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  • 标准正交

    千次阅读 2020-08-27 23:52:23
    标准正交基一 正交向量积定义二 正交标准基的定义1 几何空间R3中的情况2 标准正交基的定义注3 标准正交基的构造4 标准正交基的基变换三 正交矩阵定义性质 一 正交向量积 定义 二 正交标准基的定义 1 几何空间R3中...

    一 正交向量积

    定义

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    二 正交标准基的定义

    1 几何空间R3中的情况

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    2 标准正交基的定义

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    3 标准正交基的构造 【施密特正交化】

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    4 标准正交基的基变换

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    三 正交矩阵

    定义

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    性质

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  • 标准正交的一种直观解释

    千次阅读 2019-05-31 22:39:13
    本文将要介绍的内容很简单,就是如何根据一组非线性相关的向量来计算一组标准正交。但是与其他文章不同的是,本文将以一种非常直观的思路来,顺理成章的推导出如何计算标准正交。 首先我们假设有一组非线性相关...

    UTF8gbsn

    本文将要介绍的内容很简单,就是如何根据一组非线性相关的向量来计算一组标准正交基。但是与其他文章不同的是,本文将以一种非常直观的思路来,顺理成章的推导出如何计算标准正交基。

    首先我们假设有一组非线性相关的基 v 1 , v 2 , . . . , v n ∈ V v_1,v_2,...,v_n\in V v1,v2,...,vnV,我们如何根据 v 1 , v 2 , . . . , v n v_1,v_2,...,v_n v1,v2,...,vn来计算 V V V空间的一组标准正交基?

    1. v 1 v_1 v1看做一个一维空间的基,那么自然计算一个标准基的算法为
      e 1 = v 1 ∣ v 1 ∣ e_1=\frac{v_1}{|v_1|} e1=v1v1

    2. 现在我们已经有一个标准基向量 e 1 e_1 e1,那么我们新加入 v 2 v_2 v2,他们会行成一个平面。假设 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2就是这个平面的一组标准正交基,那么 v 2 v_2 v2一定可以表示为, v 2 = ∣ v 2 ∣ [ c o s ( α ) e 1 + s i n ( α ) e 2 ] v_2=|v_2|[cos(\alpha)e_1+sin(\alpha)e_2] v2=v2[cos(α)e1+sin(α)e2],接下来反求 e 2 e_2 e2就可以了。
      故而下面的等式成立.这个是可以通过简单的几何画图直观上就可以看出来的。
      v 2 ∣ v 2 ∣ − c o s ( α ) e 1 = s i n ( α ) e 2 , c o s ( α ) = v 2 ⋅ e 1 ∣ v 2 ∣ \frac{v_2}{|v_2|}-cos(\alpha)e_1=sin(\alpha)e_2,cos(\alpha)=\frac{v_2\cdot e_1}{|v_2|} v2v2cos(α)e1=sin(α)e2,cos(α)=v2v2e1
      E 2 = v 2 − ( v 2 ⋅ e 1 ) e 1 ⇒ e 2 = E 2 ∣ E 2 ∣ E_2 = v_2-(v_2\cdot e_1)e_1\Rightarrow e_2 = \frac{E_2}{|E_2|} E2=v2(v2e1)e1e2=E2E2

    3. 同理在 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2所长成的二维空间上,加入新的 v 3 v_3 v3,可以张成一个三维空间。我们现在假定 e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3 e1,e2,e3张成了一个空间。那么现在我们有 v 3 ∣ v 3 ∣ = c o s ( α ) e 1 + c o s ( β ) e 2 + c o s ( γ ) e 3 \frac{v_3}{|v_3|}=cos(\alpha)e_1+cos(\beta)e_2+cos(\gamma)e_3 v3v3=cos(α)e1+cos(β)e2+cos(γ)e3,
      其中 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ分别是 v 3 v_3 v3与三个基向量之间的夹角。
      E 3 = v 3 − ( v 3 ⋅ e 2 ) e 2 − ( v 3 ⋅ e 1 ) e 1 ⇒ e 3 = E 3 ∣ E 3 ∣ E_3=v_3-(v_3\cdot e_2)e_2-(v_3\cdot e_1)e_1\Rightarrow e_3=\frac{E_3}{|E_3|} E3=v3(v3e2)e2(v3e1)e1e3=E3E3

    4. 同理我们可以求出 e n e_n en
      E n = v n − ∑ k = 1 n − 1 ( v n ⋅ e k ) e k ⇒ e n = E n ∣ E n ∣ E_n=v_n-\sum_{k=1}^{n-1}(v_n\cdot e_k)e_k\Rightarrow e_n=\frac{E_n}{|E_n|} En=vnk=1n1(vnek)eken=EnEn

    来总结一下,也就是每一次假设引入一个标准基向量 e k e_k ek,和前面求出来的标准基向量 e 1 , e 2 , . . . , e k e_1,e_2,...,e_k e1,e2,...,ek来组成一个空间。这一组新的标准正交基可以组合为新加入的 v k v_k vk,饭后根据 v k v_k vk e 1 , e 2 , . . . , e k e_1,e_2,...,e_k e1,e2,...,ek之间的夹角关系求出 e k e_k ek,因为夹角很好求,是 v k ⋅ e j ∣ v k ∣ , j ∈ ( 1 , 2 , . . . , k ) \frac{v_k\cdot e_j}{|v_k|},j\in (1,2,...,k) vkvkej,j(1,2,...,k),所以很好求出 e k e_k ek,其实这里面只是利用了一个向量加法而已。

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  • 空间的,自然标准正交

    千次阅读 多人点赞 2018-12-17 10:43:31
    误区:总以为二维平面的是垂直的x轴和y轴 总以为三维空间的是垂直的x轴,y轴和z轴 解析: 以二维空间为例,不光只有垂直的两个向量才能表示整个空间。 如上图所示,垂直的两个向量能表示整个平面自不必多...

    误区:
    总以为二维平面的基是垂直的x轴和y轴
    总以为三维空间的基是垂直的x轴,y轴和z轴

    解析:

    以二维空间为例,不光只有垂直的两个向量才能表示整个空间。

     

    如上图所示,垂直的两个向量能表示整个平面自不必多说。 

    下图中两个不垂直的向量,也可以表示整个平面。

    综上,二维平面中,凡是不平行的两个向量都称为“基”

    推理,三维空间中,凡是不在一个平面中的3个向量都可以表示整个三维空间,作为3维空间的“基”。

    引申,高维空间的“基”,一定不会同时存在于低纬空间中。如果同时存在于低纬空间,则线性相关,不能称为“基”。

    举例:三维空间的“基”不能同时存在于二维空间(平面)中,因为平面由两个不平行的向量就可以表示,如果第三个向量如果也在这个平面当中,完全可以由另外两个向量表示出来(线性相关),那么这样的3个向量其实到最后仍然只能表示一个平面,无法表示3维空间。

    综上:两个不平行的向量就是二维平面的“基”,3个不在同一平面中的向量就是3维平面的“基”。即:n维空间可以用n个线性不相关的向量表示。

    把向量装入矩阵,就成为求矩阵的“秩”,“秩”为几就可以表示几维的空间。

    假设5个向量,“秩”为3,那么这5个向量只能表示3维空间。

     

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  • 标准正交_百度百科

    千次阅读 2020-08-29 14:02:41
    https://m.baidu.com/sf_bk/item/%E5%9F%BA/16246650?bk_fr=chain_summary&timestamp=1592576502534

    https://m.baidu.com/sf_bk/item/%E5%9F%BA/16246650?bk_fr=chain_summary&timestamp=1592576502534

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  • 欧几里得空间——标准正交

    千次阅读 2019-06-09 17:41:33
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  • 第十章 正交标准正交

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