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  • 2021-03-18 11:36:15

    介绍
    例如

    1. [[1,2],[3,4]] mod 7 = [[5,1],[5,3]] (mod 7)

    2. Sage (www.sagemath.org) as

      Matrix(IntegerModRing(7), [[1, 2], [3,4]]).inverse()

    3. python代码

    import numpy
    from sympy import Matrix
    
    def matInvMod (vmnp, mod):
        nr = vmnp.shape[0]
        nc = vmnp.shape[1]
        if (nr!= nc):
            print ("Error: Non square matrix! exiting")
            exit()
        vmsym = Matrix(vmnp)
        vmsymInv = vmsym.inv_mod(mod)
        vmnpInv = numpy.array(vmsymInv)
        print("vmnpInv: ", vmnpInv, "\n")
        k = nr
        vmtest = [[1 for i in range(k)] for j in range(k)]  # just a 2-d list
        vmtestInv = vmsym*vmsymInv
        for i in range(k):
           for j in range(k):
              #print i, j, vmtrx2[i,j] % mod
              vmtest[i][j] = vmtestInv[i,j] % mod
        print ("test vmk*vkinv % mod \n:", vmtest)
        return vmnpInv
    
    if __name__ == '__main__':
        #p = 271
        mat =  numpy.matrix([[1,2],[3,4]])    
        p = 7
        print(matInvMod(mat,p))
    
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  • 密码学-模逆运算

    2022-05-13 23:00:13
    扩展欧几里得算法 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得 ax + by = gcd(a,b)。 有两个数a,b,对它们进行辗转相除法,可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后,收集辗转相除法中产生的式子,倒回去...

    扩展欧几里得算法

            给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得  ax + by = gcd(a,b)  

           有两个数a,b,对它们进行辗转相除法,可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后,收集辗转相除法中产生的式子,倒回去,可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

    1、算法原理

            给定整数a、b,若gcd(a,b)=1。则存在c,满足ac=1 mod b,c即为a模b的乘法逆元。

           利用扩展的欧几里得算法求得满足条件的c:先做辗转相除,当a、b互素时,最后一步得到的余数为1,再从1出发,对前面得到的所有除法算式进行变形,将余数用除数和被除数表示,最终便可将1表示为a与b的一种线性组合,即

    ax+by=1

           从而x就是a模b的乘法逆元。因此寻找乘法逆元的过程就是求x和y的过程。 

           这里我们先看一下人工计算的过程:

           具体实现时使用三组变量:x1,x2,x3;y1,y2,y3;t1,t2,t3。初始化时,给x1,x2,x3别赋值1、0、a,则有

    1 × a + 0 × b = a

           类似地,给y1,y2,y3分别赋值0、1、b,有

    0 × a + 1 × b = b

           接下来开始迭代,保证在每次迭代中,有

    a × t1 + b × t2 = t3

    成立。为此只需在每一步中为 ti 分别赋值 x_{i}-q \, y_{i} (i=1,2,3) ,其中q为x3除以y3的商。

           当最后t3迭代至计算结果为1时,相应的 t1 就是 a模b的乘法速元,而 t2 是b模a的乘法逆元。

    2、代码部分

    #include <stdio.h>
    int main(int argc, char *argv[])
    {
    	int temp,q,t1,t2,t3;
    	int a,b,swap=0;
    	int x1,x2,x3,y1,y2,y3;
    	printf("Input two integers: ");
    	scanf("%d",&a);
    	scanf("%d",&b);
    	if (a<b) {   //保证a>b
    		swap = 1;
    		temp = a;
    		a = b;
    		b = temp;		
    	}
    	x1=1;	x2=0;	x3=a;    // 初始
    	y1=0;	y2=1;	y3=b;
    	while (y3!=0)
    	{
    		q=x3/y3; //商
    		t1=x1-q*y1;	t2=x2-q*y2;	t3=x3-q*y3;
    		x1=y1;		x2=y2;		x3=y3;
    		y1=t1;		y2=t2;		y3=t3;
    		printf("\nt1,t2,t3\t%d\t%d\t%d ;",t1,t2,t3);	
    	}
    	printf("\n");
    	if(x3 == 1)   // 这里使用x3,组后一轮循环中,x3保存了上一步中值为1的t3
    	{
    		if(swap==1)
    		{
    			printf("\ninverse of %d mod %d is:%d",b,a,x2);
    			printf("\ninverse of %d mod %d is:%d",a,b,x1);		
    		}
    		else{
    			printf("\ninverse of %d mod %d is:%d",a,b,x2);
    			printf("\ninverse of %d mod %d is:%d",b,a,x1);	
    		}			
    	}
    	else  printf("no inverse");
    	printf("\n\n\n");
    	return 0;
    }

    注释:

           关于判断条件是  x3==1,而不是 t3==1 的问题,while循环中本质使用的是辗转相除法,对于 ti 的赋值表达式x_{i}-q \, y_{i},先看t3,t3=x3-q*y3 ,q=x3/y3 ,我理解的是 t3 就是 x3除以y3的余数,加上开始时,给 x3=a,y3=b ,所以对t3的迭代可以看成对 (a,b)做辗转相除法。

          再看 t1 和 t2,为了保持线性关系ax + by = gcd(a,b),相应的x和y的值也需要变化,这就是 t1 和 t2 的作用。

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  • 密码学 模逆与模幂计算与应用 1. 编写下列基本程序: i) 对于不超过 216的两个正整数 a 与 n,计算 a-1 (mod n); ii) 对于不超过 216的三个正整数 a、e 与 n,计算 ae (mod n)。 2.编写下列应用程序: i) 找到...
  • 本发明涉及模逆计算技术领域,更具体地说,涉及一种模逆运算方法及运算器。背景技术:模逆运算广泛应用在公钥密码体制中,例如,在RSA算法中的解密密钥生成时应用到模逆运算,模逆运算也可以用于椭圆曲线密码算法中...

    本发明涉及模逆计算技术领域,更具体地说,涉及一种模逆运算方法及运算器。

    背景技术:

    模逆运算广泛应用在公钥密码体制中,例如,在RSA算法中的解密密钥生成时应用到模逆运算,模逆运算也可以用于椭圆曲线密码算法中的点加和倍点运算。

    目前,求解模逆运算的方法主要包括模幂算法、扩展欧几里得算法、二进制扩展欧几里得算法等。模幂算法以费马小定理为基础,将模逆运算转换成模幂运算,但是模幂算法无法确定模逆结果是否存在。采用模乘器作为硬件运算单元,较为复杂且功耗较大。扩展欧几里得算法通过辗转相除计算最大公因子求解模逆,当最大公因子为非1整数时无法获取模逆的计算结果。采用除法器作为硬件运算单元,实现仍较为复杂。二进制扩展欧几里得算法将除法转换成移位和加减法,但是,在移位的过程中,操作数的权值发生了改变,最终运算结果中包含有2n(n为操作数的位长)项权重因子,去除权重因子需进行多次除2的操作,因此,要求模必须是奇数。现有的二进制扩展欧几里得算法方法在进行模逆运算时仍存在一定的限制,无法针对任意非零整数求模,并且计算过程较为复杂。

    因此,现有技术亟待有很大的进步。

    技术实现要素:

    本发明要解决的技术问题在于,针对现有技术的上述的缺陷,提供一种模逆运算方法,已知正整数u、m,求u-1mod m,包括步骤:

    S1、如果m为奇数,则n1=u,n2=m,标志位flag=0;否则m不为奇数:如果u为偶数,则u-1不存在,运算结束,如果u不为偶数,则n1 =m,n2=u,标志位flag=1;

    S2、执行算法:

    S21、n1=m,n2=u,s=0,t=1,k=0;

    S22、while(n2>0)

    如果n1为偶数,则n1=n1/2,t=2t,k=k+1;

    否则如果n2为偶数,则n2=n2/2,s=2s,k=k+1;

    否则如果n1>n2,那么n1=(n1-n2)/2,s=s+t,t=2t,k=k+1;

    否则n2=(n2-n1)/2,t=s+t,s=2s,k=k+1;

    S23、如果n1≠1,则u-1不存在,运算结束;

    否则m=-s(mod m)

    S3、如果n1-1不存在,则运算结束;

    S4、如果标志位flag=0,则u-1=n1-1;否则标志位flag=1,

    相应地,本发明还提供了一种模逆运算的运算器,包括加法器、减法器、存储器、控制器;

    所述控制器用于判断且设置数值,

    S1、如果m为奇数,则n1=u,n2=m,标志位flag=0;否则m不为奇数:如果u为偶数,则u-1不存在,运算结束,如果u不为偶数,则n1 =m,n2=u,标志位flag=1;

    S21、n1=m,n2=u,s=0,t=1,k=0;

    S22、while(n2>0)

    如果n1为偶数,则n1=n1/2,t=2t,k=k+1;

    否则如果n2为偶数,则n2=n2/2,s=2s,k=k+1;

    否则如果n1>n2,那么n1=(n1-n2)/2,s=s+t,t=2t,k=k+1;

    否则n2=(n2-n1)/2,t=s+t,s=2s,k=k+1;

    S23、如果n1≠1,则u-1不存在,运算结束;

    否则m=-s(mod m)

    S3、如果n1-1不存在,则运算结束;

    S4、如果标志位flag=0,则u-1=n1-1;否则标志位flag=1,

    所述减法器执行减法操作;

    所述加法器执行加分操作;

    所述存储器用于存储参与计算的数据、标志位flag的值,计算结果值。

    实施本发明的模逆运算方法及运算器,具有以下有益效果:该算法只需要增加一个标志位,和最多一次乘法、两次减法运算,能大大提高运算速度,在硬件实现上,具有通用性、高效性特点;相比于现有的二进制扩展欧几里得算法,不需要再对运算结果进行权重因子的消除操作,并且可以不限定模必须为奇数,可以实现模为任意非零整数的模逆运算,并提高模逆运算的计算效率,降低硬件功耗。

    具体实施方式

    现有的二进制扩展欧几里得算法将除法转换成移位和加减法,但是,在移位的过程中,操作数的权值发生了改变,最终运算结果中包含有2n(n为操作数的位长)项权重因子,去除权重因子需进行多次除2的操作,因此,要求模必须是奇数。但是,现有的二进制扩展欧几里得算法方法在进行模逆运算时仍存在一定的限制,无法针对任意非零整数求模,并且计算过程较为复杂。

    本发明提出了一种模逆运算,

    已知正整数u、m,求u-1mod m,其特征在于,包括步骤:

    S1、如果m为奇数,则n1=u,n2=m,标志位flag=0;否则m不为奇数:如果u为偶数,则u-1不存在,运算结束,如果u不为偶数,则n1 =m,n2=u,标志位flag=1;

    S2、执行算法:

    S21、n1=m,n2=u,s=0,t=1,k=0;

    S22、while(n2>0)

    如果n1为偶数,则n1=n1/2,t=2t,k=k+1;

    否则如果n2为偶数,则n2=n2/2,s=2s,k=k+1;

    否则如果n1>n2,那么n1=(n1-n2)/2,s=s+t,t=2t,k=k+1;

    否则n2=(n2-n1)/2,t=s+t,s=2s,k=k+1;

    S23、如果n1≠1,则u-1不存在,运算结束;

    否则m=-s(mod m)

    S3、如果n1-1不存在,则运算结束;

    S4、如果标志位flag=0,则u-1=n1-1;否则标志位flag=1,

    相应地,本发明还公开了一种模逆运算器,包括加法器、减法器、存储器、控制器;

    所述控制器用于判断且设置数值,

    S1、如果m为奇数,则n1=u,n2=m,标志位flag=0;否则m不为奇数:如果u为偶数,则u-1不存在,运算结束,如果u不为偶数,则n1 =m,n2=u,标志位flag=1;

    S21、n1=m,n2=u,s=0,t=1,k=0;

    S22、while(n2>0)

    如果n1为偶数,则n1=n1/2,t=2t,k=k+1;

    否则如果n2为偶数,则n2=n2/2,s=2s,k=k+1;

    否则如果n1>n2,那么n1=(n1-n2)/2,s=s+t,t=2t,k=k+1;

    否则n2=(n2-n1)/2,t=s+t,s=2s,k=k+1;

    S23、如果n1≠1,则u-1不存在,运算结束;

    否则m=-s(mod m)

    S3、如果n1-1不存在,则运算结束;

    S4、如果标志位flag=0,则u-1=n1-1;否则标志位flag=1,

    所述减法器执行减法操作;所述加法器执行加分操作;所述存储器用于存储参与计算的数据、标志位flag的值,计算结果值。

    通过利用标志位区分不同的情况,从而更准确的计算出数据结果。

    本发明通过以上实施例的设计,可以做到该算法只需要增加一个标志位,和最多一次乘法、两次减法运算,能大大提高运算速度,在硬件实现上,具有通用性、高效性特点;相比于现有的二进制扩展欧几里得算法,不需要再对运算结果进行权重因子的消除操作,并且可以不限定模必须为奇数,可以实现模为任意非零整数的模逆运算,并提高模逆运算的计算效率,降低硬件功耗。

    本发明是根据特定实施例进行描述的,但本领域的技术人员应明白在不脱离本发明范围时,可进行各种变化和等同替换。此外,为适应本发明技术的特定场合,可对本发明进行诸多修改而不脱离其保护范围。因此,本发明并不限于在此公开的特定实施例,而包括所有落入到权利要求保护范围的实施例。

    展开全文
  • 辗转相除法求模逆(C语言)

    千次阅读 2020-07-06 20:39:11
    } 然后我们进行求模逆操作 //模逆运算,用模逆算法,此处编写程序时候u,v为实际计算过程中v的各个值 int mod_invese(int d,int n)//求d模n的逆,n 为正整数 { int a,b,q,r,u=0,v=1,t;//a为被除数,b为除数,q为商 a...

    其实,一直就想写这篇博客的,因为上次在写RSA程序,我看了网上的资料都不够简洁,有的提到了方法,但是代码却不够简便,例如欧几里得扩展算法的矩阵形式,以及商的倒序求逆,方法众多,但是代码实现却感觉有点复杂。况且我也看了前人的博客,需要开辟空间对商进行存储。这次我就把我目前感觉最简单的求模逆方法分享给大家~有错误请大家多多指出!

    问题:

    求e关于模p的逆元d,即要求出整数d,使e * d mod p = 1 (或 ed+px=1),这里要求e与p互素。

    方法:

    这里是引用初等数论(严士健 第三版)第27页的辗转相除法的表格形式的辗转相除法。

    首先我们先要引入概念:
    对于二元一次不定方程的求解:
    即 ax+by=1的求解方法,

    ax+by=1,(a,b)=1
    a=bq1 + r 1 , 0<r1 <b,
    b=r1q2 + r 2 , 0<r2 <r1 ,
    ……
    rn-2 =rn-1 qn + rn , 0<rn <rn-1 ,
    rn-1 =rn qn+1 .

    因为(a,b)=1,故rn =1
    于是有 a[(-1)n-1Qn ]+b[(-1)nPn ]=1
    P0 =1 , P1 =q1 ,Pk =qk Pk-1 +Pk-2 ,
    Q0 =0 , Q1 =1,Qk =qk Qk-1 +Qk-2,
    k=2,…,n.

    由于我时间不是很多,我就不举具体例子了 ,防止大家视疲劳我还是手写吧。
    在这里插入图片描述
    直接上代码 ,代码思想就是我所列举的辗转相除法思想,具体证明过程有兴趣的朋友可以参考:《初等数论》(第三版)作者:闵嗣鹤 严士健
    第一章ξ3定理1的证明过程 以及 第二章ξ1定理2的证明过程
    (不过看到好像这么多观看量,我还是列出来吧~~)

    数学证明:

    定理1:若a,b是任意两个正整数,则
    Qk a - Pk b = (-1)k-1 rk ,k=1,…,n;
    其中
    P0 =1 , P1 =q1 ,Pk =qk Pk-1 +Pk-2 ,
    Q0 =0 , Q1 =1,Qk =qk Qk-1 +Qk-2 ,
    k=2,…,n.

    证:

    当k=1时,上式显然成立,当k=2时,
    r2 = -[aq2 - b(1 +q1 q2 )].

    1 +q1 q2 =q2 P1 +P0 ,
    q2 =q2 *1 +0 = q2 Q1 +Q0 ,

    Q2 a - P2 b = (-1)2-1 r2 ,
    P2 =q2 P1 +P0 ,
    Q2 =q2 Q1 +Q0
    假定上述式子对于不超过k>=2的正整数都成立,则
    (-1)k rk+1
    = (-1)k (rk-1 - qk+1 rk )
    = (Qk-1 a - Pk-1 b) + qk+1 (Qk a - Pk b)
    = (qk+1 Qk + Qk-1 )a - (qk+1 Pk + Pk-1 )b.

    Qk a - Pk b = (-1)k-1 rk ,
    其中
    Pk+1 =qk+1 Pk +Pk-1 , Qk+1 =qk+1 Qk +Qk-1 ,
    由归纳法,定理为真

    代码:

    我们先判断素数,素数的判断方法我所知道的有三种,纳筛法,miller-素性检验,暴力求解,miller-素性检验和纳筛法由于我的实验报告被我清理文件的时候删了,我就用我同学的暴力求解法(一般小素数我们为了节约时间优先考虑纳筛法,但是对于大素数推荐采用miller-素性检验,但是miller素性检验是概率算法,1/4可能性会产生伪素数,需要多次验证,验证k次,产生伪素数的可能性就减少为(1/4)k

    //判断n是否为素数,此处使用最暴力的方法,将n取余小于n的所有值
    void searchprime(int n)
    {
    	   int i;
    	   for(i=2;i<=n-1;i++)
    	   {
    		   if(n%i==0)
    			   break;
    	   }//将小于n的数依次除n,若可以整除,则不是素数,退出循环
           if(i<n-1)
    		  printf("%d不是素数\n",n);
    	   else
    		  printf("%d是素数\n",n);
    }
    
    

    然后我们进行求模逆操作

    //模逆运算,用模逆算法,此处编写程序时候u,v为实际计算过程中v的各个值
    int mod_invese(int d,int n)//求d模n的逆,n 为正整数
    {
        int a,b,q,r,u=0,v=1,t;//a为被除数,b为除数,q为商
        a=n;
        b=(d>=0)?(d%n):-(d%n);//规定正负数mod(n)都取正;
        while(b!=0)
    	{
            q=(int)a/b;
            r=a-b*q;
            a=b;
            b=r;
            t=v;
            v=u-q*v;
            u=t;//把每次没有进行运算的v的值给u
    	}//辗转相除,直到余数b=0,跳出循环
        if(a!=1) return 0;
        return((u<0)?u+n:u);//返回的值都是mod(n)后的值,使得最后的值是正数;
    }
    
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    千次阅读 2020-06-19 18:45:57
    用python搞密码学求模逆
  • c/c++实现模逆运算

    千次阅读 2020-03-06 10:50:05
    c/c++实现模逆运算 最终结果: 实验原理: 代码实践: #include <iostream> using namespace std; int main(int age, char * argv[]){ int temp, q, t1, t2, t3; int a, b, swap=0; int x1, x2, x3, y1,...
  • 同余方程(也称扩展欧几里得公式或者模逆运算,反正是一个意思)是数论里面最著名的东西了,同余方程描述如下: 设存在方程  ax  +  by  =  L 如果该方程的线性同余形式为  ax  =  L mod b 如果这...
  • 实验三:求模逆算法 一、实验目的 理解、掌握求模逆算法的基本过程。 二、实验内容 熟悉扩展欧几里德算法。 利用扩展欧几里德算法求模逆,要求:任意输入两个整数a,m;输出a-1mod m;当模逆不存在时,输出出错...
  • 模除法a/b mod m都是先计算模逆t=b-1 mod m,再计算模乘at mod m。因此本节就来讨论模逆运算该怎样实现。 求模逆的算法主要是扩展欧几里德算法。该算法的大意如下。 假设计算。算法通过反复迭代和(A、C、d、e为...
  • miracl中有许多可以求乘法逆元的函数...在大数库中,xgcd的计算公式是:On exit z=gcd(x,y)=x.xd+y.yd我一直百思不得其解,为什么这个函数可以用来计算模逆,直到发现了:拓展的欧几里得算法:欧几里得算法是什么?...
  • 背景(Background)2....模逆(Modular inversion)6.更多的符号(More notation)7.线性同余方程(Solving modular linear equations) 一、Notation 1.背景(Background) 我们将使用一些数论的知识来构造: &nb
  • python实现模逆运算

    万次阅读 2018-01-01 22:45:55
    模逆的定义:要定义这个运算,需要三个整数。a的模逆元素(对n取模)为b,意味着a*b mod m=1,则称a关于m的模逆为b Python实现:#定义一个函数,参数分别为a,n,返回值为b def findModReverse(a,m):#这个扩展欧几里得...
  • 信息安全数学基础--同余方程--同余方程运算:模逆运算,模指数运算 博主本人是初学信息安全数学基础(整除+同余+原根+群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法,加深记忆也方便日后查找;如果有错,欢迎指正...
  • 计算模逆

    2018-09-05 07:45:46
    <p>I want to compute the inverse element of a prime in modular arithmetic. In order to speed things up I start a few goroutines which try to find the element in a certain range....

空空如也

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