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  • 方程组变为: 此时的解,称为基解 (唯一) (基可以为若干个) 基可行解 其中的 称为可行基 注:基解的几何意义是:强约束方程(“=”)下,图形的所有交点 基可行解的几何意义: (1)方程的交点(基解) (2)...

    原视频:https://www.bilibili.com/video/BV194411y7sA?p=7

    线性规划问题的标准形式

    一般情况下,  Z=f(x,y )        min Z / max Z

     

    对于一般的线性规划问题,容易得到:

      Z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n(c_i\in R)x_i\in R\\

    \left \{ \begin {matrix} a_{11}_x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=(\leq,\geq)b_1\: \:\:\:\:\:\:a_i\in R\\ a_{21}_x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=(\leq,\geq)b_2\:\:\:\:\:\:b_i\in R\\ \vdots\\ a_{n1}_x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=(\leq,\geq)b_n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \end {matrix}

     

    通过恒等变形,将一般形式写为标准形式,从而方便之后的求解

    (1)目标函数统一为:  max Z                 min Z\Rightarrow  令  Z^{'}=-Z     求max Z{'}

    (2)b_i  :原问题中  b_i\in R(b_i>0)       \left \{ \begin{matrix} b_i>0 \\ b_i<0 \\ bi=0 \end{matrix}         

                当“ < ”,\Rightarrow等式两边同时添“负号”

                当 “ = ”,表示出现了退化

    (3)      约束符号= \:\: \leq \:\:\geq”                      

                              “ \leq ”     加入新的变量 → 松弛变量   “ \leq \:\Rightarrow \:= ”

                              “ \geq ”     减去新的变量 → 剩余变量   “ \geq \:\Rightarrow \:= ”

    (4)   统一“决策变量 \geq 0”    :  \left \{ \begin{matrix} x_i\geq0 \\ x_i\leq0 \\ x_i=0 \\x_i\in R \end{matrix}       

            当 “ = ”,直接写为“ \geq ”                   

            当 “ \leq ” , 令x_i^{'} = -x_i,\:\:\:\:x_i^{'}\geq 0 带入约束方程

            当“ x_i \in R ”,  x_i = x_i^{'} - x_i^{''},       x_i^{'} \geq0,\:\:\:\: x_i^{''}\geq0

     

     

               

              (5)形式上调整目标函数,将新引入的变量写回目标函数中去

     

         

         

      

    线性规划的讨论

      max Z=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n(c_i\in R)x_i\geq0

    \left \{ \begin {matrix} a_{11}_x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\: \:\:\:\:\:\:a_i\in R\\ a_{21}_x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\:\:\:\:\:\:b_i\in R\\ \vdots\\ a_{n1}_x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\ x_i\geq0, b_i>0 \end {matrix}

    \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots& &\vdots &\vdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{bmatrix}                           max Z = c_1x_1+c_2x_2+\cdotsc_nx_n\\ = [c_1 \:\:\:c_2\:\:\:\cdots\:\:\:c_n] \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n \end{bmatrix}

                            A \:\:\:X \:\:\:=b                                                      max \:\:Z\:\:=\:C \:\:X

    将A矩阵的每一列看成一个整体,记做列P,即A=(p_1\:\:\:p_2\:\:\cdots \:\:p_n)

    (1)可行解(满足约束方程

      能使  AX=b成立的所有  X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T(公式中,X为列向量,因此加转置T)

    (2)AX=b  提出更多的信息

      基、基可行解、可行基

    \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots& &\vdots &\vdots \\ a_{m1}& a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}  (m < n)         

    假设 R(A)= m, 从n列中选出 m列作为

    B = \begin{bmatrix} a_{11} \:\:\: \cdots \:\:\:a_{1m}\\ \vdots\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\vdots\\ a_m1\:\:\: \cdots \:\:\:a_{mm} \end{bmatrix} =(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_m)

    (p_1,\cdots,p_n) \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1\\\vdots\\b_m \end{pmatrix} \Rigtarrow \:\:\:\:\:\:p_1x_1+p_2x_2+\cdots+ p_nx_n = \begin{pmatrix} b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}

    \Rightarrow \begin{pmatrix} a_{11}\\\vdots\\a_{m1} \end{pmatrix}x_1+ \begin{pmatrix} a_{12}\\\vdots\\a_{m2} \end{pmatrix}x_2+ \cdots+ \begin{pmatrix} a_{1m}\\\vdots\\a_{mm} \end{pmatrix}x_m+ \cdots+ \begin{pmatrix} a_{1n}\\\vdots\\a_{mn} \end{pmatrix}x_n= \begin{pmatrix} b_1\\\vdots\\b_m \end{pmatrix}

                   1\cdots m     基向量                           m+1 \cdots n  非基向量

           \begin{pmatrix} a_{11} \:\:\: \cdots \:\:\:a_{1m}\\ \vdots\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\vdots\\ a_{m1}\:\:\: \cdots \:\:\:a_{mm} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\x_m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{m+1,m+1} \:\:\: \cdots \:\:\:a_{m+1,n}\\ \vdots\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\vdots\\ a_{n,m+1}\:\:\: \cdots \:\:\:a_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_m+1\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\b_m \end{pmatrix}

        \Rightarrow \sum^m_{j=1}P_jx_j\:\:=b\:\:-\:\:\sum^n_{j=m+1}P_jx_j

       当非基向量对应的x取0时,方程组变为:

               \begin{pmatrix} a_{11}\\\vdots\\a_{m1} \end{pmatrix}x_1+ \begin{pmatrix} a_{12}\\\vdots\\a_{m2} \end{pmatrix}x_2+ \cdots+ \begin{pmatrix} a_{1m}\\\vdots\\a_{mm} \end{pmatrix}x_m = \begin{pmatrix} b_1\\\vdots\\b_m \end{pmatrix}

                            B\:\:\:\:X \:\:\:= \:\:\:b\:\:\:\:(m<n)           此时的解,称为基解 (唯一)    (基可以为若干个)

                x_B^T=(x_1.x_2,\cdots,x_m,0,0,0,0,0) (x_i\geq 0)         基可行解          其中的 x_i 称为可行基

                                                      x_{m+1},\cdots,x_n=0

    注:基解的几何意义是:强约束方程(“=”)下,图形的所有交点

          基可行解的几何意义: (1)方程的交点(基解) (2)可行域的顶点

     

     

     

     

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  • 线性规划做为运筹学中较大板块知识点而言,理清这...基解:非基变量=0+约束条件等式 基可行解:非基变量=0+约束条件等式+决策变量非负 基最优解:非基变量=0+约束条件等式+决策变量非负+目标函数最优 五种概念相互关

    线性规划做为运筹学中较大板块知识点而言,理清这5种概念至关重要

    浅谈化标准型(如何将一般的线性规划方程化为标准型)

    四句口诀:目标函数最大、约束条件等式、决策变量非负、资源限量非负(逆时针想象)

    (目标化简成为上图)

    开始攻克!!

    可行解:约束条件等式+决策变量非负

    最优解:约束条件等式+决策变量非负+目标函数最优

    基解:非基变量=0+约束条件等式

    基可行解:非基变量=0+约束条件等式+决策变量非负

    基最优解:非基变量=0+约束条件等式+决策变量非负+目标函数最优

    五种概念相互关系:

    【上图意思:箭尾的解一定是箭头的解,反之不成立】

    (记忆技巧:基类2+3+4,可行解与最优解开始去掉条件)

    其他知识:

    1、可行解:LP图解法取可行域内的解。

    2、基解:约束条件的交点处。

    3、基可行解:可行域的顶点处。

    4、基可行解是最优解时,一定在可行域顶点取得。

    5、当最优解唯一时,最优解也是基最优解

         当最优解不唯一时,最优解不一定是基最优解。


    简单整理,若有错误,还望指正。共勉!

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  • 废话不多说,直接上图理解: 还是这张图,A,D,O三个基解互为邻接基解,因为在n = 2的情况下,只要满足1个(1 = n -1)相同的严格约束即为邻接基解,即该图中所有在同一条直线上的基解互为邻接基解,但如B,O两基解就...

    1.极点

    极点的定义及理解

    Definition 2.6 Let P be a polyhedron. A vector x ∈ P is an extreme point of P if we cannot find two vectors y, z ∈ P, both different from x, and a scalar λ ∈ [0,1], such that x = λy + (1 - λ)z.

    定义中给出了一种严格证明极点 (extreme point) 的方法,即:极点无法被另外两个点的线性组合表示出。若我们想用概括性的图像思维来描述极点的话,请先看下图(所有的极点都已用字母标出)
    在这里插入图片描述通过观察不难发现,所有的极点都是凸集的“角(corner)”,即:你无法找到相异的两点,使得这些“角”在这两点的连线上。这就是我对于极点的直观几何理解。
    当然,这是在二维平面上的,这里希望读者自己去思考在3,4,…,n维情况下,极点究竟如何定义。


    2.顶角

    顶角的定义

    Definition 2.7 Let P be a polyhedron, A vector x ∈ P is a vertex of P if there exists some c such that c’x < c’y for all y satisfying y ∈ P and yx.

    即在多面体内存在某点 x,存在一个与 x 维数相同的向量 c,二者内积为该多面体内所有元素与 c 的内积的最小值。这样的点,我们称之为顶角(vertex)。

    声明:关于“顶角(vertex)”的翻译,引用于“规范场论中的非微扰方法和置换群方法研究1”,若有更好的翻译,欢迎前来指正!

    顶角的理解

    我们不妨仍以这张图为例:
    在这里插入图片描述通过顶角的定义我们不难看出,顶角一般只有一个(这里先不讨论无穷多的情况)。假设我们选取 c’ = (1,1),不难发现,O点即为顶角(0×1 + 0×1 = 0),除了O点之外,无法再找出任何一个点与 c’ 的内积小于0。

    但是我们的 c’ 如果变为 (-1,-2) ,会发生什么情况呢?

    显然,该凸集的顶角变为了B点

    通常情况下,这里所描述的顶角就代表着线性规划中的最优解,但是线性规划的解又存在唯一最优解与无穷多最优解的情况,因此在实际情况中,也会存在多个顶角的情况。

    严格约束

    Definition 2.8 If a vector x* satisfies a*ix* = bi for some i = 1,2,3…,k, we say that the corresponding constraint is active or binding at x*.

    在定义2.8中,描述了严格约束的情况。由于线性规划是由等式约束与不等式约束所构成的,若存在某可行解,则该解必然满足等式约束,此时称此等式约束为严格约束。同理,当某可行解满足不等式约束的同时,使该不等式变为了等式约束(例:约束x1 + 2x2 ≤ 5,当有解满足 x1 + 2x2 = 5时,我们称在该解的情况下,该不等式为严格约束),我们就称该不等式为严格约束。


    基可行解

    严格约束与基可行解的关系

    我们在本节前半部分使用了极点,顶角等几何手段来描述凸集的几何构造,然后又引入了严格约束,现将二者联系起来,从几何与代数两个角度来描述基解,基可行解等概念

    Definition 2.9 Consider a polyhedron P defined by linear equality and inequality constraints, and let x* be an element of Rn.
    (a) The vector x* is a basic solution if:

    • All equality constraints are active;
    • Out of the constraints that are active at x*, there are n of them that are linearly independent.

    (b) If x* is a basic solution that satisfies all of the constraints, we say that it is a basic feasible solution.

    在定义2.9(a)的情况下,当n维向量x满足所有等式约束且满足n个线性独立的约束时,x被称为基解。当基解满足所有约束时,基解变为基可行解。

    如何理解这个定义呢?不妨来看下面这张图:
    在这里插入图片描述
    本图灰色部分代表可行域,各个字母所代表的点为基解,但是只有在可行域内的基解才为基可行解。

    我们以A点为例,其在维数 n = 2 的情况下满足了两个严格约束(x ≥ 0与直线AC所代表的约束),且这两个约束是线性独立的,因此根据定义2.9,我们不难得知A点代表了一个基解,但是由于其不满足其它不等式约束(不在可行域内部)因此A并非一个基可行解。

    注:在n维情况下,若某线性规划问题只存在m个约束条件(m < n)那么即使所有的约束都成为严格约束,严格约束的数量(m)也小于空间的维数(n),此时该线性规划问题不存在基解或是基可行解。

    经过上述的思考,不难得出以下定理:
    Theorem 2.3 Let P be a nonempty polyhedron and let x* ∈ P. Then, the fellowing are equivalent:

    • x* is a vertex;
    • x* is an extreme point;
    • x* is a bisic feasible solution.

    注:上述三个条件互相等价,可以互相代换。

    邻接基解

    对于同一个线性规划问题,若存在两个不同的基解,且这两个基解所满足的严格不等式恰有n - 1个相同,则称这两个基解是邻接的。

    废话不多说,直接上图理解:
    在这里插入图片描述
    还是这张图,A,D,O三个基解互为邻接基解,因为在n = 2的情况下,只要满足1个(1 = n -1)相同的严格约束即为邻接基解,即该图中所有在同一条直线上的基解互为邻接基解,但如B,O两基解就不为邻接基解,因为两个基解不满足任何相同的严格约束。


    小节

    本节仍是介绍线性规划的基础知识,为后续更好的理解单纯形法等内容做铺垫,扎实的理解每一节的内容固然会让后面的学习更加轻松,但是罗马不是一天建成的,扎实的基本功需要反复的操练,线性规划前期的基础内容看不懂也要反复的理解。极点,顶角,基解及基可行解等这些概念通过联系图之后并没有特别大的难度。我也会尽力保证更新的速度,共勉!


    参考文献

    [1] Dimitris Bertsimas,John N. Tsitsiklis . Introduction to Linear Optimization[M]. 1997: 46-53
    [2] 艾德臻. 规范场论中的非微扰方法和置换群方法研究[D]. 西北师范大学, 2007.

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  • 线性微分方程组

    2021-06-07 10:35:36
    在证明是基解矩阵,因为基解矩阵的每一列构成的向量是线性无关的,所以如果基解矩阵在定区间上行列式恒不为0则这个解矩阵是基解矩阵. 2.3非齐次线性微分方程组的常数变易公式 如果 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)是非齐次...

    线性微分方程组

    1. 存在唯一性定理

    形如
    { x 1 ′ = a 11 ( t ) x 1 + a 12 ( t ) x 2 + ⋯ + a 1 n ( t ) x n + f 1 ( t ) x 2 ′ = a 21 ( t ) x 1 + a 22 ( t ) x 2 + ⋯ + a 2 n ( t ) x n + f 2 ( t ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ x n ′ = a n 1 ( t ) x 1 + a n 2 ( t ) x 2 + ⋯ + a n n ( t ) x n + f n ( t ) (1) \left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}=a_{11}(t) x_{1}+a_{12}(t) x_{2}+\cdots+a_{1 n}(t) x_{n}+f_{1}(t) \\ x_{2}^{\prime}=a_{21}(t) x_{1}+a_{22}(t) x_{2}+\cdots+a_{2 n}(t) x_{n}+f_{2}(t) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_{n}^{\prime}=a_{n 1}(t) x_{1}+a_{n 2}(t) x_{2}+\cdots+a_{n n}(t) x_{n}+f_{n}(t) \end{array}\right. \tag1 x1=a11(t)x1+a12(t)x2++a1n(t)xn+f1(t)x2=a21(t)x1+a22(t)x2++a2n(t)xn+f2(t)xn=an1(t)x1+an2(t)x2++ann(t)xn+fn(t)(1)
    的叫做线性微分方程组.

    引入几个记号
    A ( t ) = [ a 11 ( t ) a 12 ( t ) ⋯ a 1 n ( t ) a 21 ( t ) a 22 ( t ) ⋯ a 2 n ( t ) ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ( t ) a n 2 ( t ) ⋯ a n n ( t ) ] (2) \boldsymbol{A}(t)=\left[\begin{array}{cccc} a_{11}(t) & a_{12}(t) & \cdots & a_{1 n}(t) \\ a_{21}(t) & a_{22}(t) & \cdots & a_{2 n}(t) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1}(t) & a_{n 2}(t) & \cdots & a_{n n}(t) \end{array}\right] \tag2 A(t)=a11(t)a21(t)an1(t)a12(t)a22(t)an2(t)a1n(t)a2n(t)ann(t)(2)
    n × n n ×n n×n矩阵,它的元素是 n 2 n^2 n2个函数
    f ( t ) = [ f 1 ( t ) f 2 ( t ) ⋮ f n ( t ) ] , x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] , x ′ = [ x 1 ′ x 2 ′ ⋮ x n ′ ] \boldsymbol{f}(t)=\left[\begin{array}{c} f_{1}(t) \\ f_{2}(t) \\ \vdots \\ f_{n}(t) \end{array}\right], \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right], \boldsymbol{x}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ \vdots \\ x_{n}^{\prime} \end{array}\right] f(t)=f1(t)f2(t)fn(t),x=x1x2xn,x=x1x2xn
    所以线性微分方程组就可以写成
    x ′ = A ( t ) x + f ( t ) \boldsymbol x^{\prime}=\boldsymbol A(t) \boldsymbol x+\boldsymbol f(t) x=A(t)x+f(t)
    f ( t ) \boldsymbol f(t) f(t)是零向量时,
    x ′ = A ( t ) x \boldsymbol x^{\prime}=\boldsymbol A(t) \boldsymbol x x=A(t)x
    叫做齐次线性微分方程组.

    2. 线性微分方程组的一般理论

    2.1朗斯基行列式

    设有 n n n个向量函数
    x 1 ( t ) = [ x 11 ( t ) x 21 ( t ) ⋮ x n 1 ( t ) ] , x 2 ( t ) = [ x 12 ( t ) x 22 ( t ) ⋮ x n 2 ( t ) ] , ⋯   , x n ( t ) = [ x 1 n ( t ) x 2 n ( t ) ⋮ x n n ( t ) ] \boldsymbol{x}_{1}(t)=\left[\begin{array}{c} x_{11}(t) \\ x_{21}(t) \\ \vdots \\ x_{n 1}(t) \end{array}\right], \boldsymbol{x}_{2}(t)=\left[\begin{array}{c} x_{12}(t) \\ x_{22}(t) \\ \vdots \\ x_{n 2}(t) \end{array}\right], \cdots, \boldsymbol{x}_{n}(t)=\left[\begin{array}{c} x_{1 n}(t) \\ x_{2 n}(t) \\ \vdots \\ x_{n n}(t) \end{array}\right] x1(t)=x11(t)x21(t)xn1(t),x2(t)=x12(t)x22(t)xn2(t),,xn(t)=x1n(t)x2n(t)xnn(t)
    由着 n n n个向量构成的行列式
    W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯   , x n ( t ) ] = W ( t ) = ∣ x 11 ( t ) x 12 ( t ) ⋯ x 1 n ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) ⋯ x 2 n ( t ) ⋮ ⋮ ⋮ x n 1 ( t ) x n 2 ( t ) ⋯ x n n ( t ) ∣ \begin{aligned} & W\left[\boldsymbol x_{1}(t),\boldsymbol x_{2}(t), \cdots,\boldsymbol x_{n}(t)\right] \\ =& W(t)=\left|\begin{array}{cccc} x_{11}(t) & x_{12}(t) & \cdots & x_{1 n}(t) \\ x_{21}(t) & x_{22}(t) & \cdots & x_{2 n}(t) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n 1}(t) & x_{n 2}(t) & \cdots & x_{n n}(t) \end{array}\right| \end{aligned} =W[x1(t),x2(t),,xn(t)]W(t)=x11(t)x21(t)xn1(t)x12(t)x22(t)xn2(t)x1n(t)x2n(t)xnn(t)
    称为这些向量函数的朗斯基行列式

    定理:如果向量函数 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯   , x n ( t ) \boldsymbol x_{1}(t),\boldsymbol x_{2}(t), \cdots,\boldsymbol x_{n}(t) x1(t),x2(t),,xn(t)线性相关,则他们的朗斯基行列式恒为0

    定理:如果向量函数 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯   , x n ( t ) \boldsymbol x_{1}(t),\boldsymbol x_{2}(t), \cdots,\boldsymbol x_{n}(t) x1(t),x2(t),,xn(t)是齐次线性微分方程组的解且线性无关,则他们的朗斯基恒不为0

    2.2齐次线性微分方程组

    基本解组和解矩阵、基解矩阵、标准基解矩阵、解矩阵

    基本解组:线性无关的 n n n个齐次方程的解 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯   , x n ( t ) \boldsymbol x_{1}(t),\boldsymbol x_{2}(t), \cdots,\boldsymbol x_{n}(t) x1(t),x2(t),,xn(t)构成了齐次方程的基本解组

    基解矩阵:将基本解组 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯   , x n ( t ) \boldsymbol x_{1}(t),\boldsymbol x_{2}(t), \cdots,\boldsymbol x_{n}(t) x1(t),x2(t),,xn(t)排在一个矩阵中,把这个矩阵 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)叫做基解矩阵.
    Φ ( t ) = [ x 11 ( t ) x 12 ( t ) ⋯ x 1 n ( t ) x 21 ( t ) x 22 ( t ) ⋯ x 2 n ( t ) ⋮ ⋮ ⋮ x n 1 ( t ) x n 2 ( t ) ⋯ x n n ( t ) ] \Phi(t)= \begin{bmatrix}{} x_{11}(t) & x_{12}(t) & \cdots & x_{1 n}(t) \\ x_{21}(t) & x_{22}(t) & \cdots & x_{2 n}(t) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n 1}(t) & x_{n 2}(t) & \cdots & x_{n n}(t) \end{bmatrix} Φ(t)=x11(t)x21(t)xn1(t)x12(t)x22(t)xn2(t)x1n(t)x2n(t)xnn(t)
    标准基解矩阵:如果基解矩阵有 Φ ( t 0 ) = E \Phi(t_0)=E Φ(t0)=E,则称这个基解矩阵为标准基解矩阵.

    解矩阵:将任意齐次方程的解排列成矩阵,我们把这个矩阵叫做解矩阵.

    验证一个矩阵是否为一个齐次线性方程基解矩阵的方法:先证明矩阵是解矩阵,即将矩阵代入到方程中,如果等号左右两边成立则该矩阵是解矩阵.在证明是基解矩阵,因为基解矩阵的每一列构成的向量是线性无关的,所以如果基解矩阵在定区间上行列式恒不为0则这个解矩阵是基解矩阵.

    2.3非齐次线性微分方程组的常数变易公式

    如果 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)是非齐次微分方程组对应的齐次方程组的基解矩阵,则非齐次微分方程组对应的一个特解是
    φ ( t ) = Φ ( t ) ∫ t 0 t Φ − 1 ( s ) f ( s ) d s \boldsymbol \varphi(t)=\boldsymbol \Phi(t)\int_{t_0}^t\boldsymbol \Phi^{-1}(s)\boldsymbol f(s)ds φ(t)=Φ(t)t0tΦ1(s)f(s)ds
    且满足初始条件 φ ( t 0 ) = 0 \boldsymbol \varphi(t_0)=\boldsymbol0 φ(t0)=0

    如果初始条件是 φ ( t 0 ) = η \boldsymbol\varphi(t_0)=\boldsymbol\eta φ(t0)=η,则方程的特解可以表示为
    φ ( t ) = Φ ( t ) Φ − 1 ( t 0 ) η + Φ ( t ) ∫ t 0 t Φ − 1 ( s ) f ( s ) d s \boldsymbol{\varphi}(t)=\boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\Phi}^{-1}\left(t_{0}\right) \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\Phi}(t) \int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{\Phi}^{-1}(s) \boldsymbol{f}(s) \mathrm{d} s φ(t)=Φ(t)Φ1(t0)η+Φ(t)t0tΦ1(s)f(s)ds
    上式称为非齐次线性微分方程组的常数变易公式

    3. 常系数线性微分方程组

    3.1 矩阵指数的定义和性质

    矩阵指数的定义
    e A t = I + A t + 1 2 ( A t ) 2 + 1 6 ( A t ) 3 + ⋯ e^{A t}=I+A t+\frac{1}{2}(A t)^{2}+\frac{1}{6}(A t)^{3}+\cdots eAt=I+At+21(At)2+61(At)3+
    矩阵指数的性质

    性质1 如果矩阵 A , B \boldsymbol A ,\boldsymbol B A,B是可交换的,即 A B = B A \boldsymbol A \boldsymbol B=\boldsymbol B\boldsymbol A AB=BA,则
    exp ⁡ ( A + B ) = exp ⁡ ( A ) exp ⁡ ( B ) \exp(\boldsymbol A+\boldsymbol B)=\exp(\boldsymbol A)\exp(\boldsymbol B) exp(A+B)=exp(A)exp(B)
    性质2 对于任何矩阵 A \boldsymbol A A ( exp ⁡ A ) − 1 (\exp A)^{-1} (expA)1存在,且
    ( exp ⁡ A ) − 1 = exp ⁡ ( − A ) (\exp \boldsymbol{A})^{-1}=\exp (-\boldsymbol{A}) (expA)1=exp(A)
    性质3 如果 T \boldsymbol T T是非奇异矩阵,则
    exp ⁡ ( T − 1 A T ) = T − 1 exp ⁡ ( A ) T . \exp(\boldsymbol T^{-1} \boldsymbol A \boldsymbol T)=\boldsymbol T^{-1} \exp(\boldsymbol A) \boldsymbol T. exp(T1AT)=T1exp(A)T.

    3.2齐次线性方程组的基解矩阵

    齐次线性方程组 x ′ = A x \boldsymbol x^\prime=\boldsymbol A \boldsymbol x x=Ax有标准基解矩阵
    Φ ( t ) = exp ⁡ ( A t ) \Phi(t)=\exp(\boldsymbol At) Φ(t)=exp(At)

    3.3基解矩阵的计算公式

    如果 A A A有特征值 λ \lambda λ和特征向量 ξ \xi ξ,则 e λ t ξ e^{\lambda t} \xi eλtξ是常系数齐次线性方程组的一个解.

    定理 如果矩阵 A \boldsymbol A A具有 n n n个线性无关的特征向量 v 1 , v 2 , ⋯   , v n \boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\cdots,\boldsymbol v_n v1,v2,,vn,他们对应的特征值分别为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn(不必各不相同)那么矩阵
    Φ ( t ) = [ e λ 1 t v 1 , e λ 2 t v 2 , ⋯   , e λ n t v n ] \boldsymbol{\Phi}(t)=\left[\mathrm{e}^{\lambda_{1} t} \boldsymbol{v}_{1}, \mathrm{e}^{\lambda_{2} t} \boldsymbol{v}_{2}, \cdots, \mathrm{e}^{\lambda_{n}{ }^{t}} \boldsymbol{v}_{n}\right] Φ(t)=[eλ1tv1,eλ2tv2,,eλntvn]
    就是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.

    它和标准基解矩阵的关系为
    exp ⁡ A t = Φ ( t ) Φ − 1 ( 0 ) \exp \boldsymbol{A} t=\boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\Phi}^{-1}(0) expAt=Φ(t)Φ1(0)

    展开全文
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空空如也

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