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  • 有向图和无向图

    万次阅读 多人点赞 2019-04-13 18:51:19
    有向图、无向图 有向图和无向图是我们常用到的术语,本文属于简单的科普帖。 全部由无向边构成图称为无向图(Undirected Graph),全部由有向边构成图称为无向图(Directed Graph)。有向,顾名思义,有方向。本文...

    有向图、无向图

    有向图和无向图是我们常用到的术语,本文属于简单的科普帖。

    全部由无向边构成图称为无向图(Undirected Graph),全部由有向边构成图称为有向图(Directed Graph)。有向,顾名思义,有方向。本文中顶点Vertex(V),边Edge(E)

    (1)出度和入度:如图D,以点A为例子,在所有与A关联的边中,以A为起点的边的条数称为出度。而入度则刚好相反,以A为终点的边的条数则称为入读。其中,入度+出度,我们称为A的度。注意特殊情况:如图:A有一个自环,起点和终点都是自己,此时出度算一度,入度也算一度。如图:A的出度为3,入度也为2,A的度的5。

    在这里插入图片描述
    (2)描述图的邻接矩阵和关联矩阵
    【邻接矩阵】

    定义:
    设无向图G=(V,E),其中顶点集V=v1,v2,…,vn,边集 E=e1,e2,…,eε。用aij表示顶点vi与顶点vj之间的边数,可能取值为0,1,2,…,称所得矩阵A=A(G)=(aij)n×n为图G的邻接矩阵。邻接矩阵可以描述有向图和无向图。

    示例,求图所示简单图的邻接矩阵?
    在这里插入图片描述
    解:根据定义,可求得该无向图的邻接矩阵为
    在这里插入图片描述

    邻接矩阵的存储特点:
    (a)无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵,有向图不一定是。
    *(b)邻接矩阵所需的存储空间值域只与顶点数有关系。
    (c)用邻接矩阵存储图,容易判断两个点之间是否有边。
    (d)如果一个有向图的邻接矩阵为三角矩阵(主对角线为0),则它的拓扑排序一定存在。
    *(e)小技巧:
    无向图:邻接矩阵的第i行或者第i列的非零元素的个数正好是第i个顶点Vi的度;
    有向图:邻接矩阵的第i行的非零元素个数正好是第i个顶点Vi的出度,第i列非零元素的个数正好是第i个顶点Vi的入度。

    【关联矩阵】

    定义:
    设任意图G=(V,E),其中顶点集V=v1,v2,…,vn,边集E=e1,e2,…,eε。用mij表示顶点vi与边ej关联的关系,可能取值为0,1,-1,称所得矩阵M(G)=(mij)n×ε为图G的关联矩阵。
    在这里插入图片描述
    mij 表示i行j列,探究顶点Vi和边Ej之间的关系,形成下列的关联矩阵
    示例:
    在这里插入图片描述
    关联矩阵
    在这里插入图片描述

    连通图、连通分量

    连通图:无向图中,若从顶点u到顶点v有路径,称为u,v是连通的。若图中任意两个顶点均是连通的,则称为连通图。
    连通分量:无向图中极大连通子图称为连通分量。

    强连通图、强连通分量

    强连通图:有向图中,若从顶点u到顶点v有路径,称为u,v是连通的。若图中任意两个顶点均是连通的,则称为强连通图。
    连通分量:无向图中极大连通子图称为强连通分量。特:强连通图只有强连通分量(本身),非强连通图有多个强连通分量。

    另外,本文参考路了下面两位作者的优秀博客
    https://blog.csdn.net/Hanging_Gardens/article/details/55670356
    https://blog.csdn.net/legendaryhaha/article/details/83049101

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  • 判断无向图/有向图中是否存在环

    千次阅读 2019-02-03 11:54:50
    本文主要针对如何判断有向图/无向图中是否存在环的问题进行简单的论述。 一 无向图 1.利用DFS进行判断 利用DFS判断有向图是否存在环,是最为常用的一种方法,虽然这种方法很常用,但可参考的代码的实现比较少,...

    本文主要针对如何判断有向图/无向图中是否存在环的问题进行简单的论述。

    一 无向图

    1.利用DFS进行判断

    利用DFS判断有向图是否存在环,是最为常用的一种方法,虽然这种方法很常用,但可参考的代码的实现比较少,下面对这种方法及其实现进行详细的阐述。

    首先,利用DFS判断无向图中是否换的原理是:若在深度优先搜索的过程中遇到回边(即指向已经访问过的顶点的边),则必定存在环。

    所以说,是否存在环的关键在于是否存在满足条件的“回边”,那么如何判断回边呢?

    (1)首先,对图中的所有顶点定义三种状态:顶点未被访问过顶点刚开始被访问顶点被访问过并且其所有邻接点也被访问过。这三种状态,在visited数组中分别用0、1、2来表示。那么,存在环的情况可以定义为:在遍历过程中,发现某个顶点的一条边指向状态1的顶点,此时就存在环。状态2可以理解为其生成树上的所有的子孙节点都已经访问完

    (2)此外,我们要定义一个father数组,用以存储在DFS过程中顶点的父顶点(或者说是生成树上的父节点)。其主要作用是为了区分邻接点中环中的顶点和遍历过程中的父节点 (单纯的用visited数组无法区分)。

    整个过程的实现代码如下:

     

    1

    2

    3

    4

    5

    6

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    #define MAX_NUM 100

    #define INF 0x7fffffff

    /*DFS判断无向图中是否有环*/

    class Graph

    {

        public:

        int vertexNum;//顶点个数

        int arcNum;//弧的个数

        int vertex[MAX_NUM];//顶点表

        int arc[MAX_NUM][MAX_NUM];//弧信息表

    };

    int visited[MAX_NUM];//顶点访问表

    int father[MAX_NUM];//父节点表

    void DFS(int v,Graph G)

    {

        visited[v] = 1;

        for(int i = 0 ; i < G.vertexNum; i++)

        {

            if(i != v && G.arc[v][i] != INF)//邻接矩阵中节点v的邻接点

            {

                if(visited[i] == 1 && father[v] != i)//vi不是父节点,而且还访问过(而且为状态1,说明不是回溯过来的顶点),说明存在环(判断i不是v的父节点)

                {

                    cout<<"图存在环";

                    int temp = v;

                    while(temp != i)

                    {

                        cout<<temp<<"<-";//输出环

                        temp = father[temp];

                    }

                    cout<<temp<<endl;

                }

                else

                    if(visited[i] == 0)

                    {

                        father[i] = v;//更新father数组

                        DFS(i,G);

                    }

     

            }

        }

        visited[v] = 2;//遍历完所有的邻接点才变为状态2

    }

    void DFSTraverse(Graph G)

    {

        memset(visited,0,sizeof(visited));

        memset(father,-1,sizeof(father));

        for(int i = 0 ; i < G.vertexNum; i++)

            if(!visited[i])

                DFS(i,G);

    }

     

      

     

     由此可见,visited数组相对于一般的情况,增加了个状态2,主要是为了防止在回溯过程中进行误判。所以才能仅用father数组和状态1判断存在环。

    状态2可以理解为其生成树上的所有的子孙节点都已经访问完。

    由于使用的是邻接矩阵来存储,所以该算法的时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n)。

    2.其他方法本文不再详述。

    二 有向图

    1.拓扑排序

    关于拓扑排序,资料很多,本文不再详述其原理,只给出其实现代码,代码如下:

     

    1

    2

    3

    4

    5

    6

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    #include<iostream>

    #include<unordered_map>

    #include<queue>

    #include<cstring>

    #include<cstdlib>

    #include<cmath>

    #include<algorithm>

    #include<sstream>

    #include<set>

    #include<map>

    #include<stack>

    using namespace std;

    #define MAX_NUM 100

    #define INF 0x7fffffff

    /*拓扑排序*/

    int indegree[MAX_NUM];//用以表示每个顶点的入度

    bool visited[MAX_NUM];//用以表示该顶点是否入栈

    class Graph

    {

    public:

        int vertexNum;//顶点个数

        int arcNum;//弧的个数

        int vertex[MAX_NUM];//顶点表

        int arc[MAX_NUM][MAX_NUM]= {{0,1,1},{INF,0,1},{INF,INF,0}}; //弧信息表

    };

    void Initindegree(Graph G)//初始化入度数组

    {

        memset(indegree,0,sizeof(indegree));

        for(int i = 0; i < G.vertexNum; i++)

            for(int j = 0; j < G.vertexNum; j++)

            {

                if(i != j && G.arc[i][j] != INF)

                    indegree[j]++;//注意此处增加的是顶点vj的入度

            }

        memset(visited,0,sizeof(visited));

    }

    bool TuoPu(Graph G)

    {

        stack<int> s;

        int cnt = 0;//用于记录拓扑序列中节点的个数

        for(int i = 0 ; i < G.vertexNum; i++)

            if(indegree[i] == 0)

            {

                s.push(i);

                visited[i] = true;//修改入栈顶点的入栈标记数组

     

            }

        while(!s.empty())

        {

            int v = s.top();

            cnt++;//顶点出栈得到时候,计数器加1

            s.pop();

     

            for(int i = 0; i < G.vertexNum; i++)

            {

                if(v != i && G.arc[v][i] != INF && visited[i] == false)//将所有顶点v的未入栈的邻接点的入度都减去1

                {

                    indegree[i]--;

                    if(indegree[i] == 0)//如果减1后入度为0了,此时需要将该邻接点入栈,且修改入栈标记数组

                    {

                        visited[i] = true;

                        s.push(i);

                    }

                }

     

     

            }

        }

        return cnt == G.vertexNum ? true false;

    }

    int main()

    {

        Graph G;

        G.vertexNum = 3;

        Initindegree(G);

        cout<<TuoPu(G)<<endl;

     

    }

     

      

     

    2.利用改进的DFS

    对于有向图的话,如果直接应用一般的DFS的话,会出现误判的情况,一个典型的例子是:A->B,A->C->B,我们用DFS来处理这个图,我们会得出它有环,但实际上并没有。然而,本文中所说的无向图的DFS判断算法完全可以直接应用到有向图中来,即上述代码可以直接应用到有向图中来。所以说上述的DFS算法(或称为为改进的DFS算法)既适用于无向图,也适用于有向图。其对应的原理适用于这两种图,即只要我们在遍历过程中,只要发现一个顶点不是当前节点的父节点,同时他还被访问过了(状态为1),那么就可以认为此处存在环。(通常在DFS中一个顶点的未被访问的邻接点,相当于生成树中的该顶点的子孙节点)

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  • 无向图,连通图

    万次阅读 2019-03-04 13:52:55
    **一、 (Graph)**是由顶点(vertex)的有穷非空集合和顶点之间边(edge)的集合组成,通常表示为:G(V,E),其中,G表示一个,V是G中顶点的...

    https://blog.csdn.net/kongduxue/article/details/81432270 https://blog.csdn.net/qq_33913037/article/details/71213985
    **一、 图(Graph)**是由顶点(vertex)的有穷非空集合和顶点之间边(edge)的集合组成,通常表示为:G(V,E),其中,G表示一个图,V是图G中顶点的集合,E是图G中边的集合
    a.若顶点之间 Vi 和 Vj 之间没有方向,则为无向边,用无序偶对( Vi , Vj )表示
    b.若顶点之间 Vi 和 Vj 之间有方向,则为有向边(也称弧),用有序偶对< Vi , Vj >表示, Vi 为弧尾,Vj为弧头。
    无向图:任意两顶点之间的边都是无向边,则该图为无向图。
    有向图:任意两顶点之间的边都是有向边,则该图为有向图。
    二、无向图的遍历
    (1)深度优先遍历
    基本思路:
    a.访问顶点V
    b.从V的未被访问的邻接点中选取一个顶点W,从W出发进行深度优先遍历
    c.重复以上2步,直到图中所有和V有路径相通的顶点被访问到
    在这里插入图片描述
    伪代码:(类似树的前序遍历)
    1.访问顶点,visited[v]=1;
    2.w=顶点v的第一个邻接点;
    3.while(w){
    if(w未被访问) 从顶点w出发递归执行该算法
    w=顶点v的下一个邻接点
    }
    (2)广度优先遍历
    基本思路:
    1.访问顶点V
    2.依次访问V的各个未被访问的邻接点V1,V2,V3……VK
    3.分别V1,V2,V3……VK从出发依次访问他们未被访问的邻接点,并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问顶点的邻接点”被访问,直到图中所有与顶点V有路径相通的顶点都被访问到
    在这里插入图片描述
    伪代码:(类似树的层序遍历)
    1.初始化队列Q
    2.访问顶点v,visited[v]=1,顶点入队Q;
    3.while(队列Q非空){
    v=队列Q的队头元素出队
    w=顶点v的第一个邻接点
    while(w存在){
    if(w未访问){
    访问顶点w,visited[w]=1;顶点w入队列Q
    }
    w=顶点v的下一个邻接点
    }
    }
    三、连通图和连通分量
    1.顶点间的连通性
    在无向图G中,若从顶点vi到顶点vj有路径(当然从vj到vi也一定有路径),则称vi和vj是连通的。
    2.连通图
     若V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj都连通(即有路径),则称G为连通图(Con-nected Graph)。
      图G2,和G3是连通图。
      在这里插入图片描述
    3.连通分量
     无向图G的极大连通子图称为G的最强连通分量(Connected Component)。
    注意:
      ① 任何连通图的连通分量只有一个,即是其自身
     ② 非连通的无向图有多个连通分量。
    【例】下图中的G4是非连通图,它有两个连通分量H1和H2。
    在这里插入图片描述
    强连通图和强连通分量

    1.强连通图
      有向图G中,若对于V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj,都存在从vi到vj以及从vj到vi的路径,则称G是强连通图。

    2.强连通分量
     有向图的极大强连通子图称为G的强连通分量。
    注意:
     ① 强连通图只有一个强连通分量,即是其自身。
     ② 非强连通的有向图有多个强连分量。
    下图中的G1不是强连通图,因为v3到v2没有路径,但它有两个强连通分量,如右图所示。
    在这里插入图片描述
    网络(Network)

    若将图的每条边都赋上一个权,则称这种带权图为网络(Network)。
    注意:
      权是表示两个顶点之间的距离、耗费等具有某种意义的数。
    在这里插入图片描述

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  • 有向图和无向图的相关概念

    千次阅读 2020-04-29 15:44:42
     图在数据结构中是中一对多的关系,一般分为无向图无向图  常用 邻接矩阵 或者 邻接链表 来表示图中结点的关系  ⑴图是由顶点集V和顶点间的关系集合E(边的集合)组成的一种数据结构  ⑵用二元组定义为:G=...

    图的定义:

      图在数据结构中是中一对多的关系,一般分为无向图与无向图

      常用 邻接矩阵 或者 邻接链表 来表示图中结点的关系

      ⑴图是由顶点集V和顶点间的关系集合E(边的集合)组成的一种数据结构
      ⑵用二元组定义为:G=(V,E)。

    例如:

    对于图7-1所示的无向图G1和有向图G2,它们的数据结构可以描述为:

          G1=(V1,E1), 其中 V1={a,b,c,d},E1={(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(c,d)},
                     G2=(V2,E2),其中 V2={1,2,3}, E2={<1,2>,<1,3>,<2,3>,<3,1>}。

    有向图与无向图

        ⑴在图中,若用箭头标明了边是有方向性的,则称这样的图为有向图,否则称为无向图。

        如图7-1中:
             ①G1为无向图,   ②G2 为有向图。
        ⑵在无向图中:一条边(x,y)与(y,x)表示的结果相同,用圆括号表示,
        ⑶在有向图中:一条边<x,y>与<y,x>表示的结果不相同,故用尖括号表示。<x,y>表示从顶点x发向顶点y的边,x为始点,y为终点。
        ⑷有向边也称为弧,x为弧尾,y为弧头,则<x,y>表示为一条弧, 而<y,x>表示y为弧尾,x为弧头的另一条弧 。

     

    完全图/稠密图/稀疏图:

      ⑴具有n个顶点,n(n-1)/2条边的图,称为完全无向图,
      ⑵具有n个顶点,n(n-1) 条弧的有向图,称为完全有向图。
      ⑶完全无向图和完全有向图都称为完全图。
      ⑷对于一般无向图,顶点数为n,边数为e,则 0≤e  ≤n(n-1)/2。
      ⑸对于一般有向图,顶点数为n,弧数为e, 则 0≤e≤n(n-1)  。
      ⑹当一个图接近完全图时,则称它为稠密图,
      ⑺当一个图中含有较少的边或弧时,则称它为稀疏图。

    度/出度/入度:

      ⑴在图中,一个顶点依附的边或弧的数目,称为该顶点的度。

      ⑵在有向图中,一个顶点依附的弧头数目,称为该顶点的入度。

      ⑶一个顶点依附的弧尾数目,称为该顶点的出度,某个顶点的入度和出度之和称为该顶点的度。

      ⑷若图中有n个顶点,e条边或弧,第i个顶点的度为di,则有  e=1/2 * Σ(1<= i <= n,   di)

    子图

    ⑴若有两个图G1和G2, G1=(V1,E1), G2=(V2,E2), 满足如下条件:
        V2⊆V1  ,E2⊆ E1,即V2为V1的子集,E2为E1的子集,则 称图G2为图G1的子图。

    权:
    ⑴在图的边或弧中给出相关的数,称为权。
    ⑵权可以代表一个顶点到另一个顶点的距离,耗费
       等,带权图一般称为网。

    一个图由多个结点以及边组成。

    无向图例子:

      

      有向图例子:

      

    从上述例子中可以看出,一个图表是由数个顶点和边组成的。

      其中,无向图的边是没方向的,即两个相连的顶点可以互相抵达。

      而有向图的边是有方向的,即两个相连的顶点,根据边的方向,只能由一个顶点通向另一个顶点。(当然,如有向图例子中的2和3,由于有两个指向对方的方向,所以2和3是互通的。)

    完全图

    连通图:如果一个无向图从每一个顶点到其他顶点都存在一条路径,则称该无向图为连通图

    强连通图:具有这样的性质的有向图称为是强连通的,如果不是强连通的,

    弱连通图:它的基础图,即去掉弧上的方向所形成的的图,是连通的,那么该有向图称为弱连通的

    完全无向图:具有n个顶点,并具有n(n - 1)/2 条边的图,称为完全无向图(每个顶点到其他顶点都有边),连通图

    完全有向图:具有n个顶点,并且具有n(n - 1) 条边的有向图,称为完全有向图(每个顶点到其他顶点都有相互两条边),强连通图

    完全图:完全无向图和完全有向图都称为完全图

    邻接矩阵

    定义:
    设无向图G=(V,E)G=(V,E),其中顶点集V=v0,v1,v2,...,vnV=v1,v2,...,边集E=e0,e1,e2,...,eεE=e1,e2,...,eε。用aijaij表示顶点vivi与顶点vjvj之间的边数,可能取值为0,1,2,…,称所得矩阵A=A(G)=(aij)n×nA=A(G)=(aij)n×n为图G的邻接矩阵

    性质:

    类似地,有向图D的邻接矩阵A(D)=(aij)n×nA(D)=(aij)n×n, aijaij表示从始点vivi到终点vjvj的有向边的条数,其中vivi和vjvj为D的顶点

    示例,求图所示简单图的邻接矩阵?

    解:根据定义,可求得该无向图的邻接矩阵为

    注:邻接矩阵是描述图的一种常用的矩阵表示。

     

    关联矩阵

    定义:
    设任意图G=(V,E)G=(V,E),其中顶点集V=v1,v2,...,vnV=v1,v2,...,vn,边集E=e1,e2,...,eεE=e1,e2,...,eε。用mijmij表示顶点vivi与边ejej关联的次数,可能取值为0,1,2,…,称所得矩阵M(G)=(mij)n×εM(G)=(mij)n×ε为图G的关联矩阵

    类似地,有向图DD的关联矩阵M(D)=(mij)n×εM(D)=(mij)n×ε的元素mi×jmi×j定义为:

    示例,求图中有向图的邻接矩阵和关联矩阵

    解:根据定义,可求得该有向图的邻接矩阵:

    关联矩阵:

    注:关联矩阵是描述图的另一种矩阵表示。

    参考地址:

    https://blog.csdn.net/Hanging_Gardens/article/details/55670356

    https://blog.csdn.net/legendaryhaha/article/details/83049101

    https://www.cnblogs.com/schips/p/10632250.html

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空空如也

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