input<0.0000001 && mid*mid*mid-input>-0.00000001)

    return mid;

    if(mid*mid*mid-input>0)

    return getCubeRoot(start,mid,input);

    return getCubeRoot(mid,end,input);

    }

    int main(){

    double data;

    while(cin>>data){

    double res = getCubeRoot(0,data,data);

    printf("%.1f",res);

    }

    }

    编辑于 2020-02-28 22:58:03

    回复(3)

    2

    import java.util.Scanner;

    public class Main {

    public static void main(String[] args) {

    Scanner cin = new Scanner(System.in);

    while(cin.hasNext()) {

    double input = cin.nextDouble();

    double min = 0;

    double max = input;

    while(max - min > 0.00001) {

    double temp = (min + max) / 2;

    if(temp*temp*temp > input) {

    max = temp;

    } else {

    min = temp;

    }

    }

    min*=10;

    double small = min - (int)min;

    if(small >= 0.5) {

    min++;

    }

    int n = (int)min;

    min=(double)n/10;

    System.out.println(min);

    }

    }

    }

    发表于 2016-03-28 10:24:47

    回复(4)

    3

    求解给定值的立方根:

    1、利用Scanner接收键入值。

    2、利用牛顿迭代法求解立方根,牛顿迭代求解公式(1)所示,令键入值为y,定义函数

    ,则本题的迭代公式如(2),直至等式(3)成立停止迭代。

    tips: 四舍五入保留1位小数位的做法可以利用String的静态方法format(“%.1f”, x),其中%表示小数点前的位数,1表示保留小数点后1位,f表示转换位float型(找过一下好像没有可以转换为double的)

    (1)

    (2)

    (3)

    import java.util.Scanner;

    public class Main{

    public static void main(String[] args){

    Scanner input = new Scanner(System.in);

    while (input.hasNextDouble()){

    double num = input.nextDouble();

    double x = 1.0;

    for (; Math.abs(Math.pow(x,3)-num)>1e-3; x=x-((Math.pow(x,3)-num)/(3*Math.pow(x,2))));

    System.out.println(String.format("%.1f", x));

    }

    }

    }

    发表于 2020-02-23 16:45:26

    回复(1)

    12

    python one line: import math

    print(round(math.pow(int(input()),1/3),1))

    编辑于 2017-09-08 10:12:40

    回复(5)

    3

    #include

    using namespace std;

    int main()

    {

    double n,m;

    cin>>n;

    m=pow(n,1.0/3);

    printf("%.1f",m);

    return 0;

    }

    发表于 2017-08-17 11:23:37

    回复(5)

    2

    #include

    #include

    using namespace std;

    int main()

    {

    double d;

    double x=10000.0;

    cin>>d;

    while(abs(x*x*x-d)>0.000001)

    {

    x=x-(x*x*x-d)/(3*x*x);

    }

    printf("%.1lf\n",x);

    return 0;

    } 可以拓展为,求一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解:↓

    比如 x^3-27=0,我们就可以输入1 0 0 -27,这样我们就可以得到一个解 #include

    #include

    using namespace std;

    int main()

    {

    double diedai(double a,double b,double c,double d,double x);

    double a,b,c,d;

    double x=10000.0;

    cout<

    cin>>a>>b>>c>>d;

    x=diedai(a,b,c,d,x);

    cout<

    return 0;

    }

    double diedai(double a,double b,double c,double d,double x)

    {

    while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001)

    {

    x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/(3*a*x*x+2*b*x+c);

    }

    return x;

    }

    编辑于 2020-02-27 19:11:52

    回复(0)

    1

    # 牛顿迭代法求解立方根的思路:

    # 令f(x) = x^3 - a,求解f(x) = x^3 - a = 0。

    # 利用泰勒公式展开,即f(x)在x0处的函数值为:

    # f(x) = f(x0) +f'(x0)(x-x0) = (x0^3-a) + (3x0^2)(x-x0) = 0,

    # 解之得:x = x0 - (x0^3 - a) / (3x0^2)。

    #     即 x = x - ((x*x*x - n) / (3*x*x));

    # 拓展:求平方根用一个套路:

    # 令f(x) = x^2 - a,求解f(x) = x^2 - a = 0。

    # 利用泰勒公式展开,即f(x)在x0处的函数值为:

    # f(x) = f(x0) +f'(x0)(x-x0) = (x0^2-a) + 2x0(x-x0) = 0,

    # 解之得:x = x0 - (x0^2 - a) / 2x0

    #     即 x = x - (x*x-a)/2x 可进一步化简为:=(x+a/x) / 2。

    # 总结:

    # 平方根与立方根的求解迭代公式:

    # 新x = 旧x - f(x)/f'(x)

    # 新x = 旧x - (x平方或者立方与输入数a的差)/f(x)求导数

    # 法一:牛顿迭代法

    a = float(input().strip())  # 获取输入的实数a

    e = 0.0001  # 设定一个精度值

    t = a  # 初始化立方根t的值为输入的值a

    while abs(t*t*t - a) > e:  # 差值没有达到精度,便一直更新立方根

    # x(i+1) = x(i) - f(xi)/f'(xi)

    # 更新后的x = 原x - (原x的立方-a)/f(原x)导数

    t = t - (t*t*t - a) * 1.0 / (3 * t*t)

    print("%.1f" % t)  # 当精度达到要求时,此时的立方根t便为输入实数的立方根解。

    # 法二:二分法

    a = float(input().strip())

    epsilon = 0.0001

    low = min(-1.0, a)

    high = max(1.0, a)

    ans = (low + high)/2

    while abs(ans**3 - a) >= epsilon:

    if ans**3 < a:

    low = ans

    else:

    high = ans

    ans = (low + high)/2.0

    print('%.1f' % ans)

    编辑于 2020-12-25 11:36:13

    回复(0)

    1

    java二分查找

    import java.util.Scanner;

    public class Main{

    public static void main(String[] args){

    Scanner sc = new Scanner(System.in);

    double target = sc.nextDouble();

    double left = 0, right = target, mid;

    while(right - left > 0.01){

    mid = left + (right - left) / 2;

    if(mid * mid * mid < target)

    left = mid;

    else

    right = mid;

    }

    System.out.printf("%.1f", right);

    }

    }

    发表于 2020-07-28 16:59:33

    回复(0)

    1

    #include

    #include

    int main()

    {

    double input;

    scanf("%lf",&input);

    double low=0,high=input;

    double mid = (low+high)/2.0;

    while(fabs(input-mid*mid*mid)>0.001)

    {

    if(mid*mid*mid > input)

    {

    high = mid;

    }else

    {

    low = mid;

    }

    mid = (low+high)/2.0;

    }

    printf("%.1f",mid);

    return 0;

    }

    发表于 2020-07-22 00:20:45

    回复(0)

    1

    工程代码写多了,变笨了,我首先想的是为了稳定,先把特殊情况的处理逻辑写了,然后在根据需求,划分出四种情况,(-∞,-1),(-1,0),(0,1),(1,+∞),然后先用二分法写1到+∞的情况,然后其他情况就是改一下左右边界与更新中间点的逻辑了。

    double getCubeRoot(double input)

    {

    if(input == 0)

    return 0;

    if(input == 1)

    return 1;

    if(input == -1)

    return -1;

    if(input > 1)

    {

    return getCubeRootGreaterThan1(input);

    }

    if(input < -1)

    {

    return getCubeRootSmallerThan_1(input);

    }

    if((input > 0) && (input < 1))

    {

    return getCubeRoot01(input);

    }

    if((input > -1) && (input < 0))

    {

    return getCubeRoot_10(input);

    }

    }

    #define NUMS (0.0001)

    double getCubeRootGreaterThan1(double input)

    {

    double left,right,middle;

    left = 1;

    right = input;

    start:;

    middle = (left + right) / 2;

    double temp = middle * middle * middle;

    temp = temp - input;

    if((temp < NUMS) && (temp > (-NUMS)))

    {

    return middle;

    }

    if(temp < 0)

    {

    left = middle;

    goto start;

    }

    if(temp > 0)

    {

    right = middle;

    goto start;

    }

    }

    发表于 2020-07-20 10:48:44

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    import java.util.Scanner;

    public class Main{

    public static void main(String[] args){

    Scanner scanner = new Scanner(System.in);

    while(scanner.hasNext()){

    try{

    double dou = scanner.nextDouble();

    System.out.printf("%.1f\n",getCubeRoot(dou,1.0));

    //System.out.printf("%.1f\n",getCubeRoot2(dou,0,dou));

    }catch(Exception e){

    System.out.println("输入类型错误!");

    }

    }

    scanner.close();

    }

    //方法一:牛顿迭代法

    //命f(x) = x^3 - a,求解f(x) = x^3 - a = 0。

    //利用泰勒公式展开,即f(x)在xo处的函数值为:

    //f(x) = f(xo) +f'(xo)(x-xo) = xo^3-a+3xo^2(x-x0) = 0,

    //解之得:x = xo - (xo^3 - a) / (3xo^2)。

    public static double getCubeRoot(double target, double Num){

    if(Math.abs(Num*Num*Num-target)>1e-9){

    Num = Num - (Num*Num*Num-target)/(3*Num*Num);

    return getCubeRoot(target,Num);

    }

    return Num;

    }

    //方法二:二分查找法

    public static double getCubeRoot2(double target, double min, double max){

    if((max-min)>1e-9){

    double mid = (max+min)/2;

    if(mid*mid*mid>target){

    return getCubeRoot2(target,min,mid);

    }else if(mid*mid*mid

    return getCubeRoot2(target,mid,max);

    }else{

    return mid;

    }

    }else{

    return max;

    }

    }

    }

    发表于 2020-07-09 10:32:39

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  • 此方法是用C#语言编写的dll,方便求解立方根,此工程中包含求解立方根的公式,方便查看原理。
  • 人教版八年级上册数学优秀公开课《立方根课件PPT》
  • 宝鸡市陇县堎底下中学“高效课堂”教学工具 七年级导学案PAGEPAGE 2 把规范修炼成一种习惯,把认真内化成一种性格平方根与立方根 导学案设计 宋天恩审核 七年级数学学科组 姓名 班级【学习目标】1、理解并掌握平方根...

    宝鸡市陇县堎底下中学“高效课堂”教学工具 七年级导学案

    PAGE

    PAGE 2 把规范修炼成一种习惯,把认真内化成一种性格

    平方根与立方根 导学案

    设计 宋天恩审核 七年级数学学科组 姓名 班级

    【学习目标】1、理解并掌握平方根与立方根的概念,会用符号表示一个数的平方根,立方根。2.了解开方与乘方互为逆运算。 理解并掌握正数、负数、0的方根的特点。

    【重难点】:平方根和算术平方根的概念、性质 及灵活运用性质解决相关问题

    【学习方法】用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想

    【知识回顾】

    一,填表区分算术平方根,平方根,立方根的区别

    算术平方根

    平方根

    立方根

    表示方法

    a的取值

    正数

    0

    负数

    是本身

    二.求出下列各数的平方根和算术平方根:

    (1)169 ; (2)0.16 ; (3) ;(4) 102 ;(5) ;

    三.求出下列各数的立方根

    (1)-0.008 ; (2) 0.512 ; (3) ; (4)

    【预习导引】

    【质疑问难】通过预习,你有什么问题,请写出来

    学生评价: 学科长评价: 教师评价

    【合作探究】小组内做好预习交流,教师巡视;学生进行展示汇报。

    探究一:解下列方程:

    (1)x2=196 (2)4 x2=25 (3)(x-2)2=3 (4)9(3-y)2=4(5)x3=-8 (6)2x3=128 (7)(y-3)3=-125 (8)27()3+125=0

    探究二:填空: 所以

    =_____ 所以

    【随堂测试】先独立思考完成问题,再小组讨论交流,并展讲

    (1)(-2)2的平方根是 ,算术平方根是;

    (2)的平方根是 ,算术平方根是 。

    (3)若x2=25,则x= ,若=5,则x= ;

    (4)若(x-1)2=25,则x=。

    (5)若一个数的一个平方根为-3,则另一个平方根为 ,这个数是 。

    (6)若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1,则a= ,这个正数为 ;

    【自我小结】你学到了什么?

    【课后拓展】

    1.如果一个正数的两个平方根为和,请你求出这个正数

    2.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值.

    3..已知a2=4,b3=27,求ab的值

    老师评价:

    用计算器求立方根导学案

    设计 宋天恩王新平审核 七年级数学学科组 姓名 班级

    【学习目标】:1.了解科学计算器的开方运算功能,能用计算器求一个数的立方根

    2.感受科学计算器是解决计算问题的强有力的工具

    【重点】; 熟练掌握计算器的按键顺序

    【难点】:熟练的利用计算器求值

    【预习导引】

    用计算器求下列各式的值:

    (1) EQ \R(484) (2) EQ \R(84.6) (3) EQ \R(\F(5,9))

    总结:用计算器求平方根的按键特点是:

    【质疑问难】通过预习,你有什么问题,请写出来

    学生评价: 学科长评价: 教师

    【合作探究】

    小组内做好预习交流,教师巡视;学生进行展示汇报。

    阅读课本P50页,完成下列各题。

    1.用计算器求下列各式的值:

    (1) (2) (3)3 EQ \R( - \F(3,7))

    总结:用计算器求立方根的按键特点是:

    展示反馈练习;让学生自己叙述按键顺序。

    2、用计算器求 EQ \R(44.81) 时,在计算器上显示的结果是 ;如果精确到0.01,那么 EQ \R(44.81) ≈ 。

    3、用计算器求 E

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  • (教案3)6.2 立方根

    2021-06-27 12:49:33
    (教案3)6.2立方根共享者:ml共享时间:2015/6/25下载:次资源类别:教案资源属性:同步课程适用地区:北京关键字:立方根立方根》课程目标一、知识与技能目标1.了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根....

    (教案3)6.2 立方根

    共享者:ml   共享时间:2015/6/25   下载:次   资源类别:教案   资源属性:同步课程   适用地区:北京

    170412.gif

    关键字:立方根

    《立方根》

    课程目标

    一、知识与技能目标

    1.了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根.

    2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.

    二、过程与方法目标

    用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能自我总结出平方根与立方根的异同.

    三、情感态度与价值观目标

    发展学生的求同存异思维,使他们能在 复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.

    教材解读

    由正方体的边长与体积的关系引出立方运算,转入立方根运算.于是发现立方根运算与 立方运算互为逆运算,很容易联想 到平方运算与平方根运算之间的关系,于是立方根的表示,运算等问题就留给同学去发现.

    学情分析

    在学习完平方根运算后继而学习立方根运算,通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握.

    教学过程

    一、创设情境,导入新课

    问题1.

    问题 2.两个不同形状的水晶一样的透明饰物,一个是圆球形的,一个是正方形,经过测算,其体积都是125cm3.同学们 ,你们知道这两个饰物除了形状不同 以外还有什么不同吗? 那就是球的半径与正方体的边长,你能求出这个半径和 边长吗 ?

    要求出这两个量,我们就来学习开方中的另一种运算:开立方运算.

    二、师生互动,课堂探究

    (一)导入知识,解释疑难

    对于问题1我们如果设棱长为x米,则不难得出x3=0.125,也就是要求一个数,使它的立方为0.125,我们知道0.53=0 .125,所以正方体木块的棱长为0.5米;由此我们给 出立方根的概念:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根(cube root).即如果x3=a,则x叫做a的立方根,记为 ,读作三次根号a.

    注意:表示一个数的立方根时不需要正负号;符号中的指数3不能省略.

    在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方,然后才根据其 逆运算过程确定 某数的平方根 ,同样,我们先来算一算一些数的立方.

    23=______;(?2)3=______;0.53=_____;(?0.5)3=______;( )3=_____;?( )3=_____;03=______.

    (1)经计算发现正数,0,负数的立方根与平方根有何不同之处?

    23=8;(?2)3=?8;0.53=0.125;(?0.5)3=?0.125;( )3= ;?( )3=? ;03=0.

    我们发现,求立方运算时,当底数 互为相反数时,其立方也是一对互为相反数,这与平方运算不同,平方运算的底数为相反数 ,但其平方相等,故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根却 只有 一个.

    (2)开平方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,故请根据上述等式,写出这些互为相反数的立方根.

    8的立方根为2,?8的立方根为?2,记为 =2, =?2

    0.125的立方根为0.5,?0.125的立方根 为?0.5,记为 =0.5, =?0.5

    的立方根为 ,? 的立方根为? ,记为 = , =?

    0的立方根 为0,记为 =0

    上述过程都是求一个数的立方根的运算,我们把求一个数 的立方根的运算,叫做开立方(extraction of cube root),开立方与立方运算互为逆运算.

    前面问题2中正方体的边长为 =5,而球的 体积为 r3=125时,r≈3.1.

    归纳:正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根是0,可记为 =a(a为任意数),或者若a3=M,则有 =a,其中M为被开方数,3为根指数,且根指数3不能省略,只有当根指数为2时,才能省略不写.并且有规律: =?

    (二)例题求解

    例1:求下列各式的值:① ;② ;③ ;④( )3

    解:① =? =?2;② = =0.4;③ =? =? ;④( )3= a.

    例2:求下列各数 的立方根.

    ①?27; ② ; ③?0.216; ④?5.

    解: ①∵(?3)3=?27,∴ =?3;

    ②∵( )3= , = ;

    ③∵(?0.6)3=?0.216, =? =?0.6;

    ④ 对?5这个数,作如下尝试: 13=1,23=8,1.53=3.375,1.73=4.193.发现4.193最接近5,故 不能口算出其 值,得 借助计算器求值,且通过 计算器检验知 是一个无限不循环小数,用计算器计算知 =? ≈?1.71 是一个近似数.

    ( 三)探究活动

    ①若正方体的棱长为1,则其体积为1;若正方体的棱长为2,则 其体积为8;若正方体的棱长为4,则其体积为64;若其棱长为8,则其体积为512……当棱长为2n时,其体积为多少?

    ②某正方体的体积为1时,其棱长为1;体积为2时,棱长为 ;体积为3时 ,棱长为……;若体积扩大 到原来的n倍,则棱长扩大多少倍?

    解: ①正方体棱长为1,则体积为1,棱长为2,体积为8,比较两者棱长扩大了2倍,体积扩大了8倍,棱长又扩大了1倍,其 体积相应增大7 倍,为原来的8倍,故当棱长为2n时, 体积为8n3.

    ②当体积扩大到原来的n倍时,棱长扩大到原来的 倍.

    ( 四)归纳总结,知识回顾

    这节课学习 了立方根的概念,立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根.用计算器求任意数 的立方根时,只能先求出该数的绝对值的立方根,再根据任意数的正负性决定其值,注意区分平方根与立方根.

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