不多BB 直接上例子

这里所描述的是一个典型的弹簧系统 但是弹簧的胡克系数a是个变量

分析过程不在此赘述了 简单说一下思路
step1：find X2 使系统的输出量紧紧跟随给定轨迹
Step2：find u 使得X2可以满足step1的要求
Step3：引入胡克系数a的估计值a_hat 用估计值来处理跟随过程

在matlab中搭建如下模型

请原谅我垃圾的layout

输入轨迹是一个变化的常数 就像这样

我们的控制要求是输出要紧紧跟随这个轨迹 此时的a取5 分别观察输出 和a的估计值


看起来跟随还不错 估计值也基本是5
改变a的取值 比如a=10

估计值误差也不大

看起来这个自适应控制器还算满足要求 在a取不同值时都能紧紧跟随
但是却有一个比较大的问题 就是系统的快速性能不好 如果输入信号的周期过端 跟随性能就比较差了

入门小白 有什么不对的地方 还请大家多多批评^_

最后我要感谢B站UP主 DR_CAN 讲的实在是太好辣
这道题目是他的高级控制课程-16的课后作业 在此说明！
也欢迎大家去关注 DR_CAN

基于simulink和adams的机械臂自适应控制

github地址

https://github.com/zzy5510/adaptive_arm_simulink

模型构建

本想基于原来的七自由度机械臂做自适应控制，但发现自适应控制需要用到线性化的动力学参数矩阵，七自由度机械臂的参数矩阵太庞大和复杂了。所以新做了一个平面三自由度机械臂，如下图：

机械臂的质量均为10，z轴的惯量为1.05.

算法原理

欧拉拉格朗日法求动力学方程

首先，需要使用拉格朗日法求出机械臂的动力学方程：
$$H(q)\ddot{q}+C(q,q)q+G(q)=\tau$$
拉格朗日法的具体实现可以有不同的方法。本项目采用了霍伟《机器人动力学与控制》中的方法，比较便于编程实现。具体如下：






需要注意以下几点：
1.该方法不依赖于建系方法，即普通DH和改进DH都可应用。但推荐使用改进DH，因为公式中的连杆i质心的坐标是在i系中表达的，如果采用普通DH，这一坐标随关节角度将变化。
2.惯性张量I以坐标系的原点为原点，并不以杆的质心为原点。
这部分算法的代码来自https://www.jianshu.com/p/6d04539f1cfe。

自适应控制

本项目假定连杆3由于抓取了未知物体，质量和转动惯量变为未知。因此需要采用自适应算法来实现对机械臂的控制。算法的思路来自《漂浮基单_双臂空间机器人捕获目标过程接触碰撞动力学分析与镇定控制》
设定系统位置误差为
$$e=q_d-q$$
定义增广误差：
$$s=\dot{e}+\lambda e$$
定义参考输入角速度和角加速度：
$$\eta ={\dot{q}}_d+\lambda e$$
$$\dot{\eta }={\ddot{q}}_d+\lambda \dot{e}$$
带入动力学表达式，得到：
$$H\dot{s}+Cs=H\ddot{\eta }+C\dot{\eta }-\tau$$
设计控制输入力矩为：
$$\tau =\hat{H}\ddot{\eta }+\hat{C}\dot{\eta }+Ks$$
其中，$\hat{H}$和$\hat{C}$代表对H和C的估计。将该式带入上式：
$$H\dot{s}+Cs+Ks=W\varphi$$
其中，
$$W\varphi =(H-\hat{H})\ddot{\eta }+(C-\hat{C})\dot{\eta }$$
$\varphi$是待估计的动力学参数的真实值与估计值的差组成的列向量，即为[m3;Iz3]。该公式实际上将动力学参数与运动学参数q，$\dot{q}$,$\ddot{q}$的分离，完成了动力学参数的线性化。
最后，用自适应律：
$$\varphi =-\gamma W^{\mathrm{T}}s$$
来更新动力学参数。关于自适应控制的稳定性证明略。

simulink控制图

四个函数分别为输入，s和$\eta$的计算，自适应计算器，控制器。

运行效果

当输入为正弦信号时，机械臂运动跟踪效果如下：

跟踪效果还是非常好的。然而，对参数的估计并没有收敛到真值：

这是因为正弦输入信号不满足持续激励（PE）条件。尽管输出可以收敛到真值，但参数估计却无法收敛到真值。这也是自适应控制的一大特点。
当输入恒加速度信号时，跟踪效果也不错。

然而，对参数的估计依然不收敛。非常迷惑，加速度信号理论上是满足PE条件的。多次调试后依然不收敛。这个问题先放在这里，以后解决吧。

一、神经网络简介和人工神经元模型

人生神经网络是模仿生物神经网络功能得一种验证模型。生物神经元受到传入的刺激，其反应又从输出端传到相连的神经元，输入与输出之间的关系一般是非线性的。神经网络是有大量的处理单元（神经元）互相连接而成的网络。为了模拟大脑的基本特性，在神经科学研究的基础上，提出了神经网络的模型。时间上，神经网络并没有完全反应大脑的功能，只是对生物神经网络进行了某种抽象、简化和模拟。


人工神经网络的基本单元是神经元模型，其主要包括三个基本要素：

1. 连接权（突触权值）

一组连接（对应于生物神经元的突触），连接强度由各连接上的权值表示，权值为正表示激活，为负表示抑制。

2. 求和单元（加法器）

一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和（线性组合）。

3. 激活函数（非线性）

一个非线性激活函数，起到分线性映射作用，并将神经元输出幅值限制在一定范围内（一般限制在（0，1）或（-1，1）之间）。

此外，还有一个阈值${\theta }_k$(或者偏置$b_k=-{\theta }_k$)。

以上作用可分别用数学式表达出来：
$$\begin{gathered} {u}_k=\sum _{j=1}^p{w}_{kj}{x}_j=w_{k1}{x}_1+w_{k2}{x}_2+\cdots +w_{kp}{x}_p \\ {v}_k=u_k-{\theta }_k,y_k=\phi (v_k) \end{gathered}$$
其中，$x_1,x_2,\dots ,x_p$为输入信号，$w_{k1},w_{k2},\dots ,w_{kp}$为神经元$k$之权值，$u_k$为线性组合结果，${\theta }_k$为阈值，$\phi (\cdot )$为激活函数，$y_k$为神经元的输出。

偏置$b_k$是神经元$k$的外部参数，我们可以像处理输入信号一样考虑它，因而得到神经元模型的另一种描述图，如下。

对应上图的数学描述为
$${v}_k=\sum _{j=0}^p{w}_{kj}{x}_j=w_{k0}{x}_0+w_{k1}{x}_1+w_{k2}{x}_2+\cdots +w_{kp}{x}_p$$
其中$x_0=+1(或-1)$，权值$w_{k0}={\theta }_k$

(1) 阈值激活函数

对应的输出为

(2) 分段线性激活函数

(3) sigmoid激活函数

sigmoid激活函数即为S型函数。
$$\phi (v)=\frac{1}{1+exp(-\alpha v)}$$
其中$\alpha >0$可控制斜率。

(4) 双曲正切函数

$$\phi (v)=tanh(\frac{v}{2})=\frac{1-exp(-v)}{1+exp(-v)}$$
此函数具有平滑和渐进性，并保持单调性。

二、神经网络的学习规则

通常用到的学习规则有三种。

1. 误差纠正学习规则

在这里，我们令$y_k(n)$是输入$x_k(n)$时神经元$k$在n时刻的实际输出，$d_k(n)$表示期望的输出，则误差信号可写为
$$e_k(n)=d_k(n)-y_k(n)$$
最终目的：使某一基于$e_k(n)$的目标函数达到要求，以使网络中每一输出单元的实际输出在某种意义上逼近应有输出。学习过程是将误差信号$e_k(n)$作用于神经元k的突出权值修正调节中，以一步步逼近的方式使输出信号$y_k(n)$向期望$d_k(n)$靠近。一旦选定了目标函数形式，误差纠正学习就变成了一个典型的优化问题。最常用的目标函数是均方差判据，定义为误差平方和的均值：
$$J=E\left[\frac{1}{2}\sum _k{e}_k^2(n)\right]$$
E为期望算子。上式的前提是被学习的过程是平稳的，具体方法科用最优梯度下降法。直接用J作为目标函数时需要知道整个过程的统计特性，为解决这一问题，通常用$J$在时刻n的瞬时值代替$J$，即
$$E=\frac{1}{2}\sum _k{e}_k^2(n)$$
问题变成求$E$对权值$w$的极小值，按梯度下降法，可得
$$\Delta w_{kj}(n)=-\eta \frac{\partial \epsilon (n)}{\partial w_{kj}(n)}=\eta \left(-\frac{\partial \epsilon (n)}{\partial v_k(n)}\right)\frac{\partial v_k(n)}{\partial w_{kj}(n)}=\eta e_k(n){\phi }^{{}^{\prime }}(v_k(n))x_j(n)$$
式中，$\eta$为学习步长，这就是所说的误差纠正学习规则。
突触权值的更新可按下式来确定
$$w_{kj}(n+1)=w_{kj}(n)+\Delta w_{kj}(n)$$

2. Hebb学习规则

由神经心理学家Hebb提出，可归纳为“如果在某一突触（连接）每一边的两个神经元被同步激活，（同为激活或同为抑制），那么突触的强度被选择性地增强，反之则被选择性地减弱”，其数学描述为
$$\Delta w_{kj}(n)=w_{kj}(n+1)-w_{kj}(n)=\eta y_k(n)x_j(n)$$

（唐纳德·赫布（Donald Olding Hebb，1904.07.22－1985.08.20），加拿大心理学家，认知心理生理学的开创者。出生于加拿大新斯科舍省的切斯特（Chester Basin），逝于加拿大新斯科舍省。）

3.竞争学习规则

在竞争学习时，网络各输出单元相互竞争，最后只有一个最强者被激活。

一篇写不完，转到下一篇继续写基于BP神经网络得PID自适应控制——simulink平台（详细分析过程+完整代码+仿真结果）(二)。